Bagian 1 Integral Rangkap

Transkripsi

1 Bgin Integrl ngp Bgin Integrl ngp mempeljri bgimn teni integrsi ng telh And peljri dlm Mtemti Teni diembngn lebih lnjut sehingg menjdi integrl ng rngp. Teni integrsi rngp ini dpt it pi untu menghitung lus dn menghitung vlume bend. Lebih juh, teni ini dpt digunn untu menghitung pust mss sutu bend. Pengethun pd Bgin ini dihrpn memberin sediit infrmsi epd And, bhw ilmu mtemti sebenrn sngt mudh diterpn untu mengtsi persln. Ilmu mtemti tid hn sebts ng-ng perhitungn sj, tpi dpt digunn untu memechn persln ng terjdi di seeliling it. Kmpetensi ng dihrpn setelh And menelesin Bgin Integrl ngp dlh And mmpu:. Menghitung integrsi rngp du.. Menghitung lus di ntr du urv dengn menggunn integrl rngp.. Menghitung integrsi rngp tig. 4. Menghitung vlume dengn menggunn integrl rngp tig. 5. Menghitung pust mss dn pust grvitsi.. Integrsi ngp Du gsn dri integrsi tertentu dpt digunn secr lus untu fungsi dengn du tu lebih vrible. Integrsi tertentu untu stu vrible ng dintn dengn rumus b f ().d. dibut dri permslhn untu menghitung lus di bwh urv. Integrsi fungsi du vrible dibut dri permslhn vlume. Secr umum integrl lipt du ditulis dlm bentu : s f (, ) tu f (, ) d d. s Untu integrl lipt du ts persegi pnjng ditulis dlm bentu f (, ) d d. Pengintegrln pertm dilu terhdp dengn memndng f 9,) sebgi fungsi dri dn dingp tetp (nstn), dengn bts integrl itu e, emudin hsil pengintegrln pertm diintegrsin terhdp dengn bts integrsi dri e. Mtemti Teni /Integrl ngp

2 Integrl ini jug dpt diberin dlm bentu f (, ) d d.4 Mslh menentun vlume bend pdt pd tip titi eng terlet ntr bidng dlm bidng dn permun z = f(,), dimn f(,) ntinu di ts dn f(,) > untu semu (,) dlm dpt dilun dengn lngh sebgi beriut.. But gris prlel menuju sumbu rdint.. Asumsin bidng terbgi dlm n segiempt, mbil sutu lusn tertentu ng e pd segiempt dengn lus Δ. Pilih sembrng titi pd segiempt ng dimbil dn untu segiempt e misln (, ) 4. Punc dri segiempt bidng dlh nili fungsi pd titi (, ) tu nili f(, ), m vlume dri bend segiempt tersebut dlh : * * f,. Δ A ( ) 5. Kren terdiri bn segiempt, m vlume bend dlh : n = f * * (, ). = lim n + ΔA n V * * (, ). = f ΔA.5 Penjumlhn di ts dienl dengn Penjumlhn iemnn (iemnn Sum). Kren sisi nn dlh definisi integrsi tertentu, m rumus vlume : V = f (, ).da.5b Integrsi Yng Diulng Turunn prsil fungsi f(,) dihitung dengn menurunn slh stu vrible dn vrible lin dihitung selnjutn. Sedngn prses pemblinn disebut integrsi prsil. b d c f (, ).d... dn... f (, ).d.6 Cnth. Hitunglh integrsi.d.d =.d = Mtemti Teni /Integrl ngp

3 Cnth. Hitunglh integrsi.d.d =.d = Prses integrsi du thp, bi terhdp dn terhdp disebut Integrsi Itersi tu Integrsi Yng Diulng d b d b f (, ).d.d = f (, ).d.d c c d b d b f (, ).d.d = f (, ).d c c.d (, ).da = f (, ).d.d = d b c b d f f (, ).d.d.7 c Cnth. Selesin integrsi + ( 8). d. d ( + 8).d.d = ( + 8).d Cnth.4.d Selesin integrsi [ + 4 ].d = ( + ).d = [ + 4 ].d = ( + ).d = Cnth.5 Evlusi integrsi.da.da di ts bidng segiempt = {(,) ; -<<, <<} Mtemti Teni /Integrl ngp

4 5 V =.d.d =.d =.d =... st.vlume 6 Cnth.6 Hitung vlume bend di bwh bidng z = 4 dn di ts bidng segiempt = { (,) ; < <, < < 7 V = (4 ).d.d = 4.d =.d = 5... st. vl. Cnth.7 ( + ) d d = ( + ) d = [,( + ) ] d = ( + ) = + 4 = 4 Atu dpt diselesin dlm bentu ( + ) d d = ( + ) d = [ (s + 4) ] d = ( + 4 ) = + 4 = 4 Mtemti Teni /Integrl ngp 4

5 Integrsi ngp Du dengn Als Tid Segiempt Yitu integrl ng lsn bun persegi pnjng, tpi dlm bentu fungsi dn t, dengn memndng bidng dpt digmbrn ls sebgi beriut. Dengn memndng derh integrsi S, m S dibgi menjdi n bgin (elemen) leh gris gris ng sejjr sumbu rdint sehingg terdpt n bgin Ai. I =,,..,n ; dn Ai =, Ambillh (i, i) sembrng dlm Ai dn n MMMMM, sedemiin sehingg Ai ng terbesr M ng dimsud integrl rngp du dri fungsi f (, ) mellui perhtin derh S ng dibtsi leh gris-gris sejjr sumbu rdint, sehing terdpt bentu gris lengung beriut : B A B memperlihtn = () fungsi dri B A B memperlihtn = () fungsi dri A B B memperlihtn = () fungsi dri A B A memperlihtn = () fungsi dri M diperleh bentu integrl : s f (,) d d = b b ( ) ( ) f (,) d d = ( ) ( ) f (,) d d.8 Definisi :. Bidng tipe I dibtsi gris = dn = b di iri dn nn, dn dibtsi fungsi = g () dn = g () di bwh dn di ts, dimn g () < g () untu hrg < < b b. Bidng tipe II dibtsi gris = c dn = d di bwh dn di ts, dibtsi fungsi = h () dn = h () di nn dn iri, dimn h () < h () untu hrg c < < d. Mtemti Teni /Integrl ngp 5

6 Terem :. Ji tipe I, dimn f(,) ntinu, m : b g () f (, ).da = f (, ).d.d.9 g() b. Ji tipe II, dimn f(,) ntinu, m : d h () f (, ).da = f (, ).d.d. c h() Cnth.8 Evlusi integrsi. da di ts bidng ng dibtsi ntr gris =/ dn = ½ sert gris =4 dn = 4.d.d =.d =.d = / 4 / st. lus 6 Cnth.9 Hitung vlume bend ng dibtsi leh bidng z = 4 4 dengn sumbu rdint. Mtemti Teni /Integrl ngp 6

7 ( 4 4 ).da = [ 4 4 ].d = ( ).d = 4... st.vl. Menghitung Lus, Vlume, dn Inersi Dengn Integrsi ngp Du Ji bidng pembts z =, m rumus vlume di ts menjdi : = da. Vlume = lus dsr/ls tinggi = lus dsr/ls = lus dsr/ls () Cnth. Hitung bidng ng dibtsi bidng prbl = / dn gris = mbr bidng untu derh dn urv ng dimsud diperlihtn pd gmbr dibwh ini. Mtemti Teni /Integrl ngp 7

8 = 4 d.d = [ ] / = =.d.d / st.lus Cnth. Hitunglh isi bend ng dibtsi leh bidng z =, permun z = + + dn tbung + = 4. Penelesin: Z = + merupn lingrn untu z > m permun tersebut merupn prbl putr degn prs sumbu z. = = 4 = =, m ¼ V = 4 ( + + ) d d 4 = ( + + ) d = 4 ( ) ( + 5) 4 d Substitusi : Y = s sinθ d = cs θ = = θ = = θ = ½ M : V = π / 8 ( 4 sin θ + ) (4 cs θ ) dθ = = 5 / 5 / ( 4 sin θ cs θ ) + 5 cs θ ) dθ ( 9 cs θ ) (4 cs θ ) dθ Mtemti Teni /Integrl ngp 8

9 = [ 9( csθ.sinθ θ cs θ sinθ cs θ sinθ θ 5 / + ) 4( + ) + ] = π π 9( ) 4( ) 4 6 = 6π Cnth. Tentun dn hitung let bert, mment mmen inersi terhdp sumbu, rdint dn terhdp titi sl dri bidng dtr ng dibtsi prb = gris = erptn = Penelesin: M = d d / d / = ½ ( ) d = ( M = M / 4 ) = 4 Y = = / M dn M 4 Y4 = = / 4 Titi bert = (, 5 Mmen inersi terhdp sumbu : ) I = d d = / / d 4 / = ( 9 ) d = ( ) 4 44 Mmen inersi terhdp sumbu : I = d d = ( ) d / / = ( 7 ) d = ( / ) 6 Mtemti Teni /Integrl ngp 9

10 Ltihn Sl. Setelh And selesi mempeljri mteri di ts, ini stn untu meltih diri mengerjn sl-sl beriut. Butlh penelesin setip sl dengn sistemtis untu mendptn jwbn hir ng benr. Selmt berltih...!!!. Hitung integrl. Hitung integrl (,) d d d d. Hitunglh isi bend ng dibtsi leh tbung + =, z = dn bidnd z = = 4. Hitunglh isi bend ng bgin ts dibtsi leh prblid z = + 4 bgin bwh dibtsi leh bidng z = dn bgn-bgin smping leh permun silinder = dn =. 5. Hitunglh lus bidng dtr ng dibtsi leh prbl = 4 dn gris Y =. 6. Hitunglh lus bidng dtr ng dibtsi leh prbl = dn gris + =. 7. Tentun let titi bert (, ) dri bidng dtr ng dibtsi leh prbl = dn gris =, Ji Kerptn dititi (,) dlh = +.. Integrsi ngp Tig Misln dlh t segiempt ng dibtsi pertidsmn b, c d, z. Ji f dlh ntinu pd bidng, m : b f l f (,,z).dv = f (,,z).dz.d.d. c Cnth. Evlusi integrsi rngp tig z.dv dibtsi pertidsmn : -,, z, di ts t segiempt ng 4 z.dv = z.dv = [ z ] = 48.d.d = [ 6 ].d.d.d = 4.d = st. vlume Mtemti Teni /Integrl ngp

11 Cnth.4 Hitunglh isi bend ng dibtsi leh silinder + =, bidng bidng z = dn z =. Penelesin: Stu per empt bgin dri bend tersebut m bts : z = z = = = = = I = 4 = 4 = dz d d d = = s ( - ) = 4 ( ) d Cnth.5 Hitunglh isi bend ng berd di dlm (dibtsi leh) bl + + z = 8 dn prblid putrn + = z Penelesin: Dri edu persmn diperleh : Z + z 8 = (z +4) ( z ) = Kren z = ( + ) sellu psitif m dibidng ptngn pd z = dengn penusunn rdint silinder, m bts menjdi : z = ½ r z = 8 r r = r = sin θ θ = θ = ½ π / I = 4 π 8 r = z= / r r dr dθ = π r.z 8 r r / - dr dθ / = 4 π r ( r - ) dr dθ = 8 r / π 4 r [ - / (8 r ) / - ] 8 dθ Mtemti Teni /Integrl ngp

12 / = 4 π 4π ( 8-7) dθ = ( 8-7) Integrsi ngp Tig dengn Bn Bidng Pembts Terem : Misln dlh bend slid dengn permun ts z = g (,) dn bidng ls z = g (,) dn misln dlh presi bend pd bidng. Ji f(,,z) dlh ntinu pd, m : f (,,z).dv = g (,) g (,) f (,,z).dz.da. Cnth.6 Misln dlh lempengn dlm tn pertm ng terbut dri bend bult pdt + ng diptng leh bidng = dn =. Hitunglh vlume. z.dv = z.dz.d.d = z = ( ).d.d = ( ). = ( ).d =...st.vlume 8 d.d.d Mtemti Teni /Integrl ngp

13 Cnth.7 Hitung vlume bend ng dibtsi + = 9 dn bidng z =, + z = 5 V = 6π st. vlume Ltihn Sl. Setelh And selesi mempeljri mteri di ts, ini stn untu meltih diri mengerjn sl-sl beriut. Butlh penelesin setip sl dengn sistemtis untu mendptn jwbn hir ng benr. Selmt berltih...!!!. Evlusi integrl ( + + z ) d d dz /. Evlusi integrl π / zsin dz d d 9 z. Evlusi integrl d d dz Mtemti Teni /Integrl ngp

14 4. Evlusi integrl bidng z dv, dimn dlh bidng slid pd tn pertm ng dibtsi leh silinder prgbl z = dn bidng z =, =, dn = / π 5. Evlusi integrl bidng zsin dz d d, dimn dlh segiempt / ng dibtsi pertidsmn < < π, < <, dn < z < π/6. Pust rvitsi dn Terem Pppus Mss Bend Mss sebuh bend dpt dihitung dengn menggunn persmn : M = (, )da..4 δ Cnth. Sebuh segitig dengn rdint (,), (,), (,) mempuni fungsi epdtn δ(,) =. Tentun mss bend. δ( ) M =,.da = +.d.d + = +.d =.d =...st.mss 4 Mtemti Teni /Integrl ngp 4

15 Pust rvitsi Pust grvitsi bend dihitung dengn menggunn persmn : = M M = Mss.. δ.5 (, ).da M = =. δ(, ).da.6 M Mss. Pust grvitsi dn sentrid sebuh bend pdt jug dpt dihitung dengn menggunn persmn integrsi rngp tig ng diberin dlm persmn beriut. Untu sebuh mss M, m berlu M = mss f = δ (,, z) dv.7 Pust grvitsi bend pdt tersebut dlh = δ (,, z) dv.8 M = δ (,, z) dv.9 M z = zδ (,, z) dv. M Sedngn sentrid dri bend pdt tersebut dlh = V = V z = V dv dv z dv... Cnth.4 Tentun pust grvitsi bend pd cnth.9 Penelesin: Mmen terhdp sumbu : M =. δ(, ).da =.d.d = ` + +.d Mtemti Teni /Integrl ngp 5

16 = ( 4 + ).d = 6...st.mmen Mmen terhdp sumbu : δ M = (, ).da =..d.d = + +. d 4 = +.d = 6...st.mmen sehingg pust grvitsi : M = = 6 =... st. pnjng M 5 4 M = = 6 =... st. pnjng M 5 4 Ltihn Sl. Setelh And selesi mempeljri mteri di ts, ini stn untu meltih diri mengerjn sl-sl beriut. Butlh penelesin setip sl dengn sistemtis untu mendptn jwbn hir ng benr. Selmt berltih...!!!. Sebuh lmin dengn epdtn δ(,) = + dibtsi leh sumbu, gris =, dn urv =. Tentun mss lmin tersebut dn pust grvitsin.. Crilh sentrid bidng ng dibtsi leh gris = dn urv =. Crilh sentrid bidng ng dibtsi leh urv = dn gris = 4 4. Tentun sentrid bend pd pd tn pertm ng dibtsi leh bidng rdint dn bidng + + z = 5. Tentun sentrid bend pdt ng dibtsi leh permun z = dn bidng =, =, dn z = Mtemti Teni /Integrl ngp 6