ATURAN NEWTON-COTES TERTUTUP DENGAN KOREKSI PADA UJUNG INTERVAL. Rifaldi Putra ABSTRACT

Transkripsi

1 ATURAN NEWTON-COTES TERTUTUP DENGAN KOREKSI PADA UJUNG INTERVAL Rifldi Putr Mhsisw Progrm Studi S1 Mtemti Jurusn Mtemti Fults Mtemti dn Ilmu Pengethun Alm Universits Riu Kmpus Bin Widy, Penbru ABSTRACT This rticle discusses closed Newton-Cotes rules with end corrections which re modifiction of the closed Newton-Cotes rules to pproximte the definite integrl. Numericl comprisons using two definite integrls show tht the closed Newton- Cotes rules with end corrections re better thn the closed Newton-Cotes rules in terms of error produced by the rules. Keywords: Closed Newton-Cotes rules, closed Newton-Cotes rules with end corrections, centered finite difference method ABSTRAK Pd rtiel ini dibhs turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl yng merupn modifisi dri turn Newton-Cotes tertutup yng digunn untu mengprosimsi integrl definit. Perbndingn numeri menggunn du integrl definit menunjun bhw turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl lebih bi dri turn Newton-Cotes tertutup dlm hl error yng dihsiln. Kt unci: Aturn Newton-Cotes tertutup, turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl, metode centered finite difference 1. PENDAHULUAN Dlm nlisis numeri dienl integrsi numeri yitu sutu proses yng digunn untu memperoleh nili hmpirn prosimsi dri fxdx. Proses integrsi numeri yng pling umum didsrn pd interpolsi terhdp fungsi f. Proses interpolsi dilun dengn menggunn interpolsi polinomil P n sehingg fungsi f dpt diprosimsi seperti beriut: 1

2 fx P n x. Secr umum interpolsi Lgrnge yng menginterpolsi n + 1 titi diberin oleh rumus dengn P n x = n fx L n, x, = 0, 1,..., n, =0 L n, x = n i=0 i x x i x x i. Selnjutny, dengn mengintegrln interpolsi polinomil Lgrnge, didptn formulsi integrsi numeri tu disebut jug udrtur yng dpt ditulis dlm bentu n fxdx w i fx i, dengn w i = i=0 L n, xdx, i = 0, 1,..., n. Untu titi-titi integrsi terdistribusi sergm pd intervl [, b], m x i = +ih untu i = 0, 1,..., n dengn h = b n. Aturn Newton-Cotes merupn turn yng sering digunn dlm integrsi numeri. Burden dn Fires [3] menjelsn bhw turn Newton-Cotes terbgi du, yitu turn Newton-Cotes terbu dn turn Newton-Cotes tertutup. Terdpt beberp turn dlm Newton-Cotes tertutup dintrny turn trpesium, turn Simpson, turn Simpson 3/8 dn turn Boole. Aturn Newton-Cotes tertutup bny diembngn untu mendptn tingt etelitin yng lebih tinggi, dintrny diusuln oleh Burg [4] yitu turn Newton-Cotes tertutup berdsrn turunn. Selnjutny Zho dn Li [9] mengusuln turn Newton-Cotes tertutup berdsrn turunn pd titi tengh. Artiel ini merupn tinjun ulng sebgin dri rtiel Aguilr [1]. Pd bgin du dibhs turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl, dilnjutn dengn pembhsn untu menentun oefisien oresi. Kemudin pd bgin terhir dilun simulsi numeri terhdp du contoh fungsi uji. 2. ATURAN NEWTON COTES TERTUTUP DENGAN KOREKSI PADA UJUNG INTERVAL Aturn yng umum digunn untu mencri integrl tentu dlh turn Newton- Cotes. Pd rtiel ini disjin turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd 2

3 ujung intervl. Aturn ini diperoleh dengn mengprosimsi turunn gnjil fungsi f, yitu f 2p 1 untu setip p = 1,..., m untu bilngn bult positif m pd x = dn x = b menggunn metode centered finite difference epd suu error dri turn Newton-Cotes tertutup omposit. Aturn ini dinytn pd Teorem 1. Teorem 1 Misln f C 2m+2 [, b], = x 0 < x 1 <... < x n = b merupn prtisi dri intervl [, b] dengn pnjng tip subintervl sebesr h = b /n. N Ch dlh turn Newton-Cotes tertutup omposit yng mengprosimsi fxdx. Ji diberin sutu bilngn bult positif m, m terdpt sutu { } m brisn oefisien oresi yng tid bergntung pd h, tetpi β m bergntung pd m dn {z p }, sedemiin sehingg turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl dengn suu error ny dpt ditulis sebgi beriut: dengn fxdx NC2m + 2, h + Oh 2m+2, 1 NC2m + 2, h =NCh h m β fb + h fb h f + h + f h. 2 Buti. Aturn Newton-Cotes tertutup omposit dengn suu error didefinisin sebgi beriut: fxdx NCh h 2p B 2p 2p! z p f 2p 1 b f 2p 1 + Oh 2m+2, 3 dengn onstnt B 2p merupn bilngn Bernoulli dn z p merupn onstnt yng niliny bergntung pd tipe turn Newton-Cotes tertutup omposit yng diberin sebgi beriut: turn trpesium z p = 1, turn Simpson z p = 4 4p 3, turn Simpson 3/8 z p = 9 9p 8, turn Boole z p = 16p 204 p , untu semu bilngn bult positif p [8]. Metode centered finite difference mengprosimsi f 2p 1 sebgi beriut: f 2p 1 x α m,p fx + h fx h + Oh 2m+2 2p, 4 h 2p 1 dengn α m,p merupn sutu onstnt bilngn rel [1]. Selnjutny, dengn mensubstitusin x = dn x = b e persmn 4, 3

4 sehingg diperoleh f 2p 1 α,p m f + h f h h 2p 1 + Oh 2m+2 2p, 5 f 2p 1 b α,p m fb + h fb h h 2p 1 + Oh 2m+2 2p. 6 Kemudin, dengn mensubstitusin persmn 5 dn 6 e persmn 3 diperoleh fxdx NCh + Oh 2m+2 2p h 2p B 2p 2p! z m p m + Oh 2m+2 2p + Oh 2m+2 fxdx NCh h f + h + f h α m,p fb + h fb h h 2p 1 α m,p f + h f h h 2p 1 B 2p 2p! z pα m,p fb + h fb h + Oh 2m+2, 7 dengn oefisien oresi β m = sehingg persmn 7 dpt ditulis menjdi fxdx NCh h B 2p 2p! z pα m,p, 8 m β fb + h fb h f + h + f h. Selnjutny, dri persmn 1 dn 2 untu turn trpesium dengn oresi pd ujung intervl dpt ditulis menjdi fxdx T 2m + 2, h + Oh 2m+2, 4

5 dengn T 2m + 2, h = h n 1 m f + 2 fx j + fb h β fb + h 2 fb h f + h + f h. Selnjutny, dengn menggunn cr yng sm diperoleh turn Simpson, Simpson 3/8, dn Boole dengn oresi pd ujung intervl. Aturn Simpson dengn oresi pd ujung intervl diberin oleh dengn S2m + 2, h = h 3 fxdx S2m + 2, h + Oh 2m+2, n/2 1 f + 2 fx 2j + 4 h β m + f h. n/2 fx 2j 1 + fb fb + h fb h f + h Selnjutny untu turn Simpson 3/8 dengn oresi pd ujung intervl diberin oleh dengn S 3/8 2m + 2, h = 3h 8 fxdx S 3/8 2m + 2, h + Oh 2m+2, n/3 1 n/3 1 f + 3 fx 3j fx 3j n/ fx 3j+2 + fb h β m fb + h fb h f + h + f h. Selnjutny untu turn Boole dengn oresi pd ujung intervl diberin 5

6 oleh dengn fxdx B2m + 2, h + Oh 2m+2, B2m + 2, h = 2h n/4 1 n/4 1 7f + 32 fx 4j fx 4j 45 n/4 1 n/ fx 4j fx 4j+3 + 7fb h β m fb + h fb h f + h + f h. 3. PENENTUAN KOEFISIEN KOREKSI Dri persmn 8, diethui bhw β m = m B 2p z 2p! pα,p bergntung pd nili { } m untu setip = 1, 2,..., m dengn m merupn bilngn bult positif. α m,p Selnjutny { dengn } menggunn metode undetermined coefficients dpt m diperoleh nili, dimn untu bilngn bult positif m yng diberin α m,p dn untu setip p = 1, 2,..., m, dibentu sebuh sistem persmn liner SPL dengn m vribel α,p, = 1, 2,..., m. Untu membentu SPL tersebut, fungsi f dignti dengn polinomil yng sesui. Agr didptn rumus yng sederhn digunn m polinomil yng memilii derjt 2m 1 sebgi beriut: f j x = x m x 2 2 h 2, 9 j untu j = 1,..., m. Terdpt du sift yng dipenuhi oleh f j, yitu Lem 2 dn Teorem 3 beriut ini. Lem 2 Misln f j dlh polinomil yng didefinisin oleh persmn 9 untu j = 1,..., m, sehingg 0 untu x = ph, p {1, 2,..., m} \ {j}, f j x = 1 m+j h 2m 1 m + j!m j! untu x = jh. 2j 6

7 Buti. Dpt diliht pd Aguilr [1]. Teorem 3 Misln σ p 1, 2,..., m j merupn jumlh dri hsil li p suu yng berbentu r 2 1, r 2 2,..., r 2 p, dimn {r 1, r 2,..., r p } {1, 2,..., m} \ {j}, dengn σ 0 1, 2,..., m j = 1, sehingg α m j,p = 2p 1!σ j m p1, 2,..., m j m + j!m j! 1p+j. Buti. Dpt diliht pd Aguilr [1]. Nili dri oefisien oresi β m nili m = 4 dn = 1,..., m. ditunjun pd Tbel 1, dengn mengmbil Tbel 1: Nili dri Koefisien Koresi β m untu m = 4 β m trpesium β m Simpson β m Simpson3/8 β m Boole e e e e e e e e e e e e e e e e SIMULASI NUMERIK Pd bgin ini, dilun simulsi numeri ntr turn Newton-Cotes tertutup dengn turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl untu membndingn turn mn yng lebih bi dn lebih cept dlm mendeti solusi es. Beriut ini merupn 2 contoh fungsi besert solusi es yng digunn dlm melun omputsi numeri yitu f 1x dx = 2 1 x14 9x 10 12x 7 19 dx = f 2x dx = 3 1 xex dx = Selnjutny simulsi numeri dilun dengn menggunn 2 contoh fungsi dits dengn mengmbil jumlh prtisi yng besr. Hsil perbndingn omputsi dengn Mtlb R2010 dpt diliht pd Tbel 2. Pd Tbel 2 terdpt notsinotsi yng digunn yitu jumlh prtisi dinotsin dengn n, turn trpesium dengn T n, turn trpesium dengn oresi pd ujung intervl dengn MT n, turn Simpson dengn S n, turn Simpson dengn oresi pd ujung intervl dengn MS n, turn Simpson 3/8 dengn S n3/8, turn Simpson 3/8 dengn oresi pd ujung intervl dengn MS n3/8, turn Boole dengn B n dn turn Boole dengn oresi pd ujung intervl dengn MB n. 7

8 Tbel 2: Perbndingn Hsil Komputsi Aturn Newton-Cotes tertutup dn Aturn Newton-Cotes tertutup dengn Koresi pd Ujung Intervl f i [, b] Metode n Hsil Komputsi Error T n e MT n e 005 S n e MS 1 1x dx [1, 2] n e 008 S n3/ e 002 MS n3/ e 009 B n e 005 MB n e f 2x dx [1, 3] T n e 001 MT n e 010 S n e 005 MS n e 013 S n3/ e 005 MS n3/ e 014 B n e 009 MB n e 014 Berdsrn hsil omputsi uji perbndingn numeri dri du fungsi yng digunn m eduny menunjun bhw turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl memberin hsil prosimsi yng mendeti hsil sebenrny. Selin itu, error dri turn Newton-Cotes tertutup dengn oresi pd ujung intervl lebih ecil dripd turn Newton-Cotes tertutup sehingg etelitin dri turn ini lebih tinggi. Ucpn terim sih Penulis mengucpn terim sih epd Bp Drs. Azishn, M.Si. yng telh memberin rhn dn bimbingn dlm penulisn rtiel ini. DAFTAR PUSTAKA [1] J. C. Aguilr, Higher-order Newton-Cotes rules with end corrections, Applied Numericl Mthemtics, , [2] R. G. Brtle dn D. R. Shebert, Introduction to Rel Anlysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons., New Yor, [3] R. L. Burden dn J. D. Fires, Numericl Anlysis, Ninth Edition, Broos/Cole, Boston,

9 [4] C. O. E. Burg, Derivtive bsed closed Newton-Cotes numericl qudrture, Applied Mthemtics nd Computtion, , [5] D. R. Kincid dn E. W. Cheney, Numericl Anlysis: Mthemtics of Scientific Computing, Broos/Cole, Pcific Grove, [6] R. Kress, Numericl Anlysis, Springer, New Yor, [7] J. H. Mthews dn K. D. Fin, Numericl Methods using Mtlb, Fourth Edition, Prentice-Hll, New Jersey, [8] J. V. Upensy, On the expnsion of the reminder in the Newton-Cotes formul, Americn Mthemticl Society, , [9] W. Zho dn H. Li, Midpoint derivtive bsed closed Newton-Cotes qudrture, Abstrct nd Applied Anlysis, ,