FUNGSI TRIGONOMETRI DALAM GEOMETRI TAKSI

Transkripsi

1 FUNGS TRGONOMETR DALAM GEOMETR TAKS Al Kausar Oki Neswan Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMPA-TB, Kelompok Keahlian Matematika Geometri FMPA - TB Alka_saliwu@yahoocom, oneswan@mathitbacid ABSTRAK : Geometri taksi (taxicab geometry) adalah salah satu geometri non- Euclid, dimana jarak antara dua titik bukan merupakan panjang dari segmen garis seperti dalam geometri Euclid, tetapi jumlah dari nilai mutlak selisih koordinat dari A B yaitu Pada makalah ini kami membahas konsekuensi penggunaan konsep jarak tersebut pada pengertian sudut, relasi trigonometri, fungsi trigonometri khususnya fungsi sinus cosinus Kami memberikan deskripsi rumus fungsi sinus cosinus jumlah selisih dua sudut Selanjutnya diberikan rumus jumlah selisih sinus cosinus Kata Kunci : Jarak taksi, sudut, kuadran, lingkaran satuan, fungsi sinus cosinus Geometri taksi (taxicab geometry) pertama kali diperkenalkan oleh Herman Minkowski ( ) yang berkebangsaan Jerman Geometri taksi pada dasarnya menyiratkan tentang studi sebuah kota yang ideal dengan semua jalan adalah horizontal atau vertikal Misalkan seorang sopir taksi berangkat dari kota A ke kota B, dimana semua jalan dapat digunakan maka sopir taksi mulai dari A dapat mengambil cara yang berbeda, yang memiliki jarak yang sama untuk sampai ketujuan B Geometri taksi mendapat perhatian kembali pada tahun 1975, ketika Krause menerbitkan sebuah buku Taxicab Geometry Dalam bukunya, Krause (1986) mendefinisikan jarak antara dua titik adalah Akibat dari fungsi jarak tersebut, sifat kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku Karena keunikannya itu, penelitian tentang geometri taksi terus dikembangkan Akca Kaya (1997) Thompson Dray (2011) telah mengembangkan/menuliskan masalah trigonometri dalam geometri taksi Berdasarkan tulisan mereka, kami mencoba mengembangkan fungsi trigonometri dalam geometri taksi khususnya fungsi sinus cosinus sampai pada rumus jumlah selisih sinus cosinus yang tidak termuat dalam tulisan mereka 1 Teori Dasar 21 Jarak antara Dua Titik Jarak taksi antara titik didefinisikan sebagai Adapun hubungan jarak antara dua titik di geometri Euclid di geometri taksi, Colakoglu Kaya (2008) memberikan teorema pada makalah ini diberikan bukti yang lebih detail Teorema 21 Misalkan diberikan 2 titik berbeda yaitu, maka 1, jika 906

2 907, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni , jika dengan m adalah gradien ruas garis AB Bukti : Misalkan maka 1 Jika maka 2 Jika, maka dengan sebab Kemudian kalikan bentuk terakhir dengan bentuk satu lainnya, yaitu untuk memperoleh 22 Panjang Kurva Pada geometri Euclid, panjang kurva dari suatu fungsi f yang terdefinisi pada selang [a,b] diberikan oleh Untuk menemukan formula dari panjang kurva pada geometri taksi, digunakan metode tradisional yakni membagi kurva menjadi n bagian, (Thompson, 2011) Pertama, pang suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak perlu panjangnya sama) memakai titik-titik andaikan Selanjutnya, nilai-nilai fungsi f untuk titiktitik berturut-turut dimisalkan seperti pada gambar berikut : Pada tiap selang bagian menurut geometri taksi panjang kurva Menurut teorema nilai rata-rata, terdapat titik diantara sedemikian sehingga Dengan demikian panjang kurva dari ke menjadi sehingga panjang kurva adalah ( ) Selanjutnya, tetapkan P menyatakan panjang selang bagian yang terpanjang dari partisi P Jika P semakin kecil atau dapat ditulis P 0 maka panjang kurva menjadi

3 Kausar Neswan, Fungsi Trigonometri, 908 Ruas kanan dari persamaan ini memenuhi definisi dari integral tentu, sehingga panjang kurva fungsi pada interval adalah Teorema 22 (Thompson, 2011) Jika suatu fungsi monoton naik atau turun terdeferensialkan pada titik-titik dalam selang, maka panjang kurva pada interval adalah Grafik dari lingkaran terdiri dari empat ruas garis dengan persamaan : Bukti: Panjang kurva dari fungsi interval adalah pada Jika monoton naik maka, sehingga Keliling lingkaran yang berjari-jari r dapat ditentukan dengan menggunakan rumus jarak taksi diantara dua titik, sebagai berikut : Jika monoton turun maka, sehingga Dari kedua kasus 23 Lingkaran Lingkaran adalah himpunan semua titik yang berjarak tetap terhadap titik tertentu (pusat lingkaran) Lingkaran taksi dengan pusat P jari-jari r dapat dituliskan dalam bentuk Jika maka Khususnya, bila maka dapat digambarkan sebagai berikut : Dapat juga menghitung panjang dengan menggunakan rumus dari panjang kurva Garis dipang sebagai fungsi dengan persamaan Sehingga panjang adalah Diperoleh panjang satuan Dengan demikian keliling lingkaran taksi yang berjari-jari satuan adalah satuan Lingkaran yang berjari-jari 1 satuan dengan pusat O(0,0) akan dinamakan sebagai lingkaran satuan

4 909, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni 2013 Ada yang menarik/aneh dari panjang kurva yang diberikan oleh Thompson (2011) Sebagai contoh, lingkaran taksi lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama Telah diketahui bahwa lingkaran taksi berjari-jari pada kuadran adalah kurva atau garis dengan persamaan Maka panjang kurva adalah Adapun hubungan sudut taksi sudut Euclid, Thompson Dray (2011) memberikan teorema berikut : Teorema 23 Misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran t adalah sudut taksi, maka Bukti : Dengan menggunakan lingkaran satuan, misalkan α adalah sebuah sudut Euclid pada posisi standar di kuadran, garis dari titik pusat sehingga berpotongan dengan lingkaran yaitu garis terminal dengan persamaan seperti pada gambar berikut : Segkan pada lingkaran Euclid yang berjari-jari, diketahui bahwa pada kuadran memiliki kurva dengan persamaan sehingga panjang kurva adalah ( ) Diperoleh bahwa kurva dengan persamaan memiliki panjang yang sama Akibatnya, lingkaran taksi lingkaran Euclid yang berjari-jari satuan memiliki keliling yang sama yaitu satuan 24 Sudut Sebuah sudut pada pusat lingkaran satuan yang dibentuk oleh penyadapan busur lingkaran sepanjang satuan memiliki besar sudut -radian Thompson Dray (2011) menyatakan bila sudut Euclid, π dalam posisi standar, di geometri taksi sekarang memiliki ukuran masingmasing 1, 2, 4 Misalkan t adalah sudut taksi, Dengan proses yang sama seperti pada pembuktian Teorema 23 hubungan untuk di kuadaran, atau yakni :

5 Kausar Neswan, Fungsi Trigonometri, 910 sama dengan dipahami bahwa Dengan mudah dapat Selanjutnya, misalkan diketahui sudut seperti pada gambar berikut : atau Maka dinamakan sebagai sudut dengan referensi, dengan adalah sudut pada posisi standar Pada pembahasan selanjutnya, sudut yang akan dibahas adalah sudut dengan referensi 3 Fungsi Trigonometri Misalkan adalah suatu pemetaan dari ke lingkaran taksi seperti gambar berikut : Pada pemetaan di atas merupakan fungsi 1-1 pada, selanjutnya dikatakan sebagai fungsi trigonometri (Akca Kaya, 1997) 31 Fungsi Sinus Cosinus pada Big Geometri Taksi Misalkan sebuah sudut pada posisi standar sebuah titik di luar lingkaran dengan, maka didefinisikan perbandingan (rasio) trigonometri Untuk tiap adalah titik pada lingkaran taksi sehingga total panjang kurva dari ke dalam arah berlawanan jarum jam

6 911, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni 2013 Diperoleh empat sistem persamaan yaitu Asumsikan titik bayangan merupakan pencerminan dari terhadap sumbu Akibatnya, bila ) maka Pada sistem persamaan 1, jika mengeliminasi maka jika mengeliminasi maka Sehingga Dengan cara yang serupa untuk sistem persamaan 2, 3 4 Selanjutnya, semua solusi dari keempat sistem persamaan di atas disubstitusi pada perbandingan trigonometri nilai fungsi sinus cosinus sebagai berikut : Selanjutnya, dengan menggunakan aturan sudut negatif nilai fungsi trigonometri relasi trigonometri Thompson Dray (2011) menuliskan relasi trigonometri seperti pada tabel berikut : Tabel 1: Relasi Trigonometri Untuk sudut negatif, pang jari-jari pada lingkaran satuan berputar searah jarum jam maka sudut yang terbentuk adalah negatif, seperti pada gambar berikut : Fungsi sinus cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan, untuk setiap bilangan bulat Sehingga grafiknya

7 Kausar Neswan, Fungsi Trigonometri, 912 berulang setiap satu putaran, yaitu setiap 8 radian dapat dilihat pada gambar berikut : 32 Fungsi Cosinus Jumlah Dua Sudut Misalkan ada dua sudut maka akan ada 10 situasi, salah satunya di kuadran di kuadran yang dapat dinotasikan Karena kekongruenan SAS (sisi sudut sisi) tidak berlaku, maka untuk membuktikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut digunakan situasi-situasi dari, dimana sudut dengan referensi 0 Thompson Dray (2011) memberikan teorema berikut : Teorema 31 ( ), dimana akan dipenuhi untuk tanda positif ketika t s berada pada sisi yang berbeda dari sumbu X dengan sumbu Y yang sama atau t s pada kuadran yang sama, jika tidak maka memenuhi tanda negatif Bukti : Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan karena jika sebuah sudut terletak di luar maka terdapat sehingga dapat digunakan relasi Untuk tanda positif Cara yang serupa untuk kasus yang lain Untuk tanda negatif, berarti ada 4 kasus yaitu ; ; ; Kasus : t, s berarti, sehingga Cara yang serupa untuk kasus yang lain Sehingga untuk semua kasus dapat dideskripsikan rumus fungsi cosinus jumlah dua sudut secara lengkap melalui tabel berikut : Tabel 2: Rumus t s t + s, berarti ada 6 kasus yaitu ; ; ; ; ; Kasus : t, s berarti, sehingga

8 913, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni 2013 t s t + s Sebagai akibat dari Teorema 31 aturan untuk sudut ganda Tabel 3: Rumus dari t s t + s Akibat 32 Bukti : 33 Fungsi Sinus Jumlah Dua Sudut Berdasarkan Teorema 31 serta relasi dapat diturunkan rumus fungsi sinus jumlah dua sudut sebagai berikut : Akibat 33 Selanjutnya dengan menggunakan informasi dari tabel 2 relasi, deskripsi rumus fungsi sinus jumlah dua sudut untuk semua kondisi dari t s sebagai berikut: 34 Fungsi Cosinus Selisih Dua Sudut Berdasarkan Teorema 31 dapat diturunkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut sebagai berikut :, karena maka ( ) Adapun rumus, untuk semua kondisi dari t s dideskripsikan pada tabel berikut :

9 Kausar Neswan, Fungsi Trigonometri, 914 Tabel 4: Rumus t s Adapun rumus, untuk semua kondisi dari dideskripsikan pada tabel berikut : Tabel 5: Rumus t s Dapat dilihat bahwa rumus dari memiliki bentuk yang sama dengan rumus, namun pada penggunaannya perlu diperhatikan kuadran letak sudut sebab akan berbeda untuk setiap kondisi 35 Fungsi Sinus Selisih Dua Sudut Berdasarkan rumus fungsi cosinus selisih dua sudut relasi, dapat diturunkan rumus fungsi sinus selisih dua sudut sebagai berikut : karena maka ) ( 36 Jumlah Selisih Cosinus Rumus jumlah selisih cosinus, ditentukan dengan menggunakan informasi dari tabel 2 tabel 4 Misalkan :, jika keduanya dijumlahkan maka

10 915, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni 2013 jika dikurangkan maka Dalam hal ini, perlu diselidiki semua kemungkinan dari kondisi t s yang memenuhi yaitu yaitu ; ; ; ; ; tanda positif berlaku jika pada kuadran yang sama, atau berada pada sisi yang berbeda dari sumbudengan sumbu- yang sama Untuk kondisi yang lain memenuhi tanda negatif Untuk kasus, ; ; Segkan rumus selisih cosinus dideskripsikan pada tabel berikut : Tabel 7 : Rumus Jika kedua persamaan dijumlahkan Jika kedua persamaan dikurangkan Dengan cara yang serupa untuk kasus yang lain sehingga untuk semua kondisi, rumus jumlah cosinus dapat dideskripsikan pada tabel berikut : Tabel 6 : Rumus a B Sehingga untuk semua kondisi a b, rumus dari dapat ditulis Dari tabel 7 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat pada saat tergantung dari kuadran letak Pada kondisi maupun pada saat,, baik pada saat Segkan pada kondisi, baik pada saat pada saat, maupun

11 Kausar Neswan, Fungsi Trigonometri, 916 Sehingga untuk semua kondisi, rumus dari dapat ditulis sama ), masing-masing untuk tanda yang 37 Jumlah Selisih Sinus Dengan cara yang serupa seperti pada penyelidikan rumus jumlah selisih cosinus, menggunakan informasi dari tabel 3 tabel 5 : 1 Rumus jumlah sinus ( 2 Rumus selisih sinus Untuk semua kondisi dari a b dideskripsikan melalui tabel berikut : Tabel 9 : Rumus a B Untuk semua kondisi dari a b dideskripsikan melalui tabel berikut : Tabel 8 : Rumus a B Dari tabel 9 di atas, tampak 2 hasil yang berbeda pada saat pada saat sama halnya seperti pada tabel 7 tergantung dari kuadran letak Untuk, pada kondisi, tetapi pada kondisi

12 917, KNPM V, Himpunan Matematika ndonesia, Juni 2013 Segkan untuk kondisi tetapi pada kondisi DAFTAR RUJUKAN, pada, 4 Kesimpulan Fungsi sinus cosinus merupakan fungsi periodik dengan perioda 8 sehingga dapat dituliskan, untuk setiap bilangan bulat Selanjutnya dalam penggunaan rumus fungsi sinus cosinus jumlah selisih dua sudut, serta rumus jumlah selisih sinus cosinus perlu diperhatikan kuadran letak sudut Akca, Z Kaya, R 1997 On The Taxicab Trigonometry Jour of nst of Math & Comp Sci [Math Ser] Vol 10, No 3 (1997) Colakoglu, H B Kaya, R 2008 Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem ΠME Journal Vol 12 No 9, pp Krause, F E 1986 Taxicab Geometry Dover Publications, nc, New York Thompson, K 2011 The Nature of Length, Area, and Volume in Taxicab Geometry arxiv: v1 [mathmg] 14 Jan 2011 Thompson, K Dray, T 2011 Taxicab Angles and Trigonometry arxiv: v1 [mathmg] 14 Jan 2011