RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI

Transkripsi

1 RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI Novianto dan Oki Neswan SMA Negeri 1 Banawa Kabupaten Donggala Propinsi Sulawesi Tengah, Program Studi Magister Pengajaran Matematika FMIPA- ITB Anthomanda@ymail.com, oneswan@math.itb.ac.id ABSTRAK: Pada geometri taksi jarak antara dua titik dan didefinisikan sebagai dan disebut sebagai jarak taksi. Pada tulisan ini dikembangkan pengertian jarak taksi antara titik dan garis, serta hubungannya jarak Euclid antara titik dan garis. Selanjutnya hubungan di atas digunakan untuk menentukan luas segitiga menggunakan jarak taksi. Kata kunci: Jarak Euclid, jarak taksi, dan luas segitiga. Taxicab geometry pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman yang bernama Herman Minkowski. Ia ingin membuktikan dalam kasus ini bahwa dalam menentukan jarak terpendek dari satu tempat ke tempat yang lain tidak selalu menggunakan sisi miring. Cara terbaik untuk memikirkan idenya adalah memikirkan sebuah taksi pergi dari satu tempat ke tempat yang lain, sehingga dinan Geometri Taksi (Poore, 2006). Pada dasarnya geometri taksi hampir sama geometri koordinat Euclid, dimana titik, dan garis yang sama, serta ukuran sudut yang sama, hanya saja fungsi jarak yang berbeda. Jarak dalam geometri taksi didefinisikan sebagai penjumlahan nilai mutlak jarak vertikal dan nilai mutlak jarak horisontal antara dua titik (Krause, 1986). Hal inilah paling mendasar, yang membedakan jarak pada geometri taksi jarak dalam bidang Euclid. Dalam geometri taksi jarak di notasikan sebagai sedangkan jarak dalam bidang Euclid di notasikan sebagai Misal diketahui dua buah titik dan jarak antara titik dan titik adalah dan Dalam tulisan ini, diberikan bukti lengkap jarak antara dua titik (hubungan antara jarak Euclid dan jarak taksi), jarak titik ke garis dan bukti berbeda untuk menentukan luas segitiga dalam geometri taksi. JARAK ANTARA DUA TITIK (hubungan antara dan ) Hubungan antara dan beserta sketsa buktinya dapat di lihat dalam (Çolakoğlu dan Kaya, 2008). Kami akan memberikan bukti lengkap hubungan tersebut dalam Teorema 1. Teorema 1. Jika dan dua titik yang berbeda, 1. jika 2. jika gradien. Bukti : Pertama, asumsikan Misalkan Selanjutnya adalah 886

2 887, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013 Karena akibatnya Selanjutnya untuk bagian kedua asumsikan dan misalkan Maka Hubungan terakhir diperoleh karena Selanjutnya bentuk terakhir dapat dikalikan bentuk satu lainnya, yaitu untuk memperoleh Karena pada umumnya, kita peroleh bahwa. JARAK TITIK KE GARIS DALAM GEOMETRI TAKSI Untuk kasus jarak titik ke garis dalam geometri taksi, berbeda jarak dalam Euclid. Jarak taksi, sangat dipengaruhi oleh kemiringan garis atau gradient garis. Adapun Lemma jarak titik ke garis dapat di lihat dalam (Kaya dkk, 2000) dan bukti lengkapnya dapat di lihat dalam tesis (Novianto, 2013). Dengan mengacu pada Teorema 1, akan diberikan rumus jarak taksi antara titik dan garis. Definisi. Secara umum, jika adalah sebuah titik, dan sebuah himpunan, jarak taksi antara dan adalah jarak dari ke titik di yang terdekat ke jika ada. Notasi untuk jarak taksi antara titik, dan himpunan adalah. Dengan demikian Jika adalah sebuah garis Euclid dan sebuah titik, ( ) Selanjutnya akan dibuktikan bahwa jarak taksi antara titik dan garis adalah minimum dari jarak vertikal dan jarak horisontal, seperti yang di tuliskan dalam teorema berikut. Teorema 2. Jika sebuah garis, dan adalah sebuah titik, { }

3 Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 888 { } Dengan merupakan proyeksi vertikal titik ke garis dan merupakan proyeksi horisontal titik ke garis Untuk membuktikan teorema tersebut di butuhkan beberapa lemma sebagai berikut. Asumsikan kasus nontrivial Maka Berdasarkan Lemma 1, akan di selidiki jarak titik ke garis menyelidiki beberapa kasus. Kasus 1. Jika Kasus 2. Jika Kasus 3. Jika Dari masing-masing kasus tersebut akan di selidiki titik berada di atas garis, dan di bawah garis. Penyelidikan hanya di batasi pada dan untuk kasus yang lain telah di buktikan secara lengkap dan dapat di lihat dalam tesis (Novianto, 2013). Misalkan adalah sebuah garis dan adalah sebuah titik berada diatas garis. Dengan mensubtitusi pada, diperoleh Lemma berikut merupakan akibat langsung dari hubungan di atas. Lemma 1. Misalkan adalah sebuah garis dan adalah sebuah titik, jika jika jika Pilih sebarang titik pada garis Subkasus 1. Maka. Karena. ( ) ( ) ( )

4 889, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013 Subkasus 2. Karena Jadi Subkasus 3. Dengan cara serupa, jika. ( ) ( ) Subkasus 1. Subkasus 2. Asumsi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Maka, secara umum, Selanjutnya hubungan ini akan di buktikan untuk kasus jika titik berada dibawah garis memberikan ( ) ( ) Subkasus 3. Maka, dapat disimpulkan bahwa untuk tiap titik pada garis gradient berlaku Dengan cara serupa, dapat di buktikan bahwa untuk berlaku Dengan demikian, jika sama jarak horizontal ke garis

5 Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 890 Lemma 2. Jika, dan sebuah titik, Untuk kasus cara serupa dapat dibuktikan bahwa jarak untuk untuk tiap titik pada garis gradient berlaku Maka, Lemma Jika Untuk kasus sebagai akibat dari kedua lemma di atas, diperoleh Lemma 4. Jika Karena persamaan garis adalah koordinat titik ( ()) dan Jadi, jarak ( ) adalah { } Selanjutnya akan ditentukan hubungan jarak di Euclid dan jarak taksi menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku. RUMUS LUAS SEGITIGA DALAM GEOMETRI TAKSI Luas segitiga dalam geometri taksi pengaruhi oleh jarak, dan gradient sisi alas. Dalam (Kaya, 2006) dijelaskan tentang proposisi dan bukti luas segitiga dalam geometri taksi. Kami menggunakan hubungan pada Teorema 2 memberikan bukti cara berbeda dalam menentukan luas segitiga dalam geometri taksi. Misal titik dan Setiap segitiga memiliki sisi yang tidak vertikal. Jadi, dapat diasumsikan bahwa gradient. Maka persamaan garis Pandang misal Maka diperoleh adalah Dengan cara serupa, pandang Maka diperoleh Dari dan diperoleh hubungan ( ) { } ( ) Selanjutnya mensubtitusi jarak ( ) pada dan diperoleh dan ( ) ( ) {

6 891, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013 } Asumsikan merupakan alas dari demikian Selanjutnya mensubtitusi dan pada rumus, diperoleh rumus luas dalam geometri taksi adalah ( ) ( { }) PENGGUNAAN RUMUS HERON DALAM GEOMETRI TAKSI Untuk penggunaan rumus Heron dalam geometri taksi dapat di lihat dalam (Kaya dan Çolakoğlu, 2003). Selanjutnya dalam tulisan ini, dibuktikan penggunaan rumus Heron cara yang berbeda menggunakan Teorema 1. Misal di ketahui titik dan Misalkan gradient garis dan dan misalkan sisi segitiga, dan Asumsikan sejajar sumbu- Maka dan setengah keliling segitiga adalah dan setengah keliling segitiga bidang Euclid adalah dalam Dengan demikian luas ( ( ) ) ( ( ) )

7 Novianto dan Neswan, Rumus Luas Segitiga, 892 Dengan cara serupa jika sisi segitiga tidak sejajar sumbu koordinat, setengah keliling segitiga adalah Akibatnya luas adalah, ( ( ) ) Berdasarkan jarak taksi antara titik dan garis, diperoleh hubungan dalam menentukan rumus luas dalam geometri taksi. Diberikan dan Maka luas adalah ( ) ( { }) Selanjutnya untuk penggunaan rumus Heron dalam geometri taksi, jika di ketahui sisi dan, dan setengah keliling dari segitiga dalam bidang Euclid adalah ( ( ) ) ( ( ) ) KESIMPULAN Konsep jarak dalam geometri taksi sangatlah berbeda konsep jarak dalam geometri Euclid. Jika sebuah garis dan adalah sebuah titik, jarak taksi antara titik dan garis adalah { } { dan gradient garis adalah luas adalah ( ( ) ) ( ( ) ) dan } ( ( ) ) DAFTAR RUJUKAN Çolakoğlu, H.B. dan Kaya, R Taxicab Versions of the Pythagorean Theorem ΠME Journal, Volume 12,No.9, pp Krause, F. E Taxicab Geometry. Dover Publications, New York. Kaya, R.V., AkÇa, Z., G naltili, İ., dan zcan, M General Equation for Taxicab Conics and Their Classification, Mitt.Math.Ges Hamburg 19,

8 893, KNPM V, Himpunan Matematika Indonesia, Juni 2013 Kaya, R Area Formula for Taxicab Triangles, ΠME Journal,Volume 12 No. 4, pp Novianto Luas Segitiga Dalam Geometri Taksi. (Tesis akan di terbitkan). Bandung: Program studi magister pengajaran matematika FMIPA-ITB. Ӧzcan, M. dan Kaya, R Area of Triangle in Terms of the Taxicab Distance, Missouri J of Math.Sci.,Vol.15, Poore, K.L Taxicab Geometry, Tesis Master, University of Nebraska-Lincoln.