GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd
|
|
|
- Hengki Hermawan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susnt MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN
2 KATA PENGANTAR Puji sukur dipnjtkn kehdirt Allh SWT ts segl rhmt tufiq dn hidh-n ng telh dilimphkn sehingg terselesiknn uku pegngn kulih untuk mt kulih Gemetri Anlitik Rung. Mt Kulih ini memut mteri tentng gris lurus persmn l lusn putrn dn lusn erderjd du. Selnjutn penulis mendri hw uku ini msih elum sempurn; untuk itu dimhn tnggpn ik erup kritik dn srn kepd pem demi keikn uku pegngn kulih ini. Akhirn mudh-mudhn uku ini ermnft gi pem. Penulis ii
3 DAFTAR ISI Hl. HALAMAN JUDUL.. KATA PENGANTAR. DAFTAR ISI.. i ii iii BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA. Titik dlm Rung Dimensi Tig Jrk Du Titik.. Vektr Dlm Rung Dimensi Tig. 5 Hsil Kli Silng Du Vektr. 9 BAB II GARIS LURUS.. Letk Gris Lurus Terhdp Bidng Dtr 4 Jrk Du Gris Bersilngn.. 9 BAB III PERSAMAAN BOLA..... Bidng Singgung Pd Bl. 4 BAB IV LUASAN PUTARAN Sutu Ellips di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X 7 Sutu Prl di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X. 9 Sutu Hiperl di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X... Sutu Gris Lurus di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Sutu Lingkrn di Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X... 4 Lusn Putrn Dengn Sumu Putr Gris Semrng 5 BAB IV LUASAN BERDERAJAT DUA.. 9 DAFTAR KEPUSTAKAAN. 56 iii
4 BAB I TITIK DAN VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA. Titik Dlm Rung Dimensi Tig Ad eerp r menentukn letk sutu titik dlm rung dimensi tig. Cr-r terseut didsrkn pd penetpn ptkn mul ng digunkn. Dlm tulisn ini dlm menentukn letk sutu titik menggunkn sistem krdint krtesius siku-siku. Ptkn mul ng dimil dlm krdint krtesius dimensi tig dlh tig gris lurus ng sling tegk lurus ng dinmkn sumu sumu dn sumu. Meskipun letk gris-gris ng sling tegk lurus ini dpt dimil sesuk hti kit nmun dimil kesepktn segi erikut: sumu dimil mendtr rh ke knn merupkn rh psitif dn ke kiri merupkn rh negtif. Sumu dn sumu terletk pd kerts kit; sedngkn sumu tegk lurus pd kerts dn mellui titik ptng sumu dn sumu. Sumu ng menuju kit segi rh psitif dn rh lwnn segi rh negtif. Pengturn sistem seperti ini dinmkn sistem tngn knn. Hl ini kren jik empt jri tngn knn dikeplkn sehingg melengkung dri sumu psitif ke rh sumu psitif dn iu jri kn mengrh ke sumu psitif. Ketig sumu terseut menentukn tig idng itu idng idng dn idng. Ketig idng ini memgi rung menjdi delpn ktn itu ktn-ktn I II III IV... VIII. Oktn-ktn I II III dn IV di ts idng dn linn di wh idng. Oktn-ktn V VI VII dn VIII erturut-turut tept di wh ktn-ktn I II III dn IV. Letk sutu titik ditentukn leh jrk titik itu ke idng-idng krdint dn sert diliht pkh rh psitif tu negtif. Oleh kren itu sutu titik tertentu leh psngn (tripel tig ilngn misln titik P(. Psngn pertm itu diseut krdint tu sis. Psngn kedu itu diseut krdint tu rdint dn psngn ketig diseut krdint tu
5 plikt. Titik-titik P( 4 dn Q(4 - erturut-turut terletk dlm ktn I dn II. Titik O( diseut titik sl. Setip pd sumu rdint dn pliktn nl sedng sutu titik ng terletk pd idng pliktn nl. Selnjutn untuk menggmr seuh titik kit tidk perlu menggmr lk tetpi ukup dengn tig rus gris ng mentkn pnjng sis rdint dn pliktn. Segi nth perhtikn krdint T( 5 4 segi erikut. Z T(54 Y X Gmr. Setip titik ng pliktn psitif terletk di ts idng dn jik pliktn negtif terletk di wh idng. Demikin jug untuk idng-idng ng lin ( dn. Cnth.. Titik A( --4 terletk di ktn VI Titik B( 4 - terletk di ktn V Titik C( terletk di ktn VII Titik D(-4-6 terletk di ktn III
6 . Jrk Du Titik Perhtikn gmr. diwh ini. Akn ditentukn jrk titik sl O ke titik P(. OA AB dn BP. Z P( Y X Gmr. Perhtikn OAB ng siku-siku di A mk OB OA AB Selnjutn pd OBP ng siku-siku di B erlku hw OP OB BP OP OP Jrk titik O ke titik P(. Selnjutn kn ditentukn rumus jrk du titik serng misln titiktitik P( dn Q(. Perhtkn gmr. di wh ini. Z Q( P(
7 D A Y B C X Gmr. AB BC DQ Segitig ABC siku-siku di B mk AC AB BC AC PD AC Segitig PDQ siku-siku di D mk PQ PD DQ PQ PQ Rumus dits dlh rumus jrk ntr P( dn Q(. Cnth.. Tentukn jrk ntr titik-titik P( - dn Q(5 5 7 Jw: PQ PQ ( 5 (5 (7 PQ PQ 9 4
8 . Vektr Dlm Rung Dimensi Tig Dlm rung dimensi tig sutu titik dintkn dengn tig kmpnen itu sis rdint dn plikt. Misln titik D( ; vektr psisi terhdp titik O dri D ini dlh d = i j k. Vektr-vektr sis i j k erturut-turut dlh vektr-vektr stun ng serh dengn sumu-sumu psitif psitif dn psitif. Selnjutn semu definisi dn terem vektr pd idng sm dengn definisi dn terem vektr dlm rung. Dlm hsn ini hn dierikn nth-nth untuk vektr dlm rung. Cnth.. Jik 4 dn 5 mk ( + = 4 = 5 = 7 7 ( 5 = 9 8 Untuk rumus perndingn erlku hw jik dlh vektr psisi titik A dn dlh vektr psisi titik B sert titik C terletk pd rus gris AB sedemikin hingg AC : CB m : n mk vektr psisi titik C dlh n m m n Apil vektr psisi titik C dlh mk diperleh huungn n m m n n m n m n m m n n m m n n m m n n m m n 5
9 Jdi n m ; m n n m m n ; n m m n Cnth.4. Segitig OAB dengn O titik sl A(4 - dn B( Titik D terletk pd sisi AB sedemikin hingg AD : DB :. Tentukn krdint titik D. Jw: Mislkn D mk D D D Jdi.4.6 ( D D D 5 5.(.(..( 6 D Apil mk pnjng vektr ng ditulis dengn dlh Jik dlh vektr psisi titik A dn dlh vektr psisi titik B mk AB - AB ( ( ( Jik u u u u dn v v v v mk perklin titikn didefinisikn sm dengn pd vektr di idng itu: u v u v s dengn 6
10 Dn dengn mengingt i j dn k mk mudh dimengerti hw: i j j k i k dn i i j j k k Sehingg dpt diturunkn segi erikut: u v u u u. v v v u v uv uv uv dn hsil kli du vektr ini erup sklr. Selnjutn jik du vektr sling tegk lurus mk hsil kli titikn sm dengn nl; selikn jik hsil kli titik dri du vektr ng ukn vektr nl sm dengn nl mk du vektr terseut sling tegk lurus. Hl ini dpt ditulis segi erikut: u v u v tu u tu v Cnth.5. Dikethui vektr-vektr dn - 4. Tunjukkn hw ketig vektr ini dpt merupkn sisi-sisi sutu segitig siku-siku. Jw: Untuk menunjukkn hw ketig vektr mementuk sutu segitig d du pertimngn itu: ( jumlh ketig vektr sm dengn vektr nl; tu ( slh stu vektrn sm dengn jumlh du vektr linn. Mengingt hw. Mk ketig vektr mementuk segitig. Selnjutn ditunjukkn hwsegitig terseut dlh segitig siku-siku. Kren =. + (-. +.(-4 = mk sehingg segitig terseut dlh segitig siku-siku. Untuk menentukn esrn sudut ng dientuk leh du vektr u u u u dn v v v v itu: s u v u v 7
11 tu s u u u v u u v u v v v v dlh sudut ng dientuk leh u dn v Cnth.6. Dikethui u - dn v -. Ntkn u segi jumlh sutu vektr ng sejjr v dn vektr ng tegk lurus pd v. Jw: Gmr.4 erikut ini memerikn ilustrsi dri ketentunketentun dlm sl dengn mengmil // v dn v. dlh preksi u pd v mk u v v - - v = - v 9 u v Gmr.4 u Untuk memeriks keenrn perhitungn ini tunjukkn hw tegk lurus itu. 8
12 .4 Hsil Kli Silng Du Vektr Perhtikn gmr.5 erikut ini. O Gmr.5 Dikethui i j k dn i j k sert dlh sudut ng dientuk leh dn dengn di silng didefinisikn segi erikut:. Hsil kli silng dri dn ditulis = sin u dengn u dlh vektr stun ng tegk lurus dengn dn dn mengikuti turn pd sistem tngn knn. Memperhtikn definisi terseut kren u dlh vektr stun mk = sin Kren rh u ditentukn dengn turn pd sistem turn tngn knn mk dpt disimpulkn hw: = sin. ( u = - sin. u = -( Sehingg diperleh huungn hw: = -( (sift nti kmuttif Dri definisi di ts jik dn sejjr itu = mk 9
13 = u sin = Mk dpt disimpulkn hw du vektr ng tidk nl dlh sejjr jik dn hn jik hsil kli silngn sm dengn nl. Hsil kli silng vektr-vektr ersift distriutif terhdp penjumlhn vektr itu: ( ( ( ( ( ( (uktikn segi ltihn Selnjutn kn diperleh hsilkli silng untuk vektr-vektr stun k dn j i dengn menerpkn definisi hsil kli silng di ts segi erikut. i j = k j i. sin i j = k Dengn r ng sm diperleh j i k i k j j k i i j k k i j k k j j i i Sekrng kn diri hsil kli silng dri k j i dn k j i = ( k j i ( k j i = ( k j i i ( k j i j ( k j i k = i j i k j k = ( ( ( k j i = k j i = k j i
14 Dengn mengingt kemli r menghitung determinn dengn menggunkn kfktr-kfktr ris pertm. Selnjutn dengn mengingt sift determinn hw pil du ris sutu determinn ditukrkn mk determinn ng linn negtif dri nili determinn semul. = i j k = - i j k = -( (ukti sift nti kmuttif Cnth.7. Dikethui Hitunglh ; ;. Jw: = i j 4 k = i - 4 j + k 4 = i j k i j = ( i j ( i j k ( i 4 j k (i j
15 BAB II PERSAMAAN GARIS LURUS Pd gmr diwh ini l dlh gris ng mellui titik P ( dn sejjr dengn vektr v i j k. Untuk menentukn persmn gris l dimil serng titik P( pd gris l mk P P // v dn P P tv dengn t ilngn rel. Jik vektr-vektr psisi titik P dn P terhdp O dlh r dn r mk P P r r dn kren P P tv mk r r r r tv tv Z P P r r v Y X Kren r dlh vektr psisi serng titik P pd gris l dn memenuhi persmn terkhir mk setip titik P pd gris l kn memenuhi persmn terseut. Dengn kt lin persmn gris l ng mellui P ( dn sejjr vektr v = < > dlh r r tv Selnjutn persmn ini diseut persmn vektr gris l Atu
16 t t t t t t t ; ; Selnjutn persmn ini diseut persmn prmetrik (knnik dri gris l. Apil prmeter t dri persmn prmetrik ini dihilngkn mk diperleh. Selnjutn diseut persmn simetrik gris l dengn ilngn rh dn mellui titik (. Persmn prmetrik terseut terdiri dri du persmn itu dn Cnth Tentukn persmn simetrik dri gris ptng idng-idng 5 = -4 dn = 8. Jw Dri du persmn idng terseut jik dihilngkn diperleh + = 8. Jik dihilngkn mk diperleh =. Selnjutn dri du persmn ini dpt disusun persmn simetrikn itu 8 tu
17 Selnjutn dpt diri persmn gris mellui du titik. Mislkn titik A( dn B(. Vektr-vektr psisi titik-titik A dn B msing-msing dlh = < > dn = < dengn gris ng mellui A dn B. Dengn mengmil serng titik R( pd gris terseut ng vektr psisin dlh r = < >. Mk persmn vektr gris AB dlh r = + t( dengn t ilngn rel. < > = < > + t< > = + t( = + t( = + t(. Selnjutn persmn ini diseut persmn pr metrik gris AB. Dengn menghilngkn prmeter t dri persmn prmetrik terseut kn diperleh persmn simetrik dri gris AB segi erikut Cnth Tentukn persmn gris lurus ng mellui titik A( dn B(5 - - Jw Persmn gris lurus ng mellui A dn B dlh 5 Letk Gris Lurus Terhdp Bidng dtr Ad tig kemungkinn ng terjdi letk sutu gris terhdp sutu idng dtr itu gris memtng idng gris sejjr idng dn gris terletk pd idng. Perhtikn seuh gris l = Dn seuh idng = A + B + C + D = 4
18 Mislkn gris l dn idng terseut erptngn mk krdint titik ptngn diri dengn menelesikn dn dri tig persmn terseut. Slh stu r menelesiknn dengn memislkn hw = t = + t = + t = + t disustitusikn pd persmn idng mk diperleh A( + t + B( + t + C( + t + D = (A + B + Ct + A + B + C + D = Apil A + B + C mk kn diperleh nili t sehingg krdint titik ptng gris dn idng diperleh dengn mensustitusikn nili t kedlm persmn gris ng memut t. Jik A + B + C + D = dn A + B + C mk titik ptng gris dn idng dlh (. Jik A + B + C = dn A + B + C + D mk gris dn idng kn sejjr. Jik A + B + C = dn A + B + C + D = mk gris terletk pd idng Apkh srt ng hrus dipenuhi gr gris l tegklurus pd idng? Gris l tegklurus idng pil vektr rh gris l sejjr dengn vektr nrml idng. Vektr rh gris l dlh m = < > dn vektr nrml idng dlh n = <A B C>. Mk gris l tegk lurus idng pil m = kn dengn k sutu ilngn rel. Cnth Crilh persmn idng ng memut gris = + t = - + t = 4 + t dn titik (
19 Jw Amil du titik pd gris dengn r memeri hrg t misl t = dn t = kn diperleh titik-titik ( - 4 dn ( 5. Selnjutn persmn idng ng diri dlh persmn idng ng mellui titik-titik ( - 5 ( - 4 dn ( 5 itu = Penelesin r lin itu dengn menggunkn vektr rh gris itu m = < > dn seuh titik ( - 4 pd gris sert titik ( - 5 ng dikethui. Du titik ini menentukn vektr u = < >. Vektr nrml idng ng diri dlh m u = i j k i j Mk persmn idng ng diri dlh ( ( + = 5 = Letk du gris lurus dlm rung dimensi tig. Du uh gris lurus dlm rung mungkin kn erptngn sejjr erimpit tu ersilngn. Mislkn dikethui du gris erikut ini dn sudut ntr du gris terseut sm dengn sudut ng dientuk leh vektrvektr rhn itu m = < > dn m = < >. Jik dlh sudut ng dientuk leh du gris terseut mk 6
20 Cs = Du gris kn sejjr pil vektr-vektr rhn sejjr itu m = tm dengn t sutu ilngn rel. Sehingg entukn menjdi < > = t< > tu. Du gris sling tegk lurus pil vektr-vektr rhn sling tegk lurus itu m.m = < >. < > = + + = Du gris kn erptngn pil d penelesin untuk dn dri empt persmn idng ng mentkn du persmn gris terseut. Cnth Tunjukkn hw gris-gris 4 dn 4 6 erptngn dn rilh persmn idng ng memut du gris terseut. Jw Dimislkn hw: 4 t dn k 4 6 Atu = 4t = + t = - + 6k X = k = + k = - + 6k Mk diperleh persmn: 4t = k + t = + k dn 4 t = - + 6k Dri k = 4t + k = t + diperleh t = dn k = ng memenuhi persmn 4 t = - + 6k. 7
21 Jdi titik ptngn dlh ( 4. Untuk menri persmn idng ng memut du gris terseut ditentukn vektr nrmln dulu itu dengn perklin silng dri vektrvektr rh gris itu m dn m 6 4 Vektr nrml idngn dlh n m m i 4 j k 6 n i 6 j k Jdi persmn idng ng diri dlh persmn idng ng mellui titik ( 4 dn tegk lurus n itu: ( + 6( ( 4 = + 6 = 68. Telh dikethui hw gris dengn persmn mempuni ilngn-ilngn rh dn tu mempuni vektr rh m = < >. Selnjutn kn ditentukn ilngn-ilngn rh dri gris terseut ke dlm persmn simetrik (knnik misln melenpkn kemudin melenpkn dri du persmn idng terseut. Dengn melenpkn didpt (A B A B + ( C A C + ( D A D = Dengn melenpkn diperleh (A B A B + (B C B C + (B D B D = Dri du persmn terseut diperleh BD BD A B A B B C B C A D A D A B A B A C AC A B A B Terliht hw ilngn-ilngn rh (vektr rh dri gris terseut dlh m = <B C B C -A C + A C A B A B > 8
22 Atu dlm entuk determinn menjdi m B C B C A C A C A B A B Jrk Du Gris Bersilngn Mislkn dikethui du gris g dn g jrk gris g dn g ditentukn dengn r segi erikut. Diut idng mellui gris g dn sejjr g. Pilih sutu titik P pd gris g. Mk jrk gris g dn g sm dengn jrk titik P ke idng. Cnth Berpkh jrk gris g : = = dn gris g : = 7 = 5 Jw Persmn idng ng mellui gris g dlh nggt erks idng ( t( =. Atu 7 + 7t + (4 5t 8 + 7t =. Vektr nrml idng ini dlh n = <7 7t 4-5t>. Sedngkn vektr rh gris g dlh m Bidng ng mellui g sejjr g mk hrus dipenuhi m n itu m. n <-56 49>. <7 7t 4-5t> = -8 + t + 4 5t = t = - Jdi idng ng mellui g dn sejjr g dlh = ng disederhnkn menjdi + 6 =. Pilih titik P( pd gris g mk jrk P ke idng + 6 = dlh 9
23 .. 6 d = Jdi jrk gris-gris g dn g dlh 6. Sl-sl. Crilh persmn prmeter dn persmn simetrik gris lurus ng mellui titik-titik ( - dn ( Crilh persmn simetrik gris ptng idng-idng + = dn + 7 = 9 sert tentukn vektr rhn.. Crilh persmn simetrik gris ng mellui titik (4 6 dn tegk lurus pd idng 5 + =. 4. Crilh persmn gris ng mellui titik ( dn tegk lurus pd vektr-vektr < -> dn <5 4 ->. 5. Crilh persmn gris ng mellui titik (5-4 dn memtng tegk lurus s. 6. Crilh persmn gris ng mellui titik ( -4 5 ng sejjr dengn idng 8 + = 5 dn tegk lurus pd gris g: 7. Crilh persmn idng ng memut gris-gris g : = - + t = + 4t = t dn g : = t = 4t = + t 5 8. Crilh persmn idng ng memut gris g : = t = + t = t dn sejjr dengn gris g : + = + + =.
24 BAB III PERSAMAAN BOLA Bl dengn pust titik O (titik sl dn erjri-jri r persmnn diperleh dengn r mengmil serng titik P( pd l. Sehingg OP r (. Z r P( O Y X Pd gmr dits OP r jri-jrin r = r r = + +. Kren P( serng titik pd l mk setip titik ( pd l erlku + + = r. Ini errti persmn l dengn pust O dn erjrijri r dlh: + + = r. Selnjutn kn diri persmn l dengn jri-jri r dn titik pust M(. Amil serng titik P( pd l mk vektr PM r (.
25 PM r r. r (. (. r = ( + ( + (. Z P( M O Y X Kren P( serng titik pd l mg memenuhi persmn terseut dits mk setip titik ( pd l memenuhi persmn terseut. Hl ini errti persmn l dengn jri-jri r dn titik pust ( dlh: ( + ( + ( = r. Cnth Crilh persmn l ng erpust di titik ( dn mellui titik ( 5. Jw Jri-jri l dlh jrk du titik terseut itu r ( (5 ( 4 4. Persmn l ng diri dlh persmn l dengn jri-jri dn erpust di titik ( itu: ( + ( + ( = 9 Jik dijrkn menjdi =.
26 Rumus persmn l itu ( + ( + ( = r dpt ditulis segi erikut: r = Jik = A - = B - = C dn + + r = D mk persmn l terseut dpt ditulis segi erikut A + B + C + D = Nmpk disini hw persmn l dlh sutu persmn kudrt dlm dn dengn iri-iri: ( tidk memut suku-suku tu dn ( kefisien-kefisien dn sellu sm. Selnjutn kn ditentukn titik pust dn jri-jri dri l dengn persmn A + B + C + D =. Persmn ini is diuh dengn melengkpi kudrt dri dn segi erikut: ( + A ( 4 ( 4 D C B A C C B B A ( ( ( D C B A C B A Dri persmn ini dpt dengn mudh ditentukn titik pust dn jri-jri l itu: jrin jri dlh D C B A r dn pustn titik segi C B A M ( Cnth Tentukn pust dn jri-jri l jik dikethui persmn l terseut dlh segi erikut: =. Jw Dengn prses melengkpkn kudrt persmn l diuh menjdi:
27 ( ( ( + 6 = ( 5 + ( 4 + ( 6 = 9 Ini errti l erpust di titik (5 4 6 dengn jri-jri. Sl dits dpt jug diselesikn dengn menggunkn rumus sehingg diperleh: Titik pust l M ( A B C = M ( ( ( 8 ( = (5 4 6 Jri-jri l dlh r 4 A 4 B C 4 D r = ( ( 8 ( r r Bidng Singgung Pd Bl Mislkn l dengn persmn ( + ( + ( = r ; dn sutu titik T( pd l. Akn diri persmn idng singgung pd l di titik T(. Bidng singgung di titik T dn jri-jri l mellui T sling tegk lurus mil serng titik V( pd idng singgung mk TV pd idng singgung Pust l dlh P( mk PT ( Kren TV PT mk PT. TV 4
28 PT.( PT PV PT. PT PT. PV r - < >. < > = ( ( + ( ( + ( ( = r. Ini dlh persmn idng singgung l dengn persmn ( + ( + ( = r ; di titik T( pd l. Cnth Tentukn persmn idng singgung pd l ( + ( + ( = 9 di titik (. Jw Titik ( terletk pd l se krdint-krdintn memenuhi pd persmn l. Mk persmn idng singgung pd l di titik ( dlh: ( ( + ( ( + ( ( = =. Sl-sl. Tuliskn persmn l ng pustn di titik (-6 - dn jri-jrin.. Crilh persmn l ng erpust di titik ( 4 5 dn meninggung idng.. Crilh persmn l jik dimetern dlh rus gris ng menghuungkn titik (- 7 dn ( Tentuknlh pust dn jri-jri l dengn persmn : =. 5. Crilh persmn l-l ng ersinggungn ng titik-titik pustn erturut-turut (- dn (5-6 dn jri-jrin sm. 5
29 6. Crilh persmn l dlm kudrn pertm ng jri-jrin 6 dn meninggung idng-idng krdint. 7. Crilh persmn l dengn pust ( 4 dn meninggung idng + =. 8. Tentukn persmn l ng mellui titik-titik ( - (- 4 dn (-5 ng titik pustn terletk pd idng + + =. 9. Tentukn persmn l ng erjri-jri dn meninggung idng = di titik T( -.. Tentukn persmn idng singgung pd l ( + ( + + ( = 5 ng sejjr dengn idng =. 6
30 BAB IV LUASAN PUTARAN Mislkn sumu dimil segi sumu putr dn kurv ng diputr terletk pd idng YOZ. Persmn kurv ng diputr dlh f ( Selnjutn dimil T( serng titik pd kurv. Mk dipenuhi : = dn f( =. Amil T( serng titik pd kurv. Mk dipenuhi f ( Lingkrn ng dillui T dlh perptngn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu putr itu sumu dengn l ng pustn pd sumu mislkn titik O dn jri-jrin OT. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Selnjutn dengn mengeleminsi dn sehingg diperleh persmn lusn putrnn. Berikut ini kn diri ermm-mm persmn lusn putrn.. Sutu Ellips Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn ellips pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd ellips. Mk hrus dipenuhi = 7
31 Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid putrn dengn sumu putr sumu. Z O Y X Jik sumu putrn sumu mk persmn ellipsid diperleh segi erikut. Persmn ellips ng diputr dlh Mislkn T( serng titik pd ellips. 8
32 Mk hrus dipenuhi Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid putrn dengn sumu putr sumu. Titik titik punkn dlh ( (- ( ( - ( dn (.. Sutu Prl Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn prl pd idng XOY erentuk: p Mislkn T( serng titik pd prl. Mk hrus dipenuhi = = p Persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn 9
33 + = p. Persmn ini merupkn persmn prlid putrn dengn sumu putr sumu. Z O Y X. Sutu Hiperl Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Persmn hiperl pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd hiperl. Mk hrus dipenuhi = Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn
34 Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun du dengn sumu putr sumu. Titik punkn d du itu (- dn (. Z O Y X Jik hiperl pd idng XOY terseut diputr mengelilingi sumu mk diperleh persmn lusn segi erikut. Persmn hiperl pd idng XOY erentuk Mislkn T( serng titik pd hiperl. Mk hrus dipenuhi = Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh
35 = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun stu dengn sumu putr sumu. Beerp titik punkn dlh ( (- ( dn ( -. Z O Y.4 Sutu Gris Lurus Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X. Mislkn persmn gris ng diputr dlh m p Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi = X = m + p Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + +
36 Z O Y X Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn m ( + p + p =. Persmn ini merupkn persmn keruut.. Mislkn gris ng diputr menilng sumu mk persmnn erentuk k m p Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi = k = m + p Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn k ( p m k Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun stu.
37 Z O Y X.5 Sutu Lingkrn Pd Bidng XOY Diputr Mengelilingi Sumu X Mislkn persmn lingkrn pd idng XOY erentuk ( r Mislkn T( serng titik pd gris ng diputr. Mk hrus dipenuhi ( r Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng mellui titik T dn titik pustn di O dlh + + = + + Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + + Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn ( + + r = 4 (r. 4
38 5 Persmn ini merupkn persmn trus..6 Lusn Putrn Dengn Sumu Putr Gris Serng Mislkn persmn sumu putrn dlh dn persmn kurv ng diputr dlh ( ( f f Mislkn T( serng titik pd kurv ng diputr. Mk hrus dipenuhi ( ( f f Lingkrn ng dillui T dlh perptngn idng mellui T dn tegk lurus sumu putr dengn l ng pustn di titik P ng terletk pd sumu putr dn erjri-jri PT. Di sini dpt dimil P(. Persmn idng mellui T dn tegk lurus sumu putr dlh ( + ( + ( =. Persmn l ng pustn di titik P( dn erjri-jri PT dlh X Y O Z
39 ( + ( + ( = ( + ( + ( Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh ( ( ( ( ( ( ( ( ( Dengn mengeleminsi dn diperleh persmn lusn putrn. Cnth Tentukn persmn lusn ng terjdi dri perputrn prl mengelilingi gris Jw 4 Persmn sumu putr dlh Vektr rh dri sumu putr ini dlh m = <- ->. Mislkn T( serng titik pd prl. Mk hrus dipenuhi = = 4 Persmn idng ng mellui T dn tegk lurus sumu putr dlh -( + ( ( = tu + = + Persmn l ng pustn di titik P( dn erjri-jri PT = ( dlh + + ( = + + (. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh + = ( = + + (. Selnjutn didpt + =. 6
40 Akitn = 4 = 4( + = Dengn mensustitusikn dn diperleh + + ( = ( + + ( Setelh dijrkn dn disederhnkn diperleh persmn lusn itu: Y 4 4 =. Cnth Dikethui persmn gris g = Tentukn persmn lusn ng terentuk dri gris g ng diputr mengelilingi sumu. Jw Mislkn T( serng titik pd gris g. Mk hrus dipenuhi Persmn idng ng mellui titik T dn tegk lurus sumu dlh =. Persmn l ng titik pustn di O dn mellui T dlh + + = + +. Jdi persmn lingkrn ng dillui T dlh = + + = + +. Kit mempuni = +. Selnjutn dengn mensustitusikn dn diperleh persmn + + = + ( + +. Setelh dijrkn dn disederhnkn diperleh persmn lusn ng ditnkn itu: =. 7
41 8 Sl-sl. Sutu ellips dengn persmn 6 4 diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn ellipsid putrn ng terentuk.. Jik sutu hiperl dengn persmn 9 6 diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi.. Sutu prl dengn persmn diputr mengelilingi gris. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi. 4. Sutu prl dengn persmn diputr mengelilingi sumu. Tentukn persmn lusn ng terjdi. 5. Sutu gris diputr mengelilingi gris dengn persmn. Tentukn persmn lusn putrn ng terjdi.
42 BAB V LUASAN BERDERAJAD DUA Berikut ini kn diselidiki sutu lusn ng terjdi dri sutu ellips dn hiperl ng letk dn esrn eruh menurut turn tertentu.. Pd idng XOY terletk ellips dengn persmn Pd idng YOZ terletk ellips dengn persmn Kedu ellips dits mempuni punk-punk ng sm pd sumu. Selnjutn ellips ng terletk pd idng XOY digerkkn dengn turn segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pustn tetp pd sumu du dri punkn sellu terletk pd ellips ng terletk pd idng YOZ dn d ellips tetp sengun dengn ellips ng digerkkn. Berrti ellips pd idng YOZ merupkn gris rh dri ellips ng ergerk. Adpun persmn lusn ng terjdi dpt diri segi erikut. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi tu ( 9
43 4 Kren turn dn d mk dipenuhi Atu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn ellipsid dengn titik pust O dn sumusumun erimpit dengn sumu-sumu krdint. Jik du dintr dn dlh sm mk ellipsid terseut merupkn sutu ellipsid putrn. Jik = = mk ellipsid terseut merupkn l. O X Y Z
44 . Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn persmn gris rh dri ellips ng ergerk dlh hiperl pd idng YOZ dengn persmn Selnjutn ellips digerkkn dengn turn: idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi tu ( Kren turn dn d mk dipenuhi tu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu 4
45 4 ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid erdun stu dengn titik pust O dn sumu-sumun erimpit dengn sumu-sumu krdint. Jik = mk diperleh hiperlid putrn.. Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rh dri ellips ng digerkkn dlh hiperl dengn persmn Aturn untuk menggerkkn dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng XOY O Z Y X
46 4 titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi - ( tu Kren turn dn d mk dipenuhi tu. ( = (. Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: tu ( ( Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid putrn erdun du dengn titik pust O dn sumun dlh sumu. Jik = mk persmn ini menjdi persmn hiperlid putrn erdun dengn titik pust O dn sumun dlh sumu Z.
47 Z O Y X 4. Ellips ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rh dri ellips ng ergerk dlh prl pd idng YOZ dengn persmn p turn untuk menggerkkn ellips dlh: idngn sellu sejjr dengn idng XOY titik pust ellips sellu terletk pd sumu du dri punkn sellu terletk pd gris rh dn d ellips ng digerkkn sellu tetp sengun dengn ellips semul. Mislkn ellips digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun dlh dn erturut-turut sumu ng sejjr sumu dn sumu. Kren memenuhi turn dn mk titik ( terletk pd ellips sehingg memenuhi = p. Kren turn dn d mk dipenuhi 44
48 45 tu = p Jdi persmn ellips ng terletk pd idng = terseut dlh: p p Dengn mengeleminsi dn persmn ellips ini diperleh persmn p Persmn ini merupkn persmn prlid ellips dengn titik punk di O. Jik = mk persmn ini menjdi persmn prlid putrn dengn sumu segi sumu putrn. 5. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng YOZ dengn persmn O Z X Y
49 46 dn gris rhn erup ellips pd idng XOY dengn persmn Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturutturut dlh dn. Dri gris turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg hrus dipenuhi ( ( tu sehingg jug dn tu. Jdi persmn hiperl ngterletk pd idng = dlh ( ( Dengn mengeliminsi dri persmn hiperl dits dpt diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperl erdun stu.
50 47 6. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng YOZ dengn persmn dn gris rhn erup ellips pd idng XOY dengn persmn Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturutturut dlh dn. Dri gris turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg hrus dipenuhi ( ( tu sehingg jug dn tu. Jdi persmn hiperl ngterletk pd idng = dlh ( (
51 Dengn mengeliminsi dri persmn hiperl dits dpt diperleh persmn Persmn ini merupkn persmn hiperlid erdun du dengn sumu segi sumun. 7. Mislkn hiperl ng digerkkn terletk pd idng XOY dengn persmn dn gris rhn erup prl pd idng YOZ dengn persmn p Aturn untuk menggerkkn hiperl dlh segi erikut. idngn sellu sejjr dengn idng YOZ titik pustn sellu terletk pd sumu hiperln sellu tetp sengun dengn hiperl semul dn d titik-titik punkn sellu terletk pd gris rh. Mislkn hiperl digerkkn sehingg terletk pd idng = dn setengh sumu-sumun ng sejjr dengn sumu dn sumu erturut-turut dlh dn. Berdsrkn turn dits titik punk ( terletk pd gris rh sehingg = p. Kren turn dn d mk dipenuhi tu = p Jdi persmn hiperl ng terletk pd idng = terseut dlh: 48
52 49 p p Dengn mengeleminsi dn persmn hiperl ini diperleh persmn p Persmn ini merupkn persmn prlid hiperlis dengn sumu segi sumun. 8. Pndng persmn ellipsid Titik pust ellipsid ini dlh (. Sumu-sumu simetrin dlh sumu sumu dn sumu ng msingmsing pnjngn dn. Titik-titik punkn d enm itu ( (- ( ( - ( dn ( -. Persmn idng singgung pd ellipsid dpt diri segi erikut. Mislkn T( merupkn titik singgung terseut. Persmn gris ng mellui T dengn ilngn-ilngn rh p q dn r dlh r q p Krdint-krdint titik-titik ptng gris ini dengn ellipsid dits diperleh segi erikut. ( ( ( r q p Setelh dijrkn persmn dits menjdi r q p r q p Slh stu kr dri persmn kudrt ini dlh =.
53 5 Agr gris meninggung ellipsid mk hruslh = =. Hl ini hn terjdi untuk r q p Dengn mengeliminsi p q dn r diperleh ( ( ( Persmn ini merupkn persmn gris ng meninggung ellipsid di T. Jdi persmn idng singgung di T pd ellipsid dlh Mislkn T( sutu titik dilur ellipsid. Dri titik T diut idngidng ng meninggung ellipsid. Mislkn P( sutu titik singgung dri idng singgung ng mellui titik T. Berdsrkn urin dits persmn idng singgung di titik P dlh Kren idng singgung mellui T mk dipenuhi Ini errti setip titik singgung dri idng singgung pd ellipsid ng mellui T terletk pd idng dengn persmn Persmn ini merupkn persmn idng kutu dri titik T terhdp ellipsid Tmpk hw jik T terletk pd ellipsid mk persmn idng kutu dri T merupkn persmn idng singgung di T. Persmn ts ngn ellipsid leh sinr-sinr ng mellui T( dlh
54 Cnth Crilh m sehingg idng + m = meninggung ellipsid Jw Mislkn T( sutu titik singgung ellipsid Mk dipenuhi Persmn idng singgung ellipsid di T dlh Atu =. Bidng singgung ini hrus erimpit dengn idng + m = Ini errti hrus dipenuhi tu = = - = 8 Atu = m Kren titik T( pd ellipsid mk 44 4(6 64(9 Untuk = 8 diperleh m = -8 dn untuk = -8 diperleh m = 8. Jdi nili m ng ditnkn dlh m = Pndng persmn hiperlid erdun Stu 5
55 5 Sumu-sumu simetrin dlh sumu sumu dn sumu. Titiktitik punkn ng terletk di sumu-sumu krdint d empt itu: ( (- ( dn ( -. Selnjutn dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung pd hiperlid erdun stu di titik singgung T( itu Demikin jug dengn persmn idng kutu dri titik T( terhdp hiperlid rdun stu itu Berikut ini kn diuh entuk entuk persmn hiperlid erdun stu. Mislkn persmn hiperlid erdun stu dlh Bentuk ini dpt dintkn segi tu Berrti d du susunn gris pd hiperlid erdun stu itu ( ( dengn prmeter. Akn diuktikn hw gris-gris dlm stu susunn sling ersilngn. Mislkn persmn gris-gris dlm stu susunn terseut dlh
56 5 dn Andikn kedu gris terseut erptngn mk terdpt hrg dn sehingg ( dengn Berrti tu =. ( dengn Berrti tu = -. Sehingg diperleh sutu kntrdiksi itu = = - (kren. Jdi pengndin dits dlh slh dn hruslh kedu gris dlm stu susunn dlh ersilngn.. Pndng persmn hiperlid erdun du Hiperlid ini hn mempuni stu sumu simetri itu sumu. Titik-titik punk d du itu ( dn (-. Pnjng sumu-sumun dlh dn. Dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung di titik T( itu Demikin jug persmn idng kutu dri titik T( terhdp hiperlid erdun du itu
57 Jik titik T terletk pd hiperlid erdun du mk idng kutu dri T menjdi idng singgung di T. p. Pndng persmn prlid elliptis Titik punk d stu dn sumu simetrin dlh sumu. Dengn r seperti pd ellipsid diperleh persmn idng singgung di T( pd prlid elliptis itu: p ( Persmn idng kutu dri T( terhdp prlid elliptis dlh p ( Jik titik T pd prlid elliptis mk idng kutu dri T menjdi idng singgung di T.. Pndng persmn prlid hiperlis p ( p Dengn r seperti pd ellipsid dpt diperleh persmn idng singgung di titik T( pd prlid hiperlis itu p ( Jik titik T pd prlid hiperlis mk idng kutu menjdi idng singgung. 54
58 Sl-sl. Tentukn semu titik-titik punk ellipsid = 6 ng terletk di sumu-sumu krdint. p. Tentukn irisn prlid hiperlis ( p idng XOY. dengn. Tentukn irisn idng = dengn ellipsid Tunjukkn hw idng + 6 = memtng prlid hiperlis 5 6 dlm entuk prl dn tentukn punk dn prmeter 4 prln. 5. Tentukn persmn idng singgung ellipsid = ng sejjr dengn idng =. 55
59 DAFTAR KEPUSTAKAAN Kleteni D. Prlems in Anlti Gemetr Msw: Pee Pulisher t.th. Mehrti Hdiwidjj Ilmu Ukur Anlitik Bidng Bgin III Ygkrt: FMIPA IKIP Ygkrt 994. Mehrti Hdiwidjj Vektr dn Trnsfrmsi dlm Gemetri Ygkrt: FMIPA IKIP Ygkrt 989. Purell Edwin J (Penterjemh: Rwuh Bn Krtssmit Klkulus Dn Gemetri Anlitis Jilid II Jkrt: Erlngg 984. Thms Gerge B. JR. Clulus nd Anlti Gemetr Tk Jkrt Pulitins Trding Cmpn Ltd
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
MATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
SMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e
Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e P g e Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).
Prol dlh tempt kedudukn titik-titik ng jrkn ke stu titik tertentu sm dengn jrkn ke seuh gris tertentu (direktriks). Persmn Prol 1. Persmn Prol dengn Punck O(,) Perhtikn gmr erikut ini! PARABOLA g A P(,
Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
BAB VIII BIDANG RATA DAN GARIS LURUS
VIII : idng Rt dn Gris Lurus VIII IDNG RT DN GRIS LURUS 8.. Persmn Vektoris idng Rt Sutu idng rt kn tertentu il dikethui tig uh titik (ng tidk segris) ng terletk pd idng rt terseut. Mislkn dikethui tig
2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
B II : Fungsi Liner Dlil : Grfik ri fungsi-fungsi liner (liner rtin pngkt stu tu stright) lh sutu gris lurus... GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (,) S. Y Trik Gris ri titik O ke titik P imn OP terletk p
SEMI KUASA TITIK TERHADAP ELIPS
RISMTI - ISSN : - 66 THUN VOL NO. GUSTUS 5 SEMI US TITI TERHD ELIS rnidsri Mshdi rtini Mhsisw rogrm Studi Mgister Mtemtik Universits Riu Jl. HR Soernts M 5 mpus in Wid Simpng ru eknru Riu 89 Emil: rnidsri@hoo.com
BAB IX BOLA, SILINDER DAN KERUCUT
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 7 BAB IX BOLA SILINDER DAN KERUCUT 9.. Tempt Kedudukn di dlm Rung Tempt kedudukn disingkt TK dlh himpunn titik-titik ng memnuhi srt-srt ng ditentukn. TK mungkin hmp stu titik
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier
8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh
GEOMETRI BIDANG DATAR
GEOMETRI ING TR. Unsur-Unsur idng tr idng dtr merupkn jek yng sering kit jumpi di lingkungn sekitr, is lingkungn rumh, seklh, tmn, keun dn lin-lin. i dlm lingkungn terseut terdpt ermm-mm end/jek dengn
VECTOR DI BIDANG R 2 DAN RUANG R 3. Nurdinintya Athari (NDT)
VECTOR DI BIDANG R DAN RUANG R Nurdininty Athri (NDT) VEKTOR DI BIDANG (R ) DAN DI RUANG (R ) Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1
PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, (3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti. 04, tidak termasuk bilangan rasional
Diktt Kulih TK Mtemtik BAB PENDAHULUAN. Sistem Bilngn Rel Terdpt eerp sistem ilngn itu: ilngn sli, ilngn ult, ilngn rsionl, ilngn irrsionl, dn ilngn rel. Msing-msing ilngn itu segi erikut. ) Bilngn sli
Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga jumlah jaraknya
Ellips 5.1. Persmn Ellips Bentuk Bku Ellips dlh tempt kedudukn titik-titik sedemikin hingg jumlh jrkn dri psngn du titik tertentu ng ered dlh konstn tertentu. Du titik tertentu di ts diseut titik fokus
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Bab 4 Transformasi Geometri
B 4 Trnsformsi Geometri TUJUAN PEMBELAJARAN Pem is memhmi konsep trnsformsi geometri -D dn -D : trnslsi, rotsi, Refleksi, her dn slling OUTCOME PEMBELAJARAN Pem is menghitung trnsformsi geometri -D ser
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
![[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]](/thumbs/55/35374920.jpg "[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]")
http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor
UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER 1 TAHUN PELAJARAN 2008/2009. Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/jurusan : XII/ IPA Hari/Tanggal :
UJIAN BERSAMA SMA KABUPATEN TANAH DATAR SEMESTER TAHUN PELAJARAN /9 Mt Peljrn : MATEMATIKA Kels/jurusn : XII/ IPA Hri/Tnggl : Wktu : menit. d... A. c B. c C. c D. c E. c. sin cos d... A. cos C B. cos C
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Yohanes Private Matematika ,
Yohnes Privte Mtemtik 3 081519611185, 08119605588 Irisn keruut: Lingkrn Prol Elis Hierol LINGKARAN Bentuk umum : 2 + 2 = r 2 ust: (0, 0) ; jri-jri = r ( ) 2 + ( ) 2 = r 2 ust: (, ) ; jri-jri = r r r 2
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Solusi Pengayaan Matematika
Solusi Pengn Mtemtik Edisi pril Pekn Ke-, 00 Nomor Sol: -0 Tentukn bnk psngn bilngn rel, ng memenuhi persmn ot ot Solusi: ot ot tnπ otπ π tnπ tn π π π π k π k 00 k 00 k k 00 k k 00 k k 00 k k 00 Kren k
UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015
-. UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 015 SILAHKAN KLIK KUNJUNGI: WWW.E-SBMPTN.COM Ltihn Sol Fisik 1. Thun hy dlh stun dri... (A) jrk (D) momentum (B) keeptn (E) energi (C) wktu. Stu wtt hour sm dengn...
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Hendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
theresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
thereiveni.wordpre.om NM : KELS : BB TRIGONOMETRI thereiveni.wordpre.om Pengukurn Sudut d du tun pengukurn udut yitu : derjt dn rdin Stun derjt Definii : = putrn 36 Ingt : putrn = 36 Jdi : putrn = 8 putrn
FUNGSI TRANSENDEN. Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi
FUNGSI TRANSENDEN I. Pendhulun. Pokok Bhsn Logritm Fungsi Eksponen.2 Tujun Mengethui entuk fungsi trnsenden dlm klkulus. Mengethui dn memhmi entuk fungsi trnseden itu logritm dn fungsi eksponen sert dlm
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
BAB VI HIPERBOLA. - Titik 0, yaitu titik tengah FG, disebut pusat hiperbola. dan G(c,0) disebut titik fokus hiperbola
B VI : Hierol 85 BAB VI HIPERBOLA 6.. Definisi Hierol Hierol dlh temt kedudukn titik-titik ng selisih jrkn terhd du titik tertentu tet hrgn. Cttn: du titik tertentu itu diseut fokus hierol - - Mislkn:
IRISAN KERUCUT. 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Persamaan = TK titik T = =
IRISAN KERUCUT Bb 9 A. LINGKARAN. Persmn lingkrn dengn pust (0,0) dn jri-jri r 0 r T(x,y) X Persmn = TK titik T = { T / OT r } = = {( x, y) / r } {( x, y) / r }. Persmn lingkrn dengn pust (,b) dengn jri-jri
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA
BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA Stndr Kompetensi Memhmi dn menggunkn turn dn sift sert mnipulsi Aljr dlm pemechn mslh ng erkitn dengn entuk pngkt, kr dn logritm. Kompetensi Dsr Menggunkn sift, turn
Hubungan integral garis yang umum antara ke dua kuantitas tersebut,
6 GRADIN PONSIAL Grdien ptensil dlh sutu metde ng sederhn untuk mencri intensits medn listrik dri ptensil. Hubungn integrl gris ng umum ntr ke du kuntits tersebut,. dl Dengn mengmbil N sebgi vektr stun
SEMI KUASA TITIK DI DALAM LENGKUNGAN HIPERBOLA
Jurnl Mtemtik Vol6 No Desemer 07 ISSN: -5056 / 598-8980 http://ejournlunisid Diterim: /06/07 Disetujui: 8//07 uliksi Online: //07 SEMI UASA TITI DI DALAM LENGUNGAN HIERBOLA Irm Fitri Mshdi Hsriti Fkults
Y y=f(x) LEMBAR KERJA SISWA. x=a. x=b
LEMBAR KERJA SISWA. Judul (Mteri Pokok) : Penggunn Integrl Tentu Untuk Menghitung Volume Bend Putr. Mt Peljrn : Mtemtik 3. Kels / Semester : II /. Wktu : 5 menit 5. Stndr Kompetensi :. Menggunkn konsep
A. Pengertian Integral
A. Pengertin Integrl Di Kels XI, klin telh mempeljri konsep turunn. Pemhmn tentng konsep turunn ini dpt klin gunkn untuk memhmi konsep integrl. Untuk itu, co tentukn turunn fungsi-fungsi erikut. f () f
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah satuan luas. a. 54 b. 32. d. 18 e.
. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 e. Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = (
HITUNG INTEGRAL ( 4 ) 4. Diketahui f(x) = 4x + 1 dan F(2) = 17 ; Tentukan fungsi F f(x) = 4x + 1
HITUNG INTEGRA BAB.Integrl tk tentu (tnp ts). Rumus-rumus ) ) n n n d c, n ) d c n n n. d c, n ). Sift-sift Integrl Contoh :... ) k. f ( ) d k. f ( ) d d d ln c ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) d c ( ) ( ) d ( ) d
1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x 2 dan garis x + y = 6 adalah
. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn gris x + y = dlh stun lus... c. d. 8 Sol Ujin Nsionl Thun 7 Kurv y = x dn gris x + y = ( y = x ) Sustikn nili y pd y = x sehingg didpt : x = x x = x x + x = ( =,
INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu
INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C
SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :
RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN
PREDIKSI UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN - Mt Peljrn Progrm : Mtemtik (MA) : IPA Petunjuk : Pilihlh slh stu jwn yng pling tept!. Dikethui: 5. Dikethui log = dn log = y. Nili log P : Hri tidk hujn tu Rudi
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
GEOMETRI DIMENSI DUA
GEOMETRI DIMENSI DU SUDUT Pengertin Sudut Sudut dlh ngun ng dientuk dri rus gris ng ertemu pd sutu titik. Titik pertemunn diseut titik sudut. Kedu rus grisn diseut kki sudut / sisi sudut. Perhtikn gmr
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 Januari Pekan Ke-4, 2007 Nomor Soal: 31-40
Solusi Pengn Mtemtik Edisi 4 Jnuri Pekn Ke-4, 007 Nomor Sol: -40. Diberikn persmn 8 9 4 8 007 dn b, dengn b. Angk stun dri b dlh. A. B. C. D. 7 E. 9 Persmn 8 9 4 8 8 9 4 8 9 4 8 8 8 9 8 4 8 8 8 0 0 b tu