Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik sedemikian hingga jumlah jaraknya
|
|
|
- Surya Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ellips 5.1. Persmn Ellips Bentuk Bku Ellips dlh tempt kedudukn titik-titik sedemikin hingg jumlh jrkn dri psngn du titik tertentu ng ered dlh konstn tertentu. Du titik tertentu di ts diseut titik fokus (foci). Untuk menurunkn persmn kurv ellips, dimislkn kedu fokus erd pd sumu- dn sumu- menjdi isektor tegklurus segmen ng menghuungkn kedu fokus. Mislkn jrk ntr kedu fokus dlh c, sehingg titik fokusn dlh F(c, 0) dn F ( c, 0) (perhtikn gmr 5.1). Y P(, ) F ( c, 0) O F(c, 0) X Gmr Bentuk Bku Ellips 16
2 Jik P(, ) dlh semrng titik ng erd pd ellips, mk menurut definisi kn erlku PF PF = konstn. (1) Dn pil dimislkn konstnt tertentu itu dlh, mk dengn menggunkn rumus jrk untuk mentkn PF dn PF diperoleh: ( c) ( c) = ( c) = ( c) c c = 4 4 ( c) c c 4 ( c) = 4 4c ( c) = c c c = c c c = c c = 1 () 5.1. Bentuk Bku Ellips 163
3 Segitig F PF pd gmr 5.1, dengn titik-titik sudut ( c, 0), (c, 0), dn (, ) slh stu sisin mempuni pnjng c. Sedngkn jumlh du sisi ng lin dlh. Jdi > c > c >c c > 0. Kren c dlh positif, mk is dignti dengn ilngn positif lin ktknlh = c (3) Ini jug errti hw <. persmn: Jik persmn (3) disustitusikn ke persmn () mk kn diperoleh = 1 (4) Persmn (4) di ts diseut persmn ellips entuk ku Bentuk Bku Ellips 164
4 Jik fokus ellips dlh titik-titik (0, c) dn (0, c) ng erd di sumu- (gmr 5.) mk persmn ellips entuk ku dlh = 1 (5) Y F(0, c) O P(, ) X F (0, c) Gmr 5.. Dlm hl ini ilngn ng leih esr dlh erd di wh suku. Krkteristik utm sutu ellips persmn (4) ditunjukkn pd gmr 5.3. A B L L F c c F O A R B Gmr 5.3. R 5.1. Bentuk Bku Ellips 165
5 Leih dhulu kit mti hw grfik dri ellips dengn persmn (4), dlh simetris dengn sumu- dn sumu-. Selnjutn grfik memotong sumu- di titik (, 0) dn (, 0), dn memotong sumu- di titik (0, ) dn (0, ). Gris ng mellui kedu fokus dinmkn sumu utm ellips. Untuk ellips dengn persmn erentuk (4) sumu- menjdi sumu utm ellips. Titik potong ellips dengn sumu utmn diseut punck. Jdi untuk ellips dlm persmn (4) punckn dlh A(, 0) dn A (, 0). Titik pd sumu utm ng terletk di tengh-tengh kedu punck ellips dinmkn pust ellips. Pust ellips dengn entuk persmn (4) dlh erimpit dengn titik sl. Segmen gris ng menghuungkn kedu punck diseut sumu mor (sumu pnjng) ellips dengn pnjng stun, dn kit ktkn hw dlh stun pnjng setengh pnjng sumu mor. Pd ellips ini segmen gris ng menghuungkn titik potong ellips dengn sumu- itu titik (0, ) dn (0, ) diseut sumu minor (sumu pendek) ellips. Pnjng sumu minor dlh stun, sehingg dlh stun pnjng setengn sumu minor. Titik-titik tetp F dn F terletk pd sumu mor dn diseut fokus, segimn telh diseutkn pd definisi, dlh erjrk c dri pust ellips. Krkteristik dri ellips dengn persmn (5) secr essensil dlh sm. Pd kentnn ellips dengn entuk persmn (4) dn (5) dlh identik dlm entuk dn ukurn, hn ered dlm posisi Bentuk Bku Ellips 166
6 Kren titik B pd ellips, mk jumlh jrk dri kedu fokus dlh ; itu BF BF =. Akn tetpi B erd pd isektor tegk lurus dri FF, hl ini errti erjrk sm dri F dn F itu BF = BF =. Hl ini memungkinkn kit untuk memerikn interpretsi geometris pd relsi (4). Pd kentnn pd gmr 5.3 terliht hw dlh sisi miring dn dn c dlh sisi-sisi dri segitig siku-siku BOF. Hl ini jug memerikn metod geometrik erikut untuk menentukn letk fokus ellips: letkkn stu kki jngk pd slh stu titik punck sumu minor, dengn rdius sm dengn pnjng setengh sumu mor, lukislh usur hingg memotong sumu mor. Titik potong gris lukis dengn sumu mor merupkn fokus ellips. Tli usur ng mellui slh stu fokus dn tegk lurus dengn sumu mor diseut ltus rektum. Sedngkn titik potong ltus rektum dengn ellips diseut lter rekt. Untuk mencri pnjng ltus rektum dierikn nili = c = pd persmn (4) dn dengn menelesikn persmn untuk diperoleh = /. Jdi lter rekt ellips (4) dlh L(c, /) dn R(c, /), sehingg pnjng ltus rektum ellips dlh /. Jik pnjng setengh ltus rektum dinotsikn dengn l mk l = (6) Seuh ellips dpt diut skets grfikn secr ksr dengn memperhtikn ujung-ujung sumu mor dn minor dn ujung ltus rektum, dn 5.1. Bentuk Bku Ellips 167
7 dengn menggunkn kentn hw grfin simetrik terhdp kedu sumu. Konstruksi secr meknik kn dierikn pd seksi lin. Contoh 1: Selidiki dn ut skets grfik dri persmn 9 5 = 5 Jw: Pertm ntkn persmn ng dierikn ke dlm entuk ku dengn memgi msing-msing rus dengn 5 dn diperoleh entuk ku = = 1 Dlm hl ini = 5, = 9, dn c = = 5 9 = 16, tu = 5, = 3, c = 4. Jdi persmn di ts dlh ellips ng erpust di (0, 0), punck ( 5, 0) dn titik fokus ( 4, 0). Sumu mor sejjr dengn sumu- dn pnjngn 10 stun, dn sumu minor pnjngn 6 stun. Skets grfik dpt diliht di gmr Bentuk Bku Ellips 168
8 Y (0, 3) X (0, 5) (0, 4) (0, 4) (0, 5) (0, 3) Gmr 5.4 Contoh : Tentukn persmn ellips dengn pust (0, 0), slh stu punck (0, 13), dn slh stu titik fokus (0, 1). Jw: Punck (0, 13) errti sumu mor sejjr dengn sumu- dengn = 13, pnjng sumu mor = 6 dn kren fokus di (0, 1) errti c = 1. pnjng sumu minor dpt dicri dengn rumus = c = 13 1 = = 5 Jdi = 5. Bentuk ku dri persmn ellips ng dicri dlh = Bentuk Bku Ellips 169
9 Contoh 3: Sutu kelengkungn erentuk setengh ellips dengn ler ls 48 meter dn tinggi 0 meter. Berp ler kelengkungn itu pd ketinggin 10 meter dri ls? Jw: Gmr 5.5 memperlihtkn skets lengkungn dn sumu-sumu koordint dpt dipilih sedemikin hingg sumu- terletk pd ls dn titik sl dlh titik tengh ls. Mk sumu utm ellips terletk sepnjng sumu-, pustn di titik sl, = ½ 48 = 4, = 0. Persmn ellips erentuk = 1 Pd ketinggin 10 meter, errti untuk nili = 10 kn diperoleh ng mentkn ler setengh lengkungn pd ketinggin 10 meter. Jdi = sehingg diperoleh = 43, = Bentuk Bku Ellips 170
10 Dengn demikin pd ketinggin 10 meter dri ls, ler kelengkungn dlh AB = 4 3 meter. Y 0 A 10 B 4 O 4 X Gmr 5.5: 5.. Konstruksi Meknik seuh Ellips Dri definisi, seuh ellips dpt dikonstruksi dengn mengikt ujung tli sepnjng pd du titik sejuh c. Kemudin trik dn tegngkn tli dengn pensil seperti terleiht pd gmr 5.6 erikut. Gerkkn pensil dengn sellu menjg gr tli tetp tegng. Hsil lukisn pensil itu kn merupkn seuh ellips. Gmr 5.6: 5.. Konstruksi Meknik Seuh Ellips 171
11 Ltihn 5 A 1. Tunjukkn hw jik setip ordint dri lingkrn = diperpendek dlm rsio /, mk kurv ng dihsilkn dlh erup ellips = 1 Pd sol 15 tentukn pust, titik-titik fokus, punck, pnjng sumu mor, pnjng sumu minor dn lktus rektum dri persmn ellips ng dierikn. But skets grfikn = = = = = = = = = = = = = = 49(1 ) Ltihn 5 A 17
12 Dri dt-dt erikut tentukn persmn ellips ng memenuhi: 16. Titik punck di ( 6, 0), dn sumu minor sepnjng Titik punck di (0, 8), titik-titik ujung sumu minor di ( 3, 0). 18. Titik punck di ( 5, 0), stu fokus di (3, 0). 19. Stu punck di (0, 13), fokus terdekt dengn punck ini (0, 5), pust di titik sl. 0. Titik punck di ( 4, 0), pnjng ltus rektum sm dengn. 1. Titik ujung sumu minor di ( 4, 0), pnjng ltus rektum sm dengn 4.. Fokus di titik ( 4, 0), pnjng ltus rektum sm dengn Titik-titik lter rekt pd ( 3, ½), ( 3, ½), ( 3, ½), ( 3, ½), dn sumu mor sepnjng sumu-. 4. Dengn menggunkn definisi dri seuh ellips, tentukn persmn ellips ng mempuni fokus di titik (4, 4) dn ( 4, 4) dn pnjng sumu mor Kurv sutu jemtn tu eentuk semi ellips. Jik pnjng rentngn 40 kki dn tinggi mksimum 10 kki. Tentukn tinggi kurv pd slh stu ujung intervl 5 kki dri titik tengh. Ltihn 5 A 173
13 5.3. Persmn Ellips Bentuk Umum Ellips ng mempuni sumu simetri sejjr dengn sumu koordint dn erpust pd (h, k), persmnn dpt diperoleh dengn mentrnslsikn sumu koordint sedemikin hingg sumu koordint erimpit pd pust ellips. Sehingg persmn ellips kn erentuk ( h) ( k) = 1 (1) ( k) tu ( h) = 1 () ergntung pkh sumu mor horisontl tu vertikn. Kedu persmn (1) dn () di ts dpt direduksi ke dlm entuk A C D E F = 0 (3) ng mn AC > 0 (itu A dn C kedun posisif tu kedun negtif) dn A C. (Jik A = C, mk kn merupkn lingkrn). Persmn (3) diseut persmn ellips entuk umum. Selikn dpt ditunjukkn hw semrng persmn erentuk (3) dpt direduksi menjdi entuk (1) tu entuk (), tu menjdi persmn ng mirip, tetpi pd rus knn dlh ilngn 0 tu 1. Dlm hl ini persmn (3) kn menggmrkn tig ktegori ellips, itu ellips rel dengn sumu sejjr 5.3. Bentuk Umum Ellips 174
14 sumu koordint, tu ellips titik itu pil rus knn ernili 0, tu ellips imjiner itu pil rus knn ernili 1. Contoh 1: Gmrlh ellips ng mempuni persmn = 0 Jw: Untuk menggmr ellips di ts persmn hrus diuh ke dlm entuk ku, itu dengn melkukn mnipulsi entuk kudrt sempurn segi erikut: = = 8 3( ) 5( 4) = 8 3( 1) 5( 4 4) = ( 1) 5( ) = Bentuk Umum Ellips 175
15 ( 1) 5 ( ) 3 = 1 Dri persmn terkhir dptlh disimpulkn hw ellips ng terjdi erpust di (1, ), = 5 sehingg pnjng sumu mor dlh 5 sejjr dengn sumu-. Dikethui pul = 3, sedngkn fokusn diperoleh dengn menghitung c = = 5 3 =, sehingg c = dn koordint titik fokus dlh (1, ). Titik punck itu titik potong dengn sumu mor di (1 5, ), dn titik potong dengn sumu minor di titik (1, 3 ). Skets gmr dpt diliht pd gmr 5.7. erikut. F F Gmr 5.7: 5.3. Bentuk Umum Ellips 176
16 Ltihn 5 B Pd sol 1 10 tentukn persmn ellips jik dierikn dt-dt erikut. But skets grfikn. 1. Sumu mor sm dengn 1 dn sejjr sumu-, sumu minor sm dengn 10, pust di (, 1).. Titik-titik punck di (8, ) dn (, ), dn stu fokus di (6, ). 3. Ujung sumu minor di (0, 5) dn (0, 7), ujung slh stu ltus rektum di (6 3, ) dn (6 3, 4). 4. Ujung sumu minor di (, 8) dn (, 16) dn slh stu fokus di (3, 4). 5. Titik-titik lter rekt (9, ), (9, 6), ( 7, ), dn ( 7, 6). 6. Fokus di (5 4 3, 1) dn (5 4 3, 1), dn ltus rektum sepnjng Pust (3, ); slh stu punck (8, ); slh stu fokus ( 1, ) 8. Fokus di (, 3) dn (, 7), dn pnjng sumu minor dlh du-pertig pnjng sumu mor. 9. Punckn di (, 0) dn (, 0) dn mellui titik ( 1, ½ 3 ) Punckn di (0, 5) dn (0, 5) dn mellui titik (, 3 5 ). Ltihn 5 B 177
17 Dlm sol no 11 0 uhlh ke dlm entuk ku, kemudin tentukn pust, punck, fokus, pnjng sumu mor dn minor, dn lter rekt. But skets grfikn = = = = = = = = = = 0 1. Seuh titik ergerk sedemikin hingg jrkn dri (6, 0) dlh setengh jrkn terhdp sumu-. Tunjukkn hw tempt kedudukn titik-titik itu erup ellips. Ltihn 5 B 178
18 . Bumi mengitri mthri dengn lintsn erentuk ellips dengn mthri pd slh stu fokusn. Jrk mthri terhdp umi ng terdekt dlh 9, mil, sedngkn jrk ng pling juh dlh 9, mil. Tentukn persmn lintsn umi terseut jik mthri terltk pd slh stu titik fokusn dn mengnggp titik pust dlh (0, 0). 3. Seuh stelit mengitri umi dengn lintsn erentuk ellips. Jrk terdekt stelit terhdp umi dlh 119 mil dn jrk terjuh 881 mil. Tentukn persmn ku ellips terseut jik pust ellips dlh titik (, 1). 4. Lngit-lngit sutu gng erentuk setengh ellips, lern 10 m, dn tinggin 9 m di pustn dn tinggi6 m pd sisi dinding. Tentukn tinggi lngit-lngit pd jrk m dri dinding Persmn Gris Singgung pd Ellips. Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips dn gris singgung ng mempuni kemiringn tertentu Persmn Gris Singgung ng mellui titik di Ellips. Mislkn P( 1, 1 ) titik pd ellips 5.4. Persmn Gris SInggung Ellips 179
19 = 1 (1) mk titik P kn memenuhi persmn (1) itu 1 1 = 1 () Persmn gris singgung ellips di titik P merupkn nggot kelurg gris ng mellui P( 1, 1 ) dn erentuk: = m( 1 ) 1 (3) Jik persmn (3) disustitusikn ke persmn (1) mk kn diperoleh persmn kudrt dlm itu: ( m( 1 ) 1) = 1 ( ) (m 1 m 1 ) (m 1 1 m 1 1 ) = 0 (4) Kren gris (3) meninggung kurv (1) mk dri pengethun ljr hruslh persmn (4) mempuni kr ng sm. Hl ini errti nili diskriminn persmn kudrt di ts ernili nol, itu [ (m 1 m 1 )] 4( ) (m 1 1 m 1 1 ) = 0 ( 1 )m 1 1 m ( 1 ) = Persmn Gris SInggung Ellips 180
20 1 (1 )m 1 1 m 1 (1 ) = 0 Sustitusi persmn () ke persmn terkhir kn memerikn persmn kudrt dlm m itu m 1 1 m 1 1 = 0 (5) Dri persmn (5) diperoleh selesin untuk m itu 1 m = 1 (6) Jik persmn (6) disustitusikn ke persmn (3) diperoleh persmn gris singgung ellips di titik P itu = 1 (7) Dengn persmn () persmn gris singgung direduksi menjdi 1 1 = 1 (8) Apil titik P( 1, 1 ) tidk terletk pd lingkrn, mk persmn (8) diseut persmn polr terhdp titik P dn titik P diseut titik polr Persmn Gris SInggung Ellips 181
21 Jik ellips dlm entuk ku ng erpust di (h, k), itu ( h) ( k) = 1 (9) mk persmn gris singgung ellips dengn persmn erentuk (9) di titik P( 1, 1 ) ng terletk di ellips terseut dpt diperoleh dri persmn (8) dengn mentrnslsikn sumu koordint sedemikin hingg pust sumu O(0, 0) ergeser ke titik O ( h, k). Mislkn sumu ru hsil trnslsi dlh X dn Y, dn koordint ru dlh dn, mk huungn koordint ru dn koordint lm dlh: = h dn = k (10) ru itu Koordint titik P( 1, 1 ) jug menglmi peruhn terhdp sistem koordint 1 = 1 h dn = 1 k (11) Selnjutn dengn mensustitusikn persmn (10) dn (11) ke persmn (8) kn diperoleh ( ' ' 1 h)( h) ' ' ( 1 k)( k) = 1 (1) Jik tnd ksen( ) dihilngkn mk diperoleh persmn gris singgung ellips (9) di titik P( 1, 1 ) ng terletk pd ellips terseut dlh 5.4. Persmn Gris SInggung Ellips 18
22 ( 1 h)( h) ( 1 k)( k) = 1 (1) Dengn cr ng sm dpt ditentukn persmn gris singgung ellips dengn persmn ( k) ( h) = 1 (13) di titik P( 1, 1 ) ng terletk pd ellips terseut dierikn oleh persmn ( 1 k)( k) ( 1 h)( h) = 1 (14) Persmn (1) jik dijrkn leih lnjut kn menghsilkn 1 1 h( 1 ) k( 1 ) ( h k ) = 0 (15) Sedngkn penjrn persmn (9) dlm entuk umum dlh h k ( h k ) = 0 (16) Dengn memperhtikn persmn (15) dn (16) mk secr umum dpt disimpulkn hw persmn gris singgung ellips dlm entuk umum A C D E F = 0 di titik ( 1, 1 ) ng terletk pd ellips terseut dierikn oleh: 5.4. Persmn Gris SInggung Ellips 183
23 A 1 C 1 ½ D( 1 ) ½ E( 1 ) F = 0 (17) Untuk memudhkn mengingt, hw persmn gris singgung ellips dlm entuk umum di semrng titik ( 1, 1 ) pd ellips dpt ditemukn dengn cr menggnti suku-suku pd persmn segi erikut: dignti dengn 1 dignti dengn 1 dignti dengn ½( 1 ) dignti dengn ½( 1 ) Hrus diingt hw cr di ts dpt dilkukn hn jik titik ( 1, 1 ) erd pd ellips. Akn tetpi metod di ts jug dpt digunkn segi metod lterntif untuk mencri persmn gris singgung ellips ng mellui seuh titik di lur ellips terseut. Contoh 1: Tentukn persmn gris singgung ellips 4 = 40 di titik (, 3). Jw: 4 = Persmn Gris SInggung Ellips 184
24 40 10 = 1 Dengn persmn (8) diperoleh persmn gris singgung ng dicri, itu = = 0 Grfik persmn ellips dn gris singgungn dpt diliht di gmr erikut Gmr 5.8: Contoh : Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 di titik (, 3) Persmn Gris SInggung Ellips 185
25 Jw: Dpt diperlihtkn hw titik (, 3) terletk pd ellips terseut. Selnjutn dengn menggunkn persmn (17), persmn gris singgung ng dicri dlh 9 4 ( 3) ½ 18( ) ½ ( 3 ) 30 = = 0 Contoh 3: Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 ng mellui titik (0, ). Jw: Jels hw titik (0, ) tidk terletk pd ellips terseut. Dlm hl ini kit tidk is menggunkn persmn (17) secr lngsung. Mislkn ( 1, 1 ) dlh titik singgung dri gris singgung ellips ng mellui (0, ). Mk persmn gris singgung ng dicri dlm entuk ½ 18( 1 ) ½ ( 1 ) 7 = = 0 (18) 5.4. Persmn Gris SInggung Ellips 186
26 Kren gris singgung mellui titik (0, ), mk persmn di ts hrus memenuhi koordint (0, ), sehingg = 0 1 = 1 5/9 (19) Tetpi titik ( 1, 1 ) erd pd ellips, kitn erlku huungn = 0 (0) Sustitusi persmn (19) ke (0) diperoleh persmn kudrt dlm 1, = 0 ng memerikn penelesin untuk 1 = Dengn demikin jug 3 diperoleh nili 1 = 1 5. Jdi koordint titik-titik singgungn pd ellips 3 dlh 4 5, dn 4 9 5, 1. Selnjutn dengn 35 3 persmn (17) dpt diterpkn pd ksus ini untuk mendptkn persmn gris singgung ng dicri tu mensustitusikn nili-nili ( 1, 1 ) ke persmn (18). Terdpt du gris singgung ng dicri Persmn Gris SInggung Ellips 187
27 Pertm ng mellui titik 4 5, dlh = 0 3 ( ) ( ) ( ) = 0 Dn kedu ng mellui titik 4 9 5, dlh = 0 3 ( ) ( ) ( ) = Persmn Gris Singgung ng mempuni Kemiringn Tertentu. Sekrng kit icrkn gris singgung sutu ellips ng mempuni kemiringn tertentu. Pertm mislkn kn dicri persmn gris singgung ellips = 1 (1) dn mempuni kemiringn m (liht gmr 5.9) Persmn Gris SInggung Ellips 188
28 l 1 : Y l : O X Gmr 5.9: Kren kemiringn gris singgung l sudh dikethui mk gris l merupkn nggot erks gris ng erentuk = m c () dengn c prmeter konstnt ng elum dikethui. Jik persmn gris () disustitusikn ke persmn ellips (1) kn diperoleh huungn ( m c) = 1 ( m ) mc ( c ) = 0 Oleh kren gris meninggung ellips mk hruslh memotong pd stu titik sj, dengn kt lin persmn kudrt di ts hruslh mempuni penelesin ng kemr. Hl itu errti nili diskriminnn hruslh nol, itu 5.4. Persmn Gris SInggung Ellips 189
29 (mc ) 4( m )( c ) = 0 dn memerikn penelesin untuk nili c c = ( m ) c = m Jdi persmn gris singgung ng dicri dlh = m m (3) Sedngkn persmn gris singgung pd ellips dengn persmn ku umum ( h) ( k) = 1 ng mempuni kemiringn m dierikn oleh: k = m( h) m (4) Contoh 4: Tentukn persmn gris singgung ellips ( ) 5 ( 3) 16 = 1 ng tegk lurus gris 3 1 = Persmn Gris SInggung Ellips 190
30 Jw: Mislkn m dlh kemiringn gris singgung ng dicri. Gris 3 1 = 0 mempuni kemiringn /3, sedngkn gris singgung ng dimint tegk lurus dengn di ts, ng errti perklin ntr kemiringn gris = 1. Jdi m.( 3 ) = 1 tu m =. 3 Berdsrkn rumus (4) mk persmn gris singgung ng dicri dlh : 3 3 = ( ) = = = = 0 Jdi persmn gris singgung ng dicri dlh 3 5 = 0 dn 3 9 = Persmn Gris SInggung Ellips 191
31 5.5. Terpn Ellips Ellips mempuni nk terpn di dlm ilmu pengethun mupun seni. Pegs pd sistem suspensi moil sering erentuk elliptik tu semi elliptik. Dlm stronomi, lintsn edr plnet dn stelit erup ellips, di mn mthri erd pd slh stu fokusn. Hl ini seperti dijelskn pd hukum Keppler tentng gerk edr plnet. Dlm idng konstruksi dn rsitektur, lengkungn jemtn kdng-kdng erentuk ellips, sutu entuk ng mempuni efek kekutn dn nili seni. Ad stu sift pliktif pd ellips erkenn dengn pntuln ellips. Perhtikn gmr erikut. T P F F Gmr 5.10: PT dlh semrng gris singgung ellips ng dengn fokus di F dn F'. Mislkn ukurn sudut ntr FP dengn PT dlh, dn ukurn sudut ntr F P dengn PT dlh, mk dpt ditunjukkn hw = (liht ltihn 5 C no. 1). Oleh kren itu sinr ch ng memncr dri sumer di slh stu fokus cermin 5.5. Terpn Ellips 19
32 elliptik ng mengeni cermin kn dipntulkn sepnjng gris ng mellui fokus linn. Sift ellips ini digunkn dlm sermi isikn dengn lngit-lngit ng mempuni penmpng erup lengkungn ellips dengn fokus ng sm. Seseorng ng erdiri di slh stu fokus F dpt mendengn isikn orng lin pd fokus F ng lin se gelomng sur ng ersl dri pemisik di F mengeni lngit-lngit dn oleh lngit-lngit dipntulkn ke pendengn di F. Contoh termshur sermi isikn d di wh kuh gedung Cpitol di Wshington, D.C. Yng lin d di Mormon Terncle di Slt Lke Cit. Ltihn 5 C 1. Pd gmr uktikn hw =.. Tentukn persmn gris singgung ellips ( ) 5 ( 1) 16 = 1 pd titik potong dengn sumu-. Berp kemiringn gris singgung terseut? 3. Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 di titik ( 3 ; 1). 4. Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 ng mempuni kemiringn. Ltihn 5 C 193
33 5. Tentukn persmn gris singgung ellips = 311 ng mempuni kemiringn /3. 6. Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 ng mellui titik (0, 0). 7. Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 ng mempuni kemiringn Du gris ng sling tegk lurus meninggung ellips = 0. Jik slh stu gris mempuni kemiringn 3, tentukn titik potong kedu gris singgung. 9. Tentukn esr sudut ntr du gris singgung ellips = 0 ng mellui titik pust koordint. 10. Tentukn persmn gris singgung ellips = 0 di titik potong ellips dengn sumu-sumu koordint. Tentukn pul esr sudut ntr gris-gris singgung terseut. 11. Tentukn lus segiempt ng dientuk oleh gris-gris singgung ellips = 0 di titik-titik ujung ltus rektum (lkter rekt). Ltihn 5 C 194
SMA Santa Angela. Bandung. 1 P a g e
Persmn Gris Singgung SMA Snt Angel Bndung P g e P g e Persmn Gris Singgung pd Ellips Seperti hln pd lingkrn, terdpt du mcm gris singgung ng kn diicrkn, itu gris singgung ng mellui slh stu titik pd ellips
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke satu titik tertentu sama dengan jaraknya ke sebuah garis tertentu (direktriks).
Prol dlh tempt kedudukn titik-titik ng jrkn ke stu titik tertentu sm dengn jrkn ke seuh gris tertentu (direktriks). Persmn Prol 1. Persmn Prol dengn Punck O(,) Perhtikn gmr erikut ini! PARABOLA g A P(,
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
Tujuan Pembelajaran. ) pada elips. 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung yang melalui titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PADA ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (,
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN GRAFIKNYA Persmn dlh klimt mtemtik teruk ng memut huungn sm dengn. Sedngkn klimt mtemtik tertutup ng memut huungn sm dengn diseut kesmn. Klimt mtemtik :. Klimt mtemtik
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
SEMI KUASA TITIK TERHADAP ELIPS
RISMTI - ISSN : - 66 THUN VOL NO. GUSTUS 5 SEMI US TITI TERHD ELIS rnidsri Mshdi rtini Mhsisw rogrm Studi Mgister Mtemtik Universits Riu Jl. HR Soernts M 5 mpus in Wid Simpng ru eknru Riu 89 Emil: rnidsri@hoo.com
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
7. APLIKASI INTEGRAL
7. APLIKASI INTEGRAL 7. Menghitung Lus Derh.Mislkn derh D (, ), f ( ) D f() Lus D =? Lngkh :. Iris D menjdi n gin dn lus stu uh irisn dihmpiri oleh lus persegi pnjng dengn tinggi f() ls(ler) A f ( ). Lus
IV V a b c d. a b c d. b c d. bukan fungsi linier y = x = x y 5xy + y = B.2 Konsep Fungsi Linier
8. Dri fungsi-fungsi ng disjikn dengn digrm pnh erikut ini mnkh ng merupkn fungsi onto, injektif tu ijektif, jik relsi dri A ke B? A c d IV B A c d V B A c d VI B B. Konsep Fungsi Linier. Tujun Setelh
INTEGRAL. y dx. x dy. F(x)dx F(x)dx
Drs. Mtrisoni www.mtemtikdw.wordpress.om INTEGRAL PENGERTIAN Bil dikethui : = F() + C mk = F () dlh turunn dri sedngkn dlh integrl (nti turunn) dri dn dpt digmrkn : differensil differensil Y Y Y Integrl
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
Vektor translasi dpt ditunjukkan oleh bil. berurutan yang ditulis dlm bentuk matriks kolom
TRANSFORMASI GEOMETRI BAB Sutu trnsformsi idng dlh sutu pemetn dri idng Krtesius ke idng ng lin tu T : R R (,) ( ', ') Jenis-jenis trnsformsi ntr lin : Trnsformsi Isometri itu trnsformsi ng tidk menguh
Yohanes Private Matematika ,
Yohnes Privte Mtemtik 3 081519611185, 08119605588 Irisn keruut: Lingkrn Prol Elis Hierol LINGKARAN Bentuk umum : 2 + 2 = r 2 ust: (0, 0) ; jri-jri = r ( ) 2 + ( ) 2 = r 2 ust: (, ) ; jri-jri = r r r 2
MATEMATIKA INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 5 Sesi N INTEGRAL TENTU DAN LUAS DAERAH A. DEFINISI INTEGRAL TENTU Bentuk integrl f d = f + c diseut segi integrl tk tentu kren hsil dri pengintegrlnn msih erup
INTEGRAL. Kelas XII IIS Semester Genap. Oleh : Markus Yuniarto, S.Si. SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 2017/2018
Modul Integrl INTEGRAL Kels XII IIS Semester Genp Oleh : Mrkus Yunirto, SSi SMA Snt Angel Thun Peljrn 7/8 Modul Mtemtik Kels XII IIS Semester TA 7/8 Modul Integrl INTEGRAL Stndr Kompetensi: Menggunkn konsep
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
MATEMATIKA. Sesi INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR B. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR TERHADAP SUMBU-X
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 6 Sesi N INTEGRAL VOLUME A. BENDA-BENDA YANG MEMILIKI SUMBU PUTAR Apliksi integrl erikutn dlh menentukn volume end ng memiliki sumu putr. Contoh endn dlh tung,
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, (3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti. 04, tidak termasuk bilangan rasional
Diktt Kulih TK Mtemtik BAB PENDAHULUAN. Sistem Bilngn Rel Terdpt eerp sistem ilngn itu: ilngn sli, ilngn ult, ilngn rsionl, ilngn irrsionl, dn ilngn rel. Msing-msing ilngn itu segi erikut. ) Bilngn sli
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
A 1P = PA 2 B 1P = PB 2 F 1P = PF 2 A 1A 2 B 1B 2 F 1 dan F 2 A 1 dan A 2 B 1 dan B 2 B 2
http://www.smkpeklongn.sch.id Elips A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik pd geometri dimensi yng memiliki jumlh jrk yng tetp terhdp du titik tertentu. Selnjutny du titik tertentu terseut
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
IRISAN KERUCUT. 1. Persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) dan jari-jari r. Persamaan = TK titik T = =
IRISAN KERUCUT Bb 9 A. LINGKARAN. Persmn lingkrn dengn pust (0,0) dn jri-jri r 0 r T(x,y) X Persmn = TK titik T = { T / OT r } = = {( x, y) / r } {( x, y) / r }. Persmn lingkrn dengn pust (,b) dengn jri-jri
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
Bab 4 Transformasi Geometri
B 4 Trnsformsi Geometri TUJUAN PEMBELAJARAN Pem is memhmi konsep trnsformsi geometri -D dn -D : trnslsi, rotsi, Refleksi, her dn slling OUTCOME PEMBELAJARAN Pem is menghitung trnsformsi geometri -D ser
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
B II : Fungsi Liner Dlil : Grfik ri fungsi-fungsi liner (liner rtin pngkt stu tu stright) lh sutu gris lurus... GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (,) S. Y Trik Gris ri titik O ke titik P imn OP terletk p
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik ii Drpulic BAB Mononom dn Polinom Mononom dlh perntn tunggl ng erentuk k n, dengn k dlh tetpn dn n dlh ilngn ult termsuk nol. Fungsi polinom merupkn jumlh terts
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudrtno Sudirhm Studi Mndiri Fungsi dn Grfik Diferensil dn Integrl i Drpulic Hk cipt pd penulis, 1 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dn Grfik, Diferensil dn Integrl Oleh: Sudrtmo Sudirhm Drpulic, Bndung fdg-111
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Memperebutkan Piala Gubernur Sumatera Selatan 3 5 Mei 2011
LOMBA CERDAS CERMAT MATEMATIKA (LCCM) TINGKAT SMP DAN SMA SE-SUMATERA Mempereutkn Pil Guernur Sumter Seltn Mei 0 PENYISIHAN I PERORANGAN LCCM TINGKAT SMA. Dikethui kuus ABCD.EFGH dengn rusuk 6 cm. Jik
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
Matematika EBTANAS Tahun 1992
Mtemtik EBTANAS Thun 99 EBT-SMA-9-0 Grfik fungsi kudrt yng persmnny y = x 5x memotong sumu x. Slh stu titik potongny dlh (, 0), mk nili sm dengn EBT-SMA-9-0 Persmn x px + 5 = 0 kr-krny sm. Nili p 0 tu
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
GRAFIK ALIRAN SINYAL
GRAFIK ALIRAN SINYAL PENGANTAR Grfik lirn sinl merupkn sutu pendektn ng digunkn untuk menjikn dinmik sistem pengturn. Grfik lirn sinl merupkn sutu digrm ng mewkili seperngkt persmn ljr linier. Untuk mengnlisis
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
INTEGRAL. 1. Macam-macam Integral. Nuria Rahmatin TIP L. A. Integral Tak Tentu
INTEGRAL Nuri Rhmtin 5000006 TIP L. Mcm-mcm Integrl A. Integrl Tk Tentu Integrl dlh entuk invers dri turunn. Secr umum jik seuh fungsi diintegrlkn terhdp vrile tertentu dpt disjikn dlm entuk : f ( F( C
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
BAB VI HIPERBOLA. - Titik 0, yaitu titik tengah FG, disebut pusat hiperbola. dan G(c,0) disebut titik fokus hiperbola
B VI : Hierol 85 BAB VI HIPERBOLA 6.. Definisi Hierol Hierol dlh temt kedudukn titik-titik ng selisih jrkn terhd du titik tertentu tet hrgn. Cttn: du titik tertentu itu diseut fokus hierol - - Mislkn:
PRINSIP DASAR SURVEYING
POKOK HSN : PRINSIP DSR SURVEYING Metri system, Dsr Mtemtik, Prinsip pengkurn : pengkurn jrk, pengkurn sudut dn pengukurn jrk dn sudut,.. Sistem Ukurn Jrk Unit pling dsr dlm sistem metrik dlh meter, dimn
Soal-soal dan Pembahasan Matematika Dasar SBMPTN-SNMPTN 2006
www.purwntowhyudi.com Hl- Sol-sol dn Pemhsn Mtemtik Dsr SBMPTN-SNMPTN 006. Jik > 0, > 0 dn mk A. C. E. B. D. Jw:. Jwnny dlh A. Jik p - dn q -, mk q p. A. C. E. B. D. Jw: q p Jwnny dlh A . Grfik y terletk
Matematika SKALU Tahun 1978
Mtemtik SKALU Thun 978 MA-78-0 Persmn c + b + = 0, mempunyi kr-kr dn, mk berlku A. + = b B. + = c C. = c = c = c MA-78-0 Akr dri persmn 5 - = 7 + dlh A. B. C. 4 5 MA-78-0 Hrg dri log b. b log c. c log
BAB VIII BIDANG RATA DAN GARIS LURUS
VIII : idng Rt dn Gris Lurus VIII IDNG RT DN GRIS LURUS 8.. Persmn Vektoris idng Rt Sutu idng rt kn tertentu il dikethui tig uh titik (ng tidk segris) ng terletk pd idng rt terseut. Mislkn dikethui tig
PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL
BAB I PEMANTAPAN BELAJAR SMA BBS INTEGRAL I A RANGKUMAN INTEGRAL. Pengertin Apil terdpt fungsi F() yng dpt didiferensilkn pd selng I sedemikin hingg F () = f(), mk nti turunn (integrl) dri f() dlh F()
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
5. Bangun Geometris. Sudaryatno Sudirham
5.. Persmn Kurv 5. Bngun Geometris Sudrtno Sudirhm Persmn sutu kurv secr umum dpt kit tuliskn sebgi F (, ) = 0 (5.) Persmn ini menentukn tempt kedudukn titik-titik ng memenuhi persmn tersebut. Jdi setip
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Hendra Gunawan. 15 November 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendr Gunwn Semester I, 2013/2014 15 Novemer 2013 Ltihn 1. Pnjng lmi sutu pegs dlh 0.08 m. Gy seesr 0.6 N diperlukn untuk menekn dn menhnny pd pnjng 0.07 m. Tentukn kerjyng dilkukn
DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN
I TU URI HANDA AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Irisn Kerucut Mtriks G A O M AT E M A T AK A R Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENINGKATAN
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
GEOMETRI ANALITIK RUANG. Dr. Susanto, MPd
GEOMETRI ANALITIK RUANG Dr. Susnt MPd PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS JEMBER TAHUN KATA PENGANTAR Puji sukur
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN
BAB 7. LIMIT DAN LAJU PERUBAHAN 7. LIMIT FUNGSI 7.. Limit fungsi di sutu titik Menggmbrkn perilku fungsi jik peubhn mendekti sutu titik Illustrsi: Dikethui f( ) f(), 3,30,0 3,030,00 3,003 3 f() = f() 3,000?
Solusi Pengayaan Matematika
Solusi Pengn Mtemtik Edisi pril Pekn Ke-, 00 Nomor Sol: -0 Tentukn bnk psngn bilngn rel, ng memenuhi persmn ot ot Solusi: ot ot tnπ otπ π tnπ tn π π π π k π k 00 k 00 k k 00 k k 00 k k 00 k k 00 Kren k
Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
SEMI KUASA TITIK DI DALAM LENGKUNGAN HIPERBOLA
Jurnl Mtemtik Vol6 No Desemer 07 ISSN: -5056 / 598-8980 http://ejournlunisid Diterim: /06/07 Disetujui: 8//07 uliksi Online: //07 SEMI UASA TITI DI DALAM LENGUNGAN HIERBOLA Irm Fitri Mshdi Hsriti Fkults
INTEGRAL TAK TENTU. x x x
INTEGRAL TAK TENTU Definisi : Fungsi F diktkn nti turunn dri fungsi f pd selng I jik F () = f() untuk semu di I. Notsi : F() = f() Integrl tk tentu dlh Anti/Invers/Kelikn turunn. c c Integrl tk tentu dlh
w Contoh: y x y x ,,..., f x z f f x
A. endhulun Dlrn kehidupn nt, sutu vriel terikt tidk hn dipengruhi oleh stu vriel es sj, kn tetpi dpt dipengruhi oleh eerp vriel es. d gin ini merupkn kelnjutn dri ungsi dengn stu vriel es ng telh dipeljri
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
PEMBAHASAN. A. Teorema Pythagoras 1. Luas persegi dan luas segitiga siku-siku Perhatikan Gambar 1! D. Gambar 1
PEMBAHASAN A. Teorem Pythgors 1. Lus persegi dn lus segitig siku-siku Perhtikn Gmr 1! D s A s B Gmr 1 Pd gmr terseut tmpk seuh persegi ABD yng pnjng sisiny s stun pnjng. Lus persegi ABD = sisi sisi L =
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
![[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]](/thumbs/55/35374920.jpg "[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]")
http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor
II. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan definisi definisi, istilah istilah dan teoremateorema. yang berhubungan dengan penelitian ini.
II. LANDASAN TEORI Dlm ini kn didiskusikn definisi definisi, istilh istilh dn teoremteorem yng erhuungn dengn penelitin ini. 2.1 Anlitik Geometri Definisi 2.1.1 Titik dlh unsur yng tidk memiliki pnjng,
INTEGRAL. Integral Tak Tentu Dan Integral Tertentu Dari Fungsi Aljabar
INTEGRAL Integrl Tk Tentu Dn Integrl Tertentu Dri Fungsi Aljr A. Integrl Tk Tentu Hitung integrl dlh kelikn dri hitung differensil. Pd hitung differensil yng dicri dlh fungsi turunnny, sedngkn pd hitung
FUNGSI TRANSENDEN. Sifat satu kesatu yang mengakibatkan fungsi
FUNGSI TRANSENDEN I. Pendhulun. Pokok Bhsn Logritm Fungsi Eksponen.2 Tujun Mengethui entuk fungsi trnsenden dlm klkulus. Mengethui dn memhmi entuk fungsi trnseden itu logritm dn fungsi eksponen sert dlm
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
BAB IX BOLA, SILINDER DAN KERUCUT
B IX : Bol Silinder dn Kerucut 7 BAB IX BOLA SILINDER DAN KERUCUT 9.. Tempt Kedudukn di dlm Rung Tempt kedudukn disingkt TK dlh himpunn titik-titik ng memnuhi srt-srt ng ditentukn. TK mungkin hmp stu titik
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Soal Latihan dan Pembahasan Fungsi kuadrat
Sol Ltihn dn Pemhsn Fungsi kudrt Di susun Oleh : uun Somntri htt://imingneljr.net/ Di dukung oleh : Portl eduksi Grtis Indonesi Oen Knowledge nd Edution htt://oke.or.id Tutoril ini dierolehkn untuk di
UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015
-. UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 015 SILAHKAN KLIK KUNJUNGI: WWW.E-SBMPTN.COM Ltihn Sol Fisik 1. Thun hy dlh stun dri... (A) jrk (D) momentum (B) keeptn (E) energi (C) wktu. Stu wtt hour sm dengn...
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Benda Putar (Khusus Kalkulus 1)
BAB: PENERAPAN INTEGRAL Topik: Volume Bend Putr (Khusus Klkulus ) Kompetensi yng diukur dlh kemmpun mhsisw menghitung volume bend putr dengn metode cincin, metode ckrm, tu metode kulit tbung.. UAS Klkulus,
IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
OSN 2015 Matematika SMA/MA
Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
adalah biaya marginal dari C terhadap Q x adalah biaya marginal dari C terhadap Q y Umumnya biaya marginal adalah positif C
A. endhulun. Seperti telh dikethui hw diferensil memhs tentng tingkt peruhn sehuungn dengn peruhn kecil dlm vrile es fungsi ersngkutn. Dengn diferensil dpt dikethui kedudukn-kedudukn khusus dri fungsi