PENGANTAR KALKULUS. Disampaikan pada Diklat Instruktur/Pengembang Matematika SMA Jenjang Dasar Tanggal 6 s.d. 19 Agustus 2004 di PPPG Matematika

Transkripsi

1 PENGANTAR KALKULUS Dismpikn pd Diklt Instruktur/Pengemng Mtemtik SMA Jenjng Dsr Tnggl 6 s.d. 9 Agustus di PPPG Mtemtik Oleh: Drs. SETIAWAN, M. Pd. Widyiswr PPPG Mtemtik Yogykrt DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN GURU (PPPG) MATEMATIKA YOGYAKARTA

2 BAGIAN IV KALKULUS INTEGRAL Kegunn integrl segi ilmu ntu dlm geometri, teknologi, iologi dn ekonomi tk dpt disngkl lgi. Orng yng terctt dlm sejrh pertm kli mengemukkn ide tentng integrl dlh Archimedes seorng ilmuwn ngs Yunni yng ersl dri Syrcus (87 SM). Archimedes menggunkn ide integrl terseut untuk mencri lus derh sutu lingkrn, derh yng ditsi oleh prol dn tli usur dn seginy. Sejrh menctt orng yng pling erjs dlm hl pengemngn klkulus integrl dlh Georg Friederich Benhrd Riemnn (86 866). A. Integrl Tktentu. Integrl segi opersi invers dri turunn. Mislkn fungsi f dlh turunn dri fungsi F, yng errti F() df() d f() Pndnglh pendiferensiln fungsi-fungsi di wh ini F() F () f() F() + F () f() F() 7 F () f() F() + c (c konstnt) F () f() Sekrng timul pertnyn pkh dri huungn F () f() ini jik f() dikethui mk f() psti dpt ditentukn? Sutu opersi mencri F() jik f() dikethui yng merupkn invers dri opersi pendiferensiln diseut opersi nti derivtif, nti diferensil, nti turunn yng is diseut Opersi integrl. Dri contoh di ts dpt ditrik kesimpuln hw nti turunn dri f() dlh F() + c, c konstnt. Dri pengertin hw integrl dlh invers dri Opersi pendiferensiln, mk pil terdpt fungsi F() yng diferensil pd intervl [, ] sedemikin hingg df() F ' d () f() mk nti turunn dri f() dlh F() + c, dn is kit tulis dengn notsi. f()d F() + c Notsi dlh notsi integrl tk tentu. Cttn : Orng yng pertm kli memperkenlkn lmng segi lmng integrl dlh Leiniz, yng disepkti segi slh seorng penemu dri Klkulus. Dri contoh di ts diperoleh hsil d + c Dengn memperhtikn diferensil-diferensil di wh ini: F() + c F () F() + c F () F() n n + (n+ ) n n+ + c F () n+ n (n+ ) F() n + n+ + c F () n+ mk diperoleh integrl fungsi-fungsi ljr : n

3 () d + c () d + c n n+ () d + c,n n + n n+ () d + c,n n + Dri integrl dlh invers diferensil mk d f() ± f() f() ± g()d f()d f()d () ( ) (6) Jw: ( ) d. + c Contoh. Tentukn ( )d + c Contoh. Integrlknlh ( ) 6 Jw: ( ) d ( g + 6)d c c Mengingt pendiferensiln fungsi-fungsi yng lin; yitu: Jik f() sin mk f () cos Jik f() cos mk f () -sin Jik f() tn mk f () sec Jik f() cot mk f () -csc Jik f() sec mk f () sec tn Jik f() csc mk f () -csc cot Jik f() e mk f () e Jik f() ln mk f () Dengn mengingt integrl dlh opersi invers dri pendiferensiln, mk kn diperoleh rumus-rumus pengintegrln. 6

4 (7) cos d sin + c (8) sin d -cos + c (9) sec d tn + c () csc d cot + c () sec tn d sec + c () csc cot d -csc + c () e d e + c d + () ln c Contoh. Grdien pd titik (,y) dri sutu kurv y f() dikethui memenuhi dy huungn d dn mellui (, ). Tentukn persmn kurvny. Jw: dy Grdien kurv y f() dlh d Sehingg y ( ) d y. + c y + c Mellui (, ). + c c Jdi persmnny : y + Jik sutu sol integrl tk dpt diselesikn dengn integrl lngsung, mungkin dengn mensustitusi vriel ru sol terseut dpt dipechkn.. Pengintegrln Dengn Sustitusi Menentukn integrl fungsi yng dpt disederhnkn menjdi entuk n ( f ()) d( f() ). Mengcu pd rumus pengintegrln entuk mk pengintegrln u n d u n + n+ + c, n - n d n + n+ + c, n -, Contoh. Tentukn + d 7

5 Jw : Mislkn u + mk du d Sehingg + d u. du u du. u + c 9 ( + ) + c. 9 du. ( + )d Contoh. : ( + 6) 9 Jw : Mislkn u + 6 du ( + 6)d ( + )d du. ( + )d du Sehingg : u ( + 6) 9 Contoh. Integrlknlh sin 9 u du 9. u + c 9 ( + 6) + c. d Jw : sin d (sin ) sin d Mislkn u cos du - sin d sin d du Sehingg (sin ) sin d (- cos ) sin d 8

6 Contoh. sin cos d ( u ) ( du) Jw : Mislkn u sin du cos d du cos d ( u + u ) du cos + cos cos + c. 9 sin Ltihn. sin u 6 6 (u u 7 sin cos d 6.(- sin ( u 6 7 u 7 u 9 ). du )du 9 ) + c sin sin 6).cos d c.( sin 6).cos d Tentuknlh :. ( + ) d. ( + ) d 8 d. ( + ) sin d 9. cos cos d. sin tg d. cos 9

7 . d +. d cot g d. sin tg( + )d ). cos( d 7. d sin d (- cos ) cos d. ( + sin ) d tn d + cos Tentukn pul ntiderivtif dri sol-sol di wh ini! 7. d ( + ) ( + )d 9. + d. ( + ) d. ( ) +. cos sin d d. sin cos d 6. cos d 7. sin d d 8. sin cos d. cos d 9. ( + cos) sin d. sin cos d. (tn sec ) d. Menentukn Hsil dri d dengn Sustitusi sin t tu ycost Bentuk-entuk integrl di ts dpt digunkn sustitusi dengn menggunkn ntun skets geometri. Contoh Tentukn d Mislkn sin t sin t cos t d cos t cos t

8 t Sehingg d cos t.cos tdt cos tdt ( + cos t) dt (t + sin t) + c Untuk mengemlikn hsil dlm t ini kemli ke vriel digunkn fungsi invers dri fungsi trigonometri, yng is kit kenl segi fungsi siklometri. Bhw jik f() sin mk f () sin rc sin f() cos mk f () cos rc cos f() tn mk f () tn rc tn Dengn huungn jik y sin mk rc sin y Dri persoln di ts, dri d t + sin t + c t + sint.cos t + c sin t t rc sin yng errti : d rc sin c rc sin + + c Contoh. Tentukn Jw : t 9 d 9 Mislkn sin t sin t d cos t dt dn t rc

9 9 cos t 9 cos t Sehingg : 9 d cos t. cos tdt 9 cos tdt 9 ( + cos t) dt 9 (t + sin t) + c 9 (t + sint. cos t) + c 9 (rc sin 9 rc sin 9 +. ) + c c Contoh. Tentuknlh d + + t Mislkn tn t tn t d sec t dt sec t + + sec t Sehingg d + sec tdt ( tn t) sec t sec tdt tn t sin t cos t dt sin d(sin t) - sin t + c

10 + c sin t c + c Ltihn 6 Tentuknlh integrl dri sol-sol di wh ini!. d.. d.. d.. d. d ( ) ( d d ) d ) ( d. 9 d d 6. d d 7. d 7. ( ) ( ( d ) d d 8. d + 7). Integrl Prsil 9.. d d 6 9

11 Mislkn u dn v msing-msing fungsi yng diferensiel dlm, mk diferensil dri y u.v dlh : d(u.v) u.dv + v.du dn jik kedu rus diintegrlkn, kn diperoleh : d (uv) udv + vdu uv udv + vdu tu : udv uv vdu Rumus integrl ini diseut rumus integrl prsil dimn rumus ini is digunkn pil vdu mudh dicri dlm upy mencri penyelesin dri udv yng secr lngsung sulit. Contoh. Tentukn integrl-integrl :. + d. sin d Jw :. Mislkn u mk du d dn dv + mk v + d ( + ) d( + ) Sehingg + d. ( ) ( ) + + ( ) d + ( + ) d( + ) ( ) +. ( + ) + c ( ) + ( + ) + c ( ) + + c. Misl u du d dv sin d v sin d cos + c Sehingg sin d ( cos) ( cos) d cos + sin + c 9 Untuk sol-sol tertentu kdng-kdng diperlukn leih dri sekli memprsilkn. Contoh. Tentuknlh cos( + ) d

12 Jw : Mislkn u mk du d dn dv cos( + ) d Mk v cos( + )d sin( + ) + c Sehingg : cos( + ) d ( sin( + ) sin( + ).d sin( + ) sin( + ) d. (i) Integrl sin( + ) d dpt dicri dengn memprsilkn sekli lgi sin( + ) d ( d(cos( + )) d(cos( + )) ( cos( + ) cos( + )d) cos( + ) + sin( + ) + c..(ii) Dri (i) dn (ii) diperoleh : cos( + ) d sin(+) ( cos( + ) + sin( + )) + c sin(+) + cos( + ) sin( + )) + c Pengemngn : Khusus untuk pengintegrln prsil erulng entuk udv yng turunn ke-k dri u dlh (nol), dn integrl ke-k dri v d, mk integrl erulng di ts dpt ditempuh cr prktis segimn contoh di wh ini. Contoh Tentuknlh cos( + ) d Jw : cos(+) diturunkn + diintegrlkn sin( + ) cos( + ) + sin( + ) 8 Sehingg : cos( + ) d sin( + ) + cos( + ) sin( + ) + c Contoh

13 Integrlknlh : sin( + ) d Jw : sin(+) + diturunkn cos( + ) sin( + ) + cos( + ) 8 sin( + ) 6 + cos( + ) diintegrlkn Sehingg : sin( + ) d cos( + ) + sin(+) + cos( + ) sin( + ) cos( + ) + c Ltihn 7 Dengn menggunkn integrl prsil, crilh integrl erikut ini :. ( ) d. sin( ) d. ( + ) 6 d. sin( + ) d. ( ) d. d. d 6. d. 9 d. cos( ) d. sin d sin 6. cos d (petunjuk uh keentuk sin d d 7. cosd sin( ) d 8. d 9. ( + ) cos( ) d 9. cos d. cos d. cos( ) d Pengyn : 6

14 Pengintegrln fungsi-fungsi trigonometri, keculi dengn sustitusi dpt jug digunkn rumus rumus reduksi di wh ini :. sin n sin n u cos u udu + n sin n udu n n. cos n cos n u sin u udu + n cos n udu n n. sin n u cos m sin n+ u cos m+ u du + m sin n u cos m udu,n m m + n n + m sin n u cos m+ u + n sin n u cos n udu,n m m + n n+ m Bukti :. sin n udu sin n u sin udu sin n ud(cos u) sin n u cos u + cos ud(sin n u) sin n u cos u + (n-) cos u sin n u cos udu sin n u cos u + (n-) cos u sin n udu sin n u cos u + (n-) ( sin u)sin n udu sin n u cos u + (n-) sin n udu (n ) sin n udu n sin n udu sin n u cos u + (n-) sin n udu Jdi sin n sin n u cos u udu + n sin n udu u n Contoh Tentuknlh sin ( ) d Jw : sin ( ) d sin ( )d( ) sin ( ) cos( ) ( + sin( )d( ) sin( ) cos( ) cos( ) Contoh 7

15 Tentuknlh cos ( + ) d Jw : cos ( + ) d cos ( + )d( + ) cos ( + ) sin( + ) ( + cos ( + )d( + )) cos( + ) sin( + ) cos ( + ) sin( + ) + ( d( + )) cos ( + ) sin( + ) + cos( + ) sin( + ) + ( + ) + c Ltihn 8 Dengn menggunkn rumus reduksi selesikn pengintegrln di wh ini. sin d 9. sin cos d. cos d. sin cos d. cos d. sin ( + )cos ( + ) d. sin d. sin( ) d. cos d. cos( + ) d 6. cos ( + ) d. ( + ) sin( + 6) d 7. cos ( + ) d. ( ). cos( 6) d 8. sin cos d 6. sin( + ) d. Pengintegrln u du d Dri f() ln f () mk ln + c du Yng errti ln u + c. u Contoh. Tentuknlh ( e ) e d Jw : Mislkn u e mk du -e d e d du 8

16 . u + c ( e ) + c 6 Sehingg ( )e d u ( du) Contoh. Tentuknlh sin e -cos d Jw mislkn u cos du sin d -cos u sehingg sin e d e du e u + c e -cos + c Contoh. d Integrlknlh ( + ln ) Jw : Mislkn u + ln d du u du Sehingg d du ( + ln ) u ln u + c ln( + ln ) + c Contoh. Integrlknlh log ( + ) d ln ( + ) Jw : Mislkn u log ( + ) ln.d du ( + )ln du d d ( + ) u ( + ) + c Sehingg : log d ( + )d ( + ) log( + ) ( + ). ( + )ln 9

17 Contoh. Integrlknlh ( + ) log ( + ) - d ln ( + ) log ( + ) - + c. ln e sin d Jw : e sin d - e d(cos ) e cos - cos d (e ). e cos + e cos d e cos + e d(sin ) e cos + e sin - sin d(e ) e cos + e sin - e sin d e sin d - e cos + e sin + c Jdi e sin d e (sin - cos ) + c. Ltihn 9. Tentuknlh integrl dri : d e d.. e + d (e )d.. + e e. d. e d d. u + (e )d. e sec. d tg. e d e d e d e 7. tg ( ) d 7. 6 d 6

18 8. ctg( + ) d 8. 6 d Petunjuk mis. 9. sec d 9. u sec + tg + d. cos d. + d B. Integrl tertentu. Pengertin Integrl Tertentu (Integrl Riemnn) f( ) L y f() f( n ) Gmr dismping memperlihtkn derh L yng ditsi oleh y f(), sumu dri smpi dengn. Untuk mencri lus derh L ditempuh lngkhlngkh segi erikut. G.. Lngkh pertm, intervl [,] digi menjdi n intervl dengn pnjng msingmsing intervl gin,,,, n. Sedng pd msing-msing intervl ditentukn titik-titik,,,, n. Selnjutny diut persegipnjng-persegipnjng dengn pnjng msing-msing f( ), f( ), f( ),, f( n ) dn ler msingmsing,,,, n sehingg : Lus persegipnjng pertm f( ). Lus persegipnjng kedu f( ). Lus persegipnjng ketig f( ). Lus persegipnjng ke-n f( n ). n + Jumlh lus seluruh persegipnjng f( ). +f( ). +f( ). + +f( n ). n n f (i ). i. i Dn untuk meneknkn hw pengmiln jumlh terseut meliputi derh pd intervl [,], notsi sigm di ts sering kit tulis dengn notsi. Jumlh semu lus persegipnjng f ().. Jik n diut cukup esr mk jumlh lus dits mendekti lus derh L. Sehingg lus deh L dlh nili limit jumlh di ts. L lim n f().. 6

19 Notsi terseut di ts is ditulis dengn notsi integrl tertentu tu integrl Riemnn : L f()d. : notsi integrl tertentu : ts wh integrl : ts ts integrl Contoh 8 Tunjukkn dengn jln mengrsir derh yng ditunjukkn oleh ( + )d. Jw : Persmn kurv y + y A + Integrl di ts menyjikn derh yng ditsi oleh kurv y +, sumu, dengn grisgris - dn, seperti derh yng dirsir dismping. G... Menentukn nili f()d Untuk menentukn nili f ()d dicri segi erikut : y Andikn kn dicri lus derh yng ditsi oleh y f(), sumu dri smpi dengn C T S. U R Mislkn lus derh yng dicri dlh L(), D mk A P c h Q c+h B G.. 6

20 L() f ()d, c L(c) f ()d c+h L(c + h) f ()d L() f ()d dn Lus PQRU < lus PQSU < lus PQST f(c).h < L (c + h) L(c) < f(c + h).h L(c + h) L(c) f(c) < < f(c + h), h h Jik h mk L(c + h) - L(c) lim f(c) lim lim f(c + h) h h h h f(c) L (c) f(c) L (c) f(c). Oleh kren hsil terseut erlku untuk setip c pd intervl [,] mk setip [,] erlku : L () f() sehingg L() f()d. Jik F() dlh nti turunn dri f() mk L() F() + c. () Dri L(), errti F() + c, sehingg c -F() () L() F() + c F() F(). Contoh 9 f ()d [F()] F() F(). Tentukn nili integrl dri ( + )d. Jw : ( + )d [ + ] ( +.) ( +.) 8. 6

21 Untuk menentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y f(), sumu dn gris dn gris. G.. c Untuk derh di ts sumu tu pd intervl <, f() > untuk setip, sehingg f (). > yng errti f ()d dlh positip. Sedng derh yng terletk di wh sumu tu < c, mk f() < untuk setip. Sehingg f (). < yng errti f ()d dlh negtif. Sehingg nili c integrl f ()d untuk derh di wh sumu ernili negtif. Contoh. Hitung ( )d. Hitung lus derh yng disjikn oleh integrl di ts. Penyelesin : ( )d y y I II y - c y f() c..... Kren d derh yng terletk di wh sumu, mk nili integrl tertentuny negtif, sehingg lus derh yng dirsir L I + II, tu G..6 6

22 L ( )d + ( + )d ( ) + + Jdi lus derhny stun lus. Ltihn. Tentukn nili integrl tertentu dri sol-sol di wh ini. ( )d. d 9. d. ( )d. ( )( )d 6. Tentukn p sedemikin hingg ( )d p 7. ( + ) dp p 6

23 π 8. cos d π 9. (sin + cos )d π. cos sin d. Tentukn lus derh yng ditsi oleh f() 6 -, sumu dri smpi dengn.. Tentukn lus derh yng ditsi oleh f() +, sumu X dri smpi dengn. Tentukn lus derh yng ditsi oleh f() 6 dri smpi dengn. Tunjukkn hw lus derh lingkrn dengn jri-jri r dlh π r y. Tunjukkn hw lus derh ellips + dlh π. 6. Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut :. y dn y. y + dn + y 6 c. y sin dn y cos dri π smpi dengn π Menentukn Volum Bend Putr Perhtikn gmr di wh ini : Y y f() O X 66

24 Untuk menentukn volum end putr yng dientuk oleh y f() yng diputr mengelilingi sumu-x pd intervl [,] kit gi-gi end terseut menjdi kertn-kertn, di mn setip kertn mempunyi volum : vi πf (i ). i Sehingg volum keseluruhn : v πf (i ). iπ lim f ( ). tu : π i v f () d tu v y d π i i. Pnjng Busur ( Mteri Pengyn) Apliksi leih klnjut dri integrl tertentu dlh untuk menghitung pnjng usur dri sutu gris lengkung dri kurv y f(). B y f() X A s P(,y) Q(+, y + y) y O Y Mislkn gmr di ts memperlihtkn kurv y f(), dn titik-titik A dn B pd kurv y f(). Jik kurv y f() dn turunn-turunn kontinu dlm intervl [,], mk pnjng usur AB dpt ditentukn segi erikut : Mislkn titik-titik P(,y) dn titik Q(+, y + y) terletk pd kurv y f(). Pnjng PQ dpt ditentukn dengn menggunkn teorem Pythgors : s + y 67

25 Pnjng usur AB dpt dinytkn segi limit jumlh segmen-segmen yitu : s lim s s lim + y y lim + ( ). Huungn di ts jik disjikn dlm notsi Riemnn, kn menjdi : s dy s ds ( ) + d dy Contoh. Tentukn pnjng gris dengn persmn y + dri smpi dengn! Jw: X A B y + X dy Dri y + mk d Pnjng usur AB : s + ( dy ) d + d d d [ ] Jdi pnjng rus AB stun pnjng. Cttn : Keenrn jw ini dpt nd cek dengn menggunkn rumus jrk du titik A(,) dn B(,6). 68

26 Untuk kurv-kurv yng disjikn dlm entuk prmeter (t) dn y y(t) mk pnjng usur AB dpt ditentukn dengn rumus : s t t d dt dy + dt dt Rumus ini diturunkn dri rumus s dy d dy dt. dt dt dy dt d dt dy + d dengn menggunkn sustitusi : d Contoh. Tunjukkn hw keliling lingkrn dengn jri-jri r dlh π r. Bukti : Y O r t P(,y) y X Persmn lingkrn di smping ini, jik disjikn dlm persmn prmeter : r cos t y r sin t dy Dri r cos t r sin t dt y r sin t d dt r cos t t s ( ) dy ( d ) s + dt t π π ( sin t) dt π Sehingg keliling lingkrnny, digunkn rumus dt, untuk lingkrn di ts : + (r cos t) dt π r dt r[] t r(π ) πr r (sin t + cos Dengn demikin terukti hw keliling lingkrn dengn jri-jri r dlh π r stun pnjng. t) dt 69

27 . Penerpn Integrl Dlm Bidng Ush dn Perekonomin. Bnyk penerpn konsep integrl yng mt ermnft gi kehidupn mnusi dlm ergi idng termsuk dlm hl perindustrin dn perekonomin. Berikut ini eerp contoh penerpnny : Contoh Fungsi iy mrginl dri sutu prik dlm produksiny dlh : c () +, di mn dlh nykny unit produksi setip hri. Prik terseut mengelurkn iy tetp Rp.., setip hri. Tentukn iy produksi setip hriny. Penyelesin : Biy produksi C() ( + )d + + c Biy tetp C().., sehingg : c c.. Jdi iy produksi setip hriny dlh : C() Menghitung Surplus Konsumen. P P e O Surplus Konsumen E( Q,P ) e e Pf(Q) Q Surplus konsumen merupkn keuntungn leih yng dinikmti konsumen erkenn dengn tingkt hrg psr tertentu. Bgi konsumen yng seenrny mmpu memyr hrg di ts hrg psr E kn mendptkn untung seesr : Q e SK f (Q)dQ Q e. P e Contoh : Dikethui fungsi permintn : P - Q Crilh surplus konsumen jik Q Penyelesin : p -. 7

28 SK ( Q )dq P.Q Q. 6 Q [ ] Menghitung Surplus Konsumen. P P e E(Q e, Pe ) O P f(q) Surplus produksi Q e Dengn jln yng mirip dengn surplus konsumen, mk surplus produksi (SP) dihitung dengn menggunkn rumus SP P e.q e Q e f (Q) dq di mn P f(q) dlh fungsi penwrn. Q Ltihn.. Tentukn volum end yng terjdi jik derh yng ditsi oleh kurv-kurv di wh ini diputr sekeliling sumu X.. y 9. y dn y c. y dn y. Hitung pnjng usur dri kurv y + dri smpi dengn. Hitung pnng usur kurv y dri hingg. Hitung pnjng usur kurv y dri hingg. Tentukn pnjng usur kurv y + 8 dri smpi dengn 6. Tentukn pnjng usur sikloid θ sin θ ; y cosθ dri θ dn θ π 7. Tentukn lus derh yng ditsi oleh 6y + dri smpi dengn 7

29 Q 8. Fungsi iy mrginl sutu produk dlh : P Q. Jik dikethui iy tetpny dlh Rp..,. Crilh fungsi iyny dn iy totl untuk produksi unit. 9. Dikethui fungsi permintn : P Q. Crilh surplus konsumsen jik Q. Gmrlh fkt itu.. Fungsi permintn penwrn sutu rng dlh : P dn P + Tentukn esrny surplus konsumen dn surplus produsen dn gmrkn pd sutu digrm. 7

30 DAFTAR PUSTAKA Ayres, Frnk Jr. (97), Theory nd Prolem of Differensil nd Integrl Clculus. Mc Grw Hill : New York. Fth Asyrie, dkk. (99), Klkulus untuk SMA. Pkr Ry : Bndung. Herry Sukrmn. (998), Klkulus, Mklh Pentrn Guru Mtemtik MGMP SMU. PPPG mtemtik : Yogykrt. Johnnes, H dn Budiono Sri Hndoko. (988), Pengntr Mtemtik untuk Ekonomi. LPES : Jkrt. Piskunov, N. (97), Differensil nd Integrl Clculus. Mir Pulishers : Moscow. Purcell, Edwin Jud Dle Vrerg. Klkulus dn Geometri Anlitik. PT. Penerit Erlngg : Jkrt. Sri Kurniningsih, dkk. (99), Mtemtik SMU, Yudhistir : Jkrt. Sumdi, dkk. (997), Mtemtik SMU, PT. Tig Serngki : Surkrt. Thoms, George B. Jr. (977), Clculus nd Anlytic Geometry, Addison-Werley Pulishers Compny. 7

31 7