FUNGSI TRIGONOMETRI LIMIT FUNGSI

Transkripsi

1 FUNGSI TRIGONOMETRI LIMIT FUNGSI Limit Fungsi. Limit fungsi f() merupkn nili hmpirn dri f() untuk nili mendekti nili tertentu misl. Bentuk umum : Lim f() -> Jik dikethui du uh fungsi f() dn g() msing-msing memiliki seuh nili limit, mk jumlh, selisih, perklin, dn pemgin dri kedu fungsi terseut jug mempunyi seuh nili limit. Di wh ini sift-sift limit fungsi ljr :. Limit penjumlhn fungsi merupkn penjumlhn limit msing-msing fungsi. lim (f() +g()) lim f() + lim g(). Limit selisih fungsi merupkn selisih limit msing-msing fungsi. lim (f() g()) lim f() lim g(). Limit perklin fungsi merupkn perklin limit msing-msing fungsi. lim (f().g()) lim f(). lim g() 4. Limit pemgin fungsi merupkn pemgin limit msing-msing fungsi. f ( ) lim f ( ) lim g( ) lim g( ) 0 Opersi limit pd entuk-entuk tk tentu seperti,, 0,, 0, dn - 0 hrus mengikuti prosedur pengerjn sesui dengn ketentun L Hospitl

2 . Bentuk tk tentu 0 0 f ( ) f '( ) lim lim g( ) g'( ). Bentuk tk tentu f ( ) f '( ) lim lim g( ) g'( ). Bentuk tk tentu 0, 0, dn - terleih dulu hrus dikemlikn ke entuk dn Contoh : (Bentuk 0 0 ) limit -> 8 limit -> Contoh : (Bentuk ) lim lim -> -> lim -> lim ( + 6 )( >. 4.

3 sin Limit ->0. ln( + ) Limit ->. cos Limit -> 0 sin Limit ->0 5. lnsin Limit ln tg -> 0 6. Limit e -> Beerp cr yng dpt ditempuh untuk menyelesikn sol limit yitu : penyederhnn, penglihn ke entuk sekwn, penurunn tupun dengn cr khusus. Diwh ini rumus dsr limit trigonometri untuk mendekti 0.. Limit sin. Limit sin. Limit tg Lim cosec lim sin ->0 ->0 lim ½ sin ->0 ½ 4. Limit tg 5. Limit sin tg 6. Limit tg sin ingt : lim sin ->0. Limit ->. Limit 4 ->. Limit 5. Limit ->0 6. Limit ->0 7. Limit sin sin cos

4 sin 6 sin ->0 4. Limit sin ->0 -> 8. Limit + -> DIFERENSIAL Diferensil. Diferensil merepresentsikn persmn kemiringn grfik fungsi f(). Hitung diferensil mempunyi keterkitn dengn perhitungn limit (kidh L Hospitl). Bentuk umum diferensil : d ( f ( )) y' f () Di wh ini merupkn diferensisi ergi fungsi dsr yng penting untuk diingt.. y cos y - sin. y tg y sec. y ctg y -cosec 4. y sec y sec. tg 5. y cosec y -cosec cotg 6. y sinh y cosh 7. y cos y -sin 8. y n y n n- 9. y e y e 0. y e k y ke k. y ln y /. y log y /( ln ). y y ln 4. y sin y cos

5 Ad eerp ketentun yng hrus diperhtikn dlm opersi diferensisi. Jik seuh fungsi diklikn dengn konstnt mk turunnny diklikn jug dengn konstnt itu. dcf ( ) df ( ) c. Diferensisi jumlh tu selisih ljr dri eerp fungsi sm dengn penjumlhn tu selisih diferensisi msing-msing fungsi. d ( f ( ) + g( )) df ( ) dg( ) +. Diferensisi perklin du uh fungsi dlh sm dengn perklin turunn fungsi yng pertm diklikn fungsi kedu ditmh dengn turunn fungsi kedu diklikn dengn fungsi pertm d ( f ( ). g( )) dg( ) df ( ) f ( ) + g( ) 4. Diferensisi pemgin du uh fungsi dlh sm dengn perklin penyeut dn turunn pemilng dikurngi perklin pemilng dn turunn penyeut digi kudrt penyeut. df ( ) dg( ) g( ) + f ( ) f ( ) dy y ; g( ) g ( ) Contoh : (perklin) y sin tentukn y. Jw : f() dn g() sin sehingg f () dn g () cos mk y f ().g() + f().g () y.sin + cos Contoh : (pemgin) sin y tentukn y cos Jw : f() sin f () cos g() cos g () -sin f '( ) g( ) f ( ) g'( ) y g ( ) cos + sin cos sec. y e sin tentukn y. y 4 sin tentukn y.. y e cos tentukn y... cos 5. y 4 tentukn y...

6 4. y cos sin tentukn y... tg 6. y 4 tentukn y... Diferensisi ernti. Untuk fungsi komposisi (fungsi di dlm fungsi yng lin) mk hrus diturunkn stu perstu secr erurutn. Ini dinmkn Diferensisi ernti. Aturn turunn ernti : dy y sin ( + 5) tentukn y? Jw : Misl u +5 u Jdi y u.y cos ( +5) Tentukn turunn fungsi (y ) diwh ini : dy du du.. y sin (4 + ). y (-5) 4. y sin 4. y tg 5 5. y e - 6. y 4 cos(7+) Fungsi implisit. Dlm fungsi implisit tidk dpt dipishkn y dn pd du rus yng ered. Segi contoh dlh fungsi + tg(y+) 5. Untuk mendiferensisikn fungsi terseut hrus diingt hw y dlh fungsi. dy Tentukn dri + y 5 (persmn lingkrn ejri-jri 5) Jw : Dengn tetp mengingt hw y dlh fungsi mk dy + y 0 dy y - dy y dy Tentukn dri :. + y - 6y y +y 0. +y +y 0 4. (+y) 0 Persmn Prmetrik. Bisny fungsi f() dinytkn segi y f(). Tetpi dpt pul ik y mupun merupkn fungsi vriel lin misl t. Sehingg yf(t) dn f(t). Ini dinmkn persmn prmetrik. Untuk mendptkn turunn persmn prmetrik mirip dengn menggunkn turunn ernti. Contoh:

7 dy d y y cos t dn sin t tentukn dn dt Jw : dy dy dt. - sin t. -4 sin t dt cost d y d ( y' ) d ( 4 sin t) dt dt. -4 dy d y Tentukn dn dri :. y sin t - sin t cos t. y (t-sin t) (-cos t) Apliksi Diferensisi. Setelh mempeljri tentng konsep diferensisi mk diferensisi fungsi dpt dipliksikn dlm nyk hl di ntrny:. Menentukn hrg limit dengn ketentun L Hospitl. Menentukn grdien gris singggung (m) pd titik pd grfik y f() m y () f (). Menentukn titik ekstrim grfik fungsi y f() Ekstrim mksimum syrt : y 0 dn y < 0 Ekstrim minimum syrt : y 0 dn y >0 4. Menentukn titik elok grfik fungsi y f() syrt : y 0 5. Menentukn fungsi nik tu fungsi turun dri grfik fungsi y f() Fungsi nik syrt : y > 0 Fungsi turun syrt : y < 0 6. Menentukn keceptn dn perceptn Keceptn merupkn turunn pertm dri fungsi jrk Perceptn merupkn turunn pertm fungsi keceptn Dikethui seuh fungsi gerk vertikl ke ts h 0t 5t. Dengn h menytkn tinggi (m) dn t menytkn wktu (sekon). Tentukn :. keceptn pd st t s. tinggi mksimum Jw :

8 dh. v 0-0.t v() m/s dt. syrt h mksimum : h 0 0-0t 0 t s h mks 0() 5() 0 m. Jik f() tentukn f (0). Tentukn grdien fungsi di wh ini di pust koordint : y + y (X-). Tentukn titik ekstrim fungsi y - + dn tentukn jenisny? 4. Jik f() 5 + -/ mk tentukn f ()? 5. Tentukn persmn gris norml y di titik + (,) dn persmn gris singgung di? 6. Tentukn persmn gris singgung y + di titik (,) 7. Tentukn persmn grdien grfik y di titik (,0) INTEGRAL Integrl Bku. Integrsi merupkn kelikn dri diferensisi. Bentuk umum : Y f ( ) dinmkn integrl tk tentu dri fungsi f(). Dinmkn tk tentu kren tidk memiliki t-ts pengintegrsin tertentu. Diwh ini merupkn ringksn rumus integrl ku yng sering digunkn :

9 n n + + c n + ln + c e e + c e k e k k ln + c + c sin -cos + c cos sin + c cos sin tg + c -cotg + c sinh cosh +c cosh sinh + c + c c rc sin + c - rc cos + c rc tg + c - rc cotg + c + rc sinh + rc cosh + rc tgh + c. e sinh Integrl Sustitusi. Pd permslhn integrl terkdng ditemukn turunn fungsi yng stu merupkn fungsi yng lin. Ini dinmkn integrl sustitusi. Bentuk umum : f '( ) dn f ( ) f ( ). f '( ). (pemgin) + d( + 5) + 5 ln ( + 5) + c + 5 Dri contoh terseut dikethui hw pemilng merupkn turunn penyeut. Inilh yng diseut entuk integrl sustitusi pemgin. 4 8 cosh sinh

10 sec. tg Contoh : (perklin) tg tg. sec tg d( tg ) + c Dri contoh terseut dikethui hw fungsi yng stu merupkn turunn fungsi yng lin. Inilh yng diseut entuk integrl sustitusi perklin.. + 7) (. 7 + ) cos(.. sinh cosh )( + ( + 7) Integrl Prsil. Jik integrl perklin fungsi tetpi msing-msing fungsi ukn merupkn diferensil fungsi yng lin mk proses integrl dilkukn pergin. Ini dinmkn integrl prsil. Bentuk umum : u. dv uv - v. du ln... dipilih u ln sehingg du / dn dv sehingg v. ln. ln e ln. -.. e ln + c 4. e sin Integrsi dengn Pechn Prsil. Integrl yng melitkn pemgin fungsi yng kompleks dpt dikerjkn dengn menguh keentuk pechn prsil yng leih sederhn. Ketentun yng hrus diingt dlm pechn prsil :. Derjt pemilng hrus leih rendh dri penyeut.. Fktorkn penyeut kren dri sini kn ditentukn entuk pechn prsil. A Fktor ( + ) pechn prsil +

11 A B Fktor ( + ) pechn prsil + ( + ) ( + ) Fktor ( + ) pechn prsil A B C + + ( + ) ( + ) ( + ) A + B Fktor ( ++c)pechn prsil + + c A B + + ( )( ) selnjutny dengn menymkn rus kiri dn knn diperoleh A - dn B mk diperoleh : d ( ) d( ) - ( ) ln (-) ln (-) + c. ( + )( ). + ( + ). 4 + ( ) Integrsi fungsi trigonometri. Integrl dri fungsi trigonometri terkdng melitkn identits fungsi trigonometri. sin + cos + tg sec cos cos sin + ctg cosec cos cos - cos sin sec cosec cos sin sin ( cos ) sin + c 4. cos. sin. cos 5 4. sin

12 Apil integrsi trigonometri melitkn perklin fungsi trigonometri mk huungn identits trigonometri di wh ini hrus diperhtikn. sin A cos B sin (A+B) + cos (A-B) cos A sin B sin (A+B) cos (A-B) cos A cos B cos(a+b) + cos (A-B) sin A sin B cos (A-B)-cos (A+B) sin 5sin / sin 5sin / cos(5 ) cos(5 + ) sin 4 sin 6 / +c 4 6. sin cos5. 4 cos.sin 5. cos 0.cos sin 5.sin 8 5. sin sin 6. sec 4tg ln cos 8 + sin ( ). ( + ) 4. ( + 4) PENERAPAN INTEGRAL

13 Integrl Tertentu. Integrl yng telh dihs sejuh ini merupkn integrl tk tentu. Diktkn demikin kren tidk memiliki ts integrsi. Integrl dengn ts ts dn ts wh dinmkn integtrl tertentu. Bentuk umum : f ( ). Huruf dn menytkn ts ts dn ts wh integrsi. Lus Kurv. Lus kurv dpt dihitung dengn metode integrsi tertentu (erts) sl dikethui fungsi dri kurv yng ersngkutn sert nili ts ts dn ts wh. Lngkh menghitung integrl erts : Prosedur penghitungn integrl erts: ) Intrgrsikn fungsi dn tuliskn hsilny lm notsi kurung siku dengn ts integrl di ujung knn ) Sustitusikn ts ts ) Asustitusikn ts wh 4) Kurngkn hsil pertm dengn hsil kedu / e 4e 4 4 / (e-e - ) 5,66. 4 ( 4). ( ) π / sin + cos e 6. π 0 sin Lus kurv yng ditsi f() yng erd di wh sumu 0 yng dihitung dengn metode integrl erts kn ertnd minus. Ini kn rncu il d segin lusn yng erd di wh sumu dn dits sumu 0. Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y -6 +5,sumu muli dri dn? Jw :

14 Lus y ( 6 + 5) / stun Tnd minus meytkn hw lus derh yng dihitung erd di wh sumu 0. Silhkn And co dengn memlik ts integrsi.... Hitunglh lus grfik yng ditsi kurv ysin dengn ts 0 rd dn rd?. Hitunglh lus kurv yng ditsi kurv y sin dengn ts rd dn rd?. Hitunglh lus kurv yng ditsi kurv y sin dengn ts 0 rd dn rd? Persmn Prmetrik. Persmn prmetrik merupkn persmn dimn ik y mupun merupkn fungsi vriel lin yng dinmkn prmeter. Lngkh pengintegrsin persmn prmetrik dlh : Prosedur Integrsi : ) Nytkn dn y dlm persmn prmetrik ) Uh vrile yng ersesuin ) Sisipkn ts-ts prmeter Tentukn lus derh yng ditsi kurv dengn persmn prmetrik t y t t dn t? Jw : t ; t ; t dt dt Lus y t t.tdt t 4 8. Jik sin t dn y co t tentukn lus derh diwh kurv terseut ntr t 0 dn t phi?. Jik t sin t dn y cos t tentukn lus diwh kurv di ntr t 0 dn t phi?

15 Nili rert (men). Untuk menghitung nili rert fungsi f() di ntr dn dpt dilkukn dengn memgi lusn derh terseut dengn selisih dn. Tentukn men dri y di ntr - dn? Jw : Men f ( ) ( ) Hrg RMS. Hrg RMS menytkn kr dri kudrt y rt-rt di ntr tsts tertentu. Dlm hs Inggris dinytkn segi hrg Root Men Squre. Tentukn rms dri y + di ntr dn? Jw : (rms) y ( + ) 59, jdi rms 59, ) Tentukn men dri y sin 5t + cos t di ntr t 0 dn t phi? ) Tentukn hrg rms dri y sin 00 t di ntr t 0 dn t 0.0 Volume Bend Putr. Jik entuk idng yng ditsi oleh kurv y f() sumu dn dn diputrkn penuh terhdp sumu mk kn diperoleh volume end putr terhdp sumu. Demikin pul jik entuk idng yng ditsi oleh kurv y f() sumu dn dn diputrkn penuh terhdp sumu y mk kn diperoleh volume end putr terhdp sumu y. - Rumus untuk menghitung volume end putr (sumu ): V π y. Rumus untuk menghitung volume end putr (sumu y): V π y Crilh volume end putr yng ditsi y 5 cos sumu dn ordint pd 0 dn ¼ phi diputr stu putrn penuh mengelilingi sumu?

16 Jw : π V π y 5 4 cos 5 ( + cos 4 ) 0 0 π / 4 5π 8 ) Dikethui persmn prmetrik kurv dlh t ;yt-t. Hitunglh volume end putr terhdp sumu yng ditsi oleh kurv, sumu dn ordint yng erkitn dengn t0 dn t? ) Crilh volume end yng terjdi il entuk idng yng ditsi oleh kurv y +5 sumu dn ordint pd dn diputr stu putrn penuh terhdp sumu y? Sentroid. Posisi sentroid merupkn posi koordint krtesius (,y) yng menggmrkn titik ert lusn end yng ditsi sumu, kurv sert ordint yng erkitn dengn dn. Rumus untuk menghitung koordint sentroid: y y y ½ y y Pust Grvitsi. Anlog dengn sentroid untuk mencri pust grvitsi sutu end yng terentuk jik entuk idng yng ditsi oleh kurv y f() sumu dn ordint pd dn diputr mengelilingi sumu dengn rumus : y y ; y 0.

17 Tentukn pust grvitsi dri end yng trentuk jik idng yng ditsi oleh kurv +y 6, sumu dn ordint pd dn diputr poros sumu? Jw: ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) [ 6 / ] / ,89 jdi koordint pust grvitsi (,89;0) Pnjng kurv. Jik dikethui seuh fungsi f() mk dpt dihitung pnjng kurv muli dri ordint smpi dengn ordint. Rumus untuk menghitung pnjng kurv : dy s +. Tentukn pnjng kurv y di ntr 0. dn 4? Jw : dy / dy s / (+ ) 9,07 stun Persmn Prmetrik. Untuk menghitung pnjng kurv persmn prmetrik mk dpt dihitung dengn rumusn : s t t dt dy + dt ) Tentukn posisi sentroid dri gmr yng ditsi oleh y e sumu, sumu y dn ordint pd? ) Tentukn posisi sentroid dri derh yng ditsi oleh kurv y 5 sin sumu dn ordint pd 0 dn phi/6? ) Tentukn pust grvitsi end yng terentuk oleh kurv ysin sumu dn ordint pd sumu 0 dn phi rdin diputr dengn poros sumu? 4) Tentukn pnjng kurv y 0 cosh 0 di ntr - dn? 5) Tentukn pnjng kurv persmn prmetrik cos t, y sin t di ntr titik-titik yng esesuin pd t 0 dn t phi/? dt

18