Bab. Integral. Di unduh dari: ( Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)

Transkripsi

1 PUSAT PERBUKUAN Deprtemen Pendidikn Nsionl

2 B I Integrl Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri ini, dihrpkn klin dpt. merncng turn integrl tk tentu dri turn turunn;. menghitung integrl tk tentu dri fungsi ljr;. menjelskn integrl tentu segi lus derh pd idng dtr;. menghitung integrl tentu dengn menggunkn integrl tk tentu; 5. menghitung integrl dengn rumus integrl sustitusi; 6. menggmrkn sutu derh yng ditsi oleh eerp kurv; 7. merumuskn integrl tentu untuk lus sutu derh; 8. menghitung integrl yng menytkn lus sutu derh. Integrl Sumer: Motivsi Pernhkh klin memerhtikn entuk kwt-kwt j yng menggntung pd jemtn gntung? Perhtikn gmr jemtn Amper yng melintsi Sungi Musi di ts. Jik klin perhtikn, lengkungn yng terentuk menyerupi lengkungn (kurv) prol. Jik kit mengethui persmn lengkungn terseut, kit kn dpt dengn mudh menentukn lus derh yng ditsi oleh kurv itu dn dn jln hkn kit jug dpt menentukn pnjng lengkungn itu. Ilmu hitung integrl dpt digunkn untuk menyelesikn ksus-ksus semcm itu. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

3 Khz Mtemtik SMA IPS Pet Konsep Integrl mempeljri Integrl Tk Tentu Integrl Tentu untuk menentukn Fungsi Aljr Lus Volume Bend Putr diselesikn dengn Rumus Dsr Integrl Sustitusi Prsil Kt Kunci ts ts integrl Riemnn kurv ts wh integrl tk tentu lus idng diferensil integrl tentu mengelilingi grdien intervl sumu putr integrle intervl tertutup volume end putr integrl konstnt Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

4 Integrl Hitung integrl sngt ert kitnny dengn klkulus diferensil tu turunn sutu fungsi. Seenrny hitung integrl ditemukn terleih dhulu ru kemudin ditemukn diferensil tu turunn. Nmun demikin, hitung integrl kn dpt dimengerti dn diphmi dengn mudh mellui turunn sutu fungsi. Mteri tentng turunn telh klin peljri di kels XI. Tentu klin msih ingt, ukn? Nmun, d ikny seelum memhs integrl, co klin ingt kemli konsep turunn dengn cr mengerjkn sol-sol erikut. Prsyrt Kerjkn di uku tugs. Tentukn turunn pertm dri fungsi y = x 5x + dn y = x.. Tentukn grdien gris singgung pd kurv y = (x + 5)(x + ) di x =. Tentukn pul grdienny di x =.. Sutu home industry memproduksi kotk tnp tutup yng terut dri tripleks dengn volume 6. cm. Jik ukurn pnjng kotk du kli lerny, tentukn ukurn kotk itu gr hn yng digunkn seminimum mungkin. Setelh klin mmpu mengerjkn sol-sol di ts, mri kit lnjutkn ke mteri erikut. A. Pengertin Integrl Setip hri, tentulh kit melkukn ktivits, seperti menghirup udr dn melepskn udr. Meleps udr merupkn opersi kelikn (invers) dri menghirup udr. Dlm mtemtik, kit jug mengenl opersi kelikn (invers), contohny pengurngn dengn penjumlhn, perklin dengn pemgin, pemngktn dengn penrikn kr, dn seginy. Pd su ini kit kn mempeljri invers dri diferensil, yitu integrl. Kit telh mempeljri rti diferensil tu turunn di kels XI. Jik kit mempunyi f(x) = x +, turunnny dlh f'(x) = x. Dri contoh fungsi terseut, kit dpt menentukn sutu fungsi yng turunnny f'(x) = x, yng diseut segi ntiturunn tu ntidiferensil tu pengintegrln. Jdi, pengintegrln merupkn opersi kelikn dri pendiferensiln. Mislny dikethui f'(x) = x, fungsi ini merupkn turunn dri f(x) = x +, f(x) = x log, tu f(x) = x + 5. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

5 Khz Mtemtik SMA IPS B. Integrl Tk Tentu. Notsi Integrl Tk Tentu Terliht fungsi-fungsi ini hny ered konstntny sj. Secr umum, dpt dituliskn hw f(x) = x + c merupkn ntiturunn dri f'(x) = x, dengn c dlh ilngn rel semrng. Dri urin di ts dpt didefinisikn semgi erikut. Fungsi F(x) diseut ntiturunn dri f(x) pd sutu domin d jik [ Fx ( )] = f(x). Mislkn dierikn fungsi-fungsi erikut. y = x + x + 5 y = x + x Kedu fungsi itu memiliki turunn yng sm, yitu dy = x +. Sekrng, tinju lik. Mislkn dierikn dy = x +. Jik dicri integrlny, kn diperoleh fungsi-fungsi y = x + x + 5, y = x + x, hkn y = x + x +, y = x + x log, dn seginy. Dengn demikin, fungsi yng memiliki turunn dy = x + ukn sj du fungsi di ts, tetpi nyk sekli. Wlupun demikin, fungsi-fungsi itu hny ered dlm hl ilngn tetp sj (seperti 5,,, log, dn seterusny). Bilngnilngn ini dpt disimolkn dengn c. Kren nili c itulh hsil integrl ini diseut integrl tk tentu. Perhtikn kemli definisi integrl tk tentu di ts. Secr umum, jik F(x) menytkn fungsi dlm vriel x, dengn f(x) turunn dri F(x) dn c konstnt ilngn rel mk integrl tk tentu dri f(x) dpt dituliskn dlm entuk f ( x) = F( x) + c dic integrl fungsi f(x) ke x sm dengn F(x) + c. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

6 Integrl 5 Keterngn: f ( x) = notsi integrl tk tentu F(x) + c = fungsi ntiturunn f(x) = fungsi yng diintegrlkn (integrn) c = konstnt = diferensil (turunn) dri x. Rumus Dsr Integrl Tk Tentu Pd su ini, kn dihs integrl fungsi ljr sj. Oleh kren itu, klin hrus ingt kemli turunn fungsi ljr yng telh klin peljri di kels XI. Pd pemhsn klkulus diferensil tu turunn, dikethui hw turunn dri x n+ + c ke x dlh d [xn + + c] = (n + ) x (n + ) = (n + )x n. Dengn menglikn, untuk n pd kedu rus, n + diperoleh d n + [xn + + c] = n + (n + ) xn = x n. Jdi, d [ n + xn + + c] = x n... () Kuis Kerjkn di uku tugs ( ) =... x. x + c. x x + c c. x x + c d. x + c e. x + c UMPTN 989 Jik persmn () dituliskn dlm entuk integrl, klin kn memperoleh n x = x n + n+ + c; n Bgimn jik n =? Ap yng klin peroleh? Tentu sj untuk n =, persmn di ts menjdi = x + c. Pd mteri diferensil, klin telh mengethui jik y = F(x) + G(x) mk turunnny dlh dy = f(x) + g(x), dengn f(x) turunn dri F(x) dn g(x) turunn dri G(x). Dengn demikin, dpt dinytkn hw [ f ( x) + g( x)] = f ( x) + g( x). Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

7 6 Khz Mtemtik SMA IPS Hl ini jug erlku untuk opersi pengurngn. Dri urin di ts, kit dpt menuliskn rumus-rumus dsr integrl tk tentu segi erikut. ) = x + c ) f ( x) = f ( x) n ) x = n ) x = n + n+ x n + x + c; n n+ + c; n 5) [ f ( x) g( x)] = f ( x) + + g( x) 6) [ f ( x) g( x)] = f ( x) g( x) Contoh : Tentukn hsil integrl fungsi-fungsi erikut.. 5. x 5 c. x Jw:. 5 = 5 = 5x + c. x 5 = x 5 = 5 + x5 + + c = x 6 + c = x 6 + c 6 c. x = x = = 6 = x + c + + x + c x x + c Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

8 Integrl 7 Contoh : Selesikn setip pengintegrln erikut.. x x. ( x + ) Jw:. x x = x x. ( x + ) = x = = x + c + = ( x + 6x + 9) x + + c = x + x + 9x + c Sol Kompetensi Tentukn hsil pengintegrln erikut. Kerjkn di uku tugs. (x + ) 8 5. ( x + x + ). x. ( 5 x x ) 5. ( x + 5) 6. ( x + )( x ) 7. x ( x ) 8. ( x x) x 9. x ( x x)(x ). x ( x ).. x x x 6xx ( )( x + ) x. 5x x. x (x + x ) 5. ( x )(x + )(x ) 6. x( x x+ x) 7. 6t t t+ dt 8. 5x ( x ) x 9.. s s s ds s m ( m ) dm m Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

9 8 Khz Mtemtik SMA IPS. Menentukn Persmn Kurv Di kels XI, klin telh mempeljri grdien dn persmn gris singgung kurv di sutu titik. Jik y = f(x), grdien gris dy singgung kurv di semrng titik pd kurv dlh y' = = f'(x). Oleh kren itu, jik grdien gris singgungny sudh dikethui mk persmn kurvny dpt ditentukn dengn cr erikut. y = f '( x) = f(x) + c Jik slh stu titik yng mellui kurv dikethui, nili c dpt dikethui sehingg persmn kurvny dpt ditentukn. Contoh : Dikethui turunn dri y = f(x) dlh dy = f '(x) = x +. Jik kurv y = f(x) mellui titik (, 6), tentukn persmn kurv terseut. Jw: Dikethui f '(x) = x +. Dengn demikin, y = f(x) = ( x + ) = x + x + c. Kurv mellui titik (, 6), errti f() = 6 sehingg dpt kit tentukn nili c, yitu + + c = 6 c =. Jdi, persmn kurv yng dimksud dlh y = f(x) = x + x +. Contoh : Grdien gris singgung kurv di titik (x, y) dlh x 7. Jik kurv terseut mellui titik (, ), tentuknlh persmn kurvny. Jw: Grdien gris singgung dlh f '(x) = dy = x 7 sehingg y = f(x) = ( x 7) = x 7x + c. Kren kurv mellui titik (, ) mk f() = 7() + c = + c = c = Jdi, persmn kurv terseut dlh y = x 7x +. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

10 Integrl 9 Kuis Kerjkn di uku tugs Prolem Solving Biy mrginl sutu perushn ditunjukkn oleh fungsi M C = Q 6Q +, dengn Q = quntity dn iy tetp k =, k dlh konstnt integrl. Fungsi iy totl dlh.... Q Q + Q +. Q Q + Q + c. Q Q + Q + d. Q Q + Q + e. Q Q + Q UN 7 Biy mrginl sutu perushn ditunjukkn oleh M C = Q Q + 5, dengn Q = nyk unit dn iy tetp k =, k dlh konstnt integrl. Tentukn persmn iy totl (C). Jw: Fungsi iy mrginl M C = Q Q + 5. M C = dc dq dengn kt lin dc = M dq C C = MC dq = ( Q Q + 5) dq = Q Q + 5Q + k Oleh kren itu, C = Q Q + 5Q +. Sol Kompetensi Kerjkn di uku tugs. Grdien gris singgung kurv y = f(x) di semrng titik dy (x, y) dlh = x +. Jik kurv mellui titik (, 5), tentuknlh persmn kurvny.. Tentukn f(x) jik dikethui segi erikut.. f'(x) = x + 5 dn f() = 6. f'(x) = 6x + 6 dn f() = c. f'(x) = x + 6x + 6 dn f() = 5 d. f'(x) = x + ; f() = dn f( ) =, dn f() = 8. e. f'(x) = x; f() f( ) = dn f() f() = 5. Sutu kurv memiliki titik (, ) dn (, ). Grdien di setip titik pd kurv dpt ditentukn dengn persmn m = x x 5. Tentukn persmn kurv itu.. Biy mrginl (M C ) merupkn iy tmhn kit dny tmhn produksi stu unit. Secr mtemtik, iy ini merupkn turunn (diferensil) dri iy totl (C) terhdp x unit produksi. Mislkn dikethui iy mrginl per unit M C (x) = 6 + x dn iy totl ulnn Rp6..,. Ketik x = unit produksi per uln. Tentukn fungsi iy totl dlm memproduksi x unit rng per uln. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

11 Khz Mtemtik SMA IPS 5. Dierikn fungsi dc = 8x 5 segi fungsi iy mrginl. Biy untuk memproduksi unit rng dlh Rp8.,. Bgimnkh entuk fungsi iy totlny? 6. Sutu prik memproduksi rng senyk x unit dengn iy mrginl dirumuskn dengn dc = 6, 5x (C dlh fungsi iy). Untuk memut unit rng, diperlukn iy Rp6.5,. Berp iy totl untuk memut rng senyk 5 unit? 7. Dikethui seuh prik memproduksi rng senyk t unit dengn iy mrginl dirumuskn dengn C' =,5t. (C dlh fungsi iy). Untuk memut unit rng diperlukn iy Rp.5,. Berp iy totl untuk memut rng senyk 5 unit? 8. Dierikn dc = 6x segi fungsi iy mrginl. Biy untuk memproduksi 5 unit rng dlh Rp.,. Tentukn entuk fungsi iy totlny. C. Integrl Tertentu. Pengertin Integrl segi Lus Sutu Bidng Dtr Y O Gmr. y = f(x) X Klin psti sudh pernh mempeljri perhitungn lus ngun dtr. Bngun dtr p sj yng sudh klin kenl? Bngun dtr yng klin kenl psti merupkn ngun dtr erturn, mislny segitig, segi empt, lingkrn, dn seginy. Perhtikn Gmr.. Apkh gmr derh yng dirsir terseut merupkn ngun dtr yng sudh klin kenl? Termsuk ngun pkh gmr derh terseut? Dptkh klin menentukn lus ngun dtr terseut dengn rumus yng sudh klin kenl? Tentu sj tidk. Derh tu ngun dtr pd Gmr. merupkn ngun dtr yng ditsi kurv y = f(x), sumu X, sert gris x = dn y =. Untuk memhmi pengertin integrl segi lus sutu idng dtr, perhtikn Gmr.. Derh yng dirsir dlh sutu derh yng ditsi kurv y = f(x) dn sumu X dri smpi. Dimislkn fungsi y = f(x) terdefinisi pd intervl tertutup [, ]. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

12 Integrl Bgilh intervl tertutup terseut menjdi n uh suintervl yng sm ler sehingg terdpt n uh titik tengh, yitu x, Gmr. x, x,..., x n, dengn x = (t + t ), x = (t + t ),..., x n = (tn + t n ) (perhtikn Gmr.). Dimislkn ujung pling kiri intervl dlh t = dn ujung pling knn dlh t n = dengn < t < t... < t n <. Mislkn pnjng tip suintervl dlh t i t i = x. Pd tip suintervl [t i, t i ], temptkn seuh titik x (tidk hrus di tengh, oleh sm dengn titik ujungny). Domin fungsi y = f(x) digi menjdi n uh suintervl dengn ls x dn tinggi f(x i ) sehingg mementuk pis-pis persegi pnjng. Lus msing-msing persegi pnjng dlh f(x i ) x. Jik semu lus persegi pnjng dijumlhkn mk diperoleh J = f(x ) x + f(x ) x + f(x ) x f(x n ) x. = (f(x ) + f(x ) + f(x ) f(x n )) x n = f( xi )x r = dengn merupkn notsi jumlh yng erurutn. J diseut dengn jumlhn Riemnn. Notsi ini pertm kli digunkn oleh Bernhrd Riemnn. Jik nyk pis n mendekti tk erhingg (n ), jumlhn Riemnn itu mendekti lus derh dri Gmr.. Oleh se itu, lus L dpt ditulis dlm entuk Gmr. L = lim f( xi )x n n i=... () Jik n mk x. Integrl tertentu f dri smpi dinytkn dengn f ( x) dn oleh Riemnn niliny didefinisikn segi ( = lim f ( x i ) x x = f x) n i... () Dri definisi integrl tertentu di ts dpt diktkn f ( x) menytkn lus derh yng ditsi oleh gris x =, gris x =, kurv y = f(x), dn sumu X. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

13 Khz Mtemtik SMA IPS Perhtikn hw sustitusi () dn () menghsilkn L = f ( x)... () Sekrng kit mislkn f (x) = F(x) + c. Lus L di ts merupkn fungsi dri x dengn x [, ] erentuk Gmr. L(x) = x f( x) = F(x) + c Jik nili t d pd intervl [, ], yitu {x x } kit dpt mendefinisikn lus L segi fungsi dri t erentuk t L(t) = f ( x) = F(t) + c Akit dri pemisln di ts, kn diperoleh L() = f ( x) = F() + c =. Se lus derh dri x = hingg x = erentuk rus gris sehingg lusny sm dengn nol. Kren L() = mk diperoleh F() + c = tu c = F()... () Akit lin dri pemisln itu, kn diperoleh L() = f ( x) = F() + c... (5) Hsil sustitusi dri persmn () ke (5), diperoleh L() = f ( x) = F() F() Dengn demikin, dpt disimpulkn hw jik L dlh lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, gris x = dn gris x = mk. Pengertin Integrl Tertentu Klin thu hw L = f ( x) = F() F() f ( x) = F() F() Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

14 Integrl menytkn lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x =. Mislkn f kontinu pd intervl tertutup [, ] tu x. Jik F sutu fungsi sedemikin rup sehingg F'(x) = f(x) untuk semu x pd [, ], erlku f x) ( = f( x) [ ] = F() F() F(x) dlh ntiturunn dri f(x) pd x. Menggmr Derh yng Ditsi oleh Kurv Tentu klin msih ingt gimn menggmr grfik fungsi liner, fungsi kudrt, mupun fungsi trigonometri. Grfik fungsi-fungsi terseut nyk dihs di sini, erkitn dengn pencrin lus derh yng tsi oleh kurv. Bgimn cr menggmrkn derh itu? Mislkn kit kn menggmr derh yng ditsi oleh kurv f(x) = x dri x = smpi x =, sumu X, dn gris x =. Lngkh pertm dlh menggmr grfik f(x) = x. Kemudin, trik gris tsny, yitu dri x = smpi x = hingg memotong kurv. Arsir derh yng erd di wh kurv f(x) = x dri x = smpi x = dn di ts sumu X. Hsilny tmpk seperti gmr di smping. Bgimn jik derh yng kn digmr ditsi oleh du kurv? Pd dsrny sm dengn cr di ts. Mislkn kit kn menggmr derh yng ditsi oleh grfik f(x) = x dn g(x) = x dri x = smpi x = dn gris x =. Terleih dhulu, kit gmr f(x) = x dn g(x) = x pd idng koordint. Trik gris tsny, yitu x = dn x = hingg memotong kedu grfik. Kemudin, rsir derh yng ditsi oleh grfik itu dri x = smpi x =. Hsilny tmpk seperti gmr di smping. Colh klin gmr derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut.. f(x) = x dn sumu X. f(x) = x dn g(x) = x. f(x) = x dn g(x) = x Gmr.5 Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

15 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Tentukn integrl tertentu untuk menghitung lus derh yng dirsir pd gmr-gmr erikut. Tugs: Inkuiri Kerjkn di uku tugs Dlm perhitungn lus sutu derh dengn menggunkn rumus integrl, terleih dhulu klin hrus dpt menggmr skets grfikny. Jelskn lngkhlngkh untuk menggmr grfik fungsi liner dn fungsi kudrt. Berilh stu contoh untuk menggmr grfik fungsi terseut. () Gmr.6 () Jw:. Gmr.6 () merupkn grfik gris lurus yng mellui titik (, ) dn (, ) mk persmn grisny dlh x + y = tu y = x. Untuk ts kiri dlh sumu Y, errti x = dn ts knn dlh x =. Jdi, lus derhny dpt dinytkn dengn ( x).. Gmr.6 () merupkn sutu derh yng ditsi oleh sumu X dn kurv y = f(x). Kren kurv memotong sumu X di titik (, ) dn (6, ) mk y = 6x x. Untuk ts kiri dlh gris x = dn ts knn dlh x =. Jdi, lus derhny dpt dinytkn dengn ( 6x x ). Contoh : Gmrkn derh-derh yng lusny dinytkn dengn integrl erikut.. ( x + ). ( x ) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

16 Integrl 5 Jw:. Grfik y = f(x) = x + mempunyi titik potong (, ) dn (, ) sehingg ( x + ) dpt digmrkn seperti pd Gmr.7. Gmr.7 Gmr.8 Kuis Contoh : Kerjkn di uku tugs 6 Nili dri 5x ( x ) =..... c. d. e UAS 7. ( x ) Dikethui f(x) = x dengn ts wh x = dn ts ts x =. Kurv f(x) = x merupkn prol dengn titik potong (, ) dn (, ) yng memuk ke wh. Dengn demikin, derh terseut dpt digmrkn seperti pd Gmr.8. Tentukn nili-nili integrl erikut.. ( x + ). ( x x) Jw:. ( x + ) = x. ( x x) = x + x = () + () ( ) + ( ) = 6 x = ( () () ) ( () () ). Sift-Sift Integrl Tertentu = 5 Integrl seenrny dpt ditentukn dengn mudh. Untuk mempermudh perhitungn integrl, klin dpt memnftkn sift-sift integrl. Agr klin menemukn sift-sift integrl, perhtikn contoh-contoh erikut. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

17 6 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Hitunglh nili integrl dri fungsi erikut. ( ). x + ( ). x + x ( ) c. x + x d. Ap yng dpt klin simpulkn dri hsil dn c? Jw:. ( x + ) = x + x [ ] [ + ]. x + x = x + x ( ) [ + ] = ( ) ( ) = ( + 8) ( + 8) = = [ ] [ ] c. x + x = x + x ( ) [ ] = + ( ) + ( ) = (8 + 8) ( + ) = 6 [ ] [ ] [ ] = + ( ) + ( ) = (8 + 8) = 6 d. Dri hsil perhitungn dn c tmpk hw x + x = x + x ( ) ( ) Contoh : Tentukn nili-nili integrl erikut.. 6x. 6 x Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

18 Integrl 7 ( ) c. 5x + x d. 5x + x e. Dri nili integrl pd gin smpi dengn d terseut, p yng dpt klin simpulkn dri huungn terseut? Jw:. 6x = x [ ] = [ ( ) ] [ () ] = 6 =. 6 x = 6 x = 6 ( ) ( ) = 6 8 = 6 7 = c. 5x + x = x + x ( ) d. ) 5x = x 5 ) x= x 5 [ ] = ( 5 + ) ( 5 + ) = ( + 9) ( + = 5 6 = 6 [ ] = 5 5 = = [ ] = = 9 = 5 Jdi, 5x + x = + 5 = 6. e. Tmpk dri keempt nili di ts diperoleh huungn segi erikut. ) 6x = 6 x ) 5x + x = 5x + x ( ) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

19 8 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh : Tentukn nili-nili integrl erikut.. x. x + x Jw:. x = x c. Dri hsil dn, p kesimpuln klin? [ ] = = 56 = 55. x + x = x x [ ] + [ ] = ( ) + ( ) = (6 ) + (56 6) = 5 + = 55 c. Tmpk dri hsil dn hw x = x + x Dri contoh-contoh di ts mk dpt dituliskn sift-sift integrl segi erikut. Mislkn f(x) dn g(x) dlh fungsi-fungsi kontinu pd [, ], erlku segi erikut. Tugs: Inkuiri Kerjkn di uku tugs Dengn menggunkn dsrdsr integrl yng telh klin peljri, co uktikn sift-sift integrl tertentu di smping.. f ( x) =. c c. f( x) f ( x) = c f ( x), dengn c = konstnt = f ( x) d. [ f ( x) ± g( x)] = f ( x) ± g( x) c e. f ( x) + f ( x) = f ( x), dengn c Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) c

20 Integrl 9 Jendel Informsi Informsi leih lnjut Bernhrd Riemnn (86 866) Sumer: George Friedrich Bernhrd Riemnn Tokoh yng hidup ntr thun ini dlh ilmuwn pemeri definisi modern tentng integrl tertentu. Mellui teori fungsi kompleks, di memprkrsi topologi dn geometri yng 5 thun kemudin memunck dlm teori reltivits Einstein. Slh stu kryny dlm idng klkulus dlh integrl Riemnn. Sumer: Sol Kompetensi. Hitunglh nili dri integrl erikut. Kerjkn di uku tugs 5. ( 5x + ) d. ( x ) x. x x e. ( x )(x + ) c. x. Tentukn nili dri integrl erikut.. x(x ) = 8 5 f. x ( x ). = x c. ( t) dt + ( t ) dt = 5. Jik x = y, tentukn nili-nili integrl erikut.. xdy c. y. ( x+ x ) dy d. ( y y) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

21 Khz Mtemtik SMA IPS. Tentukn lus derh yng dirsir pd gmr erikut. () Gmr.9 () y = x + x + - Gmr. Y O X D. Pengintegrln dengn Sustitusi 5. Tentukn lus derh yng ditsi oleh gris y = x + x + dn sumu X dri x = smpi x = (perhtikn Gmr.). 6. Kelurg Pk Dedi ingin memeli seidng tnh dengn entuk seperti idng yng ditsi oleh f(x) = x, x = 6 dn sumu X (dlm stun m). Jik hrg tnh terseut Rp.,/m, erp rupihkh ung yng hrus diyrkn Pk Dedi untuk pemelin tnh itu? 7. Seidng tnh erentuk seperti idng yng ditsi f(x) = x +, x =, dn sumu X (dlm stun m). Tentukn erp hrg tnh terseut jik hrg per meter perseginy dlh Rp5.,. 8. Dierikn fungsi dc = x + 7 segi fungsi iy mrginl. Tentukn erp iy totl C(x) yng diperlukn untuk memproduksi rng ntr unit smpi unit. Slh stu cr untuk menyelesikn hitung integrl dlh dengn sustitusi. Beerp entuk integrl yng dpt diselesikn dengn melkukn sustitusi tertentu ke dlm n fungsi yng diintegrlkn, mislny entuk udu. Bgimn cr menyelesiknny? Untuk itu, perhtikn urin erikut. Pd pemhsn seelumny, diperoleh x n = x n + n+ + c. Oleh kren itu, untuk menyelesikn integrl entuk ( ( )) f x n d(x) mk kit dpt menggunkn Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

22 Integrl n sustitusi u = f(x) sehingg integrl terseut erentuk udu. n Dengn demikin, diperoleh udu= n + un + + c. Oleh kren itu, dpt dituliskn segi erikut. n n n+ ( f( x)) d( f( x)) = u du = u + c n + dengn u = f(x) dn n. Contoh : Tentukn hsil integrl erikut. 7. ( x + 6)( x + 6x + ). x 8x + )( x ) ( Jw: 7. ( x + 6)( x + 6x + ) 7 = ( x + 6x + ) (x + 6) Cr : du Mislkn u = x + 6x + = x + 6 du = (x + 6). Oleh kren itu, ( x + 6 x+ ) 7 ( x+ 6 ) = u 7 du = 8 u 8 + c = 8 (x + 6x + ) 8 + c Cr : 7 ( x + 6)( x + 6x + ) 7 = ( x + 6x + ) d(x + 6x + ) = 8 (x + 6x + ) 8 + c. x 8x + )( x ) ( Cr : Mislkn u = x 8x +. du = x 8 du = (x ) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

23 Khz Mtemtik SMA IPS Oleh kren itu, ( x 8x + )( x ) = u. du = u du = ( u ) + c = u + c = (x 8x + ) + c Tntngn Inkuiri Kerjkn di uku tugs Co kmu jelskn lngkh-lngkh menyelesikn integrl erikut.. (x + x) 6 (x + ) ( x + ). x Jik d cr lin, co kmu tunjukkn cr itu. Cr : ( x 8x + )( x ) = ( x 8x + ) d( x 8 x + ) = ( ( x 8 x + ) d x 8 x + ) = ( (x 8x + ) ) + c = (x 8x + ) + c Contoh : Tentukn integrl erikut.. x x. x x + Jw:. x x Mislkn u = x du = x sehingg x = du x x = u du = u du Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

24 Integrl = = u + = u u + c + c + + c = ( u ) u + c. x x + Mislkn u = x + du = 6x sehingg x = du. x = x + = du u u du = u + = ( u ) + c = u + c = x + + c + + c Bgimn jik integrl yng kn ditentukn dlh integrl tertentu? Crny sm sj dengn integrl tk tentu. Hny, yng perlu diperhtikn dlh ts integrsiny. Bts integrsi dpt digunkn vriel seelum sustitusi mupun vriel sustitusi. Untuk leih jelsny, perhtikn contoh erikut. Contoh : Tentukn nili dri x x. Jw: Mislkn u = x du = x sehingg du = x. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

25 Khz Mtemtik SMA IPS Penentun ts integrsi Bts wh: Untuk x = mk u = =. Bts ts: Untuk x = mk u = =. x x = u du = = udu = u + u + [ ] = u = ( ) = Jik klin menggunkn vriel seelum sustitusi, yitu x mk terleih dhulu dicri integrlny. Setelh itu, sustitusikn nili x itu. Jdi, setelh diperoleh hsil x x = ( x ), sustitusikn ts-ts x. ( x ) Klin kn memperoleh hsil yng sm. Co klin uji. Sol Kompetensi Tentukn integrl erikut.. ( x 5). ( x ). ( ( x) ). ( x x)( x x + ) 5 5. x 5 x 6. x x Kerjkn di uku tugs Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

26 Integrl 5 Tntngn Kretivits Kerjkn di uku tugs Tentukn integrl erikut.. ( x+ )( x + x+ ). x x x x x 5+ x x 5 ( x + 9). ( x+ ) + x Untuk sol nomor 5, tentukn nili integrl erikut.. ( 8x+ ) 5. ( x ) x. ( x ) x x+. ( x+ ) x+ 5. x ( 6+ x ) E. Integrl Prsil Kdng-kdng, entuk integrl u dv, dengn u dn v merupkn fungsi-fungsi dlm vriel x, sngt sulit dikerjkn, sedngkn v du leih mudh dikerjkn. Jik kit menjumpi entuk seperti itu mk kit perlu mengethui huungn ntr kedu integrl terseut untuk memperoleh penyelesin u dv. Mislny y = uv dengn y = y(x), u = u(x), dn v = v(x) merupkn fungsi diferensiel. Jik fungsi y diturunkn mk diperoleh dy = u dv + v du dy = u dv + v du d(uv) = u dv + v du Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

27 6 Khz Mtemtik SMA IPS Jik kedu rus persmn di ts diintegrlkn mk diperoleh d (uv) = u dv + v du uv = u dv + v du Dengn demikin, diperoleh sutu rumus segi erikut. u dv = uv v du Dri rumus di ts terliht hw integrl dipish menjdi gin, yitu u dn dv (yng mengndung ) sehingg diseut segi integrl prsil. Untuk menggunkn rumus integrl prsil, perlu diperhtikn hw gin yng dipilih segi dv hrus dpt diintegrlkn dn v du hrus leih sederhn (leih mudh dikerjkn) dripd u dv. Agr leih memhmi integrl prsil, perhtikn contoh erikut. Contoh : Tentukn x x. Jw: Berdsrkn rumus integrl prsil mk integrl terseut digi menjdi du gin, yitu u dn dv. Untuk menentukn gin u dn dv d eerp kemungkinn sehingg hrus dipilih yng pling tept sesui dengn kidh di ts. Kemungkinn yng dpt terjdi untuk memilih u dn dv dlh segi erikut.. Mislkn u = x x dn dv =. Oleh kren itu, du = x x dn v = x sehingg x x x x = x x( x) x( x ) x Dri integrl di ts terliht hw entuk terseut sulit untuk ditentukn penyelesinny. Oleh kren itu, untuk pemisln u dn dv di ts ditolk.. Mislkn u = x dn dv = x. Dengn demikin, diperoleh du = v = x = x x Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) dn

28 Integrl 7 sehingg x x = x x x x = x x x x Dri entuk integrl di ts mk terliht hw entuk terseut jug sulit ditentukn penyelesinny. Jdi, untuk pemisln u dn dv di ts ditolk. c. Mislkn u = x dn dv = x. Untuk u = x du = Untuk dv = x dv = x Oleh kren itu, v = x x = x x x x = 5 + x x c + + = 5 5 x x + c 5 = 6 5 = 5 5 x + c x x + c Contoh : Tentukn x + x. Jw: Mislkn u = x du =. dv = + x dv = ( + x) v = ( + x) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

29 8 Khz Mtemtik SMA IPS Oleh kren itu, x + x = x x ( + ) ( + x ) = x( + x) 5 5 ( + x) + c Ad sutu metode yng mempermudh pengerjn integrl prsil yng diseut dengn turn Tnzlin. Aturn Tnzlin digunkn untuk menyelesikn u dv pil turunn ke-k dri fungsi u(x) ernili nol dn integrl ke-k dri fungsi v = v(x) d. Perhtikn contoh-contoh erikut. Contoh : Tentukn hsil integrl 8x ( x + ). Tugs: Eksplorsi Kerjkn di uku tugs Gunkn turn integrl prsil untuk mengerjkn kemli contoh di smping. Bndingkn hsilny. Menurut klin, cr mn yng leih mudh? Ap lsnklin? Jw: 8x ( x + ) 8 x ( x+ ) Untuk integrl di ts, gin yng leih mudh didiferensilkn dlh x. Jdi, u = x dn dv = (x + ). Kit gunkn turn Tnzlin untuk mengerjkn integrl terseut. Didiferensilkn Diintegrlkn x + (x + ) x + ( x + ) ( 6 x + ) ( 6 x + ) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

30 Integrl 9 8x ( x + ) = 8 x ( ( x+ ) ) x ( (x + ) ) + 6 ( (x + ) )] + c = x ( x+ ) x( x+ ) ( x + ) + c Sol Kompetensi 5 Kerjkn di uku tugs. Hitunglh integrl-integrl erikut.. x ( x ) d. ( x). x (5x + ) e. x( x ) c. x f. x( 5 x) x + 5. Dengn menggunkn leih dri stu kli rumus integrl prsil, tentukn nili-nili integrl erikut.. x x + 5 d. x x 9. x x e. x x c. x + x. Gunkn turn Tnzlin untuk menentukn nili integrl erikut.. x x d. (x ) x. x ( x) e. 5 c. x x +. Tentukn nili integrl erikut. 5. x x+. 5 5x ( x + ) 5. Tentukn hsil dri integrl-integrl erikut.. x x x ( x+ ) x+ c. ( x) x. x x + 5 Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

31 Khz Mtemtik SMA IPS F. Penggunn Integrl Tertentu Pd pemhsn seelumny, kit telh mempeljri teoriteori yng erhuungn dengn integrl tertentu. Sekrng kit kn mempeljri eerp penggunn integrl tertentu, yitu untuk menentukn lus sutu derh dn volume end putr jik sutu derh diputr mengelilingi sumu tertentu.. Lus Derh yng Ditsi oleh Kurv y = f(x), Sumu X, Gris x =, dn Gris x =. Untuk f(x) pd Intervl x Mislkn L dlh lus derh pd idng Crtesius yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, gris x = dn gris x = seperti gmr di smping. Lus derh L ditentukn oleh rumus erikut. Gmr. L = f ( x) Contoh: Sutu derh ditsi oleh kurv y = x, x =, x =, dn sumu X. Lukislh kurv terseut dn rsir derh yng dimksud, kemudin tentukn lusny. Jw: Kurv derh yng dimksud seperti Gmr.. L = ( x ) = x x Gmr. = () () = = 9 + = Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

32 Integrl Gmr.. Kurv f(x) pd Intervl x Mislkn L dlh lus derh pd idng Crtesius yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = seperti Gmr.. Dri gmr di smping, nili integrl tertentu f ( x) kn ernili negtif. Pdhl lus sutu derh hrus ernili positif sehingg rumus untuk menghitung lus derh di wh sumu X segi erikut. L = f ( x ) = f ( x ) Contoh: Tentukn lus derh yng ditsi oleh. y = f(x) =, sumu X, gris x = dn x = 5;. y = f(x) = x, sumu X, gris x =, dn x =. Jw:. y = f(x) = dpt digmrkn seperti Gmr.. Kren derh yng dimksud erd di wh sumu X mk L = f ( x) Gmr. Tntngn Penlrn Kerjkn di uku tugs Mislny dierikn sutu fungsi turunn dy = x +. Fungsi y = f(x) mellui titik (, ). Bgimn cr menentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, sumu Y, dn gris x =? Berpkh lus derh yng dimksud? 5 = 5 = = [ x ] 5 = (5) () =. Kurv y = x tmpk seperti Gmr.5. Kren derh yng kn dicri lusny erd di wh sumu X mk lusny dlh ( ) L = f x = ( x ) = x x = () ( ) = = Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) Gmr.5

33 Khz Mtemtik SMA IPS c. Untuk f(x) pd Intervl x c dn f(x) pd Intervl c x Mislkn L lus derh yng ditsi oleh y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = seperti gmr di smping. Lus derh L tidk dpt dihitung menggunkn rumus Gmr.6 f ( x) kren lus derh L tergi menjdi du gin, yitu di ts dn di wh sumu X sehingg kn memerikn hsil yng slh. Cr menghitung lus derh L dlh dengn memgi lus derh L menjdi du gin, yitu L segi lus derh yng erd di ts sumu X dn L segi lus derh yng erd di wh sumu X. Oleh kren itu, lus seluruh gin yng dirsir dlh c L = f ( x ) f ( x ) = f ( x) + c c c f ( x) L L Gmr.7 Contoh: Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y = x + x +, sumu X, sumu Y, dn x =. Jw: Gmr kurv y = x x + tmpk di smping. Grfik memotong sumu X sehingg diperoleh titik potong (, ) dn (, ). Derh yng dimksud dlh derh yng dirsir. Kit gi derh terseut menjdi du gin yitu L dn L. Kren L terletk di wh sumu X (ernili negtif), L dieri tnd negtif (gr menjdi positif). Oleh kren itu, lus derh yng dicri dlh segi erikut. Lus = L + L = f ( x) f ( x) = ( x x + ) + ( x x+ ) = x x + x + x x + x = () () + () + () () + () Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

34 Integrl () () + () = + = stun lus. Lus Derh ntr Du Kurv Gmr.8 Mislkn L dlh lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x) dn y = g(x), dengn f(x) > g(x), x =, dn x = seperti pd Gmr.8. Lus derh terseut dpt dihitung dengn cr erikut. L = Lus TURS Lus TUQP = f ( x) g ( x) = { f ( x) g( x)} = ( y y ) Jdi, lus derh ntr du kurv y = f(x), y = g(x), x =, dn x = dlh segi erikut. Contoh: Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn y = x +. Kuis Kerjkn di uku tugs Titik-titik A(, ), B(, ), dn C(c, ) terletk pd kurv y = x. Lus derh ABC =... stun lus. d. 5. e. 7 c. 9 5 Kompetisi Mtemtik DKI, Jw: Bts-ts x diperoleh dengn menentukn titik-titik potong kedu kurv, yitu x = x + x x = (x + )(x ) = x = tu x = Untuk x = mk nili y =. Gmr.9 Untuk x = mk nili y =. Jdi, titik potong kedu kurv, yitu x = dn x = merupkn ts pengintegrln. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

35 Khz Mtemtik SMA IPS L = ( y y ) = ( x + x ) = x + x x = ( + 8 ) ( + ) 7 9 = = stun lus 6 Mri Berdiskusi Inovtif Sutu derh yng ditsi oleh du kurv (liner-kudrt tu kudrt-kudrt) dpt ditentukn lusny dengn cr erikut. Mislny D menytkn diskriminn dri persmn kudrt gungn yng erentuk, x + x + c =. lus = D D 6 Persmn kudrt gungn diperoleh dri y y =, slkn y > y. Tugs klin ersm temn-temn klin erkresi dengn rumus yng telh klin phmi untuk mencri dri mn rumus itu diperoleh. Prolem Solving Tentukn lus derh yng ditsi prol y = x dn gris x y + =. Jw: y = x dn x y + = y = x +. y y = x (x + ) = x x = =, =, dn c =. D = ( ) ( ) = + = 6 Lus = D D = = = stun lus. 6 6 (Co klin tunjukkn derh yng dimksud dengn menggmrknny pd idng koordint.) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) 6

36 Integrl 5 Mri Berdiskusi Inkuiri Butlh semrng persmn gris lurus pd idng Crtesius. Dri ketig gris yng klin ut, dptkh ditentukn seuh idng dtr? Dptkh ditentukn lusny dengn menggunkn integrl? Sol Kompetensi 6 Kerjkn di uku tugs. Hitunglh lus derh yng dirsir pd gmr erikut. Kuis Kerjkn di uku tugs () () Lus persegi pnjng teresr yng dpt diut dlm derh yng ditsi kurv y= x 6 dn y = dlh stun. stun c. 8 stun d. stun e. stun Kompetisi Mtemtik DKI, (c) Gmr.. Dengn memut skets gmr terleih dhulu, tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv-kurv di wh ini.. y = x + 6, gris x =, gris x =, dn sumu X.. y = x, gris x =, gris x =, dn sumu X. c. y = x, gris x =, gris x =, dn sumu X. d. y = x, gris x =, sumu Y, dn sumu X. e. y = x x 6, gris x =, gris x =, dn sumu X.. Tentukn lus derh yng ditsi oleh du kurv erikut.. y = x dn y = 5 c. y = x x dn y = x + 8. y = x dn y = x x d. y = x dn y = x Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) (d)

37 6 Khz Mtemtik SMA IPS. Dikethui lus idng yng ditsi oleh gris y = x, y = 5 x, dn sumu X ntr x = dn x = menytkn nykny krywn sutu prik yng erpenghsiln ntr riu rupih dn riu rupih. Jik = dn = mk tentukn nykny krywn yng erpenghsiln di ts riu rupih. 5. Dikethui grfik fungsi f '(x) = x + 5. Grfik fungsi f(x) mellui titik (, ). Tentukn lus derh yng ditsi kurv y = f(x), sumu X, sumu Y, dn gris x = dn x =. 6. Pk Snjy memiliki tnh yng letkny di tepi sungi. Tnh Pk Snjy menyerupi entuk sutu idng yng ditsi oleh kurv y = x, y =, x =, dn x = 8. Pk Snjy menghendki keuntungn dri penjuln per m - ny seesr Rp6.,. Jik keinginn itu tercpi, erp keuntungn totl yng diperoleh Pk Snjy? 7. Pk Fery memiliki seuh perkeunn kret yng entukny seperti gin dirsir pd Gmr.. Berpkh lus perkeunn kret milik Pk Fery itu? Y y = x x O 8 Gmr. X 8. Seuh krton memiliki entuk seperti Gmr. yng dirsir. Bentuk krton itu erup ngun dtr yng ditsi oleh kurv y = x x dn y = x x dri x = smpi dengn x =. (Setip stun mewkili dm). Tentukn lus krton itu. Y y = x x y = x x O Gmr. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id),5 X

38 Integrl 7 9. Pk Ketut memiliki seidng tnh yng terletk di tepi sungi. Bentuk permukn (derh) dri tnh itu menyerupi derh yng ditsi oleh kurv y = x, sumu X, gris x =, dn gris x = (stun dlm m). Pk Ketut ingin menjul tnh itu. Pk Ketut menghrp keuntungn Rp5., per m. Berpkh totl keuntungn yng dpt diperoleh Pk Ketut jik tnh itu terjul seluruhny?. Sutu perushn produsen mesin-mesin cnggih merkit x unit mesin per uln. Keuntungn mrginl ulnn (dlm rtusn riu) dinytkn oleh fungsi M(x) = 65 x, untuk ( x <.) Pd st ini, perushn itu merkit.5 unit mesin per uln, tetpi erencn meningktkn produksiny. Berpkh peruhn totl keuntungn per uln jik produksi ditingktkn hingg.6 unit? Petunjuk: Peruhn totl keuntungn dpt ditentukn dengn M(.6) M(.5).. Volume Bend Putr (Pengyn) Bend putr dlh sutu end yng terentuk dri sutu derh tertutup pd idng Crtesius dn diputr mengelilingi sumu X tu sumu Y dengn stu putrn penuh (6 o ). Mislny: segitig Bend yng terentuk kerucut () () setengh lingkrn Bend yng terentuk ol (c) Gmr. (d) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

39 8 Khz Mtemtik SMA IPS Tntngn Kretivits Kerjkn di uku tugs Andikn ls seuh end pejl erup idng dtr dn terletk di kudrn I x yng ditsi oleh y =, sumu X, dn sumu Y. Anggplh penmpng yng tegk lurus pd sumu X erentuk persegi. Berpkh volume end ini?. Derh Ditsi Kurv y = f(x), Sumu X tu Sumu Y, Gris x =, dn Gris x = ) Perputrn Mengelilingi Sumu X Mislkn sutu derh ditsi kurv y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = diputr mengelilingi sumu X seperti pd Gmr. (). () Gmr. () Jik end putr terseut dipotong dengn tel potongn setel x dri intervl x, kn terentuk n uh keping. Keping terseut erup silinder dengn jrijri y = f(x i ) dn tinggi (telny) x. Perhtikn Gmr. (). Volume keping ke-i dlh V i = y i x, sedngkn volume semu end dlh jumlh volume keping senyk n uh, yitu Jik n mk V = lim n n V = y x i= i x sehingg diperoleh n i= y i x = y Dengn demikin, dpt kit simpulkn segi erikut. Volume end putr yng terjdi dri derh yng ditsi oleh y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o, volumeny dlh V = y Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

40 Integrl 9 Contoh: Tentukn volume end putr yng terjdi jik idng dtr yng ditsi oleh kurv y = x, sumu X, dn gris x = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o. Jw: V = y = x Gmr.5 = x = () = 9 stun volume ) Perputrn Mengelilingi Sumu Y Mislkn sutu derh ditsi kurv y = f(x), sumu Y, gris y = c, dn y = d diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o, kn mementuk end putr seperti gmr di smping. Cr menentukn volume end putr dri derh yng diputr mengelilingi sumu Y sm seperti menentukn volume end putr yng mengelilingi sumu X. Gmr.6 Jik derh yng ditsi oleh x = f(y), sumu Y, gris y = c, dn gris y = d diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o, volume end putrny dlh d V = x dy c Contoh: Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh sumu Y, kurv y = x, gris y =, dn gris y = 5 diputr mengelilingi sumu Y. Jw: d V = x dy c 5 = ( y) Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) dy

41 Khz Mtemtik SMA IPS 5 = y dy = y = (5) () 5 = stun volume Gmr.7 Gmr.8. Volume Bend Putr Derh di ntr Du Kurv ) Perputrn Mengelilingi Sumu X Dimislkn A dlh derh tertutup yng ditsi oleh kurv-kurv y = f(x) dn V = ( f ( x)) y = g(x) dengn f(x) g(x) pd intervl x. Derh yng terentuk diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o sehingg terentuk sutu end putr yng tenghny kosong. Perhtikn gmr di smping. Volume end yng terentuk dri derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), y = g(x), gris x = dn x = dlh ( g ( x)) = (( f( x)) (( g( x)) ) = (y y ) Dengn demikin, dpt disimpulkn segi erikut. Jik derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), kurv y = g(x), gris x =, dn gris x =, dengn f(x) g(x) diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o mk volume end putr yng terjdi dlh V = (y y ) tu V = [( f ( x)) ( g( x)) ] Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

42 Integrl Contoh: Gmr.9 Tentukn volume end putr yng terjdi, jik derh yng ditsi oleh kurv y = 6x x dn y = x diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o Jw: Perpotongn ntr kurv y = 6x x dn y = x dlh segi erikut. y = y 6x x = x 5x x = x(5 x) = x = tu x = 5 Nili x = dn x = 5 digunkn segi ts-ts integrsi volume end putrny. Dengn demikin, diperoleh V = ( y y ) 5 = [( 6x x ) x ] 5 = ( x x + 5x ) = x x + x = 8 stun volume ) Perputrn Mengelilingi Sumu Y Mislkn A dlh derh tertutup yng ditsi oleh kurvkurv x = f(y) dn x = g(y) dengn f(y) g(y) pd intervl c y d. Cr yng sm dpt diterpkn untuk mencri volume end putr yng ditsi du kurv x = f(y), x = g(y), gris y = c dn y = d seperti st kit menentukn volume end putr jik diputr mengelilingi sumu X. Dengn demikin, dpt ditunjukkn hw volume end putr itu dlh segi erikut. Jik sutu derh yng ditsi oleh kurv x = f(y), kurv x = g(y), gris y = c, dn gris y = d dengn f(y) g(y) diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o, volume end putr yng terjdi dlh d V = (x x ) dy tu (( f ( y)) ( g( y)) ) dy Gmr. c c Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) d

43 Khz Mtemtik SMA IPS Contoh: Hitunglh volume end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh kurv y = x, y = x, dn y = di kudrn pertm diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o. Jw: Kurv y = x x = Kurv y = x x = y x = y y Gmr. x = y Dengn demikin, volume end putrny dlh d V = (x x ) dy c = ( y y) dy = y dy = y = () () = stun volume Sol Kompetensi 7 Kerjkn di uku tugs. Tentukn volume end putr dri derh yng dirsir erikut jik diputr mengelilingi. sumu X sejuh 6 o ; () Gmr. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) ()

44 Integrl. sumu Y sejuh 6 o. () Gmr.. Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh-derh yng ditsi oleh kurv-kurv erikut diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o.. y = x +, sumu Y, dn sumu X. y = 9x x dn sumu X c. y = x dn y = x + d. y = x + dn y = e. y = x 6 dn y = x f. y = x dn y = x. Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh-derh yng ditsi oleh kurv diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o.. y = x, sumu Y, y =, dn sumu X. y = x, sumu Y, dn gris y = c. y = x + 6, gris y =, dn gris y = 6 d. y = x, y = x, dn sumu Y (Petunjuk: gilh derh lusn menjdi du gin) e. y = x, gris x =, dn sumu X f. y = x dn y = x g. x = y dn y = x h. x = 9 y dn x = y. Klin tentu thu hw volume seuh tung dlh V = r t, dengn r = jri-jri ls tung dn t tinggi tung. Co klin tunjukkn dengn menggunkn konsep end putr. (Petunjuk: millh permisln fungsi konstn) 5. Di kels X, hkn SMP dn SD, klin telh diperkenlkn dengn volume kerucut, yitu V = r Dengn menggunkn konsep end putr, co tunjukkn keenrn rumus itu. (Petunjuk: millh permisln fungsi liner). t. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) ()

45 Khz Mtemtik SMA IPS 6. Mislkn dierikn persmn lingkrn x + y = r, r dri jri-jri lingkrn. Dengn menggunkn persmn ini dn terpn konsep end putr, tunjukkn hw volume ol dlh V = r, dengn r dlh jri-jri ol. 7. Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh prol y = x dn y = x x yng diputr mengelilingi sumu X seesr 6 o. (UAN 5) 8. Tentukn volume end putr yng terjdi jik. derh yng ditsi oleh kurv y = x + dn gris y = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o ;. derh yng ditsi oleh gris y = x dn prol y = x diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o. 9. Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh ntr kurv y = x + dn y = x + diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o. (UAN 6). Tentukn volume end putr yng terjdi jik derh yng ditsi oleh sumu X dn kurv y = x 9 mengelilingi sumu X sejuh 6 o. diputr Rngkumn. Bentuk integrl f ( x) = F(x) + c dinmkn integrl tk tentu.. Rumus-rumus integrl tk tentu dlh segi erikut.. = x + c. = x + c, konstnt c. x n = x n + + c, n n +. Jik F ntiturunn dri f mk rumus untuk integrl tertentu yng dinytkn segi lus derh yng ditsi oleh kurv y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = dlh f ( x) = [ F ( x) ] = F() F(). Sift-sift integrl tertentu dlh. f ( x) =. cf ( x) = c f ( x) c. f ( x) = d c f ( x) = f ( x) f ( t) dt e. f ( x) f ( x) + = dengn < c < ± = f. [ f( x) g( x)] c f ( x) f ( x) ± Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id) g ( x)

46 Integrl 5 5. Lus derh yng ditsi oleh du kurv y = f(x), y = g(x), gris x =, dn gris x = dengn f(x) g(x) dlh L = ( y y ). 6. Volume end putr (Pengyn). Jik derh ditsi kurv y = f(x), sumu X, gris x =, dn gris x = diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o, volume end putrny dlh V = ( f ( x)) = y. Jik derh yng ditsi oleh kurv x = f(y), sumu Y, gris y = c, dn gris y = d diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o, volume end putrny dlh d V = ( f ( y)) c dy d = c x dy Refleksi Ap yng menurut klin menrik dri mteri ini? Adkh hl ru yng klin peroleh? Apkh setip fungsi dpt diintegrlkn? Jik d fungsi yng tidk dpt diintegrlkn, fungsi seperti pkh itu? Jelskn. Tes Kemmpun B I Kerjkn di uku tugs 5. xx ( 9) = ( x 9) + c 5. c. d. e. 5 ( x 9) + c 6 6 ( x 9) + c 6 ( x 9) + c 6 6 ( x 9) + c 5 A. Pilihlh jwn yng tept dengn memeri tnd silng (x) pd huruf,, c, d, tu e... x + 6 =... x +. ( x ) ( x+ 6) + c. x ln x c c. x + ln x c d. x ln x + + c e. x + ln x + + c ( x ) 5 x =.... (x )x 5 + c. (x )x + c c. x + 8x 9x + c d. x + 8x + c e. x 5 + c Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

47 6 Khz Mtemtik SMA IPS. ( 5x 6x + x ) =... (Etns 99). x 5 x + x x + c. x 5 x + x + c c. 5x 5 6x + x x + c d. x 5 x + x + x + c e. x 5 x + x x + c 5. Dikethui f '(x) = x + ( ). Jik f() = dn f() =, nili dlh.... d.. e. c. 6. Grdien gris singgung kurv y = f(x) di semrng titik (x, y) dlh f '(x) = x. Jik kurv f(x) mellui titik (, ), persmn kurv f(x) =.... x + x 5. x x 5 c. x x + 6 d. x x + 6 e. x x Nili ( x ) = Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x + dn gris x = dlh... stun lus... 5 c. d. 8 e. m. Mislkn dikethui x = dn n ( x ) =, dengn m, n >. Nili (m + n) = c. d. 5 e.. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x + dn y = x x 8 dlh... stun lus c. d.. d. 6. e. 6 c Lus derh yng ditsi kurv f(x) = x +, x =, dn x = dlh... stun lus d c e. 7 e. 5. Lus derh yng ditsi oleh kurv y = x dn y = x dlh... (UN ). stun lus. 5 stun lus c. 5 stun lus 6 d. stun lus e. 5 stun lus Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

48 Integrl 7. Persmn kurv fungsi yng memenuhi syrt dy = x x+ 9 dn nili minimum dlh.... y = x 6x + 9x. y = x 6x + 9x + c. y = x 6x 9x d. y = x + 6x + 9x e. y = x + 6x + 9x +. Dikethui persmn gris singgung pd sutu kurv di titik (, ) dlh dy = 6 6 x. Andikn di titik (x, y) pd kurv erlku d y = x, persmn kurv itu dlh.... y = x 5x. y = x 5x + c. y = x + 5x + d. y = x + 5x e. y = x x 5 5. Dikethui iy mrginl yng dikelurkn sutu perushn dirumuskn dengn C'(Q) = 6Q (dlm jut rupih). Biy totl untuk memproduksi unit rng yng sm dlh 9,85 jut rupih. Fungsi iy totlny C(Q) =.... Q Q + 5. Q + Q + 5 c. Q Q + 5 d. Q Q 5 e. Q + Q 5 6. Dikethui F'(x) = 6x + x dn F() = mk F(x) =... (Etns 995). x + x x + 8. x + x x 8 c. x + x x d. x + x x e. x + x x + 7. Akr-kr persmn x x + = dlh p dn q, dengn p q. Nili q ( x) x x =... (UAN ) p.. 8 c. 6 d. e. 8. Mislkn f '(x) turunn dri f(x). Jik f '(x) = 6x x + dn f() = mk fungsi f(x) =.... x x + x 6. x x + x c. x x + x + 6 d. x x + x e. x x + x 9. Nili dri ( x x ) dlh... (Etns 99). 56. c. d. e.. Pd tip titik (x, y) seuh kurv y = f(x) erlku dy = 8x. Kurv mellui titik (, ). Persmn kurv itu dlh... (Etns 99). y = x + 9x + 9. y = x x + c. y = x x + 7 d. y = x + x + 8 e. y = x x + Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

49 8 Khz Mtemtik SMA IPS. Perhtikn gmr erikut... 8 c. 8 Lus derh yng dirsir pd gmr di ts dlh... stun lus (UN 6). d. 6. e. 9 d. 7 e Jik f(x) = (x ) dn g(x) = f(x) mk lus derh yng ditsi oleh kurv f dn g dlh...stun lus (UAN ). d. s c. 5. e. 6. Hsil dri x ( x 6 ) =... (UAN ). d.. e. c.. Lus derh yng ditsi prol y = 8 x dn gris y = x dlh... (UAN ). 6 stun lus. stun lus c. stun lus d. 6 stun lus e. 6 stun lus. x x =... (UAN ) 6 c. 6. Grdien gris singgung sutu kurv di semrng titik P(x, y) dirumuskn dengn dy = x. Jik kurv mellui titik (, ) mk persmn kurv dlh... (UN ). f(x) = x x. f(x) = x x 5 c. f(x) = x x 5 d. f(x) = x x e. f(x) = x x 9 7. Volume end putr yng terjdi jik sutu derh yng ditsi kurv y = x, sumu X, x =, dn gris x = 5 diputr mengelilingi sumu Y dlh d.. 65 e. c Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

50 Integrl 9 p 8. Dikethui xx ( + ) = 78. Nili ( p) =... (UN 7/Pket ). 8 d.. e. 8 c. 9. Lus derh tertutup yng ditsi oleh y = x dn y = 5x dlh... (UN 7/Pket ). stun lus 6. 8 stun lus c. 9 stun lus d. e. 5 stun lus stun lus p. Dikethui ( t + 6t ) dt =. Nili p =... (UN 7/Pket ) c. 6 d. e.. Tentukn integrl erikut.. ( x ( x + ) ). 9 ( x + 5)( x x ) c. xx ( x+ ) x x d. x x+ ( x) e. 6 x x. Tentukn nili dn yng memenuhi df ( x) = x +, f() = + f( ), dn f() f() = 5.. Tentukn persmn kurv y = f(x) jik grdienny m = dy = (x ) dn kurv mellui titik A(, ).. Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv y = x x + dri x = smpi dengn x =. B. Jwlh pertnyn-pertnyn erikut dengn enr. 5. Mislkn derh D dlh derh yng ditsi kurv y = x, y = x, dn gris y =. Derh D terletk di kudrn I. Jik derh D diputr mengelilingi sumu Y, tentukn volume end putr yng terjdi. 6. Sutu derh memiliki ngk pertumuhn penduduk yng mengikuti pol dp = + t dt 5 P dlm riun dn t dlm thun. Jik thun ini populsiny d riu penduduk, tuliskn pol ngk pertumuhn pendudukny. 7. Tentukn volume end putr yng terjdi jik. derh yng ditsi oleh kurv y = x + dn gris y = diputr mengelilingi sumu Y sejuh 6 o.. derh yng ditsi oleh gris y = x dn prol y = x diputr mengelilingi sumu X sejuh 6 o. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)

51 5 Khz Mtemtik SMA IPS 8. Dikethui gris g mellui titik A(, ) pd kurv y = + x x dn memotong sumu Y di titik B(, 5). Tentukn lus derh yng ditsi oleh kurv dn gris g. 9. Dikethui prol y = x +. Titik P(, 6) dn Q(, ) pd prol. Gris g dlh gris singgung prol di titik P dn h dlh gris singgung prol di titik Q.. Tentukn persmn gris g dn h.. Nytkn lus derh tertutup yng ditsi usur PQ pd prol, gris g, dn gris h dlm entuk integrl, kemudin hitung lus derh terseut.. Gris g menyinggung kurv y = sin x di titik (, ). Jik derh yng ditsi oleh gris g, gris x, dn y = sin x diputr mengelilingi sumu X, tentukn volume end putr yng terjdi. Kt Bijk Dlm suk, hitunglh kesyukurnmu. Dlm senng, wsi kelpnmu. Di unduh dri: ( Sumer uku : (se.kemdikud.go.id)