BAB I PENDAHULUAN. Indonesia merupakan salah satu negara yang mempunyai wilayah hutan

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN A. Ltr Belkng Peroln Indone merupkn lh tu negr ng mempun wlh hutn ng ukup lu dn merupkn negr terpentng penghl berbg ku bult trop, ku gergn, ku lp dn hl ku lnn. Hl produk hutn Indone mempun keungguln komprtf (omprtve dvntge) k dbndngkn dengn negr-negr ln dn ebgn dr produk hl hutn dekpor ke negr ln. Seln tu produk ku ug merupkn penghl dev utm dr ektor non mg. Ku merupkn lh tu hl hutn ng dlm proe pembhrunn membutuhkn wktu ng ukup lm, ehngg perlu pengeloln ng bk, tu dengn memperhtkn tem tebng plh ert menndk pr pemblk lr, gr pemenuhn ku dlm proe pembngunn, bk bg perumhn dn nfrtruktur ln tdk terhmbt. Peruhn ku bn mengkonverkn ku bult mend ku berbentuk blok, ppn tu bentuk-bentuk ng eu dengn tuun penggunnn. Selnutn ku-ku ng telh berbentuk blok, mupun ppn dolh kembl mend ukurn-ukurn tertentu eu dengn penn dr pr pemlk uh dgng (UD) ku. Dlm prktk, utu penn dpenuh dengn menetel pu pemotong eu dengn pnng ng dmnt. Bn untuk memenuh penn terdpt beberp r tu pol pemotongn tndr. Adpun pol-pol n dgunkn

2 dengn tuun mengoptmlkn penggunn blok ku ng tered dengn r memnmumkn pemotongn. Jk utu peruhn ku mendptkn penn dlm umlh bnk, mln eumlh m penn dengn pnng ku ng bervr, mk dlkukn pol-pol pemotongn ng bernek rgm untuk memenuh penn terebut, bnkn pol pemotongn ml n pol pemotongn. Peroln ng dhdp peruhn ku terebut dpt duun ke dlm peroln progrm lner dn dpt dpehkn tu dr olun menggunkn teknk-teknk penelen dlm progrm lner. Progrm lner dlh utu metode ng dpt dgunkn dlm menr olu peroln optm dengn merennkn lngkh-lngkh ng perlu dmbl dengn tuun memperoleh hl ng optml, tu hl ng menp tuun terbk dntr eluruh hl ng mungkn. Bnk peroln ng penelenn menggunkn progrm lner, dntrn peroln trnport, peroln penugn, progrm dnm ert progrm blngn bult. Progrm lner blngn bult merupkn bentuk khuu dr progrm lner, dengn olun hru bernl blngn bult dn ebgn lnn boleh bernl pehn. Peroln progrm lner blngn bult ng penelen perolnn hn ebgn dr vrbel olun ng hru bernl blngn bult dnmkn peroln progrm lner blngn bult mpurn. Apbl eluruh vrbel olu dr penelen utu peroln progrm lner hru bernl blngn bult mk debut peroln blngn bult murn. Penelen peroln progrm lner blngn bult memerlukn utu metode khuu.

3 Terdpt du metode ng dgunkn, tu metode bng dn bt (brnh nd bound) dn metode bdng potong (uttng plne). Dlm menr penelen peroln progrm lner, metode ng erng dgunkn tu metode mplek. Terdpt teknk ln untuk menelekn peroln progrm lner tu teknk pembngkt kolom (olumn generton tehnque). Slh tu plk dr teknk n tu untuk menelekn peroln pemotongn tok tu uttng tok problem (CSP). Lngkh pertm dlm menelekn peroln optm pemotongn blok ku tu menentukn pol pemotongn ng mungkn kemudn menentukn kombn-kombn pol pemotongn ng lk. Mekpun menentukn emu pol ng mungkn tdk begtu ult, nmun menentukn kombn ng lk merupkn pekern ng bert. Dnlh model progrm lner memnkn pernn dn teknk pendektn ng temt dperlukn. Lngkh elnutn tu peroln dbentuk kedlm bentuk progrm lner bku, bentuk n kemudn delekn dengn teknk pembngkt kolom. Teknk pembngkt kolom dgunkn untuk mengefen metode mplek drev. Sehngg lngkh-lngkh pengernn bnk mengu kepd metode mplek drev, mul dr perhtungn B (mtrk ng dperoleh dr koefen vrbel-vrbel lk untuk br ke-,,,..., m dr tbel khr mplek), hrg khr (pre out), penggunn tet ro untuk menentukn vrbel b, mp dperoleh penelen optml. Perbedn mendr ntr teknk pembngkt kolom dn metode mplek drev terletk pd perhtungn hrg khr ( z ) vrbel non b ng kn muk mend vrbel b.

4 Perhtungn hrg khr untuk tp-tp vrbel non b mend vrbel b dlm kl ber pemotongn blok ku dengn menggunkn metode mplek drev dlh utu pekern ng tdk efektf dn ug tdk efen. Untuk mengt hl n mk teknk pembngkt kolom dpt dgunkn untuk menr penelenn. Ide dr dr teknk pembngkt kolom dlh untuk mengefen utu kolom dengn hrg khr ng efen (potf dlm peroln mnmum). Dlm optm pemotongn blok ku, ng dngnkn dlh pemotongn dn produk uplu emnmum mungkn. Untuk mendptkn hl n dlkukn dengn mengkombnkn pol-pol pemotongn berdrkn pnng penn ng dngnkn dengn menerpkn teknk pembngkt kolom. Pol-pol ng plng bk d ntr pol-pol ng mungkn dpt dperoleh dengn menggunkn teknk pembngkt kolom. Penelen peroln progrm lner dpt delekn dengn r menghtung er mnul mupun dengn menggunkn bntun oftwre plk. Jk dlm peroln progrm lner telh melbtkn bnk vrbel dn kendl (pembt), mk meneleknn dengn r mnul tentun kn memerlukn wktu ng lm. Mk dnlh pern oftwre plk untuk meneleknn er ept. Dlm penuln n ontoh peroln ng dkn dlh peroln pemotongn blok ku dn dbh ug bgmn mplement dr teknk pembngkt kolom untuk mendptkn olu ng optml peroln pemotongn

5 5 tok, lebh khuu lg mengen pemotongn blok ku dengn pol pemotongn tu dmen. B. Pembtn Peroln Peroln dlm penuln n dbt hn pd pemotongn blok ku untuk pol pemotongn tu dmen. C. Rumun Peroln Berdrkn ltr belkng peroln, dpt drumukn peroln ebg berkut:. Bgmn menentukn pol wl dn kombn pol plng lk pemotongn blok ku dengn pol pemotongn tu dmen? b. Bgmn mplement teknk pembngkt kolom dlm menelekn peroln pemotongn blok ku?. Bgmn mplement oftwre plk dlm menr olu optml pemotongn blok ku dengn lebh ept? D. Tuun Penuln Berdrkn rumun peroln, mk tuun dr penuln n dlh:. Mendekrpkn pol dn kombn ng lk dr peroln pemotongn blok ku. b. Mendekrpkn penerpn teknk pembngkt kolom dlm menelekn peroln pemotongn blok ku.. Mendekrpkn penerpn oftwre plk dlm menr olu optml pemotongn blok ku er ept.

6 E. Mnft Penuln Adpun mnft dr penuln n tu dhrpkn dpt memperlu penerpn mtemtk, khuun bdng ret oper pd ndutr dn peruhn. Seln tu ug ret-ret tu peneltn-peneltn ng berkenn dengn pengoptmln penggunn dn pemnftn umber d lm.

7 7 BAB II LANDASAN TEORI D dlm membh optm pemotongn blok ku dperlukn beberp pengethun tentng progrm lner, tem permn, mtrk, peroln knpk, metode mplek, metode mplek drev dn progrm lner blngn bult ert penelenn menggunkn metode bng dn bt. A. Progrm Lner. Defn Menurut Tutu Trlh dn Ahmd Dmt (99: 7), progrm lner dteremhkn dr Lner Progrmmng (LP) dlh utu r untuk menelekn peroln lok umber-umber terbt (ml, teng ker termpl, bhn menth, lhn ubur, men, modl) d ntr beberp ktvt ng berng dengn r eoptml mungkn. Peroln penglokn n kn munul mnkl eorng hru memlh tngkt ktvt-ktvt tertentu ng berng dlm hl penggunn umber d ng dbutuhkn untuk melknkn ktvt-ktvt terebut. Beberp peroln penglokn ntr ln peroln penglokn flt produk, peroln penglokn umber d nonl untuk keperlun dometk, pendwln produk, olu permnn (gme), dn pemlhn pol pengrmn. Progrm lner menurut Frederk S. Hller nd Gerld J. Lebermn (98: 7), menggunkn utu model mtemt untuk menggmbrkn utu peroln, plk ng umum dlh menkup lok umber-umber d

8 8 ng berktn dengn memkmumkn mupun memnmumkn. Kt progrm merupkn pdnn kt perennn. Kt ft lner berrt bhw emu fung mtemt dlm model n hru merupkn fung-fung lner. Jd membut progrm lner dlh merennkn kegtn-kegtn untuk memperoleh hl ng optml, tu utu hl untuk menp tuun ng dtentukn dengn r plng bk d ntr emu lterntf ng mungkn. Progrm lner bnk dpk dlm peroln ekonom, ndutr, mlter dn bdng ol lnn. Adpun peroln ng erng dhdp dlm berbg bdng terebut dlh lok optml dr umber d terebut. Mnft progrm lner tu membut model mtemt dlm menr olu terbk dr peroln keterbtn umber d untuk menp tuun tertentu. Dlm membngun model mtemt dr formul peroln progrm lner dperlukn krktertk-krktertk ebg berkut:. Vrbel keputun Vrbel keputun dlh vrbel ng mengurkn er lengkp keputun-keputun ng kn dbut, ng merupkn formul dr p ng dr dlm peroln terebut. Vrbel keputun n dtulkn dengn,,,..., n. b. Fung tuun Fung tuun merupkn fung dr vrbel keputun ng hru dp gr penelen optml dpt dtentukn dr emu nl-nl ng lk.

9 9. Fung kendl Fung kendl merupkn formul dr kendl-kendl ng dhdp dlm menentukn nl vrbel-vrbel keputun. d. Pembt tnd Pembt tnd dlh pembt ng menelkn pkh vrbel keputun hn bernl nonnegtf tu boleh potf, nol, negtf (tdk terbt dlm tnd). Terdpt du en keoptmln untuk fung tuun tu memkmumkn dn memnmumkn. Untuk menr olu dr utu peroln progrm lner bn delekn dengn memkmumkn fung tuun. Hl n bukn berrt mengempngkn peroln memnmumkn. Kren berdrkn ft, peroln memnmumkn dpt dubh mend memkmumkn. Sft.: Memnmumkn f () ( memkmumkn f ( )), S tu b dtul dengn mn f () (mk f ( )), S. Bukt: Dmlkn terdpt utu progrm lner blngn bult dengn fung tuun f dn hmpunn kendl S. Ambl fung g, dengn g ( ) f ( ), S.. Jk S S ehngg f ( ) ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ), mk tdk d nl mnmum fung f dn tdk d nl mkmum fung g. Pd kedn n ddefnkn mn f ( ) dn mkmum (mn g ( )). b. Jk S S dn f ( ) f ( ) mk f ( ) f ( ) g( ) g( )

10 d mn f ( ) = f () = ( f ( )) = ( g ( ) ) = ( mk [ g ( )]) = ( mk [ f ( )]). Bentuk bku tu bentuk umum dn bentuk knonk progrm lner Progrm lner dlh utu teknk mtemt ng bertuun untuk mendptkn keputun optml dr ebuh fung dn dr eumlh vrbel tertentu. Vrbel-vrbel terebut terkt pd ekelompok kendl (ontrnt) ng berbentuk permn tu pertdkmn. Fung kendl dpt berbentuk pertdkmn lebh kel tu m dengn ( ), lebh ber tu m dengn ( ) dn ug berbentuk m dengn ( ). Bentuk umum tu bentuk bku progrm lner tu bentuk formul ng memlk ft-ft ebg berkut:. Semu kendl hru berbentuk permn (bertnd =) dengn ru knn ng nonnegtf. b. Semu vrbel hru merupkn vrbel nonnegtf.. Fung tuunn dpt berup memnmumkn tu memkmumkn. Bentuk progrm lner er umum dpt delkn ebg berkut:

11 Memkmumkn tu memnmumkn z... ( ) nn, terhdp kendl: n n n n ( (,,,, ) b, ) b, m m...,,,..., n. mn n (,, ) b m, (Akbr Sutw: ) Koefen-koefen dlm z ), ( dnmkn koefen ongko, dnmkn peubh keputun dn dnmkn koefen tekn. Jk perumun progrm lner telh dplkkn dlm bentuk ol mk z debut fung rn, kendl-kendl debut kendl utm dn debut kendl nonnegtf. Bentuk knonk progrm lner dperoleh dengn r:. Jk kendl ke- utu progrm lner dlh utu peroln mk dtmbhkn vrbel lk untuk kendl ke- dn dtmbhkn kendl,,,..., m. b. Jk kendl ke- dr utu progrm lner dlh peroln mk merubh ke bentuk knonk progrm lner tu dkurng dengn utu vrbel ng dnmkn vrbel urplu (ee vrble) t pd kendl ke- dn dtmbhkn kendl t,,,..., m.. Jk kendl ke- dr utu progrm lner udh berbentuk permn ( ) tetp belum memut vrbel b mk merubh ke bentuk knonk dlkukn dengn menmbhkn vrbel emu ml q,,,..., m.

12 Contoh. Memkmumkn z(,, ) 8 8 terhdp kendl:,, (.) (.) 8 (.) Terhdp peroln d t, perlu dubh terlebh dhulu kendl-kendl ng d mend bentuk knonk dengn kendl bertnd m dengn ( ) ng memut vrbel b, tu. Kendl (.) dtmbhkn vrbel lk, kendl mend, (.) ehngg pd kendl (.) vrbel b dlh, dengn kt ln,, mend vrbel nonb ng nln dlh nol. Jd kendl memberkn nl.. Kendl (.) dtmbhkn vrbel urplu pd ru knn tu t, kendl mend t t, (.5) elnutn vrbel t dpndh ke ru kr, mend t t,. (.) Jk pd kendl (.) dnggp vrbel bn, edngkn,, mend vrbel nonb ng nln dlh nol, mk pd kendl (.) nln mend t tu t.

13 Perlu dngt bhw rt wl peroln progrm lner tu b,,,..., m. Kren t mk t tdk memenuh rt. Dengn kt ln t tdk b mend vrbel b, ehngg perlu dtmbhkn utu vrbel ng dnmkn vrbel emu (rtfl vrble). Ml vrbel terebut dlh q dengn q, ehngg pd (.) mend q t q, t,. Jk,, dn t dlh vrbel nonb ng nln nol, mk q.. Kendl (.) udh berbentuk permn tetp belum memut vrbel b, mk dtmbhkn vrbel emu ml q. Sehngg kendl mend q 8,. q Nl q 8. Kren etp kendl udh berbentuk permn, mk rumun progrm lner dlm bentuk knonk dlh Memkmumkn z(,,,, t, q, q) 8 8 t Mq M q terhdp kendl:,,,, t, q, q t q q 8. (.7) Koefen fung rn pd (.7) untuk vrbel emu tu M. Koefen fung rn untuk vrbel emu bernl negtf ( ) k peroln progrm lner dlh memkmumkn dn bernl potf ( ) k peroln progrm lner dlh memnmumkn. Dengn M dlh blngn potf ng ber.

14 B. Stem Permn Sutu permn dlm mtemtk merupkn ebuh ekpre kemn (memut tnd m dengn " ") ng melbtkn kontnt, peubh tu vrbel (vrble) dn oper-oper htung mtemtk. D dlm permn, komponen-komponen ng dumlhkn tu dkurngkn debut uku. Ekpre d ebelh kr tnd " " debut ru kr, edngkn debelh knnn debut ru knn. Jk dberkn utu permn ng berbentuk b, mk permn n dnmkn permn lner dlm vrbel dn. Ser umum pemn lner dlm n vrbel...,,, n, dpt dntkn dlm bentuk... nn b, dengn,,..., dn n b dlh kontnt rel;, rel. Contoh. berkut n merupkn ontoh permn lner. Contoh. () 7 (). Solu permn lner... nn b dlh urutn dr n blngn...,,, n ehngg permn terebut dpenuh bl blngn-blngn,,..., n dubttukn terhdp,,..., n n. Hmpunn emu olu permn dnmkn hmpunn olu. Pd Contoh..(), untuk mendptkn olun mk dtetpkn ebrng nl dn menr olu permn untuk, tu eblkn memlh ebrng nl dn menr olu permn untuk. Ml nl ebrng untuk dlh t,

15 5 mk dperoleh 7 t, t. Sebuh hmpunn berhngg dr permn-permn lner dlm vbel...,,, n debut tem permn lner (SPL) tu tem lner. Sebuh urutn blngn-blngn...,,, n debut olu dr SPL, k untuk etp...,,, n memenuh,,..., n. Ml dberkn SPL, 9,. SPL d t mempun bnk olu kren terdr t du permn dengn tg vrbel. Slh tu olu olun dlh,, kren nl-nl n memenuh kedu permn terebut. Tdk emu SPL mempun olu, ml dberkn SPL, k permn kedu dr SPL dklkn dengn mk SPL mend,. Jel bhw SPL tdk mempun olu, kren untuk (, ) ng memenuh permn pertm, nl ( ) 8, ng tdk pernh memenuh permn kedu. Sutu tem permn ng tdk mempun olu debut tkkonten (nontent). Jk etdk-tdkn terdpt tu olu, mk tem permn

16 debut konten (ontent). Untuk melukkn kemungknn-kemungknn ng dpt terd dlm menr olu tem-tem permn lner, berkut n dberkn tem umum dr du permn lner dlm vrbel dn : b b (, b (, b ) ) Grfk dr permn-permn d t merupkn gr; ml kedu gr n dnmkn l dn l. Ttk (, ) terletk pd gr l tu l k dn hn k dn memenuh permn gr l tu l, mk olu tem permn kn bereun dengn ttk perpotongn dr gr l tu l. Terdpt tg kemungknn olu tem pemn ng dperoleh epert dperlhtkn pd Gmbr. berkut: l l l l dn l l () l er l (b) l dn l berpotongn d tu ttk () l dn l berhmpt Gmbr. Tg kemungknn olu SPL Pd Gmbr. () gr l er dengn gr l, mk tem permn tdk mempun olu. Gmbr. (b) gr l berpotongn dengn gr l, mk tem permn tep t mempun tu olu. Gmbr. () gr l berhmpt dengn gr l, mk tem permn mempun tkhngg olu.

17 7 Stem permn ng dtnu d t hn du permn dengn du vrbel, kn tetp hl ng m kn berlku untuk ebrng tem; tu tem permn tdk mempun olu, tept tu olu dn tk hngg olu. Sutu tem terdr dr m permn lner dn n vrbel membentuk SPL ebg berkut: m m n n nn n n n b b b m (.8) Kuntt-kuntt (untuk,,..., m ;,,..., n ) debut koefen. Nl koefen-koefen dn ru knn b pd etp permn dkethu. Kuntt-kuntt debut vrbel, ng nln belum dkethu. C. Mtrk Stem permn dpt dtul dlm bentuk mtrk. Mtrk dlh rn blngn berbntuk empt pereg pnng. Blngn-blngn dlm uunn terebut dnmkn elemen mtrk (Wono Set Budh, 995: ). Ukurn (order) dr ebuh mtrk dktkn eber m n k mtrk terebut memlk m br dn n kolom. Mtrk bn dntkn dengn huruf ber A, B,. Entr-entr dlm mtrk dntkn dengn huruf kel ng berktn dn dber du ndek. Jd mtrk m n ng umum dpt dtulkn ebg b b b n B tu b. m n b b m b m b n mn

18 8 Mlkn n blngn l. Kumpuln terurut ng terdr dr n blngn dtul ebg,,..., ). Hmpunn dr emu kumpuln terurut ( n (,,..., n) debut rung n R (Wono Set Budh, 995: ). Elemen dr n R debut ttk tu vektor. Vektor bn dtul dengn huruf kel dn not tebl tu dber gr d tn. Komponen ke- dr,,..., ) ( n debut koordnt ke- dr vektor tu ttk. Stem permn (.8) k dtul dlm bentuk mtrk: dengn A dlh mtrk m n : A b, n n A, m m mn dn b dlh vektor dengn n-komponen: b b dn b. n b n Mtrk A debut mtrk koefen, vektor kolom b debut vektor kontnt. Gbungn Mtrk A dn vektor kolom b debut mtrk dperber (ugmented mtrk), ebg berkut: n n A b. b b m m mn b m

19 9 Metode dr untuk menr olu tem permn dlh menggnt tem ng dberkn dengn tem bru ng mempun hmpunn olu ng m dengn olu ng lebh mudh. Stem bru n umumn dperoleh dlm beberp thpn dengn menerpkn oper pd mtrk dperber ng dnmkn oper br elementer (OBE), tu: ) Menukr du br, R (br ke- dtukr dengn br ke-) dr utu SPL. ) Menglkn ebuh br dengn kontnt tdk nol k, kr (br ke- dkl dengn kontnt tdk nol k). ) Menmbh utu br dengn kelptn br ng ln, R kr (br ke- dtmbh k kl br ke-).. Jen-en mtrk ) Mtrk kudrt tu mtrk pereg dlh ebuh mtrk ng berorder m n tu mtrk ng berorder n n. ) Mtrk dentt dlh ebuh mtrk kudrt ng emu elemen dgonl bernl tu dn emu elemen d lur dgonl bernl nol; tu, untuk dn, untuk. ) Vektor br dlh ebuh mtrk dengn tu br dn n kolom. ) Vektor kolom dlh ebuh mtrk dengn m br dn tu kolom. 5) Mtrk T A debut trnpoe dr A k elemen dlm A dlh m dengn elemen Ml, dr T A untuk emu dn.

20 A 5 mk T A. 5 Ser umum, T A dperoleh dengn menukr br dn kolom dr A. Akbtn, k A memlk order m n, T A memlk order n m. ) Mtrk B debut mtrk nol k etp elemen dr B m dengn nol. 7) Mtrk dgonl dlh mtrk kudrt ng elemen-elemenn bernl nol keul elemen-elemen pd dgonl utm. 8) Mtrk eelon Sutu mtrk debut mtrk eelon k memenuh du ft ebg berkut:. Setp br ng hn terdr dr elemen nol terletk d bwh. b. Elemen pvot pd utu br terletk d ebelh knn dr elemen pvot ebelumn. 9) Mtrk eelon tereduk Mtrk eelon tereduk dlh mtrk eelon ng mempun ft:. Setp elemen pvotn bernl tu. b. Setp elemen pvot merupkn tu-tun elemen tdk nol pd kolom terebut. ) Du buh mtrk A dn B b, dktkn mtrk ng m k dn hn k kedun memlk order ng m dn etp elemen dlh m dengn b ng bereun untuk emu dn.

21 . Mtrk elementer Sebuh mtrk n n dnmkn mtrk elementer k mtrk terebut dpt dperoleh dr mtrk tun (dentt) n n kn I n dengn melkukn ebuh oper br elementer tunggl (Anton. H, 987: ). Contoh. Dberkn mtrk I : I. Mlkn dlkukn OBE dengn menmbhkn lm kl br ketg dr I pd br pertm, mk dperoleh mtrk elementer E: E. Ml dberkn mtrk A: 5 A. Pd mtrk A dlkukn OBE ng m dengn I (Contoh.), dperoleh Hl dr A '. ' A kn m per k mtrk E dklkn dengn mtrk A (EA).

22 Hl n eu dengn teorem berkut n ng dntkn tnp bukt (Anton. H, 987: ). Teorem. Jk mtrk elementer E dhlkn dengn melkukn ebuh OBE pd I m dn k A dlh mtrk m n, mk hl kl EA dlh mtrk ng dhlkn bl oper br ng m dlkukn pd A. Jk utu SPL emu uku kontnt m dengn nol, mk SPL terebut dnmkn SPL homogen. Tp-tp SPL homogen dlh tem ng konten, kren,,..., ellu merupkn olu. Solu terebut n dnmkn olu trvl (trvl oluton). Jk terdpt olu ln, mk olu terebut dnmkn olu tk trvl (nontrvl oluton). Metode ng erng dgunkn untuk menr olu dr utu SPL tu metode elmn Gu dn metode elmn Gu-Jordn. Kedu metode n lngkhlngkh pengernn menggunkn erngkn OBE.. Elmn Gu Metode elmn Gu dgunkn untuk menelekn utu SPL dengn mengubh SPL terebut ke dlm mtrk ng berbentuk mtrk eelon. Mtrk eelon dpt delekn dengn ubttu mundur (bk ubttuton). Sebrng mtrk dpt dubh mend mtrk eelon dengn melkukn erngkn OBE. Penggunn OBE pd utu SPL tdk kn mengubh olu SPL. Algortm untuk mengubh ebrng mtrk mend mtrk eelon dengn

23 menggunkn OBE debut elmn Gu. Algortm dlh urutn lngkhlngkh log penelen mlh ng duun er temt. Algortm untuk elmn Gu dlh:. Cr kolom plng kr ng memut unur tdk nol.. Jk elemen pertm ng dperoleh dr lngkh-lngkh pertm m dengn nol, tukr br pertm dr mtrk dengn br ng unur pd kolom terebut tdk nol.. Setelh elemen pertm dr kolom ng dperoleh pd kolom pertm tdk m dengn nol, dengn OBE dpt dbut elemen d bwhn m dengn nol.. Kembl ke proe mp dengn. Contoh. Dberkn SPL (.9) Akn dr olu SPL (.9) menggunkn elmn Gu. Penelen SPL (.9) dtul dlm bentuk mtrk dperber mend: (.) Pd (.) dubh mend mtrk eelon dengn menggunkn elmn Gu: ) Kolom plng kr udh memut unur tdk nol.

24 ) Membut nol elemen dn dengn r menmbhkn br ke- dengn ( ) kl br pertm dn br ke- dengn ( ) kl br pertm, menghlkn 5 (.) ) Membut nol elemen pd (.) dengn r menmbhkn br ke- dengn br ke-, menghlkn 5 (.) (.) merupkn mtrk eelon dn dengn ubttu mundur dperoleh olu SPL (.9) tu, dn.. Elmn Gu-Jordn Metode elmn Gu-Jordn pd drn hmpr m dengn metode elmn Gu. Pd elmn Gu, dbentuk elemen-elemen mtrk A dbwh dgonl utm mend nol (mtrk eelon). Pd metode elmn Gu-Jordn dbentuk mend nol elemen-elemen d bwh mupun d t dgonl utm mtrk A. Hln dlh mtrk eelon tereduk ng berup mtrk dgonl tu mtrk kudrt ng elemen-elemenn bernl nol keul elemen-elemen pd dgonl utm. Proe mendkn utu mtrk A mend mtrk eelon terduk debut elmn Gu-Jordn. Algortm elmn Gu-Jordn:. Ubh mtrk mend mtrk eelon.

25 5. Bg br ng mempun elemen pvot dengn bern elemen pvot (untuk memenuh ft mtrk eelon tereduk ).. Dengn OBE, elemen d t elemen pvot dbut mend nol. Dr Contoh.9, olu SPL dr dengn menggunkn metode elmn Gu-Jordn. Lngkh-lngkhn tu etelh lngkh ke-, lngkh berkutn dlh: ) Membut nol elemen pd (.) dengn r menmbhkn br ke- dengn br ke-, menghlkn (.) ) Membut nol elemen pd (.) dengn r menmbhkn br ke- dengn ( ) kl br ke-, menghlkn 9 (.) ) Membut nol elemen pd (.) dengn r menmbhkn br ke- dengn ( ) kl br ke-, menghlkn Pd lngkh ke- dperoleh mtrk eelon tereduk, ehngg olu dr T SPL (.9) dpt db pd kolom terkhr, tu (,, ).

26 Contoh.9 merupkn ontoh menr olu utu SPL menggunkn metode elmn Gu dn elmn Gu-Jordn. Jk kedu metode n dbndngkn mk menggunkn elmn Gu-Jordn kn lebh efektf, kren dpt lngung dlht hln dengn memb kolom terkhr tnp hru melkukn ubttu. 5. Oper mtrk Oper mtrk berup penmbhn, pengurngn dn perkln ng ddefnkn. Pembgn, wlupun tdk ddefnkn dgntkn dengn konep nver. ) Penmbhn tu pengurngn mtrk. Du mtrk A dn B b dpt dtmbhkn tu dkurngkn k kedun memlk order ng m, mln m n. Jumlh D A B dperoleh dengn menmbhkn elemen-elemen ng bereun. Jd d b m n. m n ) Perkln mtrk Du mtrk A dn B b dpt dklkn dlm urutn AB k dn hn k umlh kolom A dlh m dengn umlh br B, tu, k A memlk order m r, mk B hru memlk order r n, dengn m dn n order ebrng. Ml D AB. Mk D memlk urutn m n, dn elemen d dkethu: d r k k b k, untuk emu dn.

27 7 Contoh.5 A dn B , mk D ( ( 5) 5) ( ( ) ) ( ( 7) 7) ( ( 8) 8) ( ( 9) 9) ( ( ) ) Jk dperhtkn, er umum AB BA eklpun BA ddefnkn.. Inver mtrk Inver utu mtrk pereg A dlmbngkn dengn A dlh mtrk ng memenuh A A AA I. Inver n d k A tdk ngulr. Jk dkethu mtrk A n n A n n, mk n n nn A d( A) det( A) T d( A) C dn C dlh mtrk kofktor A, dengn C C C C C C C n n C n C n C nn dengn C ( ) M dn M mnor mtrk A.

28 8 7. Hl perkln mtrk Sebgn ber perhtungn pd metode mplek drev dlh mengen penggntn B dr tu tbel ke tbel berkutn. Hl dr nver n kn dgunkn untuk mempermudh perhtungn B ng bru. Dumkn bhw k kn muk mend b, u ro menunukkn bhw k mend b pd br ke-r, dengn T k k k rk mk. Ddefnkn mtrk E m m ebg berkut: k rk k rk E rk ( m rk mk rk ) k E dlh mtrk dentt ( I m m ) dengn kolom ke-r n dgnt dengn vektor kolom k k ( m ) k rk rk rk rk mk rk T. Selnutn ddefnkn E ebg mtrk elementer E ng berktn dengn ter mplek ke-. Hl kl nver (nver produt) er umum dpt dtul: Bk Ek Ek EE (Wnton ).

29 9 D. Peroln Knpk Peroln knpk ddefnkn ebg peroln ng menngkut pemlhn obek dengn bobot dn keuntungn tertentu edemkn ehngg tdk melebh kpt ng telh dtentukn dn keuntungn ng dtrgetkn dpt terp (Dougl R. Stnon, 995: 9). Peroln knpk tu peroln rnel dlh peroln progrm lner blngn bult ng hn memlk kendl tunggl (Tutu Trlh dn Ahmd Dmt, 99: 8). Nl vrbel-vrbel kendl pd peroln knpk dpt berup ebrng nl. Akn tetp d ug peroln knpk ng eluruh vrbeln hru bernl tu, ng dpt dformulkn: Memkmumkn terhdp kendl: z... ( ) n n... mn tu (,,..., n) ; n b,,..., m, (.5) dengn dlh mnft ng dpt dperoleh pbl brng ke- dplh, b dlh umlh umber ng tered dn dlh umlh umber ng dgunkn oleh brng ke-. Mekpun er teort peroln knpk ult delekn, nmun metode penbngn dn pembtn (brnh nd bound method) ukup efen dn prkt untuk meneleknn (Th 99; Wnton ). Pd peroln (.5) k delekn dengn brnh nd bound, mk d du pek pendektn dr brnh nd bound ng dederhnkn. Pertm, kren etp vrbel hru berhrg tu, mk penbngn pd kn menghlkn

30 bng dn. Kedu, olu peroln progrm lner relk; tu bentuk progrm lner ng dperoleh dengn mengbkn kendl (pembt) blngn bult (nteger) ert ubperoln ng ln dpt delekn dengn melkukn pengeekn terhdp nl. Untuk melht hl n mk nl dpt dnterpretkn ebg mnft ng dperoleh brng ke- dr etp unt umber ng dgunkn brng ke-. Jd, brng ng terbk dlh brng ng memlk nl terber dn brng ng terburuk dlh brng ng memlk nl tekel. Untuk menelekn etp ubperoln ng dhlkn dr utu peroln rnel, dhtung eluruh ro nl. Kemudn brng ng terbk dmukkn ke dlm rnel. Selnutn brng kedu terbk dn eterun, hngg rnel ter dengn ebnk-bnkn dr brng-brng n. E. Metode Smplek Metode mplek merupkn proedur umum untuk menelekn peroln-peroln progrm lner. Proedur n dkembngkn oleh George Dntzq pd thun 97. Metode mplek ug merupkn lh tu metode ng efen ng dgunkn untuk menelekn peroln progrm lner kl ber dengn komputer m kn.

31 Metode mplek merupkn utu lgortm, kren dlm menelekn peroln dengn metode mplek, proen dlkukn er tertf. Setp proedur tertf merupkn utu lgortm. Sutu lgortm lh utu proedur temt dulng-ulng (ter) mp hl ng dngnkn terp. Seln ter, lgortm ug menkup utu proedur untuk memul dn utu krter untuk menentukn kpn berhent. Bg kebnkn lgortm ret oper, termuk metode mplek, hl ng dngnkn ng terntum dlm turn berhent tu penelen pd ter tertentu dlh optml. Dlm hl n, turn berhent ebenrn merupkn utu u optmlt, delkn dlm dgrm lr berkut. mul dt mukn ter Hl Optml tdk berhent Gmbr. Dgrm lr metode mplek Metode mplek ug merupkn truktur lbr ng berft tertf, dmul dr utu ttk ektrem pd derh lk tu fbel (feble) menuu ke ttk ektrem ng optmum, ehngg dperoleh olu lk ttk ektrem.

32 Solu ttk ektrem tu ttk udut pd peroln du tu tg vrbel dlh olu lk ng tdk terletk pd utu egmen gr ng menghubungkn du olu lk lnn. Untuk mendptkn olu lk ttk ektrem n, kendl-kendl dbut dlm bentuk grfk. Pngn (, ) ng memenuh emu kendl debut olu lk. Ttk wkln dlm bdng koordnt debut ttk lk. Hmpunn ttk-ttk lk debut derh lk. Lngkh-lngkh penelen peroln progrm lner dengn metode mplek dlh ebg berkut:. Menmbhkn vrbel lk, urplu dn rtfl ke dlm kendl-kendl ehngg kendl-kendl berubh mend bentuk knonk dn mempun vrbel b.. Permn pd ru knn fung rn dpndh ke ru kr ehngg fung rn mempun nl wl nol dn lgortm mplek berwl dr ttk nol.. Menuun tbel wl mplek, lengkp dengn vrbel bn.. Melkukn u optml pd tbel wl terebut, dengn lngkh-lngkh ebg berkut:. Untuk peroln memkmumkn dr vrbel b bru, dengn memlh kolom pvot, tu kolom dengn z negtf terber. Untuk peroln memnmumkn dr vrbel b bru dengn memlh kolom pvot, tu kolom dengn nl z potf terber.

33 b. Dr nl R, tu b dbg unur-unur pd kolom pvot ng bernl b potf ( R, k potf ). Selnutn dplh R terkel. k. Br dengn R terkel mend br pvot dengn menunukkn vrbel b lm ng kn dgnt. Perpotongn ntr br pvot dn kolom pvot debut ebg elemen pvot. d. Duun tbel elnutn dengn vrbel b bru dn koefen ongko meneukn dengn vrbel b bru terebut. e. Dlkukn Oper Br Elementer (OBE) dengn tuun elemen pvot bernl. 5. Tbel berkutn udh p, dlkukn u optml pd tbel terebut dengn lngkh-lngkh () mp (e). Tbel dktkn optml k z nonnegtf untuk etp. Adpun tbel mplek, dkn dlm Tbel. berkut.

34 Tbel. Metode Smplek n \ n b R n b R n b R n b R m m m m m mn b m R m z z z z z n Z z z z z z n n Z keterngn: : koefen b untuk vrbel : koefen b untuk vrbel, : vrbel ng mend b dlm tbel ng dtnu, : vrbel-vrbel lengkp, b : uku tetp (tk negtf), R : ro, : koefen tekn, z : m (hl kl dr dengn ), m Z : b (hl kl dr dengn b ), z : elh z dengn.

35 5 Contoh. Memkmumkn ),, ( z terhdp kendl:,, (.) Penelen ) Tmbhkn vrbel lk,,,, pd kendl (.), mend Memkmumkn 5 ),,, ( z terhdp kendl:,,,,,, ) Membut Tbel Awl mplek

36 Tbel. Tbel Awl Smplek \ b R z z Lngkh-lngkh u optmum tbel (Tbel.): () Memlh kolom z terber (negtf) dlh, d merupkn vrbel muk, (b) Memlh ro terkel: b 8, d vrbel kelur, () Membg br ke- dengn, (d) Membut Tbel Antr, tu:

37 7 Tbel. Tbel Smplek Antr \ 8 8 R R b R 5 R z z R z (e) Melkukn Oper Br Elemeter (OBE), dengn menolkn elemen ng dber tnd pereg pnng. (Dperoleh Tbel.) R = R 8R R = R R R z = R z + R Tbel. Tbel Kedu Smplek \ b R 5 z z 5 5

38 8 ) Pd lngkh n m dengn lngkh ( mp e), dengn memperhtkn Tbel., () z terber (negtf) dlh 5, d merupkn vrbel muk, (b) Memlh ro terkel: b 8, d vrbel kelur, () Membg br ke- dengn, (d) Membut Tbel Antr, tu: Tbel.5 Tbel Smplek Antr \ b R ' 8 R ' R ' 5 z 5 5 z 5 5 R ' R z ' (e) Melkukn Oper Br Elemeter (OBE), dengn menolkn elemen ng dber tnd pereg pnng. (Dperoleh Tbel.) ' R ' R R z ' R R R z R R 5R

39 9 Tbel. Tbel Ketg Smplek \ b z 5 8 z 5 8 Kren z untuk etp, mk tbel udh optml dengn nl fung rn z 8, olu lk bn (,,,,,, ) (,, 8,,,, 5). F. Metode Smplek Drev Metode mplek drev merupkn kelnutn dr metode mplek. Dlm menelekn peroln progrm lner, metode mplek bukn merupkn utu proedur perhtungn ng plng efen k dplkkn perhtungnn menggunkn komputer. Kode-kode pd komputer tdk er tept mengkut bentuk lbr tu bentuk tbel dr metode mplek. Kode-kode n memk utu bentuk mtrk ng eu dengn komputer. Hl nlh ng mendorong berkembngn metode mplek drev. Ggn utm dr metode mplek drev dlh menggunkn nver b B - (dt wl dr peroln) untuk melkukn perhtungn ng dperlukn

40 untuk menentukn vrbel muk dn vrbel kelur. Metode mplek drev er ekplt memk mnpul mtrk, mk peroln hru dntkn dlm not mtrk. Dengn menggunkn mtrk, bentuk bku model progrm lner mend: Memkmumkn z, terhdp kendl: A (,, ) b dn (.7) dengn:,...,, n merupkn vektor br,, b b b, merupkn vektor-vektor kolom, n b m A merupkn mtrk m n : n n A. m m mn Untuk memperoleh peroln progrm lner bentuk knonk dlm bentuk mtrk mk pd (.7) dtmbhkn vrbel lk:, n ehngg (.7) dlm bentuk knonk mend:

41 Memkmumkn z(, ) VB VB NB terhdp kendl: A, I b dn, dengn VB koefen-koefen fung tuun ng berktn dengn B VB vrbel b NB koefen-koefen fung tuun ng berktn dengn vrbel lk I mtrk dentt m n.. Solu lk b Pendektn umum dr metode mplek dn metode mplek drev dlh memperoleh utu ururtn olu-olu lk b ng emkn bk mp terp utu olu optml. Slh tu r pokok dr metode mplek drev menkup dengn r mn etp olu lk b kn delekn, tu etelh vrbel-vrbel b dn nonb dkethu. Jk dkethu A, I b, memlk m permn dn n vrbel ng tdk dkethu, dengn (,,..., ) n T dn (,,..., ) n T dlh vrbel lk; utu olu lk b dperoleh dengn menetpkn n m m dengn nol. Jk n vrbel n delmn dengn membutn m dengn nol mk mh d utu hmpunn m permn dengn m vrbel ng tdk dkethu. Hmpunn permn n dpt dntkn B VB b,

42 dengn VB VB VB VB m merupkn vektor kolom vrbel b, dperoleh dengn menghlngkn vrbel-vrbel nonb dr, B B B B B B B m m B m B m B mm merupkn mtrk b ng dperoleh dengn mengelmn kolom-kolom ng berktn dengn kofen- kofen vrbel b dr A, I. Metode mplek memperkenlkn hn vrbel-vrbel b edemkn ehngg B dlh nonngulr, ehngg B kn ellu d. Oleh kren tu, untuk menelekn B VB b, kedu ru hru dklkn terlebh dhulu dengn B, ehngg dperoleh B B VB B b. Kren dlh B B I, mk olu ng dhrpkn untuk vrbel-vrbel b B b VB.

43 Ml VB dlh vektor ng unur-unurn merupkn koefen-koefen fung tuun (termuk nol untuk vrbel-vrbel lk) ng berktn dengn VB, mk nl fung tuun untuk olu bn dlh z B b. VB VB VB Dlm metode mplek drev, ter mplek hn berbed dlm defn b B menunukkn keuntungn dlm perhtungn: ) Dlm peroln progrm lner kl ber, penggunn oper Gu- Jordn umumn mengrh pd kelhn pembultn ng tdk dpt dkendlkn ehngg memberkn pengruh ng merugkn terhdp hl khr. Dlm metode mplek drev dgunkn B - dn dt wl dr peroln. Dengn demkn kur perhtungn dpt dkendlkn dengn mengendlkn kelhn pembultn dlm perhtungn B -. ) Dengn menggunkn mnpul mtrk menunukkn bhw tdk perlu menghtung emu entr dr tbel mplek, untuk ukurn peroln progrm lner tertentu kemungknn memerlukn lebh edkt perhtungn.. Lngkh-lngkh metode mplek drev Lngkh-lngkh dr metode mplek drev pd ntn m dengn metode mplek. Dengn dkethu b wl I, dtentukn koefen tuun ng berktn dengn VB. Adpun lngkh-lngkh metode mplek drev dlh:. Menetpkn bhw kolom pd wln. B ng berngkutn kn ellu db B I

44 . Menghtung VBB untuk tbel berngkutn.. Menghtung hrg khr (pre out) emu vrbel nonb dlm tbel berngkutn. Jk hrg khr tp-tp vrbel nonb nonnegtf mk b berngkutn dlh optml. Jk b berngkutn tdk optml mk dmukkn ke dlm b tu vrbel nonb ng mempun nl koefen negtf terber dlm br. Ml vrbel nonb ng muk mend vrbel b ddefnkn dengn k, k,,..., n.. Untuk menentukn dlm br mn k mend b muk, htung kolom dr tbel berngkutn ( B ) k k dn htung knn dr tbel berngkutn ( B b). Kemudn dgunkn tet ro untuk menentukn dmn br k ehrun muk mend b, ehngg dperoleh hmpunn vrbel b untuk tbel bru (menggunkn OBE). 5. Gunkn kolom k dlm tbel berngkutn untuk menentukn turn tu lngkh n pd B ng berngkutn untuk memperoleh B bru. Kembl ke lngkh. Contoh.7 Memkmumkn z(, ) 5 terhdp kendl:, 8 dn blngn bult. (.8)

45 5 Penelen. Peroln (.8) dubh ke bentuk progrm lner knonk dengn menmbhkn vrbel lk mend: Memkmumkn z(,,,, ) 5 terhdp kendl:,,,, tu dtul dlm bentuk tbel, tu: Br Br Br Br z Tbel dn blngn bult dengn VB(),, dn VNB(),. Kolom B terb wln tu I B I B B.. Menentukn vrbel nonb ng kn muk mend vrbel b dengn menghtung koefen dr tp-tp vrbel nonb dlm br, dperoleh VB, ehngg VBB

46 . Dr lngkh () dperoleh nl dr tp-tp vrbel nonb dlh: VB B VB B 5 5 (, mk b belum optml), dr vrbel nonb k ng, mempun koefen negtf terber dr br dlm Tbel ng mend vrbel b muk. Kren mempun koefen negtf terber dlm br, mk vrbel b muk menggntkn vrbel b kelur.. Kolom untuk dlm tbel berngkutn: B S knn tbel berngkutn B b 8 8 Selnutn dgunkn tet ro untuk menentukn muk ke dlm br ng mn, tu: Br, Br, Br, 8 tdk terdefn (tet ro terkel) 9 Jd muk ebg b dlm br. 5. Dr lngkh () dbentuk Tbel dengn melkukn OBE, ebg berkut:

47 7 ) Pd br ke- tetp, kren nl d t br ke- kolom dr kr udh bernl nol. (br ') b) Br ke- tetp. (br ' ) ) Menmbhkn br ke- dengn ( ) kl br ke- (br ' ) d) Menmbhkn br ke- dengn (5 ) kl br ke-. (br ') Dperoleh tbel bru, ml dnmkn Tbel Br ' Br ' Br ' Br ' z Tbel 5 dengn VB(),, dn VNB(),.. Melkukn OBE pd B dengn lngkh epert pd lngkh (5) ( mp ), dperoleh: B VBB Dr lngkh (7) dperoleh nl dr tp-tp vrbel nonb, : VB B 5 VB B 5 5

48 8 Tbel belum optml, kren mh terdpt ng negtf, tu ; mempun koefen negtf terber dlm br dr Tbel, ehngg muk ebg b dlm Tbel. 9. Kolom untuk pd Tbel tu: B S knn pd Tbel B b 8 Tet ro: Br, Br, Br, tdk terdefn (tet ro terkel) Dr tet ro terlht bhw muk ebg b dlm br.. Dr lngkh (9) dbentuk Tbel dengn OBE: ) Menmbhkn br ke- Tbel dengn ( ) kl br ke-. (br ") b) Br ke- tetp, kren pd br udh nol. (br ") ) Menglkn br ke- dengn. (br " ) d) Menmbhkn br ke- dengn br ke-. (br ") Dperoleh Tbel :

49 9 Br" Br" " Br 5 Br" Tbel z dengn, dn VNB(),, VB().. Melkukn OBE pd B epert pd lngkh () ( mp ), ehngg dperoleh: B. 5 VB B. Dr lngkh () dperoleh nl vrbel nonb, dlh VB VB B B Tbel udh optml kren etp koefen vrbel nonb dlm br " udh tdk d ng negtf.. S knn dr Tbel :

50 5 B b 8 Sehngg VB(),, dn olu lk bn dlh, Jd dperoleh tbel optml untuk nl z tu: B b. VB 8 Jd nl fung rn tu z, olu lk bn (,,,, ) (,,,, ). G. Progrm Lner Blngn Bult Progrm lner blngn bult merupkn bentuk khuu dr progrm lner, dengn tu tu lebh dr vrbel-vrbel dlm penelenn drtkn memlk nl-nl blngn bult. Dlm progrm lner kebnkn vrbel ng dlbtkn berup vrbel-vrbel blngn bult, vrbel terebut hn dperkennkn untuk memlk nl-nl blngn bult ng terletk d ntr bt ng tetp. Progrm lner blngn bult dlh progrm lner dengn beberp tu emu vrbeln dlh nggot hmpunn S A b, (,,..., ),,,,.... Progrm lner blngn bult

51 5 terdr dr du mm, tu progrm lner blngn bult murn dn progrm lner blngn bult mpurn. Progrm lner blngn bult dktkn progrm lner blngn bult murn tu mpurn bergntung pd beberp tu emu vrbel ng dgunkn dbt pd nl-nl blngn bult.. Progrm lner blngn bult murn Progrm lner blngn bult murn dlh progrm lner blngn bult ng emu vrbeln dbt hn bernl blngn bult. Dlm model progrm lner dtul: Memkmumkn tu memnmumkn: f = n, terhdp kendl: n n b, tu b, tu b,,,..., m,,,,...,,,..., n, n dengn, b dn dlh kontnt, dlh vrbel nonnegtf ng kn dr nln dn dbt pd nl blngn bult dn f dlh fung tuun.. Progrm lner blngn bult mpurn Progrm lner blngn bult mpurn dlh progrm lner blngn bult ng hn beberp vrbeln bernl blngn bult. Bentuk umum dr peroln progrm lner blngn bult mpurn dengn k vrbel ng dbt pd blngn bult dlh:

52 5 Memkmumkn tu memnmumkn: f = n, terhdp kendl: n, k t k n blngn bult; k,,..., b,,,..., k; k n dengn, b dn dlh kontnt, ;,,..., k dlh vrbel nonnegtf ng dbt pd nl blngn bult dn f dlh fung tuun. Progrm lner blngn bult delekn dengn mengbkn rt terlebh dhulu, ehngg progrm lner blngn bult dnggp ebg progrm lner. Jk d dlm penelen optml progrm lnern dperoleh penelen bult, mk penelen npun optml untuk progrm lner blngn bult. Hl n ddr ft berkut. Sft. Jk terdpt du peroln progrm lner P dn P Dengn P : memkmumkn f ( ), S P : memkmumkn f ( ), S dn S S, mk k dlh utu penelen optml dlm P dn * dlm P, mk berlku f ( ) f ( ). Bukt: * dlh utu penelen optml Dkethu dlh penelen optml P, dengn peroln memkmumkn, berlku f ( ) f ( ), S. Kren S S dn S S

53 5 ehngg f ( ) f ( ), S. Kren vrbel * merupkn utu penelen optml dlm P * f ( ) f ( ). Akbt Sft. mk * elemen dr S, ehngg Jk S, mk ug utu penelen optml dlm P. Jd bl dmbl P ebg utu peroln progrm lner dn P ebg utu progrm lner blngn bultn, mk k (utu penelen optml dlm progrm lner P ) bernl bult, mk menurut ft d t dlh utu penelen optml untuk progrm lner blngn bult P. H. Metode Cbng dn Bt (Brnh nd Bound Method) Metode bng dn bt dlh lh tu metode untuk menelekn peroln progrm lner blngn bult murn dn peroln progrm lner blngn bult mpurn. Metode n mmpu mengdkn perhtungn tu pertu tu mengenumer emu nl vrbeln mellu penbngn. Dengn mengenumer emu vrbel terebut, mk dperoleh utu penelen optmln, tu penelen ng memnmumkn tu memkmumkn fung tuunn. Metode bng dn bt merupkn utu pendektn untuk menelekn peroln ng ddrkn pd pembgn emu penelen lk terhdp ebuh peroln ke dlm ubperoln ng lebh kel. Selnutn, ubperoln n dpt delekn er temt mp

54 5 dperoleh penelen ng optml. Cr nlh ng kemudn mend dr metode bng dn bt. Sebelum peroln delekn dengn menggunkn metode bng dn bt, terlebh dhulu peroln drumukn ebg peroln progrm lner dn delekn dengn menggunkn metode mplek. Hl n dpt dlkukn kren peroln progrm lner blngn bult merupkn ku khuu dr progrm lner. Pertm-tm peroln delekn dengn menggunkn metode mplek. Lngkh elnutn dlh menentukn btn-btn untuk menentukn penelen optml progrm lner blngn bultn. Dlm progrm lner blngn bult terdpt du btn untuk menentukn penelen optmln, tu bt t (upper bound) dn bt bwh (lower bound). Penelen progrm lner ng optml dengn pembultn ke t ebg bt t dn pembultn ke bwh ebg bt bwh. Penelen progrm lner blngn bult optml k bt t m dengn bt bwh. Ml k dlh utu vrbel blngn bult. Jk nl optml dlh berup blngn pehn, mk * * k tdk mungkn memut k k * k penelen blngn bult ng lk (dengn A mendefnkn blngn bult terber A ). Jd * * k hru dngkrkn. Akbtn k k Sutu nl blngn bult k ng lk hru memenuh lh tu kond * k tu * k k. k

55 55 Kedu kond n bl dterpkn pd utu peroln progrm lner blngn bult kn ddptkn du peroln ng terph ng ddptkn dengn memukkn fung kendl * k tu * k k k pd penelenn. Pd ku n peroln l dbngkn mend du ubperoln. Kemudn etp ubperoln delekn dengn metode mplek dn menggunkn fung tuun ng m dr peroln l, pbl penelen optmln bernl blngn bult dn memenuh perrtn blngn bult ng d, mk penelen n merupkn penelen terbk dlm ubperoln terebut. Jk penelen optmln mh bernl blngn pehn dn tdk memenuh perrtn blngn bult ng d, mk ubperoln hru dbg mend du ubperoln tu dengn memukkn lg kond blngn bult pd lh tu vrbel blngn bult ng mh mempun utu nl optml pehn. Jk dperoleh penelen blngn bult ng lebh bk dr penelen ng udh d mk penelen terebut ng dpk ebg penelen optml. Proe penbngn berlnut mp etp ubperoln mendptkn penelen blngn bult tu tdk dpt lg menghlkn penelen ng lebh bk. Pd ku n dperoleh penelen optml progrm lner blngn bult. Efen perhtungn dengn konep pembtn, k penelen elnutn dr ubperoln terebut lebh buruk dr penelen blngn bult terbk ng d, mk penbngn pd ubperoln dhentkn. Dengn

56 5 kt ln nl tuun ng bereun dengn penelen blngn bult ng lk dpt dgunkn untuk membung ubperoln ng tdk perlu. Perlun menentukn utu btn ng tept pd lngkh wl tdk terllu dteknkn dlm proedur terebut d t. Hl n tergntung pd urutn ubperoln ng berbed ng dturunkn dn dtelt. Peroln ng dhlkn tergntung pd vrbel ng dplh untuk menghlkn penbngn. Rngkn lngkh-lngkh metode bng dn bt dgmbrkn dlm dgrp lr ebg berkut: Rumukn dn elekn peroln dengn metode mplek. Tentukn bt t olu bult ng lk Tentukn bt bwh olu bult ng lk Bt t m dengn bt bwh tdk Optml (olu bult ng lk=bt bwh) But penbngn dengn memukkn fung kendl * k dn * k k k, dengn k mendefnkn blngn bult terber k Selekn penelen optml dengn metode mplek untuk mng-mng bngn Htung bt t dengn menr nl mkmum dr ubperoln ng tdk mempun bng Htung kembl bt bwh ebg nl mkmum dr emu olu bult ng lk Gmbr. Dgrm lr metode bng dn bt

57 57 Contoh.8 Ml dberkn peroln knpk: Penelen Memkmumkn z(,,, ) 8 terhdp kendl 5 7 tu ; (,,, ). Penelen peroln knpk d t dwl dengn menghtung ro dn menentukn perngkt etp vrbel berdrkn bern ro n (perngkt mentkn vrbel terbk). Hln dlh ebg berkut: Brng ke- Perngkt Lngkh elnutn tu mendkn peroln knpk ebg peroln progrm lner relk. Dr perngkt dplh kemudn ert ehngg olu progrm lner relkn dlh z (), dengn, dn. Selnutn dlkukn proe penbngn dn pembtn.

58 58 Pd proe penbngn dn pembtn dhlkn ub-ubperoln. Subperoln dperoleh dengn mendkn peroln knpk ebg peroln progrm lner relk. Solun dlh z,, dn. Jd nl optml z untuk peroln knpk nl optml z progrm lner relk. Hl n berrt nl optml z untuk peroln knpk tdk mungkn lebh ber drpd. Dengn kt ln nl optml z progrm lner relk dlh bt t dr peroln knpk. Lngkh berkutn dlh memlh derh fbel dr ol progrm lner relk. Kren nl tu ; (,,, ) mk hn boleh bernl tu. Nl, dn udh eu dengn rt kendl ehngg penbngn dkenkn pd, dperoleh ubperoln dn. Selnutn etp ubperoln delekn (dr olun) berdrkn kendl-kendl pd etp ubperoln. Subperoln delekn, olun dlh 9 z,,. Berkutn ubperoln delekn, dperoleh olu z, 7 5,,. Dr olu ng dperoleh ebenrn ubperoln 7 dpt dbkn, kren nl z pd ubperoln lebh kel nl z pd ubperoln. Akn tetp ebg bukt pkh ubperoln bukn merupkn olu ng optml mk penbngn kn dlkukn pd

59 59 ubperoln, tentun etelh ubperoln delekn dn bng-bng ng dhlkn ug telh delekn. Penbngn kembl dkenkn pd ubperoln, ehngg dperoleh ubperoln dn ubperoln 5. Selnutn etp ubperoln delekn. Solu dr ubperoln dlh z,,. Kren eluruh vrbel keputun telh berhrg tu, mk olu dr ubperoln merupkn lon olu. Untuk ubperoln 5 olun dlh z 8, 5, 5. Kren ubperoln tdk memberkn olu fbel eln tu dengn z, mk penbngn dr ubperoln tdk kn memberkn nform bru mengen olu optml peroln knpk. Nl z dr ubperoln ddkn ebg bt bwh tu lower bound (LB) pd ubperoln 5. Selnutn ubperoln 5 dbngkn dengn LB, dperoleh ubperoln dn ubperoln 7. Mng-mng ubperoln delekn. Solu dr ubperoln tu z,,. Kren nl eluruh vrbel keputun telh berhrg tu, mk olu dr ubperoln dlh ug lon olu. Clon olu n memlk nl z, ng berrt lebh ber dr bt bwh, ehngg ubperoln 7 delekn dengn LB. Subperoln 7 olun dlh z 5,,. Kren nl z pd ubperoln 7 melebh bt t dr. Jd ubperoln 7 tdk fbel dn hl n dntkn dengn

60 menntumkn tnd ( ) d dekt kotk ubperoln 7. Smp pd lngkh n udh tdk d lg ubperoln ng dbngkn. Sepert ng telh dutrkn bhw ubperoln dpt dbkn. Akn tetp kn dob dlkukn penbngn pd ubperoln dengn LB. Hl dr penbngn n tu ubperoln 8 dn ubperoln 9. Kemudn etp ubperoln delekn. Subperoln 8 olun dlh z 8,,. Nl z ubperoln 8 tdk lebh ber dr LB, ehngg penbngn dr ubperoln 8 tdk kn memberkn nform bru mengen olu optml peroln knpk dn hl n dntkn dengn menntumkn tnd ( ) d dekt kotk ubperoln 8. Berkutn ubperoln 9 delekn dengn LB. Solun dlh z, 7 8,,. Nl z pd ubperoln n ug tdk 5 memberkn nl ng lebh ber dr LB, ehngg penbngn dr ubperoln 9 tdk kn memberkn nform bru mengen olu optml peroln knpk dn hl n dntkn dengn menntumkn tnd ( ) d dekt kotk ubperoln 9. Dr penbngn untuk ubperoln, terbukt bhw bng-bng ng dhlkn tdk memberkn nform ng bergun, ehngg penbngn tdk perlu dkenkn. Dengn kt ln ubperoln dpt dbkn, ehngg dlm melkukn perhtungn kn lebh efektf. Kren udh tdk terdpt ubperoln ng belum delekn dn hn ubperoln ng dpt memberkn olu optml terhdp peroln

61 knpk mk ubperoln merupkn olu optml untuk peroln knpk tu z,, dn hl n dntkn dengn menntumkn tnd ( ) d dekt kotk ubperoln. Rngkn proe penbngn dn pembtn dkn dlm gmbr pohon bng dn bt berkut. (Gmbr.)

62 Subperoln z Subperoln ; z LB= Subperoln z Subperoln 8 z 8 LB= Subperoln 9 z ; 7 7 LB= Subperoln z lon olu Subperoln 5 5 ; z 8 5 LB= Subperoln z LB= lon olu Subperoln 7 LB= tdk fbel Gmbr. Pohon bng dn bt peroln knpk -

63 BAB III PEMBAHASAN Dlm bb n kn dbh bgmn menentukn pol dn kombn pol ng plng lk dlm pemotongn blok ku ert mplement teknk pembngkt kolom dlm optm pemotongn blok ku. B. Pol Awl dn Kombn Pol ng plng lk dlm Pemotongn Blok Ku Sepert ng telh durkn, penggunn pol pemotongn n bertuun untuk memnmumkn pemotongn dengn r mengkombnkn polpol pemotongn. Seln tu perlu dperhtkn ug dn produk urplu, tu hl produk melebh penn ng dhlkn dr kombn pol pemotongn. Sebg gmbrn untuk menelkn peroln terebut, dlutrkn epert pd Gmbr. berkut: Pol meter meter b meter b meter Pol meter meter meter meter Pol meter b meter meter meter Gmbr. Pol Pemotongn

64 Gmbr. terebut menunukkn tg mm pol pemotongn ng mungkn dlkukn pd utu penn. Pnng blok ku ng kn dpotong dlh epnng L meter dn dpotong menurut pnng penn, b dn meter, dengn < b < dn rt pemotongn, meter, meter dlh pnng mnmum penn dn dlh pemotongn Pol edngkn dlh pemotongn Pol. Mekpun terdpt pol pemotongn ng ln, ebg pengntr dlutrkn pd Gmbr., tu untuk Pol, dn. Contoh. Sutu peruhn ku memperoleh penn blok ku dengn pnng meter ebnk A btng, pnng b meter ebnk B btng dn pnng meter ebnk C btng. Untuk memenuh penn dengn pnng, b dn meter, ketg pol dpt dkombnkn dengn memotong blok ku pnng L meter ebnk w btng,,,..., m ; w blngn bult potf. Berkut n dlh ontoh kombn ng dpt dgunkn:. Memotong blok ku dengn pnng L meter ebnk w btng menggunkn Pol dn w btng menggunkn Pol.. Memotong blok ku dengn pnng L meter ebnk w btng menggunkn Pol dn w btng menggunkn Pol.. Memotong blok ku dengn pnng L meter ebnk w 5 btng menggunkn Pol dn w btng menggunkn Pol.

65 5 Dr ketg kombn pol d t, kombn mn ng lebh bk? Pertnn terebut dpt dwb dengn mempertmbngkn pemotongn. Pd Gmbr., bgn drr menunukkn btng urplu ng tdk ukup pnng untuk memenuh penn. S pemotongn ng dhlkn dr ketg kombn tu dlh : Kombn I : w meter meter. Kombn II : Kombn III : w meter meter. ( w5 meter) ( w meter) z meter.,, z blngn rel potf. Selnutn etp produk urplu dengn pnng, b dn meter hru dpertmbngkn dlm perhtungn ebg pemotongn. Pd Kombn I, Pol menghlkn f btng pnng meter dn f btng pnng b meter, dengn umlh btng f f kren pemotongn dengn Pol menghlkn btng pnng meter dn btng pnng b meter. Sehngg f f w dn f, blngn rel potf. Untuk Pol f menghlkn g btng pnng meter dn g btng pnng b meter, dengn umlh btng g w dn umlh btng g w kren pemotongn blok menggunkn Pol menghlkn btng pnng meter dn btng pnng meter dn g, g blngn bult potf. Pd Kombn II, Pol menghlkn h btng pnng meter dn h btng pnng b meter, dengn umlh btng h h kren pemotongn dengn Pol menghlkn btng pnng meter dn btng pnng b

66 meter. Sehngg h h w ; h, blngn rel potf. Sementr Pol h menghlkn btng pnng meter, btng pnng b meter dn btng pnng meter, dengn umlh btng kren pemotongn dengn Pol menghlkn btng pnng meter, btng b meter dn btng pnng meter. Sehngg (,, ) w ( btng meter, btng b meter, btng meter) dn,, blngn bult potf. Pd Kombn III, Pol menghlkn btng pnng meter, btng pnng b meter dn btng pnng meter, dengn umlh btng kren pemotongn dengn Pol menghlkn btng pnng meter, btng b meter dn btng pnng meter. Sehngg (,, ) w5 ( btng meter, btng b meter, btng meter) dn, blngn rel potf. Sementr Pol menghlkn k, btng pnng meter dn k btng pnng meter, dengn umlh btng k w dn umlh btng k w kren pemotongn blok menggunkn Pol menghlkn btng pnng meter dn btng pnng meter dn k, k blngn bult potf. Hl-hl dr Kombn I, Kombn II dn Kombn III dkn dlm Tbel. ebg berkut:

67 7 Pol () Tbel. Hl penn Kombn I, II dn III Jumlh pnng penn ng dhlkn (btng) Kombn I Kombn II Kombn III (m) b (m) (m) (m) b (m) (m) (m) b (m) f f - h h (m) g - g k k (m) Jumlh ng dpen (btng) b (m) (m) A B C Selnutn bgmn produk urplu dperoleh, hl n dperhtkn pd mng-mng kombn. Kombn I, produk urplu pnng meter dperoleh k ( f ) A. g Kombn II, produk urplu pnng meter dperoleh k ( h ) A ; produk urplu pnng b meter dperoleh k ( h ) B. Kombn III, produk urplu pnng meter dperoleh k ( k ) A ; produk urplu pnng meter dperoleh k ( k ) C Agr dkethu kombn mn ng plng bk dgunkn, ng hru dlkukn tu membndngkn perhtungn ng ddpt pd Kombn I, Kombn II dn Kombn III. Perhtungnn: Kombn I : totl pemotongn meter + produk urplu Kombn I. Kombn II : totl pemotongn Kombn III : totl pemotongn meter + produk urplu Kombn II. z meter+produk urplu Kombn III.

68 8 Dr hl perhtungn, dpt dkethu kombn mn ng plng bk dgunkn, dengn melht hl pemotongn ng lebh edkt. Untuk menentukn olu optml, pertm perlu untuk menentukn emu pol ng mungkn dn kemudn menentukn emu kombn pol ng lk. Mekpun menentukn emu pol ng mungkn tdk begtu ult, nmun menentukn emu kombn pol ng lk merupkn utu pekern ng bert. Aplg k telh melbtkn bnk vrbel. Dnlh model progrm lner memnkn pernn dn teknk pendektn ng temt dperlukn. Contoh. Sutu peruhn ku memperoleh penn blok ku dr utu UD dengn ukurn. Penn pertm, pnng,5 meter ebnk 5 btng, ng merupkn pnng mnmum. Penn kedu, pnng b meter ebnk btng dn penn ketg pnng meter ebnk 5 btng. Peruhn terebut hru memenuh penn dengn memotong pnng blok ku tndr, kn L 7 meter dn mengngnkn pemotongn emnmum mungkn. Penn dkn dlm Tbel. ebg berkut: Tbel. Jumlh Penn Penn () Pnng ng dngnkn (meter) Jumlh ng dpen (btng),5 5 b 5 Berp ukurn blok ku ng dpen oleh UD untuk penn pertm dn kedu, k pemotongn mnmum dlh,5 meter?

69 9 Jk dgunkn kombn pol pemotongn I, kombn pol pemotongn II dn kombn pol pemotongn III, mnkh kombn ng lebh bk? Penelen Untuk mendptkn nl dr b dn pol-pol ng telh dpprkn dpt ddkn ebg un. Dr Pol, dperoleh nl dn b. Nl, 5 meter merupkn pnng wl ng dkethu. Pol, membg blok ku pnng 7 meter dengn dn b, mk:,5 meter meter b merupkn pnng ng dngnkn, berdrkn Pol, mk: pnng ng dngnkn blok ku pnng 7 meter meter, ehngg: b b b 7 meter meter meter meter Jd pnng b meter. Pd Pol tdk dperoleh pemotongn, kren + b meter. Selnutn untuk mendptkn nl, kn lebh mudh k menggunkn Pol, kren blok ku pnng 7 meter dpotong dengn pnng, b dn ert, mk: (pnng penn + pnng penn + pnng penn ) blok ku pnng 7 meter mnmum pemotongn, dengn mnmum pemotongnn pd ol dlh,5 meter, ehngg:

70 7 ( b ) (,5 ) (,5 ) 7 meter,5 meter,5 meter,5 meter,5 meter,5 meter meter Jd pnng meter, dengn pnng pd Pol dlh,5 meter. Nl, b dn telh dkethu, pd Pol, kn dperoleh () ng nln hru lebh kel dr pnng mnmum penn ( <,5 meter), tu: ( ) ( ) pnng blok ku 7 meter 7 meter 7 meter meter. Jd pnng pd Pol meter (memenuh <,5). Kren pnng penn kedu dn ketg telh dkethu, mk k dgunkn kombn pol pemotongn dr Kombn I dn Kombn II, berkut n ontoh kombn ng lk dgunkn:. Memotong blok ku dengn pnng 7 meter ebnk btng menggunkn Pol dn 5 btng menggunkn Pol.. Memotong blok ku dengn pnng 7 meter ebnk 5 btng menggunkn Pol dn 5 btng menggunkn Pol.. Memotong blok ku dengn pnng 7 meter ebnk btng menggunkn Pol dn btng menggunkn Pol. Dr ketg pol d t, kombn mn ng lebh bk? Pertnn terebut dpt dwb dengn mempertmbngkn pemotongn. Sebg berkut:

71 7 Pd Gmbr., bgn drr menunukkn btng urplu ng tdk ukup pnng untuk memenuh penn. S pemotongn ng dhlkn dr kedu kombn tu dlh : Kombn I : 5 meter 5 meter. Kombn II : 5,5 meter 7,5 meter. Kombn III : (,5 meter ) ( meter ) meter. Selnutn etp produk urplu dengn pnng,5, dn meter hru dpertmbngkn dlm perhtungn ebg pemotongn. Pd Kombn I, Pol menghlkn btng pnng,5 meter dn btng pnng meter. Untuk Pol menghlkn btng pnng,5 meter dn 5 btng pnng meter. Produk urplu ng dhlkn dr kombn ebnk 5 btng dengn pnng,5 meter. Kren produk urplu dperhtungkn ebg pemotongn, ehngg totl pnng produk urplu dlh: 5,5 meter. Pd Kombn II, Pol menghlkn btng pnng,5 meter dn btng pnng meter. Sementr Pol menghlkn 5 btng pnng,5 meter, 5 btng pnng meter dn 5 btng pnng meter. Jd, pd Kombn II terdpt produk urplu untuk pnng meter ebnk 5 btng, ehngg produk urplu: 5 meter. Pd Kombn III, Pol menghlkn btng pnng,5 meter, btng pnng meter dn btng pnng meter, ementr Pol menghlkn btng pnng,5 meter dn btng pnng meter. Jd pd Kombn II