Menggambar Grafik Fungsi 0. Daerah asal 1. Simetri

Transkripsi

1 APLIKASI TURUNAN

2 Menggambar Grafik Fungsi 0. Daerah asal. Simetri Fungsi genap dan fungsi ganjil. Titik potong sumbu Sumbu-(y 0 dan sumbu-y Asimtot fungsi Definisi : Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada tiga jenis asimtot fungsi, yakni: (i Asimtot Tegak Garis c disebut asimtot tegak dari y f( jika (ii Asimtot Datar Garis y b disebut asimtot datar dari y f( jika (iii Asimtot Miring Garis y a b disebut asimtot miring jika f ( a dan f ( c f ( f ( a b b

3 Asimtot tegak a a Dalam kasus a dan a f ( a asimtot tegak f ( a asimtot tegak Dalam kasus dan a a f ( f (

4 b y b Garis y b asimtot datar karena f ( b Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk hingga. Namun, jika untuk menuju tak hingga, asimtot datar dihampiri oleh grafik fungsi (tidak dipotong lagi

5 yf( y a b Garis y a b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring

6 Contoh : Tentukan semua asimtot dari Jawab : (i Asimtot tegak :, karena 4 dan f ( 4 4 (ii Asimtot datar : f ( 4 Maka asimtot datar tidak ada 4 ( ( ( ( 4

7 f a. 4 ( 4 ( ( ( ( 4 4 (iii Asimtot miring ; y a b 0 4 ( 4 4 a f b ( Asimtot miring y 4

8 Pembagian polinom

9 Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut : f ( f ( 3 f ( f ( 3

10 4. Kemonotonan Fungsi Definisi : Fungsi f( dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( f (, I f, f( f( Fungsi f( monoton naik pada selang I I

11 monoton turun pada interval I jika untuk ( f (, I f, f( f( I Fungsi f monoton turun pada selang I

12 Teorema : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f( monoton naik pada I jika Fungsi f( monoton turun pada I jika f '( 0 I f '( 0 I. f f ( Contoh : Tentukan selang kemonotonan dari 4 Jawab : ( ( ( ( 4 '( ( ( ( ( f( monoton naik pada (,0 dan (4, f( monoton turun pada (0, dan (,4.

13 5. Kecekungan Fungsi y y Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah Fungsi f( dikatakan cekung ke atas pada interval I bila interval I, dan f( dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I. Teorema : Uji turunan kedua untuk kecekungan f '(. Jika f "( 0, I, maka f cekung ke atas pada I.. Jika f"( 0, I, maka f cekung ke bawah pada I. naik pada f '(

14 Contoh 3 Tentukan selang kecekungan dari Jawab : f '( 4 ( f ''( ( 4( ( (( 8 ( ( 4 f ( ( ( 4( ( Grafik f cekung keatas pada, selang (, 4 4 ( ( ( dan cekung kebawah pada

15 6. Titik belok Definisi 5. Misal f( kontinu di b. Maka (b,f(b disebut titik belok dari kurva f( jika terjadi perubahan kecekungan di b, yaitu di sebelah kiri b fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya. b adalah absis titik belok, jika f (b 0 atau f (b 0 tidak ada.

16 f(c f(c c c (c,f(c titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,f(c titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

17 f(c c c (c,f(c bukan titik belok karena disekitar c tidak terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c terjadi perubahan kecekungan tapi tidak ada titik belok karena f tidak terdefinisi di c

18 Contoh 4: Tentukan titik belok (jika ada dari. f ( 3 f '( 6, f ''( Di 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0 - maka (0,- merupakan titik belok. f ( 4 f ''( 0 Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan

19 3. f ( 4 f ''( 8 3 ( Walaupun di, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f( tidak terdefinisi di

20 Soal Latihan ( f 3 3 ( f ( f f ( ( Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut : / ( f 5.

21 7. Nilai Ekstrim Definisi 5.3 Misalkan f( kontinu pada selang I yang memuat c, f(c disebut nilai maks min global dari f pada I jika f f ( c ( c f f ( ( I f(c disebut nilai maks min lokal dari f pada I jika terdapat selang f ( c f ( buka yang memuat c sehingga untuk setiap pada f ( c f ( selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim. Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis.

22 f(a ma lokal f(b min lokal f(c ma global f( f(d min global f(e ma lokal f(f min lokal a b c d e f Nilai ekstrem fungsi pada selang I [a,f ]

23 Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner (yaitu c dimana f '( c 0, secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c,f (c '( c Titik singulir ( c dimana tidak ada, secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c,f (c f

24 Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal f '( 0 f '( 0 Jika pada ( c, c dan pada ( cc,, f '( 0 f '( 0 maksimum maka f(c merupakan nilai Lokal. minimum f(c f(c c c f(c nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f >0 dan disebelah kanan c monoton turun (f <0 f(c nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f <0 dan disebelah kanan c monoton naik (f >0

25 Teorema : Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal f ''( c 0 Misalkan f '( c 0. Jika,maka f (c merupakan f ''( c 0 maksimum nilai lokal f minimum Contoh 5: Tentukan nilai ekstrim darif ( ( 4 Jawab: f '( ( Dengan menggunakan uji turunan pertama : di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f ( 0 di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f ( 4 6

26 Soal Latihan ( f 3 3 ( f ( f f ( ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut :

27 Contoh 6: Diketahui f ( 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f( a. Fungsi f( monoton naik pada selang (,0, (4, monoton turun pada selang (0, dan (,4. di 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di 4 tercapai minimum lokal dengan nilai b. Grafik f cekung keatas pada, selang (,, tidak ada titik belok f ( 0 f ( 4 ( dan cekung kebawah pada c. Asimtot tegak, asimtot miring y, tidak ada asimtot datar 6

28 d. Grafik f( f ' f '' 6-4 y

29 Soal Latihan Gambarkan grafik fungsi berikut dengan mencari terlebih dahulu selang kemonotonan,ekstrim fungsi, kecekungan, titik belok, dan asimtot.. 3. f 3 ( 3 3 f 4 4 f (

30 5. Masalah maksimum minimum Turunan dapat juga dipergunakan dalam menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan masalah memaksimumkan atau meminimumkan fungsi. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut menjadi fungsi satu peubah. Langkah-langkah:. Mengerti permasalahan. Menyimbolkan hal yang akan di-maks/min-kan 3. Menuliskan hal pada No. sebagai fungsi satu peubah 4. Mencari nilai maksimum/minimum dari fungsi ini dengan aturan-aturan turunan.

31 Contoh 7:. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 00 cm agar luasnya maksimum Jawab : Misal panjang y, lebar y Luas L y, karena y 00 y 50 - Sehingga Luas L( (50-50, 0 50 L' ( 50 5 Karena maka di 5 terjadi maks lokal. L' '(5 0 Karena L(0 0, L(5 65, L(50 0 agar luas maks haruslah 5 dan y 5

32 . Sehelai karton berbentuk persegipanjang dengan ukuran 45 4 cm. Karton ini akan dibuat kotak tanpa tutup dengan cara memotong keempat pojoknya berupa bujur sangkar dan melipatnya. Tentukan ukuran kotak agar volume kotak maksimum Misal, panjang sisi potongan di pojok persegi panjang, sehingga V( (45- (4-3 V ( , 0 V'( ( 3 90 ( 8( Sehingga diperoleh titik stasioner 8 dan 5

33 V' '( 4 Sehingga V ''( di 8 terjadi min lokal V ''( di 5 terjadi maks lokal Untuk menentukan volume maksimum bandingkan nilai Volume jika 5 dan 0, (batas Df V(0 0 V( 0 V(5 450 Agar volume kotak maksimum maka ukuran kotak : panjang 35 cm lebar 4 cm tinggi 5 cm

34 Soal Latihan. Tentukan dua buah bilangan yang selisihya 00 dan hasil kalinya minimum. Tentukan ukuran persegi panjang dengan luas 00 cm dan kelilingnya minimum 3. Tentukan ukuran persegi panjang yang memiliki luas terbesar dengan alas pada sumbu serta dua titik sudutnya di atas sumbu serta terletak pada parabola y 8

35 5.3. Menghitung it fungsi dengan Aturan L Hôpital Bentuk tak tentu dalam it : 0, 0, 0.,. Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan f( g( 0. Jika f Maka ( f '( g( g '( 0 0 f '( g'( L,, atau

36 Contoh 8: Hitung cos 0 bentuk (0/0 Jawab: cos sin 4 cos Catatan: Aturan L hopital bisa digunakan beberapa kali asalkan syaratnya dipenuhi

37 . Aturan L Hôpital untuk bentuk Andaikan f( g(, f '( Jika L,, atau, g'( maka f ( g( f ' ( g' (

38 Contoh 9: Hitung 3 5 (bentuk Jawab: Catatan: Walaupun syarat dipenuhi, belum tentu it dapat dihitung dengan menggunakan dalil L Hopital.

39 Contoh 0: Hitung Jawab: 3 (bentuk 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3

40 Soal seperti diatas tidak bisa diselesaikan dengan menggunakan aturan L Hopital, karena setelah dilakukan aturan L Hopital muncul lagi bentuk semula Soal seperti diatas diselesaikan dengan cara sbb: 3 ( 3 ( 3 ( ( 3 3 ( ( 3

41 3. Bentuk 0. Untuk menyelesaikannya, ubah ke dalam bentuk 0 atau 0 Contoh : Hitung Jawab : 0 csc 0 csc 0sin 0cos 0

42 4. Bentuk - Misalkan f( g(. Untuk menghitung [ f( - g( ] dilakukan dengan menyederhanakan bentuk [ f(- g( ] sehingga dapat dikerjakan menggunakan cara yang telah dikenal sebelumnya Contoh : Hitung Jawab : csc 0 ( cot cos cos ( csc cot sin sin sin 0 sin 0 cos

43 Soal Latihan Hitung it berikut ( bila ada cos 0 tan csc 0 5 ( cos cot 0