PENGGUNAAN TURUNAN. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 PENGGUNAAN TURUNAN Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

2 ungsi genap & ungsi ganjil Fungsi yang berbentuk (-)=() disebut ungsi genap yang graiknya simetri terhadap sumbu y Fungsi yang berbentuk (-)=-() disebut ungsi ganjil yang graiknya simetri terhadap titik asal

3 y = Fungsi genap y = 3 Fungsi ganjil

4 kesimetrian graik 1 3 Simetris terhadap sumbu y bila (,y) maupun (-,y) terletak pada graik tersebut ungsi genap. Simetris terhadap sumbu bila (,y) maupun (,-y) terletak pada graik tersebut. Simetris terhadap titik asal [(0,0)] bila (,y) maupun (-,-y) terletak pada graik tersebut ungsi ganjil.

5 y y (-, y) (, y) (, y) (-, 1) (, 1) (, -y) (i) y = - 3 y (ii) = y + 1 (, y) (-, -y) (iii) = y 3

6 asimtot graik-asimtot tegak Garis =c adalah asimtot tegak/vertikal dari graik y=() jika salah satu pernyataan berikut berlaku 1. lim c ( ). lim c ( ) 3. lim c ( ) 4. lim c ( )

7 = c = c = c (1) () (1)

8 asimtot graik-asimtot datar Garis y=b adalah asimtot datar/horisontal dari graik y=() jika salah satu pernyataan berikut berlaku 1. lim ( ) b & utk bil. N, ( ) b jika N. lim ( ) b & utk bil. N, ( ) b jika N

9 y = b (1) (1) y = b y = b y = b () ()

10 Tentukan asimtot-asimtot untuk graik dengan persamaan y -y -4= y y y y y Contoh 1

11 Ada dua ungsi 1. y 1 1 ( ). y ( ) DA 1 dan adalah (-,0)(,+)

12 asimtot datar Jadi lim ) ( lim lim ) ( lim asimtot tegak Jadi lim ) ( lim ungsi y

13 ungsi lim ( ) lim Jadi asimtot tegak lim ( ) lim 1 lim ( ) lim 1 Jadi y asimtot datar

14 y y 4 0 y 1 y

15 1. PENGGAMBARAN GRAFIK FUNGSI Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

16 Pada materi turunan dijelaskan bahwa kemiringan garis singgung merupakan tasiran geometris dari TURUNAN ungsi, sehingga turunan dapat digunakan sebagai alat bantu menggambar graik ungsi. Bantuan tersebut dalam hal penentuan titik-titik garis singgung atau penentuan interval dimana graik terletak di atas garis singgung atau dibawahnya dst.

17 M E T O D E Tentukan daerah asal Tentukan perpotongan dng sb & sb y Uji kesimetrian thd sb, y & titik asal (ungsi genap atau ungsi ganjil) Hitung () dan () Tentukan bilangan kritis untuk Terapkan uji turunan I dan uji turunan II untuk mencari ekstrim relati

18 M E T O D E Tentukan interval naik /turun Cari titik belok, yaitu () berganti tanda & graik punya garis singgung Tentukan interval cekung keatas atau cekung kebawah Cari asimtot tegak ataupun asimtot datar

19 Diberikan ungsi ()= Sketsa graik. Contoh Daerah asal adalah (-,) Perpotongan dengan sumbu y (0,3) (-)=(-) 3 3(-) +3= () -() bukan ungsi genap/bukan ungsi ganjil.

20 ()= ()=3-6, titik kritis () = 0 3-6=0 3(-)=0 =0 & = ()=6-6, dicari ()=0 6-6=0 6(-1)=0 =1

21 "( ) () '( ) Keterangan < Naik,cekung kebawah = Ma,cekung kebawah 0 < < Turun,cekung kebawah = Turun,titik belok 1 < < - + Turun,cekung keatas = Min,cekung keatas > + + Naik,cekung keatas

22

23 Contoh 3 Sketsa graik berikut ( ) 4 Daerah asal adalah (-,) dng - & Perpotongan dgn sb y (=0)(0,-¼) Perpotongan dgn sb (y=0)(0,0) Merupakan ungsi genap ( ) ( ) ( ) 4 4 ( )

24 dan 0 4) ( ) "( 4) ( ) "( 0 0 ) '( titik kritis, 4) ( 8 ) '( 4 ) (

25 "( ) () '( ) Keterangan < Naik,cekung keatas = - - -< <0 + - naik,cekung kebawah = 0 -¼ 0 0 Turun,titik belok 0 < < - - Turun,cekung kebawah = - > - + turun,cekung keatas

26

27 . PENCARIAN NILAI OPTIMUM Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

28 Disamping untuk menggambar graik ungsi, turunan juga dapat digunakan untuk membantu mencari nilai optimum dari suatu permasalahan nyata yang dimodelkan kedalam model matematika. Bantuan tersebut dalam hal menentukan titik-titik optimal sehingga keputusan yang diambil dalam menyelesaikan suatu permasalahan tersebut dapat optimal pula, diluar asumsi-asumsi tertentu.

29 M E T O D E Buat sketsa gambar (jika memungkinkan) Berikan variabel yang sesuai pada sketsa tsb. Tulis rumus besaran yang akan dioptimumkan (maksimum atau minimum) dalam bentuk variabel. Nyatakan besaran yang dicari sebagai ungsi dari satu variabel.

30 M E T O D E Tentukan himpunan nilai yang mungkin (daerah asal biasanya berupa interval). Tentukan titik kritis (titik-titik optimum) Gunakan teorema turunan yang ada untuk menentukan nilai optimumnya (maksimum dan minimum).

31 Contoh 4 Sebuah surat selebaran memuat 50 cm persegi bahan cetak. Jalur bebas cetak diatas dan dibawah selebar 4 cm dan disamping kiri dan kanan selebar cm. Berapa ukuran surat selebaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin

32 4cm Misalkan y cm cm lebar surat edaran y tinggi surat edaran 4cm Luas surat selebaran yang akan diminimumkan A = y Sedang ukuran bahan cetakan adalah 50 ( 4)( y 8) 50 y 8 4

33 ) (4, 1 9 dan diperoleh 0 4) ( 9) 1)( 8( 4) ( ) ( ) 18 (8 4) 18)( (16 A 0 ) ( ik kritis syarat tit ) (4, 4 atau 0 4 dengan A A d d A' y

34 Menurut teorema uji turunan I, diperoleh da d 0 untuk (4,9) dan da d 0 untuk (9, ) Sehingga A mencapai nilai minimum pada = 9 dan y = 18. Jadi ukuran surat edaran dengan pemakaian kertas paling sedikit (minimum) adalah 9 18 cm

35 Contoh 5 Cari ukuran tabung lingkaran tegak yang volumenya sebesar mungkin yang dapat ditempatkan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak. r h b a-h a Andaikan a tinggi kerucut (konstanta) b jari-jari kerucut (konstanta) h tinggi tabung r jari-jari tabung V volume tabung

36 b r r b a ar r b a a r V r b a a h b a r a-h h r π V dengan 0 serupadiperoleh darisetiga segitiga tabungadalah Volume 3

37 3 dan 3 adalah ukuran jadi 0 ) ( maksimum (0), 0, diperoleh titik kritis ) '( ik kritis syarat tit 3 a h b r b V b a b V V b b r r b a ar dr dv r V b

38 Contoh 6 Lapangan berbentuk empat persegi panjang, yang terbentang ditepi sungai, hendak dipagari tetapi sepanjang tepi sungai tidak ikut dipagari. Jika harga material untuk pagar pada sisi yang sejajar dengan sungai adalah Rp permeter dan harga material untuk pagar kedua sisi lainnya Rp permeter. Tentukan ukuran lapangan yang luasnya terbesar yang dapat dipagari dengan pagar keseluruhan seharga Rp

39 y Andaikan sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai y sisi lapangan yang sejajar dengan sungai. luas lapangan adalah L y dengan biaya atau y 1y

40 8 8 1 y y 3600 y sehingga L( ) ( ) syarat titik kritis L'( ) ,5 Jadi luas lapangan terbesar yang ditutupi pagar jika panjang sisi lapangan yang tidak sejajar dengan sungai adalah 11,5 m dan sisi lapangan yang sejajar sungai adalah 150 m dengan luas16875 m.