Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk ( ) ( ) x < x f x > f x, x, x I. monoton turun pada interval I jika untuk

Transkripsi

1

2 Definisi. Fungsi f(x) dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk x < x f x < f x, x, x I ( ) ( ) monoton turun pada interval I jika untuk x < x f x > f x, x, x I. ( ) ( ) Fungsi monoton naik atau turun disebut fungsi monoton

3 f(x 1 ) f(x ) f(x ) f(x 1 ) x 1 x x 1 x (a) monoton turun (b) monoton naik

4 Andaikan f diferensiabel di selang I, maka i. Fungsi f(x) monoton naik pada I jika : f '( x) > 0 x I ii. Fungsi f(x) monoton turun pada I jika: f '( x) < 0 x I Contoh Tentukan interval interval dimana f(x) monoton naik dan turun jika : 3 f ( x) = x x 3x

5 3 f ( x) = x x 3x + 4 f '( x) = x x Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) > 0 x x 3 > 0 f '( x) > 0 x I x x (+) (-) (+) ( x + 1)( x 3) > 0 x = 1 x = f(x) monoton naik pada selang (, 1) dan (3, ) (-) (+) f

6 Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) < 0 x x 3< 0 ( x+ 1)( x 3) < 0 x = 1 x = 3 (+) f '( x) < 0 x I (-) (+) -1 3 f f(x) monoton turun pada selang ( 1,3)

7 Contoh Tentukan selang kemonotonan f ( x) = Jawab ( x + 1) x ( x+ 1) x + x+ 1 f ( x) = = x x (x+ )( x) ( x + x+ 1)(1) f '( x) = x = x + x x x 1) x = x 1 x

8 Fungsi f(x) monoton naik pada I jika f '( x) > 0 x I f '( x) > 0 x 1 > 0 (+) (-) x ( x+ 1)( x 1) > 0 x 0 f(x) monoton naik pada selang (, 1) dan (1, ) (-) (+) -1 1 f Fungsi f(x) monoton turun pada I jika f '( x) < 0 x I f '( x) < 0 x 1 (+) (-) (-) (+) < 0 x ( x+ 1)( x 1) < x f(x) monoton naik pada selang ( 1,0) dan (0,1) f

9 Ekstrim fungsi adalah nilai maksimum atau minimum fungsi di daerah definisinya. Definisi. Misalkan f(x) kontinu pada selang I dan c I. maksimum f(c) disebut nilai minimum global dari f pada I jika f ( c) f ( x) x I f ( c) f ( x) f(c) disebut nilai maksimum minimum buka yang memuat c sehingga buka tadi. lokal dari f pada I jika terdapat selang f ( c) f ( x) f ( c) f ( x) untuk setiap x pada selang

10 Min lokal Max global Min global Max lokal a b c d e f Nilai ekstrim fungsi pada selang I=[a,f]

11 Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis. Ada tiga jenistitik kritis: a. Titik ujung selang I b. Titik stasioner ( yaitu x = c dimana f '( c ) = 0 ) c. Titik singular ( x = c dimana f '( c ) tidak ada )

12 Min lokal Max global Min global Max lokal a b c d e f Titikx = a danx = f merupakanujungselang Titikx = b, x = c, x = d merupakantitikstasioner Titikx = e merupakantitiksingular

13 Jika f '( x) > 0 f '( x) < 0 pada selang ( c ε, c ) dan maka f(c) merupakan nilai maksimum minimum f(c) f '( x) < 0 f '( x) > 0 lokal f. pada selang ( cc, + ε ), c f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f >0) dan disebelah kanan c monoton turun (f <0) f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f <0) dan disebelah kanan c monoton naik (f >0)

14 Misalkan f '( c) = 0 Jika lokaldari f. Contoh f ''( c) < 0 f ''( c) > 0 maka f(c) merupakan nilai maksimum minimum 3 Tentukan nilai ekstrim fungsi f ( x ) = 1 3 x x 3x + 4 Jawab: 1 3 f ( x ) = x x 3x + 4 f '( x ) = x x 3 3 Nilai ektrim terjadi pada tititk stasioner f '( x ) = 0 x x 3 = 0 ( x + 1)( x 3) = 0 x = 1 dan x = 3 1

15 1 3 f ( x) = x x 3x f ( 1) = ( 1) ( 1) 3( 1) + 4 = ( 1) (1) + 4 = = f (3) = (3) (3) 3(3) + 4 = (7) 9+ 4 = = 5 3 3

16 Pada contoh sebelumnya di[peroleh hasil sebagai berikut. (+) (-) (+) -1 3 f Pada selang (, 1), f ' ( x ) > 0 Pada selang ( 1,3), f ' ( x ) < 0 Jadi f ( 1) = 5 merupakan nilai maksimum lokal 3 Pada selang ( 1,3), f ' ( x ) < 0 Pada selang (3, ), f ' ( x ) > 0 Jadi f (3) = 5 merupakan nilai minimum lokal

17 Fungsi f(x) dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( x) naik pada interval I. Fungsi f(x) dikatakan cekung ke bawah pada interval I bila f '( x ) turun pada interval I Uji turunan kedua untuk kecekungan f "( x) 0, x I maka f(x) cekung ke atas pada I 1. Jika >. Jika f "( x) < 0, x I maka f(x) cekung ke bawah pada I.

18 Tentukan selang kecekungan dari f ( x) = x 3 Jawab f '( x) = 3x dan f "( x) = 6x f cekung ke atas jika pada f " ( x) > 0, x I f "( x) > 0 6x > 0 x > 0 Jadi f cekung ke atas pada selang (0,+ ) f cekung ke bawah jika pada f " ( x) < 0, x I f "( x) < 0 6x < 0 x < 0 Jadi f cekung ke bawah pada selang (-, 0)

19 Misalf(x) kontinudix = b. Maka( b, f(b) ) disebut titik belok dari kurva f(x) jika terjadi perubahankecekungandix = b, yaitudi sebelahkirix = b cekung keatasdandi sebelahkananx = b cekungkebawah atau sebaliknya. Syaratperlu x = b merupakanabsisdarititik belokbilaberlaku(f (b) = 0) atauf(x) tidak diferensiabelduakali dix = b ( tidakada).

20 f(c) f(c) c c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas

21 f(c) c c (c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c

22 Carilah titik belok ( bila ada ) dari fungsi berikut : a. f ( x) = x 1 b. f ( x) = x c. f ( x) = x + 1 3

23 3 a. Dari = f ( x) x 1 maka f "( x) = 1x. Bila f "( x ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok. Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f "( x ) < 0, sedangkan untuk x > 0 maka f "( x ) > 0. Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = -1. Jadi titik ( 0,-1 ) merupakan titik belok.

24 b. Dari ( ) = 4 f x x maka f "( x) = 1x. Bila f "( x ) = 0 maka x = 0 merupakan calon dari titik belok Fungsi f kontinu di x = 0 Untuk x < 0 dan x > 0 maka f "( x ) > 0. Oleh karena itu, di x = 0 tidak terjadi perubahan kecekungan. Jadi ( 0,0 ) bukan merupakan titik belok.

25 1 c. f ( x) = x maka f "( x) = 5 3 9x Terlihat bahwa f(x) tidak dapat diturunkan dua kali di x = 0. Fungsi f kontinu di x = 0. Untuk x < 0 maka f "( x ) > 0, sedangkan untuk x > 0 maka f "( x ) < 0. Oleh karena itu, di x = 0 terjadi perubahan kecekungan, f(0) = 1. Jadi ( 0,1 ) merupakan titik belok..

26 1. Jika, tentukan: a. Selang kemonotonan b. EkstrimLokal c. Selang kecekungan d. Titik belok(jika ada) f ( x) = x 6x+ 5

27 3. Jika f ( x) = x 6x + 9x,tentukan: a. Selang kemonotonan b. EkstrimLokal c. Selang kecekungan d. Titik belok(jika ada)

28 3. Jika f ( x) = x 3x 1x+ 8,tentukan: a. Selang kemonotonan b. EkstrimLokal c. Selang kecekungan d. Titik belok(jika ada)

29 Soal Latihan Pilihan Ganda Bab : Penggunaan Turunan 1. Grafik fungsi f ( x) a. ( 0,1) ( 1, + ) b. ( 1,0] ( 1, + ) = c. (, 1) ( 1,0) x x 1. Grafik fungsi f ( x) = a. (, 1] [ 0,1] b. ( 1,0] ( 1, + ) c. (, 1) ( 1,0) 3. Nilai minimum dari fungsi ( ) 3 a. -4 b. - c. 0 d. 1 e. monoton turun pada selang. d. (, 1] ( 1,0) e. (, 1] [ 1, + ) x x 1 naik pada selang. d. (, 1] ( 1,0) e. (, 1] [ 1, + ) f x = x 3x + pada selang[ 1,3 ] adalah.

30 4. Titik stasioner fungsi ( ) 3 a. x = 1 danx = 3 b. x = 3danx = 1 c. x = 3danx = Fungsi f ( x ) x x 3 x 4 6. Fungsi ( ) 3 1 f x = x x + 3x+ 4 adalah. 3 d. x = 1danx = 3 e. Tidak ada titik stasioner = monoton turun pada selang. a. 1< x < 3 d. x < 1 b. x < 1 x > 3 e. x < 3 c. x > 3 1 f x = x x + 3x+ 4cekung ke atas pada selang. 3 a. (,) d. (, + ) b. (0,) e. (,0) c. (, + )

31 7. Titik belok fungsi ( ) 3 a. (3,4) b. (1,4 ) 3 c. (,4 ) 3 1 f x = x x + 3x+ 4 adalah Titik ekstrim maksimum fungsi f( x) a. (3, ) 9 1 b. (, ) 4 c. (1,0) 3 d. (, ) 4 e. ( 1, ) d. (0,4) 6 e. 3 x 1 = adalah. x (, )

32 9. Fungsi f ( x) a. (0,) b. (,0) (, + ) c. (3, + ) d. (,0) (0,3) e. (0,3) f x 10. Fungsi ( ) a. (0,) b. (,0) (, + ) c. (3, + ) d. (,0) (0,3) e. (0,3) x 1 = monoton turun pada selang. x x 1 = monoton naik pada selang. x