PENENTUAN NILAI ANUITAS JIWA SEUMUR HIDUP MENGGUNAKAN DISTRIBUSI GOMPERTZ

Bulei Ilmiah Ma. Sa. da Terapaya (Bimaser) Volume 05, No. 2 (206), hal 79-86 PENENTUAN NILAI ANUITAS JIWA SEUMUR HIDUP MENGGUNAKAN DISTRIBUSI GOMPERTZ Sii Faimah, Neva Sayahadewi, Shaika Marha INTISARI Auias adalah seragkaia pembayara dalam jumlah ereu da dilakuka pada seiap selag waku ereu seara berkala, yaiu bulaa, kuarala, semesera aaupu seara ahua. Peilaia auias yag dilakuka seara ahua lebih sesuai dega daa yag disajika dalam abel moralia. Peeliia ii berujua uuk megkaji ilai auias jiwa seumur hidup dega pembayara ahua megguaka disribusi Gomperz da memberika ooh peerapaya. Peilaia auias berdasarka disribusi Gomperz dimulai dega meeuka usia pesera da megasumsika igka suku buga yag diguaka uuk meeuka fakor disko. Selajuya meeuka peluag hidup da mai seseorag sera ilai auias jiwa seumur hidup pembayara ahua. Nilai auias ii dipegaruhi oleh besarya ilai parameer-parameer pada disribusi Gomperz. Parameer-parameer pada disribusi Gomperz diesimasi megguaka meode Maximum Likelihood Esimaio (MLE). Peeua ilai auias jiwa seumur hidup berdasarka disribusi Gomperz memberika peilaia bahwa semaki ua usia seseorag maka ilai auiasya aka semaki keil. Kemudia jika semaki besar igka suku buga yag diguaka, maka ilai auiasya semaki keil. Kaa Kui: ilai auias, disribusi Gomperz, Newo-Raphso PENDAHULUAN Salah sau upaya uuk memiimalisasi masalah fiasial yag disebabka oleh risiko kemaia yaiu program asurasi jiwa. Dalam mekaisme pelaksaaa asurasi jiwa, seiap asabah diwajibka membayar premi sebagai buki bahwa seseorag resmi mejadi pemegag polis pada asurasi ersebu. Ragkaia pembayara ii dikeal dega isilah auias. Auias adalah suau ragkaia pembayara dalam jumlah ereu da dilakuka pada seiap selag waku ereu seara berkala. Berdasarka jeisya, auias erbagi aas dua, yaki auias pasi (erai auiy) da auias jiwa (life auiy). Auias pasi adalah suau auias yag pasi dilakuka selama jagka waku pembayara []. Dega kaa lai beuk pembayara dari auias pasi ii dilakuka seara berkala dalam waku ereu. Kemudia pembayara yag berkaia dega hidup da maiya seseorag diamaka auias jiwa []. Auias jiwa merupaka auias yag diserai dega fakor keberahaa hidup (survival) sehigga auias ii aka selalu diserai dega fakor usia. Berdasarka sisem pembayaraya, auias erbagi aas dua yaki auias awal da auias akhir. Pembayara yag dilakuka seiap awal periode diamaka auias awal (due auiy), sedagka auias yag pembayaraya dilakuka seiap akhir periode diamaka auias akhir (immediae auiy) [2]. Auias juga dibedaka berdasarka jagka waku pembayara. Pembayara yag dilakuka selama seseorag masih hidup diamaka auias seumur hidup (whole life auiy). Kemudia pembayara yag dilakuka seseorag selama jagka waku ereu aaupu sampai meiggal duia diamaka auias berjagka (emporary auiy) [3]. Ragkaia pembayara pada auias jiwa seumur hidup merupaka pembayara yag berlagsug sepajag hidup eraggug meapai usia eriggi, yaiu ahu da pembayara aka berhei jika seseorag ersebu meiggal duia. Pembayara auias jiwa seumur hidup selai dilakuka berkali-kali dalam seahu juga dapa dilakuka seara ahua. Ierval pembayara yag dilakuka beberapa kali dalam seahu ii lebih keil daripada ierval pembayara yag dilakuka ahua. 79

80 S. Faimah, N. Sayahadewi, S. Marha Perhiuga ilai auias yag dilakuka seara ahua aka lebih sesuai dega daa yag disajika dalam abel moralia. Disribusi Gomperz merupaka suau asumsi yag pada dasarya diguaka uuk meeuka perepaa moralia da meeuka besarya ilai auias [3]. Namu dari fugsi kepadaa peluagya dapa juga dieuka peluag hidup da mai seseorag. Pada peeliia ii berujua uuk megkaji ilai auias jiwa seumur hidup megguaka disribusi Gomperz. Peeliia ii difokuska pada auias jiwa awal seumur hidup dega pembayara ahua uuk sau orag eraggug. Tigka buga yag diguaka berdasarka igka buga Bak Idoesia dari aggal 2 Sepember 203 sampai dega 7 November 205 sebesar 7,25%, 7,5%, 7,75% da megguaka Tabel Moralia Idoesia 20 uuk waia. Parameer-parameer yag erdapa pada disribusi Gomperz di esimasi megguaka meode Maximum Likelihood Esimaio (MLE). Peeliia ii dimulai dega meeuka usia pesera asurasi yaki x ahu, jagka waku pembayara sekali dalam seahu. Selajuya meeuka peluag hidup da maiya eraggug melalui abel moralia. Seelah diasumsika igka suku buga yag diguaka, aka dieuka fakor disko. Selajuya membeuk persamaa auias jiwa seumur hidup dega disribusi Gomperz. Parameer-parameer pada disribusi Gomperz diesimasi dega meode MLE. Seelah iu dieukalah ilai auias jiwa seumur hidup dega disribusi Gomperz. NILAI ANUITAS Dalam perhiuga auias, kosep buga saga diperluka karea uuk meeuka besarya ilai auias awal da ilai auias akhir [4]. Tigka buga yag diguaka dalam peeliia ii adalah igka buga majemuk. Tigka buga majemuk adalah igka buga yag dihiug berdasarka besar pokok awal aau modal awal yag sudah diambah dega buga, kemudia besar pokok yag diambah dega buga ersebu dibugaka lagi. Dalam buga majemuk erdapa suau fugsi v yag disebu dega fakor disko yag diyaaka dega v () ( i) Dikeahui bahwa X merupaka variabel radom koiu yag meyaaka usia dari kelahira higga erjadiya kemaia da FX x merupaka fugsi disribusi dari X, maka yag berari peluag sesorag aka meiggal sebelum meapai usia x ahu [2]. Selajuya didefiisika fugsi survival sx sebagai suau peluag yag meyaaka bahwa seseorag aka beraha hidup meapai usia x ahu, yaiu: s( x) Pr X x, x 0 (2) Sehigga diperoleh hubuga fugsi survival dega fugsi disribusi sebagai beriku: s( x) F ( x) (3) Selajuya x meyaaka perepaa moralia dari seseorag yag berusia x ahu diyaaka sebagai beriku [2]: fx ( x) x (4) s( x) Kemudia dari Persamaa (4) dapa dieuka bayakya seseorag yag berusia x ahu aka beraha hidup ahu kemudia diyaaka sebagai beriku: X x s ds 0 px e (5) Selajuya ilai auias jiwa awal seumur hidup merupaka ilai auias yag dipegaruhi oleh fakor disko da peluag hidup seseorag yag berusia x ahu, yaiu:

Peeua Nilai Auias Jiwa Seumur Hidup Megguaka Disribusi Gomperz 8 x x 0 a v p (6) Maximum Likelihood Esimaio (MLE) merupaka meode saisik yag serig diguaka uuk medapaka esimasi parameer uuk model maemaika dari sampel. MLE adalah meode yag memaksimumka fugsi likelihood. Misalka x, x2,, x merupaka suau sampel aak yag salig bebas berukura dari suau disribusi dega fugsi kepadaa peluag gabuga aara, 2,, x x x adalah,,, ; f x x x. Jika fugsi kepadaa peluag gabuga ersebu diyaaka sebagai fugsi erhadap, maka fugsi ersebu diamaka fugsi likelihood yag dioasika dega beriku [5]:,,, ; L f x x2 x Selajuya diari solusi uuk yag memaksimumka dimodifikasi ke dalam beuk l, yaiu memaksimumka fugsi l L juga memaksimumka 2 L da memiliki beuk sebagai f x ; (7) L. Kemudia beuk L l L. Modifikasi ii dapa dilakuka karea ilai yag L. Beuk Persamaa (7) mejadi l L l f x ; l f x ; (8) l L disebu sebagai fugsi log-likelihood. Solusi dari dapa diperoleh dega meyelesaika persamaa, Persamaa ii disebu fugsi sore Nilai ii aka memaksimumka S l L 0 S, Nilai yag diperoleh merupaka solusi dari S 0. l L da disebu sebagai aksira maksimum likelihood dari, dioasika dega ˆ. Jika lagkah megesimasi parameer megguaka meode MLE meghasilka persamaa yag idak losed form, maka uuk meyelesaika persamaa ersebu diguaka meode Newo- Raphso. Meode Newo-Raphso adalah salah sau meode uuk meari akar peyelesaia dari f x 0 melalui perhiuga yag ieraif. Rumus umum yag diguaka pada meode Newo- Raphso sebagai beriku: dega: ˆk H S, k,2,. (0) ˆ ˆ. k k k k : esimasi parameer pada ierasi ke- k ˆk k : esimasi parameer pada ierasi ke H : mariks urua kedua fugsi likelihood aau disebu dega mariks Hessia k S : mariks urua perama dari fugsi likelihood da disebu dega fugsi sore. (9)

82 S. Faimah, N. Sayahadewi, S. Marha ANUITAS JIWA AWAL SEUMUR HIDUP MENGGUNAKAN DISTRIBUSI GOMPERTZ Disribusi Gomperz perama kali diperkealka oleh maemaikawa Iggris Bejami Gomperz [2]. Disribusi Gomperz adalah disribusi yag dapa diguaka uuk meeuka peluag hidup da mai seseorag, sera memberika pedekaa ilai pada auias jiwa awal seumur hidup. Beriku ii adalah fugsi kepadaa peluag dari disribusi Gomperz yaiu: B x x l f x B e 0 x () dega B 0,, x 0 parameer B mewakili igka kemaia seara umum da merupaka perumbuha spesifik igka kemaia. Dari fugsi kepadaa peluag pada Persamaa (), dapa dieuka fugsi disribusi kumulaif dari disribusi Gomperz sebagai beriku: B x l F x e (2) Selajuya meeuka fugsi survival uuk seseorag yag berusia x ahu berdasarka disribusi Gomperz dega mesubiusika Persamaa (2) ke Persamaa (3), yaiu: B x l sx e (3) Kemudia dega mesubiusika Persamaa () da Persamaa (3) ke Persamaa (4), sehigga diperoleh perepaa moralia uuk seseorag yag berusia x ahu berdasarka disribusi Gomperz, yaiu: x X B (4) Dari perepaa moralia berdasarka disribusi Gomperz ii dapa dieuka bayakya seseorag yag berusia x ahu aka beraha hidup sampai ahu kemudia. Dega megguaka Persamaa (5) da (4), diperoleh x g (5) px Persamaa (5) merupaka peluag hidup seseorag yag berusia x ahu berdasarka disribusi B Gomperz, dega g. l Nilai auias jiwa awal seumur hidup merupaka ilai auias yag dipegaruhi oleh fakor disko da peluag hidup seseorag yag berusia x ahu yag diyaaka dalam sau polis asurasi jiwa. Dega mesubsiusika Persamaa (5) ke Persamaa (6), maka diperoleh ilai auias jiwa awal seumur hidup uuk seseorag yag berusia x ahu berdasarka disribusi Gomperz sebagai beriku: x ax v g (6) G 0 Di dalam disribusi Gomperz ada dua parameer yag harus diesimasi, yaiu B da. Parameerparameer ersebu diesimasi meguaka meode MLE. Dikeahui fugsi kepadaa peluag dari disribusi Gomperz seperi pada Persamaa () diguaka uuk membeuk persamaa likelihood yaiu: B x i l xi L B, B e (7) Dega megguaka Persamaa (7), parameer B da diari dega memaksimumka fugsi likelihood L( B, ). Selajuya, fugsi L( B, ) dimodifikasi ke dalam beuk l( L( B, )). Dega i memaksimumka l( L( B, )) aka megakibaka L( B, ) mejadi maksimum. Sehigga Persamaa (7) mejadi sebagai beriku:

Peeua Nilai Auias Jiwa Seumur Hidup Megguaka Disribusi Gomperz 83 B x x i l i i l LB, l B e l B x l l e B x i l i i i B x i l i Fugsi l( L( B, )) disebu juga fugsi log-likelihood. Uuk memperoleh aksira parameer B da B xi l l i (8), fugsi log-likelihood aka diuruka sekali erhadap iap parameer yag aka diesimasi. Hasil esimasi dapa diperoleh dega meyelesaika persamaa-persamaa beriku: l L B, l L B, 0 Diperoleh hasil urua perama dari Persamaa (9) da (20), sebagai beriku: B 0 l L B, B B l l L B, B x B i xi x 2 i i l i l i Berdasarka Persamaa (9) erliha bahwa parameer-parameer dari Persamaa (9) masih salig bergaug, sehigga suli uuk medapaka solusi. Hal yag sama juga dijumpai uuk hasil urua pada Persamaa (20). Dega demikia uuk memperoleh ilai esimasi B da diguaka meode Newo-Raphso. Jika dipilih ilai awal uuk B da yaiu B da 0 0 da ilai parameer berada pada kisara 6 4 0 B 0 da,0,2 maka i B0 0, 00000 0,0 Nilai B da dihiug seara seara ieraif, dega rumus 2 2 L L L B 2 k Bk B B B 2 2 k k L L L 2 B Uuk ierasi perama diperoleh ilai B da yaiu xi, k 0,,2,,. B 0,0000022,09 Proses ii aka erus diulag higga memeuhi ilai olerasi yag dikehedaki, B B da k k k k xi (9) (20)

84 S. Faimah, N. Sayahadewi, S. Marha Dega megguaka sofware R diperoleh hasil dari proses esimasi uuk parameer disribusi Gomperz yaiu B 0,0000006808 da,8 dega ilai parameer berada pada kisara 6 4 0 B 0 da,0,2. APLIKASI NUMERIK Pada bagia ii diberika beberapa ooh permasalaha sesuai dega rumusa masalah dalam peeliia ii. Proses perhiuga megguaka program Mirosof Exel da Tabel Moralia Idoesia 20 yag waia. Pada ooh kasus ii diberika perhiuga ilai auias jiwa seumur hidup pembayara sekali dalam seahu. Kemudia dilajuka dega peeua ilai auias jiwa seumur hidup berdasarka disribusi Gomperz. Peeua ilai auias yag diberika berdasarka usia yag berbeda da igka suku buga yag berbeda. Cooh kasus perama, seorag waia yag berusia 30 ahu megikui program asurasi jiwa seumur hidup dega igka suku buga yag diberika oleh perusahaa asurasi kepada pesera asurasi adalah 7,5%. Besar pembayara premi yag dilakuka iap ahu oleh pesera asurasi yaki sebesar Rp 3.000.000. Teuka ilai auias jiwa awal seumur hidup dega pembayara premi yag dilakuka sekali dalam seahu berdasarka disribusi Gomperz. Lagkah perama dalam perhiuga ilai auias jiwa awal seumur hidup dega pembayara ahua adalah meeuka fakor disko v, yaiu: v i 0,075 0,93023 Kemudia dapa dieuka ilai auias jiwa awal seumur hidup dega pembayara premi sekali dalam seahu adalah N30 a30 K D 30 54373,99029 27,54923 3,69590 Jika pembayara premi sebesar Rp 3.000.000 maka ilai auias jiwa awal seumur hidup dega pembayara premi sekali dalam seahu diperoleh Pa30 Rp. 3.000.000,- 3,69590 Rp. 40.394. 98, - Selajuya dieuka ilai auias jiwa awal seumur hidup uuk pembayara ahua berdasarka disribusi Gomperz. Hasil esimasi parameer-parameer pada disribusi Gomperz megguaka meode MLE berdasarka TMI 20 yag waia diperoleh B 0,0000006808 da,8 dega 6 4 ilai parameer berada pada kisara 0 B 0 da,0,2. Sehigga diperoleh ilai auias jiwa awal seumur hidup berdasarka disribusi Gomperz diperoleh: a 30G 0 v g x 30 0 30 30 2 30 8 0 2 8 v g v g v g... v g 0,93023 0,99998... 0,00286 0, 23366 0,9302... 0,00066 4, 203 Seara legkap perhiuga ilai auias jiwa awal seumur hidup berdasarka disribusi Gomperz dega pembayara ahua uuk usia 30 ahu dilampirka pada Tabel di bawah ii:

Peeua Nilai Auias Jiwa Seumur Hidup Megguaka Disribusi Gomperz 85 Tabel Nilai Auias Awal Seumur Hidup dega Pembayara Premi Tahua Berdasarka Disribusi Gomperz uuk Usia 30 Tahu Sebesar Rp.,- x v g x vg 0,00000,00000,00000 0,93023 0,99998 0,9302 2 0,86533 0,99996 0,86529 3 0,80495 0,99993 0,80490 4 0,74879 0,99990 0,74872 8 0,00286 0,23366 0,00067 Jumlah 4,203 Jika pembayara premi sebesar Rp 3.000.000 maka ilai auias jiwa awal seumur hidup berdasarka disribusi Gomperz dega pembayara premi sekali dalam seahu diperoleh Pa30 Rp. 3.000.000,- 4,203 Rp. 42.630.394,- Seara aalog, perhiuga ilai auias jiwa awal seumur hidup uuk usia yag berbeda berdasarka disribusi Gomperz disajika dalam Tabel 2 beriku: Tabel 2 Nilai Auias Awal Seumur Hidup dega Tigka Buga 7,5% da Pembayara Premi Tahua Sebesar Rp. 3.000.000,- Berdasarka Disribusi Gomperz x a x G 30 Rp. 42.630.394,- 35 Rp. 42.476.355,- 40 Rp. 42.259.857,- 45 Rp. 4.957.09,- 50 Rp. 4.536.308,- 55 Rp. 40.956.046,- 60 Rp. 40.63.626,- 65 Rp. 39.094.623,- 70 Rp. 37.674.378,- Tabel 2 meujukka bahwa, jika pada usia yag berbeda dega igka suku buga yag sama, maka semaki ua usia seseorag ilai auias aka semaki keil. Pada perhiuga selajuya, aka dieuka ilai auias berdasarka igka suku buga yag berbeda. Tigka suku buga yag diguaka berdasarka BI Rae dari aggal 2 Sepember 203 sampai dega 7 November 205 yaiu 7,25%, 7,50% da 7,75%. Seara legkap perhiuga ilai auias uuk seiap masig-masig usia disajika dalam Tabel 3 beriku ii: Tabel 3 Nilai Auias Awal Seumur Hidup dega dega Pembayara Premi Tahua Sebesar Rp. 3.000.000,- dega Tigka Buga yag Berbeda Berdasarka Disribusi Gomperz x i = 7,25% i = 7,50% i = 7,75% 30 Rp. 43.945.274,- Rp. 42.630.394,- Rp. 4.393.69,- 35 Rp. 43.770.7,- Rp. 42.476.355,- Rp. 4.257.876,- 40 Rp. 43.526.329,- Rp. 42.259.857,- Rp. 4.065.258,- 45 Rp. 43.88.633,- Rp. 4.957.09,- Rp. 40.793.356,- 50 Rp. 42.723.644,- Rp. 4.536.308,- Rp. 40.42.04,- 55 Rp. 42.088.76,- Rp. 40.956.046,- Rp. 39.88.468,- 60 Rp. 4.227.97,- Rp. 40.63.626,- Rp. 39.50.7,- 65 Rp. 40.077.46,- Rp. 39.094.623,- Rp. 38.56.702,- 70 Rp. 38.560.635,- Rp. 37.674.378,- Rp. 36.825.528,-

86 S. Faimah, N. Sayahadewi, S. Marha Tabel 3 meujukka ilai auias dega pembayara premi yag dilakuka sekali dalam seahu sebesar Rp. 3.000.000,-. Nilai auias yag diberika adalah uuk usia yag sama dega igka suku buga yag berbeda, sehigga dari Tabel 3 diperoleh semaki besar igka suku buga ilai auiasya semaki keil da semaki ua usia seseorag maka ilai auiasya juga semaki keil. SIMPULAN Peeua ilai auias jiwa awal seumur hidup megguaka disribusi Gomperz dipegaruhi oleh parameer-parameer pada disribusi Gomperz, fakor disko da usia seseorag. Nilai auias dega disribusi Gomperz memberika pedekaa peilaia pada auias jiwa awal seumur hidup seara umum. Pada auias jiwa awal seumur hidup dega disribusi Gomperz memberika peilaia bahwa semaki ua usia seseorag, maka ilai auiasya aka semaki keil. Selai iu, semaki iggi igka suku buga yag diguaka maka ilai auias aka semaki keil. DAFTAR PUSTAKA []. Fuami, T. Maemaika Asurasi Jiwa, Bagia. Terj. dari Seimei Hoke Sugaku, Joka ( 92 Revisio) oleh Herliyao G. Peerbi Iorporaed Foudaio Orieal Life Isurae Culural Developme Ceer. Japa;993. [2]. Bowers N.L, Geerber H.U, Hikma J.C, Joes D.A da Nesbi C.J. Auarial Mahemais. Soiey of Auaries. Shaumhurg;986. [3]. Dikso D.C.M, Hardy M.R da Waers H.R. Auarial Mahemais for Life Coige Risks. Cambridge Uiversiy Pres. New York;2009. [4]. Sembirig R.K. Buku Maeri Pokok Asurasi. Modul ke -5, Karuika. Uiversias Terbuka. Jakara;986. [5]. Myug, J.I. Tuorial o Maximum Likelihood Esimaio. Joural of Mahemaial Psyology, Ohio Sae Uiversiy, USA. SITI FATIMAH NEVA SATYAHADEWI SHANTIKA MARTHA : FMIPA Ua Poiaak, Ui.fama@gmail.om : FMIPA Ua Poiaak, eva.saya@mah.ua.a.id : FMIPA Ua Poiaak, shaika.marha@gmail.om