BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma atural yag kira-kira sama dega Gambar.1 Fugsi Ekspoesial Fugsi ekspoesial (merah) terlihat hampir medatar horizotal (aik secara sagat perlaha) utuk ilai x yag egatif, da aik secara cepat utuk ilai x yag positif. Sebagai fugsi variabel bilaga real x, grafik e x selalu positif (berada di atas sumbu x) da ilaiya bertambah (dilihat dari kiri ke kaa). Grafikya tidak meyetuh sumbu x, amu medekati sumbu tersebut secara asimptotik. Ivers Uiversitas Sumatera Utara

2 positif. dari fugsi ii, logaritma atural, atau l(x), didefiisika utuk ilai x yag.1.1 Distribusi Ekspoesial Bivariat Distribusi Ekspoesial pertama kali diperkealka oleh Gupta da Kudu pada tahu Distribusi ii diambil dari salah satu fugsi kepadata kumulatif yag diguaka pada pertegaha abad 19 (Gompertz-Verhulst) utuk membadigka tabel kematia da meghasilka laju pertumbuha peduduk, yag didefiisika sebagai berikut: G( t) (1 t e ) (.1) Kemudia dega mestadarisasika ρ = 1 da x = t, diperoleh distribusi ekpoesial satu variabel (Uivariate Expoetial Distributio) dega fugsi kepadata kumulatif da x > 0, adalah sebagai berikut: F GE (.) ( x; x, ) (1 e ) dari turua fugsi kepadata kumulatif di atas, juga didapat fugsi kepadata peluagya (fkp) adalah sebagai berikut: F (.3) Keteraga: x GE ( x;, ) e = peubah acak = parameter betuk = parameter skala e =, x (1 e x ) 1 Uiversitas Sumatera Utara

3 Utuk α > 0 da λ > 0 masig masig adalah parameter betuk da parameter skala. Ii jelas utuk α = 1, merupaka distribusi ekspoesial. Pada kajia parameter α, da λ = 1, sehigga distribusi ekspoesial tergeeralisir dega parameter betuk di otasika dega GE(α). Jika terdapat dua peubah acak (X 1, X ) yag berdistribusi ekspoesial tergeeralisir dega asumsi salig bebas, maka distribusi ekspoesial tergeeralisir dua variabel (fugsi kepadata peluag gabuga dari (X 1, X )), utuk x 1 > 0, x > 0 adalah: F x 1, x x1 11 x 1 x1 x ) (1 e ) (1 e e (.4) ( 1 ). Estimasi Meaksir ciri-ciri tertetu dari populasi atau memperkiraka ilai populasi (parameter) dega memakai ilai sampel (statistik) diistilahka dega Estimasi. Dega statistika, peeliti berusaha meyimpulka populasi. Dalam keyataaya, memgigat berbagai faktor utuk keperlua tersebut diambil sebuah sampel yag represetatif da berdasarka hasil aalisis terhadap data sampel kesimpula megeai populasi dibuat. Cara pegambila kesimpula tetag parameter berhubuga dega cara-cara meaksir harga parameter. Jadi, harga parameter sebearya yag tidak diketahui aka diestimasi berdasarka statistik sampel yag diambil dari populasi yag bersagkuta. Sifat atau ciri estimator yag baik atau tidak bias, efisie da kosiste: 1. Estimator yag tidak bias Uiversitas Sumatera Utara

4 Estimator dikataka tidak bias apabila ia dapat meghasilka estimasi yag maegadug ilai parameter yag diestimasika.. Estimator yag efisie Estimator dikataka efisie apabila haya dega retag ilai estimasi yag kecil saja sudah cukup megadug ilai parameter. 3. Estimator yag kosiste Estimator dikataka kosiste apabila sampel yag diambil berapapu besarya, pada retagya tetap megadugilai parameter yag sedag diestimasi. Estimasi ilai parameter memiliki dua cara, yaitu estimasi titik (poit estimatio) da estimasi selag (iterval estimatio). a. Estimasi titik (poit estimatio) Estimasi titik adalah estimasi dega meyebut satu ilai atau utuk meestimasi ilai parameter. b. Estimati iterval (iterval estimatio) Estimasi iterval dega meyebut daerah pembatasa dimaa peeliti meetuka batas miimum da maksimum suatu estimator. Metode ii memuat iali-ilai estimator yag masih diaggap bear dalam tigkat kepercayaa tertetu (cofidece iterval)..3 Metode Maksimum Likelihood Salah satu metode yag dapat diguaka dalam megestimasi parameter pada distribusi ekspoesial adalah Maximum Estimatio Likelihood (MLE). Ide dasar dari metode maksimum likelihood adalah mecari ilai parameter yag memberi kemugkia (likelihood) yag palig besar utuk medapatka data yag terobservasi sebagai estimator. Fugsi desitas bersama Uiversitas Sumatera Utara

5 f(x 1,,x ; ) dari variabel-variabel acak X 1, X,, X diamaka fugsi likelihood. Utuk x 1,,x yag tetap fugsi likelihood merupaka fugsi dari da aka diotasika dega L( ), yaki L( )= f(x 1,,x ; ). Jika X 1, X,, X adalah sampel acak dari f(x,) maka: L( ) f (, ) (.5) i1 x i Misalka L( )= f(x 1,,x ; ),, merupaka fugsi desitas bersama dari variabel-variabel acak X 1, X,, X. Estimator maksimum likelihood (Maximum Likelihood Estimator / MLE) utuk, diotasika dega ˆ adalah ilai yag memaksimumka fugsi likelihood L( ). Jika merupaka iterval terbuka da jika L() terdiferesialka da mecapai ilai maksimum pada, maka MLE ˆ merupaka peyelesaia dari persamaa maksimum likelihood berikut: d ( ) 0 d L atau secara ekuivale ˆ merupaka peyelesaia dari persamaa maksimum likelihood berikut: d l L( ) 0 d (.6) Persamaa (.6) lebih serig diguaka karea lebih mudah utuk mecari estimator maksimum likelihood ˆ. Misalka X 1, X,, X, merupaka sampel acak dari distribusi Poisso, X~POI( ) dega fugsi desitas sebagai berikut: Uiversitas Sumatera Utara

6 x e f ( x; ), x 0,1,,... (.7) x! fugsi likelihoodya dapat dituliska sebagai berikut: xi i 1 e L( ) f ( x, ) (.8) i i1 xi! i1 Dari persamaa (.8), aka meghasilka fugsi log likelihood sebagai berikut : l L( ) i1 xi l l i1 xi! Dalam peghituga dega megguaka maksimum likelihood, terdapat kasus dimaa estimator maksimum likelihood ada tetapi tidak dapat diperoleh dega meyelesaika persamaa likelihood. Sebagai cotoh, misalka X 1, X,, X, merupaka sampel acak dari distribusi ekspoesial dega dua parameter, X~EXP(1, ) dega fugsi desitas sebagai berikut: f 0, x x; ) (.9) ( x e, x ( ) Dari persamaa (.9), diperoleh fugsi likelihood sebagai berikut: L( ) exp ( x i ), utuk x 1: (.10) i1 da L() = 0 utuk kasus selaiya. Di sii jelas bahwa MLE utuk adalah ˆ. X 1: Uiversitas Sumatera Utara

7 Misalka X berdistribusi ormal dega rata-rata tidak diketahui da varia diketahui. Fugsi likelihood sebuah sampel yag besarya adalah: L x e i i1 Dega demikia diperoleh da L 1 / 1 i 1 i e / 1/ x 1 x i i1 dl d 1 x i i1 Persamaa terakhir ii sama dega ol da peyelesaiaya utuk meghasilka: ˆ i 1 X X i Uiversitas Sumatera Utara