ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA SKRIPSI.

Transkripsi

1 ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA SKRIPSI Diajuka Kepada Fakulas Maemaika Da Ilmu Pegeahua Alam Uiversias Negeri Yogyakara Sebagai Salah Sau Persyaraa Gua Memperoleh Gelar Sarjaa Sais Halama judul Oleh Okky Rosiarii NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 17 i

2 ii

3 iii

4

5 MOTTO Da Tuhamu berfirma, Berdo alah kepada-ku, iscaya aka Kuperkeaka bagimu. (QS. Al Mu mi:6) Barag siapa keluar uuk mecari ilmu maka dia berada di jala Allah (HR. Turmudzi) Bila kau ak aha lelahya belajar, maka kau harus aha perihya meaggug kebodoha. (Imam Ayafi i) Bayak kegagala dalam hidup ii dikareaka orag-orag idak meyadari beapa dekaya mereka dega keberhasila saa mereka meyerah. (Thomas Alva Ediso) v

6 PERSEMBAHAN Karya sederhaa ii saya persembahka uuk : Kedua orag ua saya, Bapak Rosadi da Ibu Darii yag seaiasa memberika doa da kasih sayag sera dukugaya yag iada hei. Adikku Phiesca Verdia Rizki yag ersayag yag meambah kebahagiaa dalam keluarga. Semua guru, dose, da pedidik, erimakasih sudah memberika ilmuya kepada saya. Sahaba-sahaba erbaikku erkhusus Noi Cahayai Azazmi yag selalu meemaiku dalam susah maupu seag. Tema-ema Maemaika B 13 da ema-ema yag lai yag idak bisa saya sebuka sau per sau, erimakasih aas kebersamaaya selama ii. vi

7 ANALISIS NUMERIK MODEL EPIDEMIK SIR (SUSCEPTIBLE, INFECTIOUS, RECOVERED) PADA PENYEBARAN PENYAKIT TUBERCULOSIS DI YOGYAKARTA Oleh: Okky Rosiarii NIM ABSTRAK Peyaki Tuberculosis adalah salah sau peyaki meular yag disebabka oleh bakeri Mycobacerium Tuberculosis. Peeliia ii berujua uuk megeahui model maemaika peyebara peyaki Tuberculosis, megeahui iik ekuilibrium, bilaga reproduksi, kesabila iik ekuilibrium, da hasil simulasi umerik peyebara peyaki Tuberculosis khususya di Koa Yogyakara pada ahu 14. Tahapa yag dilakuka uuk megaalisis model peyebara peyaki Tuberculosis adalah dega membeuk model maemaika SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered), kemudia meeuka iik ekuilibrium, meeuka bilaga reproduksi dasar, da megaalisa kesabila disekiar iik ekuilibrium, sera megaalisis umerik dega melakuka simulasi megguaka Sofware Maple 15. Model SIR pada peyebara peyaki Tuberclosis merupaka model yag berbeuk sisem persamaa diferesial oliear. Hasil aalisis dari model SIR ersebu diperoleh dua iik ekuilibrium, yaiu iik ekuilibrium bebas peyaki da edemik. Tiik ekuilibrium bebas peyaki sabil asimoik loka jika bilaga reproduksi dasar kurag dari sau da sebalikya iik ekilibrium bebas peyaki idak sabil jika bilaga reproduksi dasar lebih dari sau. Selajuya, berdasarka simulasi yag dibeuk dari model SIR dega ilai awal da parameer yag diberika diperoleh peyaki Tuberculosis semaki besar laju koak aau laju peulara maka peyaki aka semaki meyebar da semaki kecil laju kesembuha maka peyaki juga aka semaki meyebar. Kaa kuci : model SIR, Tuberculosis, kesabila, iik ekuilibrium, Maple 15 vii

8 Asslamu alaikum wr wb, KATA PENGANTAR Alhamdulillah, puji syukur peulis pajaka kepada Allah SWT yag elah memberika rahma, hidayah, sera ikma karuia, da ridha-nya sehigga peulis dapa meyelesaika peulisa Skripsi yag berjudul Aalisis Numerik Model Epidemik SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered) pada Peyebara Peyaki Tuberculosis di Yogyakara. Tugas akhir ii dibua sebagai salah sau syara uuk memperoleh gelar Sarjaa Sais (S.Si). Peulis meyadari bahwa apa baua dari berbagai pihak peulisa ugas akhir ii idak dapa erselesaika dega baik. Pada kesempaa ii, peulis megucapka erima kasih kepada semua pihak yag elah membau da memberika dukuga kepada peulis, yaiu: 1. Bapak Dr. Haroo selaku Deka Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam Uiversias Negeri Yogyakara. Bapak Dr. Ali Mahmudi, M.Pd selaku Keua Jurusa Pedidika Maemaika FMIPA Uiversias Negeri Yogyakara yag elah memberika kelacara dalam akademik. 3. Bapak Dr. Agus Mama Abadi, M.Si selaku Keua Program Sudi Maemaika FMIPA Uiversias Negeri Yogyakara 4. Ibu Dwi Lesari, M.Sc da Ibu Husa Arifah, M.Sc selaku dose pembimbig skripsi yag elah memberika pegaraha, sara, viii

9 bimbiga, da masukka sehigga peulis dapa meyelesaika ugas akhir ii. 5. Ibu Nikeasih Biaari, M.Si selaku dose pembimbig akademik yag elah memberika bimbiga selama perkuliaha. 6. Bapak da ibu dose Jurusa Pedidika Maemaika yag elah memberika ilmu kepada peulis secara lagsug maupu idak lagsug. 7. Bapak, ibu, da keluarga yag idak perah lelah memberika dukuga, asiha, bimbiga, sera doa kepada peulis. 8. Tema-ema, sahaba-sahaba, sera semua pihak yag idak dapa saya sebuka sau per sau yag elah memberika dukuga da membau secara lagsug maupu idak lagsug dalam kelacara peulisa ugas akhir ii. Peulis meyadari bahwa peyusua ugas akhir ii masih jauh dari sempura sehigga masih bayak kekuraga. Oleh karea iu, kriik da sara saga diharapka uuk membagu ugas akhir ii supaya mejadi lebih baik. Akhir kaa, semoga ugas akhir ii dapa bermafaa idak haya bagi peulis eapi juga bagi pembaca. Wassalamu alaikum wr wb. Yogyakara, 8 April 17 Peulis Okky Rosiarii NIM ix

10 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i LEMBAR PERSETUJUAN... ii PERNYATAAN... ii PENGESAHAN... iv MOTTO... v PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK... vii KATA PENGANTAR... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR TABEL... xii DAFTAR GAMBAR... xiii DAFTAR LAMPIRAN... xiv DAFTAR SIMBOL... xv BAB I PENDAHULUAN... 1 A.Laar Belakag... 1 B.Ideifikasi Masalah... 4 C.Pembaasa Masalah... 4 D.Rumusa Masalah... 4 E.Tujua Peeliia... 5 F.Mafaa Peeliia... 6 BAB II LANDASAN TEORI... 7 A.Model Maemaika... 7 B.Persamaa Diferesial... 9 C.Sisem Persama Diferesial Sisem Persamaa Diferesia Liear Sisem Persamaa Diferesial Noliear D.Tiik Ekuilibrium E.Liearisasi F.Bilaga Reproduksi Dasar R... 3 G.Nilai Eige... 6 H.Kesabila Tiik Ekuilibrium... 8 I.Krieria Rouh-Hurwiz x

11 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN A.Permasalaha Nyaa Peyebara Peyaki Tuberculosis B.Model Maemaika Peyebara Peyaki Tuberculosis... 4 C.Aalisis Model Peyebara Peyaki Tuberculosis Tiik Ekuilibrium Bilaga Reproduksi Dasar R Aalisis Kesabila... 5 D.Aalisis Numerik Model SIR pada Peyebara Peyaki Tuberculosis Simulai R Simulasi R BAB IV PENUTUP A.Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi

12 DAFTAR TABEL Tabel 3.1. Variabel da parameer yag diguaka dalam model... 4 xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar.1. Proses Pemodela Maemaika... 8 Gambar.. Simulasi Kesabila Tiik Ekuilibrium... 9 Gambar 3.1. Diagram Alir Model Maemaika Tuberculosis... 4 Gambar 3.. Grafik Simulasi uuk R, Gambar 3.3. Grafik Simulasi uuk R 3, Gambar 3.4. Grafik Simulasi uuk R Gambar 3.5. Grafik Simulasi uuk R 3, xiii

14 DAFTAR LAMPIRAN Lampira 1. Program maple uuk gambar proyeksi pore fase solusi-solusi S,I,R erhadap dega R, Lampira. Program maple uuk gambar proyeksi pore fase solusi-solusi S,I,R erhadap dega R 3, Lampira 3. Program maple uuk gambar proyeksi pore fase solusi-solusi S,I,R erhadap dega R Lampira 4. Program maple uuk gambar proyeksi pore fase solusi-solusi S,I,R erhadap dega R 3, xiv

15 DAFTAR SIMBOL Simbol Defiisi N Jumlah populasi pada suau daerah pada saa. S () Bayakya idividu yag seha da rea ehadap peyaki Tuberculosis pada saa. (Suscepible) I () Bayakya idividu yag erifeksi da dapa meularka Tuberculosis kepada idividu lai. (Ifecious) R () Bayakya idividu yag sembuh seelah erifeksi Tuberculosis. (Recovered) Laju kelahira populasi. Laju kemaia alami. Laju kemaia yag disebabka oleh peyaki Tuberculosis. b c I x R Laju peulara peyaki Tuberculosis. Laju idividu sembuh seelah erifeksi Tuberculosis. Nilai eige Mariks ideias Turua x erhadap Bilaga reproduksi dasar ˆx Tiik ekuilibrium Himpua bilaga real dimesi e( i ) Bagia real ilai eige ke-i L Himpua erbuka xv

16 x Kodisi awal Df x Turua f di x Jf x Mariks jacobia di x E Himpua bagia aau sama dega Eleme/aggoa Tiik ekuilibrium bebas peyaki E 1 Tiik ekuilibrium edemik xvi

17 BAB I PENDAHULUAN A. Laar Belakag Kesehaa adalah suau hal yag saga peig dalam kehidupa karea jika seseorag megalami masalah kesehaa maka akivias seseorag ersebu aka ergaggu. Masalah kesehaa yag serig mejadi perhaia masyaraka adalah peyaki meular karea masyaraka harus waspada erhadap peyaki ersebu. Peyaki yag meular secara erus meerus melalui idividu yag erifeksi ke idividu yag seha merupaka suau masalah yag saga diperhaika oleh egara maupu duia. Peulara peyaki bisa erjadi melalui ieraksi di dalam raai ifeksi baik secara lagsug maupu idak lagsug. Salah sau cooh peyaki meular adalah peyaki Tuberculosis. Peyaki Tuberculosis (TB) adalah salah sau peyaki meular yag disebabka oleh bakeri Mycobacerium Tuberculosis. Sebagia besar bakeri ersebu meyerag paru-paru, aka eapi dapa juga meyerag orga ubuh laiya. Peyaki ii ergolog sebagai salah sau peyaki yag meyebabka kemaia. Meuru Kemeria Kesehaa Republik Idoesia ahu 11, seperiga dari populasi duia sudah erular dega TB dimaa sebagia besar pederia TB adalah usia produkif (15-55 ahu). Peulara peyaki Tuberculosis palig bayak da palig mudah melalui udara, oleh karea iu orga yag perama kali diserag adalah orga perapasa. Peyaki ii meyebabka proses difusi oksige mejadi ergaggu karea adaya 1

18 biik-biik kecil pada didig alveolus. Adapu gelaja pederia Tuberculosis diaaraya bauk-bauk, saki dada, afas pedek, hilag afsu maka, demam, kedigia, bera bada uru, da kelelaha. (Slame Suyoo, 1). Salah sau pedekaa uuk mejelaska solusi pada peyebara peyaki Tuberculosis yaiu dega cara pembuaa model maemaika. Lagkah perama yag diguaka dalam pembuaa model maemaika adalah dega meyaaka masalah duia yaa ke dalam pegeria maemaika. Model maemaika yag dibua kemudia aka disimulasika yag aiya diharapka dapa membau uuk mecari solusi bagaimaa megaasi peyebara peyaki Tuberculosis. (Widowai da Suimi, 7). Model maemaika yag diguaka uuk memodelka peyebara peyaki Tuberculosis erdapa beberapa model, salah sauya adalah model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered). Pada model ii, populasi dibagi mejadi 3 bagia, yaiu idividu yag seha eapi rea erhadap peyaki Tuberculosis yag disebu Suscepible, idividu yag erifeksi da dapa meularka peyaki Tuberculosis disebu Ifecious, idividu yag elah sembuh erhadap peyaki Tuberculosis. Secara garis besar, model epidemik SIR meggambarka alur peyebara peyaki dari kelompok idividu Suscepible mejadi Ifecious melalui koak lagsug aaupu melalui peraara. Kemudia kelompok idividu Ifecious yag mampu beraha erhadap peyaki aka sembuh da mejadi idividu Recovered. (Ilmiyai da Hegki, 14). Fredlia, K. Queea Fredlia, dkk (1) membua sebuah arikel yag berjudul Aalisa Numerik Model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered) pada

19 Peyebara Peyaki Tuberculosis yag megalisis model maemaika melipui iik kesabila, ilai eige, da bilaga reproduksi dasar R yag kemudia dilakuka simulasi aalisis umerikya uuk meguji parameer-parameer yag elah dibua yag berujua uuk megeahui kapa peyaki aka mejadi edemik. Sedagka M. Rifki Taufik, dkk (15) membahas megguaka model VEIT (Vacciaed, Exposed, Ifeced, Threaed). Peeliia ersebu membahas peyaki Tuberculosis. Pada peulisa skripsi ii aka membahas eag model maemaika SIR uuk peyebara peyaki Tuberculosis. Pada peulisa Fredlia, K. Queea Fredlia, dkk (1) daa yag dipakai haya diasumsika saja da meode Ruge-Kua orde 4. Dalam peulisa ii model SIR uuk peyebara peyaki Tuberculosis aka diguaka uuk simulasi aalisis umerik pada pederia Tuberculosis di wilayah Yogyakara da megaalisis kesabila megguaka krieria Rouh-Hurwiz sera mesimulasika dega megguaka Sofware Maple 15. Simulasi aalisis umerik pada peulisa ii berfokus di wilayah Daerah Isimewa Yogyakara (DIY) karea pada wilayah ersebu masih bayak idividu yag erserag peyaki Tuberculosis. Pada ahu 14, meuru profil kesehaa ahu 15 di koa Yogyakara erdapa peemua kasus pederia Tuberculosis sebayak 491 jiwa. Jumlah peduduk koa Yogyakara pada saa iu sebayak jiwa dega.96 jiwa peduduk laki-laki da jiwa peduduk perempua. Sehigga persease pederia peyaki Tuberculosis di Yogyakara pada ahu 14 adalah,1184%. Simulasi aalisis umerik ersebu yag 3

20 kemudia aka diujukka grafik simulasiya dega megguaka Sofware Maple. Megguaka hasil aalisis umerik ersebu diharapka dapa dikeahui cara megaasi peyaki Tuberculosis.. B. Ideifikasi Masalah 1. Peyaki Tuberculosis masih bayak diemuka eruama di wilayah Yogyakara.. Upaya keberhasila pegobaa peyaki Tuberculosis di Koa Yogyakara masih dibawah arge asioal. 3. Masih erdapa kemaia akiba peyaki Tuberculosis. 4. Peyaki Tuberculosis bersifa edemik pada populasi. 5. Belum maksimalya pera maemaika dalam membau peyelesaia peyebara peyaki Tuberculosis di Yogyakara. C. Pembaasa Masalah Skripsi ii membahas eag peyebara peyaki Tuberculosis megguaka model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered). Selajuya, model ersebu aka disimulasika aalisis umerikya berdasarka daa jumlah pederia Tuberculosis di wilayah Daerah Isimewa Yogyakara (DIY) dega megguaka Sofware Maple 15. D. Rumusa Masalah Berdasarka laar belakag ersebu maka permasalaha dalam peeliia ii dirumuska sebagai beriku : 1. Bagaimaa model maemaika uuk peyebara peyaki Tuberculosis dega model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered)? 4

21 . Bagaimaa aalisis iik ekuilibrium model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis? 3. Bagaimaa aalisis bilaga reproduksi dasar R model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis? 4. Bagaimaa aalisis kesabila model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis? 5. Bagaimaa simulasi umerik pada peyebara peyaki Tuberculosis di wilayah Daerah Isimewa Yogyakara (DIY)? E. Tujua Peeliia Berdasarka permasalaha ersebu, maka ujua dari peulisa ii adalah sebagai beriku : 1. Megeahui model maemaika uuk peyebara peyaki Tuberculosis dega model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered).. Megeahui aalisis iik ekuilibrium model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis. 3. Megeahui aalisis bilaga reproduksi dasar R model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis. 4. Megeahui aalisis kesabila model SIR pada peyebara peyaki Tuberculosis. 5. Megeahui simulasi umerik pada peyebara peyaki Tuberculosis di wilayah Daerah Isimewa Yogyakara (DIY). 5

22 F. Mafaa Peeliia Mafaa yag dapa diperoleh dari peulisa ii adalah : 1. Meambah pegeahua eag model maemaika peyebara peyaki Tuberculosis dega model SIR (Suscepible, Ifecious, Recovered).. Dapa mejadi referesi baru dalam pegembaga ilmu maemaika di bidag pemodela peyaki meular. 3. Memberika iformasi megeai peulara peyaki Tuberculosis secara umerik. 6

23 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diuraika beberapa eori-eori yag diguaka sebagai ladasa eori dalam pembahasa ugas akhir skripsi ii. Teori-eori yag diguaka berupa defiisi-defiisi sera eorema-eorema yaiu sebagai beriku: A. Model Maemaika Model maemaika adalah represeasi da pejelasa megeai permasalaha dalam duia yaa ke dalam peryaaa maemaik supaya didapaka suau solusi. Beberapa jeis-jeis model maemaika adalah sebagai beriku : (Widowai & Suimi, 7) a. Model Empiris Model empiris diperoleh dari hasil pegamaa. Gagasa uama pada pedekaa model empiris adalah mejelaska persamaa maemaika yag dapa meghasilka grafik uuk mecocokka daa. b. Model Simulasi Pada pedekaa model simulasi, program kompuer dapa diguaka dalam simulasi suau model maemaika seperi megguaka Sofware Maple, Malab, dll. c. Model Deermiisik da Sokasik Dalam model deermiisik, variabel radom diabaika. Model deermiisik melipui pegguaa persamaa aau himpua persamaa uuk mejelaska hubuga aara berbagai variabel suau sisem. Sedagka model sokasik adalah model maemaika dimaa gejala-gejala dapa diukur dega 7

24 kepasia yag idak sabil (ilaiya idak pasi). Pada model sokasik megadug disribusi peluag. Proses pemodela maemaika dapa diyaaka dalam diagram alur Gambar.1. beriku : (Widowai & Suimi, 7) Duia Nyaa Duia Maemaika Problem Duia Nyaa Problem Maemaika Membua Asumsi Formulasi Persamaa/ Peridaksamaa Solusi Duia Nyaa Ierpreasi Solusi Peyelesaia Persamaa/ Peridaksamaa Badigka Daa Gambar.1. Proses Pemodela Maemaika Pemodela maemaika dimulai dari adaya permasalaha pada duia yaa. Permasalaha pada duia yaa diharapka lagsug medapaka solusi pada duia yaa iu sediri, amu jika masih kesulia maka permasalaha ersebu dibawa ke permasalaha maemaika uuk kemudia dibua beberapa asumsi melipui ideifikasi variabel-variabel yag selajuya diguaka dalam 8

25 memformulasika persamaa/peridakasamaa. Asumsi yag diguaka dalam pembaasa masalah ii diguaka uuk mempelajari masalah ersebu secara sederhaa. (Cahyoo, Edi, 13). Keika model diformulasika maka lagkah berikuya adalah meyelesaika persamaa/peridaksamaa. Selajuya ierpreasi solusi, yaiu ahap seelah meyelesaiaka persamaa/peridaksamaa yag bisa diliha hasilya megguaka abel, grafik, da lai-lai. Hasil ierpreasi solusi kemudia bisa lagsug dibawa ke solusi permasalaha yaa, selai iu juga masih bisa dega membadigka daa. Misalya, pada waku membadigka, mugki erdapa perbedaa hasil da model dapa diperbaiki lagi dega membagu model dari awal. B. Persamaa Diferesial Defiisi.1. (Ross, 1984) Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibaka urua dari variabelvariabel ak bebas da erhadap variabel-variabel bebas. Berdasarka bayakya variabel bebas yag dilibaka, persamaa diferesial erbagi mejadi dua, yaiu persamaa diferesial biasa da persamaa diferesial parsial. Defiisi.. (Ross, 1984) Persamaa diferesial biasa adalah suau persamaa diferesial yag melibaka urua dari sau aau lebih variabel ak bebas erhadap sau variabel bebas. 9

26 Defiisi.3. (Ross, 1984) Persamaa diferesial parsial adalah suau persamaa diferesial yag melibaka urua dari sau aau lebih variabel ak bebas erhadap dua aau lebih variabel bebas Cooh.1 Cooh persamaa diferesial biasa d y dy xy dx dx (persamaa diferesial orde ) 4 d y d y 5 3x si (persamaa diferesial orde 4). 4 d d Cooh. Cooh persamaa diferesial parsial r r s r u u u x y z. Cooh.3 Cooh persamaa diferesial da solusiya dy x dx maka solusiya adalah dy x dx 1

27 dy x dx y x c. Berdasarka cooh dari persamaa diferesial, maka dapa dikeahui bahwa solusi persamaa diferesial adalah berupa fugsi yag memeuhi persamaa diferesial, yaiu jika fugsi ersebu disubsiusika pada persamaa diferesial maka aka meghasilka suau peryaaa yag bear aau erpeuhi. Persamaa Diferesial Liear Orde Defiisi.4. (Ross, 1984) Persamaa diferesial liear orde dega variabel ak bebas y da variabel bebas x dapa diuliska dalam beuk sebagai beriku: 1 d y d y dy a x a x a x a x y b x dx dx dx dega a da a ( x ) merupaka fugsi aas x uuk seiap i,1,,...,. Cooh.4 Persamaa diferesial orde i dx 1. x 3 (orde 1) d d x dx 5x 9 (orde 3) 3 d d 4 d x d x x 1 (orde 4). 4 d d 11

28 C. Sisem Persama Diferesial Sisem persamaa diferesial merupaka gabuga dari dua aau lebih persamaa diferesial. Dikeahui vekor x T, dega x x1, x, x3,..., x x, x, x,..., x. Jika oasi da 1 3 dx x uuk meyaaka urua x erhadap d, maka: T dx1 dx dx3 dx x,,,...,. d d d d sehigga dx1 d dx f1 x1, x, x3,..., x d f x1, x, x3,..., x dx 3 f3 x1, x, x3,..., x d f x1, x, x3,..., x dx d (.1) Pada Persamaa (.1) jika secara eksplisi memua variabel maka sisem ersebu disebu sebagai sisem o auoomous da sebalikya jika idak secara eksplisi memua variabel maka disebu sebagai sisem auoomous. Sisem auoomous dapa diyaaka dalam beuk: x f ( x), x. 1

29 Sisem persamaa diferesial dibagi mejadi, yaiu: 1. Sisem Persamaa Diferesial Liear Sisem persamaa diferesial liear orde sau dega variabel ak bebas x1, x, x3,..., x da variabel bebas diyaaka sebagai beriku: dx d 1 dx d dx d a x a x a x a x H a x a x a x a x H a x a x a x a x H (.) dx d a x a x a x a x H Jika i H dega i 1,,3,..., berilai ol, maka Sisem (.) disebu sisem persamaa diferesial liear homoge, sedagka jika ada Hi beilai akol, maka Sisem (.) disebu sisem persamaa diferesial ohomoge. Sisem Persamaa (.) dapa diyaaka dalam suau beuk persamaa sebagai beriku: x Ax H (.3) dega A adalah suau mariks x yag merupaka suau mariks koefisie dari variabel ak bebas x, dega a, i 1,,3,...,, j 1,,3,..., da ij 13

30 H adalah mariks ukura x 1 yag merupaka fugsi dari. Beriku Persamaa (.) yag diuliska dalam beuk mariks: dy d a11 a1 a1 x1 H1 a a a x H. a a a a x H (.4) Cooh.5 Diberika sisem persamaa diferesial liear sebagai beriku: dx x y d dy 3x6y d (.5) Sisem Persamaa (.5) merupaka persamaa diferesial liear homoge.. Sisem Persamaa Diferesial Noliear Defiisi.5. (Ross, 1984) Persamaa diferesial oliear adalah persamaa diferesial biasa yag idak liear. Persamaa diferesial dapa dikaaka sebagai persamaa diferesial oliear apabila memeuhi seidakya sau dari krieria beriku (Ross, 1984), i. Memua variabel ak bebas da urua-uruaya berpagka selai sau. ii. Terdapa perkalia dari variabel ak bebas da/aau urua-uruaya. iii. Terdapa fugsi rasedeal dari variabel ak bebas da urua-uruaya. 14

31 Cooh.6 Diberika sisem persamaa diferesial oliear sebagai beriku: dx d dx d 1 x x 1 1x (.6) Peyelesaia: dx d x 1 dx d x Iegralka kedua ruas, diperoleh 1 dx d x l x c1 c l x c x c e x ke. 1 dx x1(1 x) d 1 dx1 (1 x) d x 1 15

32 1 dx x 1 1 (1 ke ) d Iegralka kedua ruas, diperoleh 1 dx1 x 1 (1 ke ) d l x c ke c l x ke c ke c5 x e ke 1 k1e e x misalka k1 kk maka ke 1 kke e x x k x e x 1. Sehigga diperoleh peyelesaiaya adalah x ke x k x e x 1 Sisem Persamaa (.6) merupaka sisem persamaa diferesial oliear dega variabel bebas da variabel ak bebas x 1 da x. Sisem ersebu dikaaka sisem persamaa oliear karea erdapa perkalia aara variabel ak bebasya pada persamaa yag perama, kemudia pada persamaa yag kedua erdapa kuadra dari variabel ak bebasya. 16

33 Cooh.7 Persamaa diferesial yag memua variabel ak bebas da urua-uruaya berpagka selai sau: dy d 3 3x 4. Cooh.8 Persamaa diferesial yag memua perkalia dari variabel ak bebas da/aau urua-uruaya: dx 1 x1x x1 d 3. Cooh.9 Persamaa diferesial yag memua fugsi rasedeal daari variabel ak bebas da urua-uruaya: dy d x 3e 4. D. Tiik Ekuilibrium Defiisi.6. (Perko, 1) f xˆ. Tiik ˆx disebu iik ekuilibrium dari x f x jika 17

34 Cooh.1 Aka dieuka iik ekuilibrium dari Sisem Persamaa (.6). Misalka Sisem (.6) dapa diuliska dalam beuk x f x dega f x x x x. 1 x1 x Tiik ekuilibrium xˆ xˆ, xˆ dari Sisem (.6) dapa diperoleh jika 1 sehigga sisem ersebu mejadi f ˆx, xˆ xˆ xˆ 1 1 xˆ xˆ 1 xˆ da xˆ 1. 1 Uuk xˆ, maka xˆ xˆ 1 xˆ 1 sehigga diperoleh iik ekuilibrium, T. Uuk xˆ 1, maka 1 xˆ xˆ 1 1x ˆ xˆ 1 xˆ 1 sehigga diperoleh iik ekuilibrium 1,1 T. 18

35 Jadi Sisem (.6) mempuyai iik ekuilibrium, T da 1,1 T. E. Liearisasi Liearisasi merupaka suau proses uuk megubah sisem persamaa oliear mejadi sisem persamaa liear. Liearisasi dilakuka pada sisem persamaa oliear yag berujua uuk megeahui perilaku sisem disekiar iik ekuilibriumya. Adapu syara liearisari adalah bagia real akar karakerisikya idak ol. Diberika sisem persamaa oliear sebagai beriku: x=f x (.7) dega x L, f : L, fugsi oliear da koiu. Lieariasi dapa megguaka mariks Jacobia. Beriku adalah pejelasa megeai mariks Jacobia: Teorema.1. (Perko, 1) fi Jika f : erdiferesial di x maka diferesial parsial, i, j 1,,...,, x di x ada uuk semua f Df x x x x. x da j1 x j j j 19

36 Buki: f1 f1 f1 x x1 x x x x x 1 x x f f f x x x x x x f 1 x xj x 1 x x j1 x j f f f x x 1 x x x x x 1 x x f1 f1 f1 x x x x1 x x x1 f f f x x x x x1 x x x f f f x x x x1 x x Df x x. dega Df x disebu sebagai mariks Jacobia dari fugsi f : yag erdiferesial pada x da Df x dapa dioasika Jf x. Kemudia aka diujukka proses liearisasi dari suau sisem persamaa diferesial. Misalka ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ x x1 x x T adalah iik ekuilibrium Sisem (.7) maka pedekaa liear uuk Sisem (.7) diperoleh dega megguaka ekspasi Taylor disekiar iik ekuilibrium ersebu, sebagai beriku f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R T T 1 T 1 T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R T T T T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x

37 (.8) f f f x x x f x x x x x x x x x x x x x R T T T T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x selajuya dega pedekaa liear uuk Sisem (.8) adalah f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R T T T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x x f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R T T T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x x (.9) f f f x x x x x x x x x x x x x x x x R T T T ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ ˆ, ˆ,..., ˆ ˆ f x1 x x dega R, R,..., R disebu sebagai bagia oliear yag selajuya dapa f1 f f diabaika karea ilaiya medekai ol, sehigga Sisem (.9) dapa diulis dalam beuk mariks beriku f T f f xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ x1 xˆ 1 ˆ x x. x ˆ x f T f f T xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ˆ ˆ ˆ x1, x,..., x ˆ ˆ ˆ x1, x,..., x x1 x x T x1 x x x1 f T f1 f T x xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ˆ ˆ ˆ 1,,..., ˆ ˆ ˆ x x x x1, x,..., x x1 x x x (.1) Misalka y x xˆ, s 1,,..., maka dari Sisem (.1) diperoleh: s s s 1

38 f T f f xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ y1 y. (.11) y f T f f T xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ˆ ˆ ˆ x1, x,..., x ˆ ˆ ˆ x1, x,..., x x1 x x T x1 x x x1 f T f1 f T x xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ˆ ˆ ˆ 1,,..., ˆ ˆ ˆ x x x x1, x,..., x x1 x x x Sisem (.11) merupaka liearisasi Sisem (.18), sehigga diperoleh mariks Jacobia dari Sisem (.7), yaiu: Jf xˆ f f f x x x f f f x x x T f f f xˆ ˆ ˆ 1, x,..., x ˆ ˆ ˆ 1,,..., ˆ ˆ x x x x1, x,..., ˆ x1 x x T xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ T T xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ xˆ, xˆ,..., xˆ 1 T x T. Cooh.11 Diberika f x x1x x x1 x pada iik x 1,1 T. Aka dicari mariks Jacobia dari fugsi f x sebagai beriku: Df f1 f1 x x x x 1 x1 x 1 f f 1 x maka

39 Df T 1 1,1. 1 Jadi, marik Jacobia dari sisem ersebu adalah Df F. Bilaga Reproduksi Dasar R beriku: T 1 1,1. 1 Adapu defiisi megeai bilaga reproduksi dasar adalah sebagai Defiisi.7. (Diekma & Heeserbeek, ) Bilaga reproduksi dasar R merupaka jumlah raa-raa kasus idividu erifeksi yag disebabka oleh sau idividu erifeksi selama masa erifeksiya dalam keseluruha populasi rea. Jika R 1 maka peyaki haya megifeksi kurag dari sau idividu rea sehigga kemugkia peyaki aka hilag dari populasi. Jika R 1 maka idividu yag erifeksi aka megifeksi lebih dari sau idividu yag rea, sehigga idividu yag erifeksi dalam suau populasi aka meularka peyaki ersebu da peyaki aka meyebar dalam populasi da jika R 1 maka idividu yag erifeksi aka meularka epa kepada sau idividu. Misalka ada kelas erifeksi da m kelas yag idak erifeksi (rea) sera x da m y adalah subpopulasi dari masig-masig kelas da uuk m,, sehigga: x y x y x,,, dega i 1,,..., i i 3

40 y j xy,, dega j 1,,..., m dega i adalah laju idividu baru yag erifeksi yag meambah pada kelas erifeksi, sedagka adalah laju perkembaga peyaki kemaia, da aau i kesembuha yag meguragi populasi dari suau kelas. Perhiuga bilaga reproduksi dasar R berdasarka liierisasi dari sisem persamaa diferesial yag didekai pada iik ekuilibrium bebas peyaki. Persamaa kompareme erifeksi yag elah diliearisasi dapa diuliska sebagai beriku: x F V x u i dega F da V adalah mariks berukura x, da F, y j da V i, y. u j Selajuya didefiisika mariks K sebagai beriku: K FV 1 dega K disebu sebagai ex geeraio marix. Nilai harapa dari ifeksi sekuder pada populasi rea adalah eige erbesar dari mariks K (Driessche & Wamough, ) sehigga 1 R K FV. 4

41 Cooh.1 Diberika sisem persamaa diferesial beriku: ds SI S d di SI I I d dr I R d (.1) dega S meyaaka populasi idividu seha da rea pasa saa, I meyaaka populasi erifeksi pada saa, da R meyaaka yag sembuh pada saa. Sisem (.1) mempuyai iik ekuilibrium bebas peyaki E 1,,. Pada Sisem (.1) kelas erifeksi adalah I, sehigga diperoleh Nex geeraio marix dapa diperoleh dari kelas I, maka dapa diuliska sebagai beriku: dega SI I S, R, I S, R, I da I I, maka hasil liearisasi dari da masig-masig adalah F S da V geeraio marix beriku:. Sehigga diperoleh Nex S K FV S. 1 1 (.13) 5

42 Kemudia subsiusika ilai iik ekuilibrium bebas peyaki E 1,, ke Persamaa (.13) diperoleh: K maka diperoleh ilai R dari sisem (.1) adalah R. G. Nilai Eige Nilai eige dalam suau mariks aka diguaka dalam meeuka kesabila dari suau iik kriis. Nilai eige suau mariks dapa didefiisika dalam Defiisi.9. Defiisi.8. (Ao, 1987) Jika A adalah mariks x, maka vekor akol x di dalam diamaka vekor eige (eigevecor)dari A jika Ax adalah kelipaa skalar dari x, yaiu: Ax x (.14) uuk suau skalar. Skalar diamaka ilai eige (eigevalue) dari A da x dikaaka vekor eige yag bersesuaia dega. Dari Persamaa (.14) diperoleh: Ax Ax x Ix I A x (.15) 6

43 dega I adalah mariks ideias. Supaya mejadi ilai eige, maka harus ada pemecaha akol dari Persamaa (.15). Persamaa (.15) aka memiliki pemecaha akol jika da haya jika: de( I A). (.16) Persamaa (.16) diamaka persamaa karakerisik A da skalar yag memeuhi Persamaa (.16) adalah ilai eige dari A. beuk: Jika A adalah mariks x, maka poliomial karakerisik A mempuyai 1 de( ) 1... I A c c Cooh.13 Dikeahui mariks B 3. 1 Teuka ilai-ilai eige dari mariks B! Jawab: Persamaa karakerisik dari B adalah de I B

44 1 sehigga diperoleh ilai eige da 1. H. Kesabila Tiik Ekuilibrium Kesabila iik ekuilibrium dari suau sisem persamaa diferesial baik liear maupu oliear diberika dalam defiisi beriku. Defiisi.9. (Olsder & Woude, 4) Diberika sisem persamaa diferesial orde sau x f x dega x da x, x x x adalah solusi persamaa ersebu pada saa dega kodisi awal. (i) Vekor ˆx yag memeuhi f xˆ dikaaka sebagai iik ekuilibrium. (ii) Tiik ekuilibrium ˆx dikaaka sabil jika diberika uuk seiap ada sedemikia sehigga jika x ˆ x seiap. da, x x x uuk ˆ (iii) Tiik ekuilbrium ˆx dikaaka sabil asimoik jika iik ekuilibriumya sabil da erdapa 1 sedemikia sehigga x x lim,, bila ˆ x x xˆ. 1 (iv) Tiik ekuilibrium ˆx dikaaka idak sabil jika idak memeuhi (ii). Beriku adalah simulasi iik ekuilibrium sabil da iik ekuilibrium sabil asimoik. 8

45 Sabil Sabil asimoik Tidak sabil Gambar.. Simulasi Kesabila Tiik Ekuilibrium Mariks jacobia dapa dapa diguaka dalam megideifikasi sifa kesabila sisem oliear disekiar iik ekuilbrium apabila sisem ersebu memiliki iik ekuilibrium hiperbolik. Selajuya diberika eorema megeai sifa kesabila suau sisem oliear yag diijau dari ilai eige mariks jacobia Jf x ˆ. Defiisi.1. (Wiggis, 199) Sebuah iik ekuilibrium dikaaka hiperbolik jika bagia real ilai eige dari mariks jacobia adalah idak ol. Jika bagia maapu ilai eige dari mariks jacobia adalah ol, maka iik ekuilibrium disebu ohiperbolik. Teorema.. (Olsder & Woude, 4) Diberika sisem persamaa diferesial x Ax, dega A adalah mariks berukura x, mempuyai k ilai eige yag berbeda 1,, 3,..., dega k. 9

46 (i) Tiik ekuilibrium xˆ dikaaka sabil asimoik jika da haya jika e i 1,,..., k. i (ii) Tiik ekuilibrium xˆ dikaaka sabil jika da haya jika e i 1,,..., k da jika seiap ilai eige, imajier dega i e i, maka muliplisias aljabar da geomeri uuk ilai eige harus sama. (iii) Tiik ekuilibrium xˆ dikaaka idak sabil jika da haya jika erdapa palig sediki sau e1 uuk i 1,,..., k. Buki: (i) Buki dari kiri ke kaa Aka diujukka jika iik ekuilibrium xˆ sabil asimoik maka e i 1,,..., k. i Berdasarka Defiisi.9. iik ekuilibrium xˆ dikaaka sabil asimoik jika lim x, x x. Hal ii berari bahwa uuk, x, x meuju ˆ ˆ x. Karea, aka x x merupaka peyelesaia dari sisem persamaa diferesial, sehigga, x x memua e e i. Oleh karea iu, supaya e e i meuju xˆ, maka harus berilai egaif. Buki dari kaa ke kiri Aka diujukka jika e i 1,,..., k maka iik ekuilibrium xˆ sabil asimoik. i 3

47 x, x merupaka peyelesaia dari sisem persamaa diferesial, sehigga, x x selalu memua e e i. Jika e i, maka uuk, x, x aka meuju xˆ. Sehigga berdasarka Defiisi.9. iik ekuilibrium xˆ sabil asimoik. (ii) Buki dari kiri ke kaa Aka diujukka bahwa jika iik ekuilibrium xˆ sabil, maka e i 1,,..., k. i Adaika e i, maka peyelesaia persamaa diferesial x, x yag selalu memua e e i aka meuju aau mejauhi iik ekuilibrium xˆ uuk, sehigga sisem idak sabil. Hal ersebu bereaga dega yag dikeahui. Jadi erbuki bahwa jika iik ekuilibrium xˆ sabil, makae i 1,,..., k. Buki lai, jika e i maka saa, berakiba x, x sehigga iik ekuilibrium xˆ sabil. Buki dari kaa ke kiri i Aka diujukka bahwa jika e i 1,,..., k maka iik ekuilibrium xˆ dikaaka sabil da jika seiap ilai eige, imajier dega e i, maka muliplisias aljabar da geomeri uuk ilai eige harus sama. Peyelesaia, i x x merupaka peyelesaia dari sisem persamaa diferesial, maka, x x selau memua e e i. Jika e i, 31

48 maka iik ekuilibrium xˆ sabil asimoik (pasi sabil). Jika e i maka berupa ilai eige berupa bilaga kompleks muri. Muliplisias aljabar berhubuga dega ilai eige sedagka geomeri berhubuga dega vekor eige. Oleh karea iu, aka dibukika bahwa bayak ilai eige da vekor eige adalah sama. Tapa meguragi pembukia secara umum, diambil sembarag sisem pada yag mempuyai ilai eige bilaga kompleks muri. x1 p x1, p, q. x q x (.17) Nilai eige dari Sisem (.17) dieuka dega mesubsiusika mariks p A q ke dalam persamaa de( A I ) sehigga diperoleh: p. q Persamaa karakerisik dari mariks A adalah pq pq i pq 1 i pq da i pq. 3

49 Berdasarka defiisi, x x, x 1 T adalah vekor eige dari A yag bersesuaia dega jika da haya jika x adalah peyelesaia orivial dari A I x, yaiu dari px1. q x (.18) Jika 1 i pq, maka Persamaa (.18) mejadi i pq p x1 q i pq x Mariks augmeasi dari sisem di aas, yaiu. i pq p q i pq. Baris perama mariks dikalika i pq pq sehigga diperoleh 1 i pq q q i pq. Kemudia baris kedua mariks 1 q sehigga diperoleh 1 i pq q 1 i pq q. 33

50 Selajuya baris kedua dikuragi dega baris perama sehigga diperoleh mariks dalam beuk eselo baris ereduksi 1 i pq q. Berdasarka mariks eselo baris ereduksi ersebu diperoleh peyelesaia x i pq 1 x q i pq x1 x q misalka x i, maka x1 pq, dapa diulis sebagai beriku: q i pq x1 q. x 1 Jadi, vekor yag bersesuaia dega 1 i pq yaiu Jika 1 i pq, maka Persamaa (.18) mejadi x i pq. 1 x 1 i pq p x1 q i pq x Mariks augmeasi dari sisem di aas, yaiu. i pq p q i pq. 34

51 Baris perama mariks dikalika i pq sehigga diperoleh pq 1 i pq q q i pq. Kemudia baris kedua mariks 1 q sehigga diperoleh 1 i pq q 1 i pq q. Selajuya baris kedua dikuragi dega baris perama sehigga diperoleh mariks dalam beuk eselo baris ereduksi 1 i pq q. Berdasarka mariks eselo baris ereduksi ersebu diperoleh peyelesaia x i pq 1 x q i x pq x q 1 misalka x i, maka x1 pq, dapa diulis sebagai beriku: q i pq x1 q. x 1 35

52 Jadi, vekor yag bersesuaia dega 1 i pq yaiu x1 i pq. x 1 Sehigga erbuki bahwa bayakya ilai eige sama dega vekor eige. (iii) Buki dari kiri ke kaa Aka dibukika jika iik ekuilibrium xˆ idak sabil, maka uuk seiap i 1,,...,k. Tiik ekuilibrium xˆ dikaaka idak sabil jika, maka x, x aka meuju. Karea, e i x x merpaka peyelesaia dari sisem persamaa diferesial, maka, dipeuhi bahwa e i. Buki dari kaa ke kiri x x memua e e i. Hal ii dapa Aka dibukika jika e i uuk seiap i 1,,...,k, maka iik ekuilibrium xˆ idak sabil., maka saa ilai, berakiba x, x Jika e i sehigga iik ekilibrium idak sabil. Cooh.14 Diberika mariks A Nilai eige dari mariks A adalah 36

53 de( A I) de da 3. Jadi ilai eige dari mariks A adalah 1 da 3. I. Krieria Rouh-Hurwiz Meeuka kesabila diperluka perhiuga uuk meeuka ilai eige dari mariks jacobia, adapu salah sau cara uuk meeuka ilai eige ersebu yaiu megguaka krieria Rouh-Hurwiz. Defiisi.1. (Olsder & Woude, 4) Krieria Rouh-Hurwiz: Semua akar-akar dari poliomial (.3) memiliki bagia real egaif jika da haya jika abel Rouh-Hurwiz erdiri dari +1 baris da semua eleme kolom perama pada abel memiliki ada yag sama (semua eleme berada posiif aau egaif). Diberika suau persamaa karakerisik dari akar-akar persamaa maiks A x sebagai beriku: A I a a a... a a (.19)

54 dega a, i,1,,..., da a merupaka koefisie dari persamaa i karakerisik marik A. Akar-akar dari Persamaa (.3) dapa dikeahui dega meyusu abel Rouh sebagai beriku: a a a 4 a a a b b b 1 3 c c c 1 3 dega b, c,i 1,,..., didefiisika sebagai beriku: i i a a a a a a a a a a a a b, b,, b a1 a1 a1 b a a b b a a b b a a b c, c,, c b1 b1 b1 (.) Perhiuga dalam membeuk abel Rouh erus dilakuka sampai medapaka kolom perama berilai ol. 38

55 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN A. Permasalaha Nyaa Peyebara Peyaki Tuberculosis Tuberculosis merupaka salah sau peyaki meular yag disebabka oleh bakeri Mycobacerium Tuberculosis. Peulara peyaki Tuberculosis palig bayak da palig mudah melalui udara, oleh karea iu orga yag perama kali diserag adalah orga perapasa. Selai meular peyaki ersebu juga bisa meyebabka kemaia. Idividu baru dapa masuk ke dalam populasi karea adaya kelahira da idividu dapa dikaaka keluar dari populasi karea kemaia. Jumlah populasi adalah semua idividu yag seha aau rea erhadap peyaki Tuberculosis, idividu yag erifeksi Tuberculosis, da idividu yag elah sembuh seelah erifeksi Tuberculosis. Idividu yag rea aka megalami kemugkia, yaiu aka meiggal aaupu aka erifeksi Tuberculosis. Kemudia idividu yag erifeksi juga megalami kemugkia, yaiu idividu aka sembuh aau idividu aka meiggal. Model maemaika pada peyebara peyaki Tuberculosis, populasi mausia erbagi mejadi 3 subpopulasi, yaiu idividu yag rea (Suscepible), idividu yag erifeksi Tuberculosis (Ifecious), da idividu yag sembuh dari peyaki Tuberculosis (Recovered). Idividu yag masuk ke dalam subpopulasi Suscepible adalah semua idividu yag belum perah mederia peyaki Tuberculosis. Idividu yag ermasuk dalam subpopulasi Ifecious adalah semua idividu yag mederia Tuberculosis. Sedagka idividu yag ermasuk dalam 39

56 subpopulasi Recovered ialah semua idividu yag bear-bear sudah sembuh dari peyaki Tuberculosis. B. Model Maemaika Peyebara Peyaki Tuberculosis Dalam meyederhaaka model maemaika peyebara peyaki Tuberculosis, diberika asumsi-asumsi sebagai beriku : 1. Populasi peduduk bersifa eruup yag ariya perambaha aau peguraga peduduk haya dikareaka oleh kelahira da kemaia, sedagka perambaha da peguraga yag disebabka oleh fakor lai diabaika.. Populasi bersifa homoge yag ariya seiap idividu mempuyai kemugkia yag sama uuk dapa erjagki peyaki Tuberculosis. 3. Kemaia yag disebabka oleh fakor lai selai erifeksi Tuberculosis diaggap sebagai kemaia alami. 4. Idividu yag belum erserag peyaki ermasuk ke dalam kelas suscepible. 5. Idividu pada kelas recovered idak aka kembali lagi mejadi idividu pada kelas ifecious. 6. Terjadi kemaia akiba erifeksi Tuberculosis. Tabel 3.1. Variabel da parameer yag diguaka dalam model Simbol Defiisi Syara N Jumlah populasi pada suau daerah pada saa. N S () Bayakya idividu yag seha da rea ehadap peyaki Tuberculosis pada saa. S ( ) 4

57 I () R () (Suscepible) Bayakya idividu yag erifeksi da dapa meularka Tuberculosis kepada idividu lai. (Ifecious) Bayakya idividu yag sembuh seelah erifeksi Tuberculosis. (Recovered) I ( ) R ( ) Laju kelahira populasi. Laju kemaia alami. Laju kemaia yag disebabka oleh peyaki Tuberculosis. b Laju peulara peyaki Tuberculosis. b c Laju idividu sembuh seelah erifeksi c Tuberculosis. Berdasarka masalah-masalah yag diasumsika da parameer yag diguaka maka dapa dibua skema pada peyebara peyaki Tuberculosis seperi beriku : 41

58 Gambar 3.1. Diagram Alir Model Maemaika Tuberculosis Berdasarka diagram alir pada Gambar 3.1. aka dibeuk model SIR uuk peyebara peyaki Tuberculosis adalah : a. Perubaha bayakya idividu suscepible erhadap waku Pada populasi kelas suscepible S erjadi perambaha da peguraga jumlah idividu. Perambaha bayakya idividu pada kelas ii erjadi karea kelahira idividu, sedagka peguraga bayakya idividu erjadi karea kemaia alami idividu per saua waku. Oleh karea iu diperoleh persamaa diferesial sebagai beriku : ds d I b S S. (3.1) N b. Perubaha bayakya idividu yag erifeksi (ifecious) erhadap waku Perubaha bayakya idividu kelas ifecious dipegaruhi oleh berambahya idividu yag erlular peyaki Tuberculosis da berkuragya idividu karea kemaia yag disebabka oleh fakor lai per saua waku sera kemaia idividu karea peyaki Tuberculosis per saua waku. 4

59 Selai iu, berkuragya idividu pada kelas ifecious juga dipegaruhi oleh idividu yag sembuh seelah erjagki peyaki Tuberculosis dega laju c. Sehigga didapaka persamaa diferesial sebagai beriku : di d I b S I I ci N I = b S ( c) I. N (3.) c. Perubaha bayakya idividu yag sembuh (recovered) erhadap waku Idividu pada kelas ifecious yag elah sembuh dari peyaki Tuberculosis selajuya aka masuk ke dalam kelas recovered dega laju kesembuha c. Oleh karea iu, diperoleh persamaa diferesial sebagai beriku : dr ci R. (3.3) d Berdasarka deskripsi dari Persamaa (3.1), (3.), da (3.3) maka diperoleh sisem persamaa diferesial sebagai beriku : ds I b S S d N di I = b S ( c) I d N dr ci R d (3.4) dega N S I R. 43

60 C. Aalisis Model Peyebara Peyaki Tuberculosis 1. Tiik Ekuilibrium Pada model maemaika peyebara peyaki Tuberculosis selajuya aka dicari iik ekuilibrium dega cara membua sisem ersebu dalam kodisi ds kosa erhadap waku, yaiu kodisi dimaa, d di d, dr da. d Sehigga dari sisem Persamaa (3.4) diperoleh iik ekuilibrium yag disajika dalam Teorema 3.1. sebagai beriku : Teorema 3.1. (Eksisesi Tiik Ekuilibrium) a. Jika I, maka Sisem Persamaa (1.4) memiliki iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),,. b. Jika I, maka Sisem Persamaa (1,4) memiliki iik ekuilibrium edemik : b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b dega syara b c. Buki : ds Sisem Persamaa (3.4) aka mecapai iik ekuilibrium apabila, d di d, dr da. Sehigga Sisem (3.4) dapa diulis : d I b S S (3.5) N 44

61 I b S ( c) I (3.6) N ci R. (3.7) Berdasarka Persamaa (3.6), diperoleh : I b S ( c) I N bs I ( c) N I. (3.8) Da jika I bs N ( c) ( c) S N b ( c)( S I R) S b ( c) S ( c)( I R) S b b b c ( c)( I R) S b b ( c)( I R) S. b c (3.9) a. Dari Persamaa (3.8) da Persamaa (3.7) diperoleh : ci R 45

62 R R. (3.1) Dari Persamaa (3.5), (3.8) da (3.1) diperoleh: I b S S N S S. (3.11) Oleh karea iu, diperoleh iik ekuilibrium E ( S, I, R),, sehigga erbuki sisem Persamaa (1.4) memiliki iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),,. b. Uuk seiap I ariya I maka pada Persamaa (3.7) diperoleh : R I. (3.1) c Subsiusika Persamaa (3.1) pada Persamaa (3.9) diperoleh : c R c ( c) S. b c (3.13) Subsiusika Persamaa (3.13) pada Persamaa (3.5) diperoleh : R R c ( c) c b N cn b c b c 46

63 c 1 c b c R c c b R c b c cb c cb R. (3.14) Subsiusika Persamaa (3.14) pada Persamaa (3.1) diperoleh : I cb c c c b I b c cb, I. (3.15) Supaya I maka diperoleh : b c cb b c b b c b c 1 b c 1 b b c 47

64 b c. Subsiusika Persamaa (3.14) pada Persamaa (3.13) diperoleh : c b c c ( c) S c b cb c ( c) S. b (3.16) Berdasarka Persamaa (3.14), (3.15), da (3.16) diperoleh iik ekuilibrium sebagai beriku : b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b dega syara b c. Jadi erbuki jika I, maka Sisem Persamaa (3,4) memiliki iik ekuilibrium edemik : b b ( c) c c c E1 S, I, R,,. b c b c b. Bilaga Reproduksi Dasar R Bilaga reproduksi dasar R adalah jumlah raa-raa dari kasus sekuder yag disebabka oleh idividu yag erifeksi selama masa erifeksiya dalam suau populasi idividu rea. Jika R 1 peyaki idak 48

65 meyerag populasi aau erbebas dari ifeksi, amu jika R 1 maka seiap pederia saga mugki uuk meyebarka peyaki kepada lebih dari 1 pederia baru, sehigga dapa meyebabka edemik. Bilaga reproduksi dasar R dapa dieuka megguaka meode ex geeraio marix dari Sisem Persamaa (3.4). Pada model maemaika ersebu, kelas erifeksi adalah Ifecious (I) sehigga persamaa diferesial yag diguaka sebagai beriku: di I = b S ( c) I (3.17) d N maka diperoleh: I b S da = c I. N Selajuya da diliearisasi, diperoleh hasil liierisasi sebagai beriku: bs bsi F da V c N N Kemudia aka dicari 1 V diperoleh: V c 1 1 Nex geeraio marix diperoleh dari hasil perkalia F da 1 V sebagai beriku: 49

66 K bs bsi bs bsi 1 N N. 1 FV N N c c (3.18) Pada awal kemucula peyaki pada populasi, hampir semua idividu rea erhadap peyaki, sehigga S pada Persamaa (3.18) dapa didekai dega megguaka iik ekuilibrium bebas peyaki. Sehigga lagkah selajuya, yaiu mesubsiusi E ( S, I, R),, pada Persamaa (3.18), diperoleh: K b. (3.19) c Dari Persamaa (3.19) diperoleh ilai eige, yaiu b. Sehigga bilaga c reproduksi dasar R dari Sisem Persamaa (3.4) sebagai beriku: R b c. (3.) 3. Aalisis Kesabila Nilai eige berfugsi uuk mecari kesabila dari iik ekuilibrium pada sisem. Nilai eige dapa dieuka megguaka mariks Jacobia MJ uuk seiap iik ekuilbrium. Kesabila iik ekuilibrium dari Sisem Persamaa (3.4) disajika dalam Teorema 3.. da Teorema 3.3. sebagai beriku : 5

67 Teorema 3.. a. Jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, sabil asimoik lokal b. Jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, idak sabil Buki: Hasil liearisasi Sisem (3.4) aka diperoleh mariks Jacobia: f f f bi bsi bs bsi bsi S I R N N N N N g g g bi bsi bs bsi bsi MJ c S I R N N N N N h h h c S I R (3.1) Subsiusika E pada Persamaa (3.1) diperoleh: b MJ1 MJ b c,, c Selajuya aka dicari persamaa karakerisikya uuk, yaiu: de( MJ I) 1 b b c c 51

68 b c Sehigga ilai eige uuk iik ekuilibrium E adalah: 1,, 3 b c (3.) a. Aka diujukka jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, sabil asimoik lokal. Jika R 1 maka : b 1 c b c b c Oleh karea iu, Persamaa (3.) semuaya berilai egaif. Sehigga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, sabil. b. Aka diujukka jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, idak sabil. Jika R 1 maka : b c 5

69 Jadi jika R 1 membua Persamaa (3.) idak semuaya berilai egaif karea ilai 3. Sehigga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas peyaki E ( S, I, R),, idak sabil. Teorema 3.3. a. Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b idak sabil b. Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b sabil asimoik lokal. Buki: Subsiusika E 1 pada Persamaa (3.1) diperoleh: MJ MJ ( c) b b, c c, c b cb cb MJ A A A L A MA LM LM L LM LM, A A A c 53

70 dega J c, K b, L b c, M c, da A b c. Selajuya aka dicari persamaa karakerisikya uuk, yaiu: de MJ I A A A L A A MA LM LM L LM A LM A A A c. Sehigga ilai eige uuk iik ekuilibrium E 1 adalah : L A L M A L M A A A L MA L M L M A A A L A LM A LMc L MA LM LMc L 3 M AL L 3 Mc AL M A ALMc L MA L 3 M L 3 Mc AL ALM A 54

71 ALMc L MA A L LM A LMc L M Selajuya diperoleh:. (3.3) 1 da L LM A LMc L M L L M LM A A LMc L M A L LM A L M LMc L M A L L M A LM L c A Lb bj LM L K L A b L J LMK A b b LMK Persamaa (3.4) dapa diulis mejadi (3.4) a a a (3.5) 1 dega a A a b b 1 a LMK. 55

72 Meuru krieria Rouh Hurwiz, semua ilai eige Persamaa (3.5) bagia realya berilai egaif sehigga a, a1, da a. Berdasarka Persamaa (3.5), ilai a A sudah pasi berilai posiif karea a A b c. Selajuya aka diselidiki a 1 da a harus berilai posiif, yaiu: da sehigga diperoleh b a1 b b (3.6) a LMK b c cb b cb b da b c. (3.7) Buki: a. Aka dibukika bahwa Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b idak sabil 56

73 Berdasarka Persamaa., uuk R 1 diperoleh b 1 c b c. (3.8) Pada Persamaa (3.8) erliha bahwa persamaa ersebu berlawaa dega Persamaa (3.7), sehigga erbuki uuk R 1 maka iik ekuilibrium E 1 idak sabil. b. Aka diujukka bahwa iik ekuilibrium E 1 aka sabil asimoik lokal jika R 1 Berdasarka Persamaa 3., uuk R 1 diperoleh b 1 c b c. (3.9) Persamaa (3.9) sama dega Persamaa (3.7) sehigga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium E 1 sabil asimoik lokal. D. Aalisis Numerik Model SIR pada Peyebara Peyaki Tuberculosis Aalisis umerik meggambarka lebih jelas megeai model peyebara peyaki Tuberculosis dega megguaka parameer-parameer da ilai awal ereu. Pada subbab ii aka membahas megeai aalisis umerik jika R 1 da R 1 dega ilai awal da parameer ereu. 57

74 Pada ahu 14, meuru profil kesehaa ahu 15 di koa Yogyakara erdapa peemua kasus pederia Tuberculosis sebayak 491 jiwa. Jumlah peduduk koa Yogyakara pada saa iu sebayak jiwa dega.96 jiwa peduduk laki-laki da jiwa peduduk perempua. Berdasarka permasalaha yaa yag erjadi di koa Yogyakara diperoleh ilai awal uuk S 4135, I 491, da R 4. Selai iu juga diperoleh bayakya kelahira sebesar Bayakya kemaia yag disebabka oleh peyaki Tuberculosis adalah 1 orag dalam 1 ahu, sehigga x , x1. Selajuya diasumsika bahwa raaraa usia hidup seseorag adalah 7 ahu aau 84 bula, sehigga diperoleh , x1. 1. Simulai R 1 Uuk R 1, diberika ilai-ilai parameer supaya memeuhi syara R 1, yaiu b,15 da c,7 (Fredlia, K. Quee, dkk, 1). Jika ilai-ilai parameer disubsiusika pada Persamaa (3.) maka diperoleh ilai R, Dari ilai awal da parameer-parameer ersebu, dega demikia diperoleh simulasi R 1 yag diujukka pada Gambar 3.. sebagai beriku: 58

75 Gambar 3.. Grafik Simulasi uuk R, Pada Gambar 3.. erliha perubaha populasi S, I, da R erhadap waku. Populasi I da R medekai ilai ol aau bahka bisa meuju ol, sedagka populasi S megalami peigkaa. Hal ii meujukka bahwa perilaku solusi semaki lama aka meuju iik E aau dapa dikaaka bahwa pada saa R 1 maka semaki lama peyaki Tuberculosis aka hilag dari populasi. Nilai umerik uuk E adalah S* , ; I* ; da R*.. Simulasi R 1 Uuk R 1, diberika ilai-ilai parameer supaya memeuhi syara R 1, yaiu b,97 da c,3 (K. Queea Fredlia, dkk, 1). Jika 59

76 ilai-ilai parameer disubsiusika pada Persamaa (3.) maka diperoleh ilai R 3, Nilai-ilai parameer ersebu memberika simulasi uuk R 1 sebagai beriku: Gambar 3.3. Grafik Simulasi uuk R 3, Berdasarka Gambar 3.3. meujukka bahwa populasi suscepible semaki meuru sedagka populasi ifecious semaki meigka da melebihi populasi suscepible kurag lebih seelah 15. Walaupu populasi recovered semaki meigka, amu populasi ifecious megalami peigkaa yag cukup cepa karea igka kesembuha peyaki Tuberculosis yag masih redah. Hal ii meujukka bahwa jika parameer yag erbeuk memeuhi syara R 1 maka peyaki Tuberculosis aka mejadi edemik. Nilai umerik 6

77 uuk E 1 yag dihasilka dari parameer-parameer yag memeuhi syara R 1 adalah S* 6968, ; I* , ; da R* 9713, Selajuya diberika simulasi dega ilai awal da parameer yag sama, amu dega ilai b, 8 da c,3. Jika ilai parameer disubsiusika pada Persamaa (3.) maka diperoleh ilai R Gambar 3.4. Grafik Simulasi uuk R Pada Gambar 3.4. erliha bahwa populasi suscepible semaki meuru kurag lebih seelah 5 da populasi ifecious meigka melebihi populasi suscepible keika kurag lebih 1. Pada Gambar 3.4. populasi recovered juga erliha meigka, amu hal ersebu idak mempegaruhi populasi 61

78 suscepible karea populasi ifecious meigkaya saga cepa sehigga peeyaki Tuberculosis aka mejadi edemik. Nilai umerik yag dihasilka adalah S* 7794, ; I* , ; da R* 35953, Pada Gambar 3.5. meujukka grafik simulasi dega ilai awal da parameer yag sama, amu dega ilai b, 97 da c,15 sehigga diperoleh R 3, Gambar 3.5. Grafik Simulasi uuk R 3,19313 Berdasarka Gambar 3.5. populasi suscepible aka semaki meuru seelah mecapai pucakya, yaiu kurag lebih 6 da populasi ifecious aka 6