APPLICATION OF VASICEK S RATE INTEREST MODEL IN TERM INSURANCE PREMIUMS CALCULATION. Abstract. Sudianto Manullang

Transkripsi

1 APPLICATION OF VASICEK S RATE INTEREST MODEL IN TERM INSURANCE PREMIUMS CALCULATION Absrac Sudiao Maullag Facor of ieres rae ad moraliy is former pricipal compoes o ge premium of erm isurace. Vasicek's rae of ieres model is oe of sochasic rae of ieres model ha is uilized o derivaif ha becomes discou facor of zero coupo bod's price, ad solved by Affie's model o ge auiy, acuarial value so resuls aual e premium of erm isurace. Key Word : Vasicek s rae of ieres model PENDAHULUAN Hukum pasar dari idusri asurasi adalah mecipaka premi da beefi yag seopimal mugki. Jika premi yag diawarka erlalu mahal maka kemugkia besar produk ersebu idak aka laku dijual sedagka apabila premi erlalu murah maka perusahaa aka medapaka resiko yag besar da profi yag kecil pula. Pada dasarya premi asurasi jiwa dipegaruhi oleh iga fakor yaiu: peluag seseorag usia ereu aka meiggal dalam jagka waku ereu (moralias), suku buga yaiu igka suku buga yag diperoleh oleh daa yag diivesasika, da biaya uuk memasarka polis da biaya admiisrasi laiya uuk pegelolaa polis ersebu. Usur sokasik dalam peeua besara akuaria pada suku buga sokasik dapa dilakuka dega megguaka model igka suku buga derivaif yag ada dalam duia pasar modal. Model yag palig popular dalam srukur waku suku buga (erm srucure of ieres rae) adalah model keseimbaga karea memua usur deermiisik da sokasik didalamya. Salah sau model yag berkembag ersebu adalah model Vasicek (977), model ii merupaka pegembaga dari model Orsei-Uhlebeck (93). Salah sau isrume pasar yaki obligasi yag megguaka igka Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

2 buga derivaif serig diaplikasika dalam perhiuga akuaria pada asurasi jiwa. Beuk obligasi apa premi dapa dirumuska dega megguaka model ii, yag pada akhirya juga dapa meggambarka buga (zero coupo bod) yag perubaha-perubaha igka suku memua fakor disko pada ilai buga dari perhiuga akuaria. TEORI DASAR Proses Sokasik Defeisi. Suau proses sokasik dega waku koiu X, T disebu memiliki ikreme idepede (idepede icreme) jika semua..., variabel radom X X, Gerak Brow Defeisi. (Ross, 996) Gerak brow serig juga disebu sebagai proses Wieer. Suau proses sokasik W : disebu gerak Brow jika proses ersebu memeuhi beberapa krieria beriku ii : X X X,..., adalah salig idepede. X i) W da W adalah koiu saa ii) W N, yag berari W berdisribusi ormal dega mea da variasi. iii) W W N, s s da aka idepede selama proses sampai waku ke-s Asurasi Jiwa Berjagka Diberika b adalah fugsi mafaa (beefi) asurasi da v meujukka fugsi diskoo. Nilai waku sekarag (prese value) dari pembayara mafaa pada saa dikeluarkaya polis dioasika dega z z b v () Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

3 Uuk asurasi jiwa berjagka ahu yag memberika mafaa b v v Premi uggal bersih (acuarial prese value) uuk asurasi ii Dalam hal ii A x : T v T Z T sebesar saua pada saa kemaia dipuyai : dega megguaka equivalece premium priciple diberika sebagai, A E Z v p dx () meoasika premi uggal bersih asurasi jiwa berjagka ahu dega px meujukka probabilias seseorag yag sekarag berusia x ahu aka hidup sampai ahu ke depa Auias Hidup Auias hidup merupaka seragkaia pembayara dikaika dega mai hidupya sesorag secara erus-meerus aau pada selag waku yag sama, seperi bula, riwula, aau ahua, selama seseorag yag mejadi eraggug x x masih hidup. Dega kaa lai Auias hidup merupaka auias yag pembayaraya dikaika dega mai hidupya sesorag. Ierval pembayara dapa dilakuka pada awal (auiies-due), aau auias akhir (auiies-ammediae) yag dapa dilakuka pada akhir waku pembayara. Nilai auias hidup berjagka waku ahu dapa diuliska sebagai beriku : a v px d 3 Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

4 3 Premi Premi dalam asurasi jiwa berjagka maka harga premi yag dibayarka aka semaki kecil. dibayarka secara berkala selama Perhiuga premi secara berkala jagka waku korakya, yag dega periode pembayara ahu biasaya dibayarka pada awal sera memberika mafaa sebesar periode. Semaki pajag reag saua pada saa ahu kemaia jagka waku pembayara premi adalah : Pa A 4 dega a adalah ilai uai auias awal da A adalah asurasi aau ilai saua. Peeua Premi Bersih Asurasi Jiwa Berjagka Persamaa model Vasicek Model Vacisek diperkealka perama kali ahu 977 oleh Oldrich Vasicek (Vasicek, 977). Model ii merupaka salah sau model maemaika yag mejelaska evolusi igka buga. Model Vacisek ermasuk dalam persamaa diferesial sokasik yag mampu meggambarka flukuasi pergeraka shor-rae (igka suku buga sesaa) dari yield obligasi selama masa obligasi. Selai dapa memodelka flukuasi igka suku buga, model Vacisek juga dapa diguaka uuk memprediksi besarya igka buga pada periode kedepa. Model Vasicek berbeuk sebagai beriku :, 5 dr r d dw Dega : r W = kecepaa suku buga meuju ilai log-ru = ilai ormal log ru dari suku buga = igka suku buga = volailias igka suku buga = gerak Brow / proses Wieer Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

5 4 Dalam model ii diujukka adaya mea reversio yaiu suau kecederuga ilai r berada disekiar raa-raa log ru aau dapa dikaaka bahwa igka suku buga bergerak dalam rage erbaas. Sebagai ilusrasi jika igka buga berada diaas raa-raa log ru r maka fakor drif aka berilai egaif sehigga suku buga aka dieka sampai pada ilai raa-raa. Jika r maka fakor drif aka berilai posiif sehigga buga juga harus dieka karea fakor drif berilai posiif aka meaikka suku buga. Naikya suku buga pada akhirya aka meghamba percepaa perumbuha ekoomi. Dega megguaka proses Orsei- Uhlebeck solusi persamaa 5 mejadi : s r r e e dws s s s 6 r r e e e e dw ZCB (Zero Coupo Bod)/ Obligasi berkupo ol Yield dari ZCB, yaiu hasil yag aka diperoleh ivesor apabila meempaka daaya uuk dibelika obligasi, sepeuhya sama dega suku buga. Misalka mewakili suku buga pada waku yag bersifa koiu diperoleh ilai ZCB sebesar : r T P, T e 7 da diperoleh yield log P*, T R, T 8 T Solusi uuk masalah harga ZCB pada dapa dieuka dega megguaka model Affie. Diasumsika drif da volailias spo rae pada model mea reversio masig-masig berbeuk r, r da r, r 9 uuk i da i, i,, adalah fugsi deermiisik dalam. r Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

6 5 Sebuah ZCB berjagka waku T dega harga pada waku adalah P T r P r,,,, misalka peeua harga megikui formula, exp P r A B r Solusi uuk A da B uuk peeua ilai ZCB dapa dicari dega mereduksi usur r sehigga diperoleh persamaa diferesial simula B ' r B r B A ' B B dega : B e 3 A r B B B r B B 4 Premi ahua uuk asurasi jiwa dega ui pembayara pada saa kemaia A x berdasarka model 4 suku buga Vasicek dega diyaaka 5 E E v TX E v f d, P r f d TX exp A B r ftx d A exp r B r : r B x exp x xsds d 4 A x : Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

7 6 da uuk auias hidup koiu pembayara ui seiap periode berdasarka model suku buga Vasicek diyaaka dega a x : a P p d A 6 exp x B r p d x r B B exp B r px d 4 a r B B exp B r : exp x xsds d 4 Berdasarka persamaa (..) da (3..) maka premi asurasi jiwa seumur hidup dega suku buga Vasicek adalah Pa Sudi kasus BA A P B a Dega megguaka bahasa pemograma R diperoleh hasil ilai asurasi, auias, da harga premi bersih 7 asurasi jiwa berjagkaya dega meeapka asumsi daa sebagai beriku : Teapa gomperz B =. Teapa gomperz C =. Suku buga jagka pajag r =.5 Suku buga isa r =.675 Jumlah koversi buga seahu =.5 Beefi Usia Masa korak asurasi = 5 jua = 3 ahu = 5 ahu Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

8 7 Perbadiga Premi Model Vasicek da Kosa Berdasarka Perubaha Suku Buga Perubaha igka suku buga pada seiap periode aka memberika pegaruh pada ilai premi yag aka dibayarka asabah. Beriku aka diberika grafik sera abel yag meujukka harga premi aas perubaha igka suku buga model Vasicek da perbadigaya erhadap suku buga kosa. Tabel Harga premi dega suku buga kosa Asurasi Auias Premi Tabel Harga premi, auias da asurasi dega suku buga model Vasicek berdasarka perubaha igka suku buga Buga Asurasi Auias Premi Buga Asurasi Auias Premi Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

9 8 Buga Asurasi Auias Premi Buga Asurasi Auias Premi Dega ierval perubaha suku buga aara 3-9% diperoleh bahwa harga premi suku buga Vasicek adalah lebih redah dibadigka dega megguaka suku buga kosa. Da uuk meliha lebih jelas diampilka perbadiga harga premi suku buga model Vasicek da kosa sebagai beriku: Plo ilai Premi Plo ilai asurasi premi 48 5 asurasi buga buga Plo ilai auias auias buga Gambar Grafik harga premi, asurasi da auias asurasi jiwa berjagka model Vasicek berdasarka perubaha igka suku buga Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

10 9 Plo ilai Premi premi vasicek kosa Idex Gambar Gafik perbadiga premi asurasi jiwa berjagka model Vasicek da suku kosa berdasarka perubaha igka suku buga KESIMPULAN Dalam esis ii dibahas eag pembeuka ilai premi asurasi jiwa berjagka dega megguaka suku buga deeriisik da suku buga sokasik model Vasicek da dalam implemeasiya dalam perhiuga ilai asurasi, aiuas, sera premi, dega hasil sebagai beriku :) Nilai asurasi, auias sera premi pada suku buga deermiisik yag selalu kosa lebih iggi ilaiya dibadigka dega megguaka suku buga sokasik model Vasicek; ) Dalam simulasi daa dega megguaka model Vasicek yag diperoleh bahwa erdapa pegaruh jika ilai beefi, usia, suku buga isa, suku buga jagka pajag volailias da asumsi gomperz yaki aka meigka ilai auias, asurasi sera premi yag aik pula. Namu jagka waku yag pajag aka relaif meuruka ilai auias, asurasi sera premi. Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda

11 3 DAFTAR PUSTAKA Bai, L.J ad Egelhard, M. 99. Iroducio o Probabiliy ad Mahemaical Saisics d Edio. Belmo. Califoria : Duxbury Press. Bowers, N.L, e al Acuarial Mahemaics d Edio. Schaumburg, Illiois : The Sociey of Acuaries. Jorda, C.W. 99. Life Coigecies d Edio. Chicago, Illiois : The Sociey of Acuaries. Li, X.S. 6. Iroducory Sochasic Aalysis for Fiace ad Isurace Hoboke, New Jersey : Willey & Sos, Ic. Noviyai, L. Ad Syamsuddi, M. 5. Life Isurace wih Shochasic Ieres Rae, Proceedigs 3h Eas Asia Acuarial Coferece The Acuary a Risk, The Sociey of Acuaries of Idoesia. Kelliso, S.G., 99. The Theory of Ieres d Edio, Irwi Homewood, Boso. Ross, S. M., 983. Sochasic Processes, Joh Wiley & Sos, New York. Seydel, R.U., 6. Tools for Compuaioal Fiace hird ediio. Neherlad. Spriger- Verlag. Sula, M.S. 4. Asurasi Syariah (Life ad Geeral) : Kosep da Sisem Operasioal. Jakara : Gema Isai. Vasicek, O A Equilibrium Characerizaio of Term Srucure. Joual of Ecoomics. Sudiao Maullag adalah Dose Jurusa Maemaika, Program sudi Maemaika, Fakulas Maemaika da Ilmu Pegeahua Alam, Uiversias Negeri Meda