BAB III ANALISIS LOOKBACK OPTIONS

Transkripsi

1 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION BAB III ANALII LOOKBACK OPION Pada Bab III ii aka dibahas egeai lookback opios da aalisisa Asusi ag kia pakai adalah saha ag diguaka (uderlig asse) idak eberika divide ipe lookback opios ag aka dibahas pada bab ii haalah ipe Europea lookback opios karea adaa fasilias earl exercise pada ipe Aerica ebuaa suli uuk diaalisis au asih erbuka keugkia uuk dilakuka pedekaa secara uerik Oleh karea iu Bab III haa ebahas ipe Europea lookback opios sedagka Bab IV aka ebahas kedua ipe ersebu Lookback opios adalah salah sau pah depede opios ag ilai paoff-a bergaug kepada ilai aksiu aau iiu harga saha seasa suau periode ereu (disebu lookback period) isal adalah expiraio dae da [ adalah lookback period-a Noasika ilai iiu da aksiu seasa lookback period-a dega dega o o i ξ aks ξ ξ ξ ] Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133)

2 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Lookback opios dapa diklasifikasika ejadi dua ipe aki: floaig srike da fixed srike Floaig srike lookback call (pu) adalah opsi call (pu) ag eberika hak kepada holder uuk ebeli (ejual) saha dega harga eredah (eriggi) seasa lookback period-a Fixed srike lookback call (pu) adalah opsi call (pu) ag eberika hak kepada holder uuk ebeli (ejual) saha dega harga ereu (srike price) au paoff-a bergaug kepada harga eriggi (eredah) seasa lookback period-a Dari defiisi di aas aka paoff uuk asig-asig ipe lookback opios adalah Paoff dari floaig srike lookback call adalah : ( ); Paoff dari floaig srike lookback pu adalah : ( ); Paoff dari fixed srike lookback call adalah : aks( X ) ; Paoff dari fixed srike lookback call adalah : aks( X ) ; dega X adalah srike price Peraa-aa asusika harga saha bersifa koiu da dioior seiap saa Defiisika peubah sokasik U ξ ξ aka kia dapa earik kesipula bahwa proses sokasik uuk peubah sokasik ersebu erupaka gerak Brow Geoerik dega paraeer drif μ r da paraeer variasi dega r adalah riskless ieres rae da adalah harga saha saa Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 1

3 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Defiisika pula da ulis τ i { Uξ ξ [ ] } Y aks{ Uξ ξ [ ] } elajua dari aalisis Barrier Opios kia peroleh rasiio desi fucio aas harga saha pada saa expiraio ie dega diberika harga saha saa adalah da harga saha selalu di aas barrier dari rasiio desi fucio ersebu adalah (Kwok1998) ψ 1 ; exp πτ ( ) r τ τ B τ uuk < τ < Beuk B( τ ) δ r τ 1 exp B ( τ) πτ τ Karea kia egguaka peubah sokasik aka perlu diubah beberapa variabel pada persaaa rasiio desi fucio di aas ejadi peubah sokasik ag kia guaka Dega esubsiusika beberapa variabel baru aki τ μ r δ ( α r) ξ B( τ ) i i u aks u aks u u Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133)

4 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION kia aka eperoleh μ [ ξ μτ] { ξ μτ} 1 1 ψ ( ξ; ) exp e exp πτ τ πτ τ Dari hasil ag diperoleh aka dapa kia uruka fugsi disribusi uuk suau ilai kosaa x da adalah sebagai beriku [ ξ μτ] exp 1 τ Pr ( ξ x ) dξ πτ μ x { ξ μτ} e exp τ μ x+ μτ x+ + μτ N e N x τ τ (31) μ [ ξ μτ] exp x 1 τ Pr ( ξ x Y ) dξ πτ μ { ξ μτ} e exp τ xμτ xμτ N e N x τ τ (3) Agar kia dapa egeahui fugsi disribusi dari da Y aka kia pilih x da subsiusika ke dala persaaa (31) da (3) sehigga kia peroleh μ + μτ + μτ N e N τ τ (33) Pr μ μτ μτ Y N e N τ τ (34) Pr Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 3

5 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION eelah diperoleh fugsi disribusia aka dapa kia uruka dega udah fugsi pada peluag bagi da f Pr ( < ) Y aiu μ μ + μτ μ + μτ + μτ e N + e τ τ τ τ τ g Y Pr ( ) (35) (36) μ μ 1 μτ μ μτ 1 μτ e N e τ τ + τ τ τ Kedua fugsi disribusi da kedua fugsi pada peluag di aas aka saga bergua dala euruka forula harga lookback opios 31 Europea Floaig rike Lookback Opios Nilai dari sebuah floaig srike lookback opio erupaka fugsi dari da τ isalka adalah waku saa ii da τ adalah ie o expir Waku saa ii berada dala lookback period [ ] aki [ ] isalka adalah harga asse saa ii da periode higga saa ii adalah harga iiu selaa Dega egguaka pedekaa risk eural discoued ilai dari sebuah Europea floaig srike lookback call diberika oleh ( ) r τ i ( τ ) c e E Perhaika bahwa i ( ) da e E Pada saa ii ilaia dikeahui sedagka disribusi dari disribusi (33) berhubuga dega fugsi Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 4

6 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Perhaika: ( i ( )) + E E E Pr + E > (37) Uuk egevaluasi suku peraa pada persaaa (37) subsiusika ke dala persaaa (33) sehigga diperoleh ( ) E Pr r 1 + μτ μ + τ N N τ τ Pr (38) uku kedua pada persaaa (37) dapa diuliska ejadi ( < ) E e f d 1 + μτ e d+ τ τ μ μ + μτ e e N d + τ μ 1 + μτ e e d τ τ (39) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 5

7 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Pegiegrala suku peraa pada persaaa (39) eberika peroleha 1 + μτ e d τ τ e πτ ( + μτ ) 1 ( μ+ ) τ 1 τ 1 e e d π τ e N τ d 1 r + τ τ sedagka pegiegrala suku kedua pada persaaa (39) eberika peroleha μ μ + μτ e e N d τ μ+ μ + μτ e N d τ μ + d μ + μτ e N d μ+ d τ μ + μ + μτ e N μ+ τ μ+ + μτ 1 e d τ τ 1 + μτ μ+ μτ μ+ 1 τ + e 1 e N e d r τ τ π Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 6

8 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION r μτ μ+ 1 + μτ 1 + τ N e d 1 r τ πτ r μτ N e e r τ π μ+ τ 1 μ+ τ τ r + μτ ( μ + ) τ 1 N e N r τ τ 1 d τ da pegiegrala suku keiga pada persaaa (39) eberika peroleha e e d μ 1 τ + μτ τ ( μτ ) τ μ e d τ π 1 ( μ+ ) τ 1 1 μ+ τ τ e e d πτ 1 ( μ+ ) τ 1 μ+ τ 1 τ 1 e e d π τ e N e N ( μ+ ) τ τ 1 r + τ τ Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 7

9 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Dega eggabugka keiga peroleha pegiegrala ag kia dapaka dega peroleha ekspekasi peraa aka forula harga dari Europea floaig srike lookback call adalah (Kwok1998) ( τ) τ c N d e N d + dega d r r e N d τ e N d r r + τ τ (31) (311) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 8

10 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Dega egikui pedekaa ag serupa aka forula dari harga Europea floaig srike lookback pu juga dapa diuruka Nilai dari floaig lookback pu diaaka oleh ( τ ) ( ) ( ) p e E aks (31) e E + E < Ekspekasi peraa dari persaaa (31) dapa diubah ejadi ( ) E Pr Pr r 1 μτ μ τ N N τ τ (313) Ekspekasi kedua dapa diuliska ejadi ( > ) E e g d 1 μτ e d τ τ μ μ μτ e e N d + τ μ 1 μτ e e d τ τ (314) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 9

11 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Dega cara ag serupa dega floaig call keiga buah pegiegrala pada persaaa (314) dapa dicari da eberika peroleha sebagai beriku: 1 1 μτ r e d e τ N μ τ + + τ τ τ μ μ μτ e e N d τ r μτ ( μ ) τ + + N e N r τ τ μ + ( μ + ) τ 1 μτ e e d e N τ τ τ elajua subsiusika hasil ag diperoleh dari persaaa (313) da (314) ke dala persaaa (31) sehigga diperoleh forula harga uuk Europea floaig srike lookback pu opio adalah (Kwok1998) ( τ) τ p N d + e N d + + dega r r e N d τ e N d r + (315) d + r + τ τ (316) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 3

12 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION 3 Europea Fixed rike Lookback Opios Nilai dari Europea fixed srike lookback call opio erupaka fugsi dari da τ Pada saa expir dae ilai paoff-a adalah aks X Nilai dari fixed lookback call opio ii pada saa adalah ( ) ( ) + E( aks X < ) ( τ ) τ [ ( ) ( ) c e E aks aks X e E aks X r ] ( ) (317) Persaaa (317) erdiri aas dua buah ekspekasi dega ekspekasi peraa eberika peroleha ( ( ) ) Pr E aks X X uuk > X uuk X ( d + τ ) N r 1 ( X ) uuk > X r N d τ uuk X (318) Ekspekasi kedua dari persaaa (317) dapa diuliska ejadi ( ( ) < ) E aks X e X g d uuk X > X ( e X) g d uuk X Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 31

13 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION r r τ r 1 + e N( d ) + N d τ 1 X r r X > X + X N d + ( τ ) r r ( τ ) e N d X N d + e N d N d τ X r X (319) Dega esubsiusika (318) da (319) ke dala persaaa (317) aka kia peroleh forula harga uuk Europea fixed srike lookback call adalah (Kwok1998): (i) > X ( τ) + τ c e X N d e N d r r τ r (3) + e e N( d ) N d τ r dega d + r + τ τ (31) (ii) X ( τ) ( τ ) c N d e XN d r r + e e N( d) N d τ r X dega (3) + r + τ X d (33) τ Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 3

14 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Forula harga uuk Europea fixed srike lookback pu opio dapa diuruka dega cara ag serupa dega fixed call Nilai dari Europea fixed srike lookback pu opio erupaka fugsi dari expir dae ilai paoff-a adalah pu opio ii pada saa adalah ( τ ) [ ( ( ) da τ Pada saa aks( X ) Nilai dari fixed lookback ( ) ) + E( aks X > ) p e E aks X i e E aks X ] (34) Pada persaaa (34) erdapa dua buah ekspekasi dega ekspekasi peraa eberika peroleha ( ( ) ) E aks X E X < X X X Pr < X X r 1 r ( X ) N d τ N d + τ X < X (35) Ekspekasi kedua pada persaaa (34) dapa diuliska ejadi ( ( ) > ) E aks X ( X e ) f d < X X ( ) X e f d X Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 33

15 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION r r X N d + τ 1 N( d) e r r < X + X X N( d τ ) r r ( τ ) τ XN d + N d+ e N d r X X e N( d) + X r (36) elajua dega esubsiusika kedua peroleha ag kia iliki aiu persaaa (35) da persaaa (36) ke dala persaaa (34) aka kia aka peroleh forula harga uuk Europea lookback fixed srike pu opio adalah (Kwok1998): (i) < X ( τ) ( ) + + τ p e X N d e N d r r + e N d τ e N d r + (37) dega 1 + r + τ d (38) τ (ii) X ( τ) ( ) + ( + τ ) p N d e X N d r r + e N d τ e N( d) + r X dega d saa seperi pada persaaa (33) (39) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 34

16 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION 33 Persaaa Differesial uuk Lookback Opios Pada subbab ii aka dicari bagaiaa beuk PDP Black-choles uuk lookback opios Adapu jeis lookback opios ag aka dielii adalah Europea floaig srike lookback pu opio Peraa-aa defiisika: dega uruaa adalah 1/ ( ξ ) ξ (33) d > d 1 d (331) 1 elajua abil lii sehigga diperoleh (Wheede ad Zgud 1997) li ax ξ (33) ξ ag erupaka ilai aksiu dari harga-harga saha seasa lookback period [ ] Bua suau porofolio ag erdiri aas sau ui opsi pu (paoff dari opsi pu ersebu bergaug kepada ) da Δ ui saha isalka p( adalah ilai dari floaig pu opio da Π adalah ilai dari ) porofolio aka ( ) Π p Δ (333) Dega egguaka Lea Iô aka perubaha ilai dari porofolio ersebu adalah p 1 p p p dπ d + d + d + d Δd ( ) 1 (334) Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 35

17 BAB III : ANALII LOOKBACK OPION Pilih p Δ agar fakor sokasika ejadi hilag Argue o-arbirage eaaka bahwa dπ rπ d (335) dega r adalah riskless ieres rae aaka persaaa (334) da (335) sehigga diperoleh p 1 p p p r rp (336) ( ) 1 Jelas da hiug lii aki: (i) Uuk < (ii) Uuk 1 li 1 p Dega eafaaka kedua poi di aas dapa kia sipulka bahwa persaaa differesial uuk floaig srike lookback pu adalah (Kwok1998) p p p + + r r p < < > (337) ag ideik dega persaaa Black-choles uuk Europea opios Peeua Harga Lookback Opios secara Aaliik da Nuerik Yohaa (1133) 36