BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN. A. Permasalahan Nyata Penyebaran Penyakit Tuberculosis

Transkripsi

1 BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN A. Permasalahan Nyaa Penyebaran Penyaki Tuberculosis Tuberculosis merupakan salah sau penyaki menular yang disebabkan oleh bakeri Mycobacerium Tuberculosis. Penularan penyaki Tuberculosis paling banyak dan paling mudah melalui udara, oleh karena iu organ yang perama kali diserang adalah organ pernapasan. Selain menular penyaki ersebu juga bisa menyebabkan kemaian. Individu baru dapa masuk ke dalam populasi karena adanya kelahiran dan individu dapa dikaakan keluar dari populasi karena kemaian. Jumlah populasi adalah semua individu yang seha aau renan erhadap penyaki Tuberculosis, individu yang erinfeksi Tuberculosis, dan individu yang elah sembuh seelah erinfeksi Tuberculosis. Individu yang renan akan mengalami kemungkinan, yaiu akan meninggal aaupun akan erinfeksi Tuberculosis. Kemudian individu yang erinfeksi juga mengalami kemungkinan, yaiu individu akan sembuh aau individu akan meninggal. Model maemaika pada penyebaran penyaki Tuberculosis, populasi manusia erbagi menjadi 3 subpopulasi, yaiu individu yang renan (Suscepible), individu yang erinfeksi Tuberculosis (Infecious), dan individu yang sembuh dari penyaki Tuberculosis (Recovered). Individu yang masuk ke dalam subpopulasi Suscepible adalah semua individu yang belum pernah menderia penyaki Tuberculosis. Individu yang ermasuk dalam subpopulasi Infecious adalah semua individu yang menderia Tuberculosis. Sedangkan individu yang ermasuk dalam 39

2 subpopulasi Recovered ialah semua individu yang benar-benar sudah sembuh dari penyaki Tuberculosis. B. Model Maemaika Penyebaran Penyaki Tuberculosis Dalam menyederhanakan model maemaika penyebaran penyaki Tuberculosis, diberikan asumsi-asumsi sebagai beriku : 1. Populasi penduduk bersifa eruup yang arinya perambahan aau pengurangan penduduk hanya dikarenakan oleh kelahiran dan kemaian, sedangkan perambahan dan pengurangan yang disebabkan oleh fakor lain diabaikan.. Populasi bersifa homogen yang arinya seiap individu mempunyai kemungkinan yang sama unuk dapa erjangki penyaki Tuberculosis. 3. Kemaian yang disebabkan oleh fakor lain selain erinfeksi Tuberculosis dianggap sebagai kemaian alami. 4. Individu yang belum erserang penyaki ermasuk ke dalam kelas suscepible. 5. Individu pada kelas recovered idak akan kembali lagi menjadi individu pada kelas infecious. 6. Terjadi kemaian akiba erinfeksi Tuberculosis. Tabel 3.1. Variabel dan parameer yang digunakan dalam model Simbol Definisi Syara N Jumlah populasi pada suau daerah pada saa. N S () Banyaknya individu yang seha dan renan ehadap penyaki Tuberculosis pada saa. S ( ) 4

3 I () R () (Suscepible) Banyaknya individu yang erinfeksi dan dapa menularkan Tuberculosis kepada individu lain. (Infecious) Banyaknya individu yang sembuh seelah erinfeksi Tuberculosis. (Recovered) I ( ) R ( ) Laju kelahiran populasi. Laju kemaian alami. Laju kemaian yang disebabkan oleh penyaki Tuberculosis. b Laju penularan penyaki Tuberculosis. b c Laju individu sembuh seelah erinfeksi c Tuberculosis. Berdasarkan masalah-masalah yang diasumsikan dan parameer yang digunakan maka dapa dibua skema pada penyebaran penyaki Tuberculosis seperi beriku : 41

4 Gambar 3.1. Diagram Alir Model Maemaika Tuberculosis Berdasarkan diagram alir pada Gambar 3.1. akan dibenuk model SIR unuk penyebaran penyaki Tuberculosis adalah : a. Perubahan banyaknya individu suscepible erhadap waku Pada populasi kelas suscepible S erjadi perambahan dan pengurangan jumlah individu. Perambahan banyaknya individu pada kelas ini erjadi karena kelahiran individu, sedangkan pengurangan banyaknya individu erjadi karena kemaian alami individu per sauan waku. Oleh karena iu diperoleh persamaan diferensial sebagai beriku : ds d I b S S. (3.1) N b. Perubahan banyaknya individu yang erinfeksi (infecious) erhadap waku Perubahan banyaknya individu kelas infecious dipengaruhi oleh berambahnya individu yang erlular penyaki Tuberculosis dan berkurangnya individu karena kemaian yang disebabkan oleh fakor lain per sauan waku sera kemaian individu karena penyaki Tuberculosis per sauan waku. 4

5 Selain iu, berkurangnya individu pada kelas infecious juga dipengaruhi oleh individu yang sembuh seelah erjangki penyaki Tuberculosis dengan laju c. Sehingga didapakan persamaan diferensial sebagai beriku : di d I b S I I ci N I = b S ( c) I. N (3.) c. Perubahan banyaknya individu yang sembuh (recovered) erhadap waku Individu pada kelas infecious yang elah sembuh dari penyaki Tuberculosis selanjunya akan masuk ke dalam kelas recovered dengan laju kesembuhan c. Oleh karena iu, diperoleh persamaan diferensial sebagai beriku : dr ci R. (3.3) d Berdasarkan deskripsi dari Persamaan (3.1), (3.), dan (3.3) maka diperoleh sisem persamaan diferensial sebagai beriku : ds I b S S d N di I = b S ( c) I d N dr ci R d (3.4) dengan N S I R. 43

6 C. Analisis Model Penyebaran Penyaki Tuberculosis 1. Tiik Ekuilibrium Pada model maemaika penyebaran penyaki Tuberculosis selanjunya akan dicari iik ekuilibrium dengan cara membua sisem ersebu dalam kondisi ds konsan erhadap waku, yaiu kondisi dimana, d di d, dr dan. d Sehingga dari sisem Persamaan (3.4) diperoleh iik ekuilibrium yang disajikan dalam Teorema 3.1. sebagai beriku : Teorema 3.1. (Eksisensi Tiik Ekuilibrium) a. Jika I, maka Sisem Persamaan (1.4) memiliki iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),,. b. Jika I, maka Sisem Persamaan (1,4) memiliki iik ekuilibrium endemik : b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b dengan syara b c. Buki : ds Sisem Persamaan (3.4) akan mencapai iik ekuilibrium apabila, d di d, dr dan. Sehingga Sisem (3.4) dapa diulis : d I b S S (3.5) N 44

7 I b S ( c) I (3.6) N ci R. (3.7) Berdasarkan Persamaan (3.6), diperoleh : I b S ( c) I N bs I ( c) N I. (3.8) Dan jika I bs N ( c) ( c) S N b ( c)( S I R) S b ( c) S ( c)( I R) S b b b c ( c)( I R) S b b ( c)( I R) S. b c (3.9) a. Dari Persamaan (3.8) dan Persamaan (3.7) diperoleh : ci R 45

8 R R. (3.1) Dari Persamaan (3.5), (3.8) dan (3.1) diperoleh: I b S S N S S. (3.11) Oleh karena iu, diperoleh iik ekuilibrium E ( S, I, R),, sehingga erbuki sisem Persamaan (1.4) memiliki iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),,. b. Unuk seiap I arinya I maka pada Persamaan (3.7) diperoleh : R I. (3.1) c Subsiusikan Persamaan (3.1) pada Persamaan (3.9) diperoleh : c R c ( c) S. b c (3.13) Subsiusikan Persamaan (3.13) pada Persamaan (3.5) diperoleh : R R c ( c) c b N cn b c b c 46

9 c 1 c b c R c c b R c b c cb c cb R. (3.14) Subsiusikan Persamaan (3.14) pada Persamaan (3.1) diperoleh : I cb c c c b I b c cb, I. (3.15) Supaya I maka diperoleh : b c cb b c b b c b c 1 b c 1 b b c 47

10 b c. Subsiusikan Persamaan (3.14) pada Persamaan (3.13) diperoleh : c b c c ( c) S c b cb c ( c) S. b (3.16) Berdasarkan Persamaan (3.14), (3.15), dan (3.16) diperoleh iik ekuilibrium sebagai beriku : b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b dengan syara b c. Jadi erbuki jika I, maka Sisem Persamaan (3,4) memiliki iik ekuilibrium endemik : b b ( c) c c c E1 S, I, R,,. b c b c b. Bilangan Reproduksi Dasar R Bilangan reproduksi dasar R adalah jumlah raa-raa dari kasus sekunder yang disebabkan oleh individu yang erinfeksi selama masa erinfeksinya dalam suau populasi individu renan. Jika R 1 penyaki idak 48

11 menyerang populasi aau erbebas dari infeksi, namun jika R 1 maka seiap penderia sanga mungkin unuk menyebarkan penyaki kepada lebih dari 1 penderia baru, sehingga dapa menyebabkan endemik. Bilangan reproduksi dasar R dapa dienukan menggunakan meode nex generaion marix dari Sisem Persamaan (3.4). Pada model maemaika ersebu, kelas erinfeksi adalah Infecious (I) sehingga persamaan diferensial yang digunakan sebagai beriku: di I = b S ( c) I (3.17) d N maka diperoleh: I b S dan = c I. N Selanjunya dan dilinearisasi, diperoleh hasil linierisasi sebagai beriku: bs bsi F dan V c N N Kemudian akan dicari 1 V diperoleh: V c 1 1 Nex generaion marix diperoleh dari hasil perkalian F dan 1 V sebagai beriku: 49

12 K bs bsi bs bsi 1 N N. 1 FV N N c c (3.18) Pada awal kemunculan penyaki pada populasi, hampir semua individu renan erhadap penyaki, sehingga S pada Persamaan (3.18) dapa didekai dengan menggunakan iik ekuilibrium bebas penyaki. Sehingga langkah selanjunya, yaiu mensubsiusi E ( S, I, R),, pada Persamaan (3.18), diperoleh: K b. (3.19) c Dari Persamaan (3.19) diperoleh nilai eigen, yaiu b. Sehingga bilangan c reproduksi dasar R dari Sisem Persamaan (3.4) sebagai beriku: R b c. (3.) 3. Analisis Kesabilan Nilai eigen berfungsi unuk mencari kesabilan dari iik ekuilibrium pada sisem. Nilai eigen dapa dienukan menggunakan mariks Jacobian MJ unuk seiap iik ekuilbrium. Kesabilan iik ekuilibrium dari Sisem Persamaan (3.4) disajikan dalam Teorema 3.. dan Teorema 3.3. sebagai beriku : 5

13 Teorema 3.. a. Jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, sabil asimoik lokal b. Jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, idak sabil Buki: Hasil linearisasi Sisem (3.4) akan diperoleh mariks Jacobian: f f f bi bsi bs bsi bsi S I R N N N N N g g g bi bsi bs bsi bsi MJ c S I R N N N N N h h h c S I R (3.1) Subsiusikan E pada Persamaan (3.1) diperoleh: b MJ1 MJ b c,, c Selanjunya akan dicari persamaan karakerisiknya unuk, yaiu: de( MJ I) 1 b b c c 51

14 b c Sehingga nilai eigen unuk iik ekuilibrium E adalah: 1,, 3 b c (3.) a. Akan diunjukkan jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, sabil asimoik lokal. Jika R 1 maka : b 1 c b c b c Oleh karena iu, Persamaan (3.) semuanya bernilai negaif. Sehingga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, sabil. b. Akan diunjukkan jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, idak sabil. Jika R 1 maka : b c 5

15 Jadi jika R 1 membua Persamaan (3.) idak semuanya bernilai negaif karena nilai 3. Sehingga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium bebas penyaki E ( S, I, R),, idak sabil. Teorema 3.3. a. Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b idak sabil b. Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b sabil asimoik lokal. Buki: Subsiusikan E 1 pada Persamaan (3.1) diperoleh: MJ MJ ( c) b b, c c, c b cb cb MJ A A A L A MA LM LM L LM LM, A A A c 53

16 dengan J c, K b, L b c, M c, dan A b c. Selanjunya akan dicari persamaan karakerisiknya unuk, yaiu: de MJ I A A A L A A MA LM LM L LM A LM A A A c. Sehingga nilai eigen unuk iik ekuilibrium E 1 adalah : L A L M A L M A A A L MA L M L M A A A L A LM A LMc L MA LM LMc L 3 M AL L 3 Mc AL M A ALMc L MA L 3 M L 3 Mc AL ALM A 54

17 ALMc L MA A L LM A LMc L M Selanjunya diperoleh:. (3.3) 1 dan L LM A LMc L M L L M LM A A LMc L M A L LM A L M LMc L M A L L M A LM L c A Lb bj LM L K L A b L J LMK A b b LMK Persamaan (3.4) dapa diulis menjadi (3.4) a a a (3.5) 1 dengan a A a b b 1 a LMK. 55

18 Menuru krieria Rouh Hurwiz, semua nilai eigen Persamaan (3.5) bagian realnya bernilai negaif sehingga a, a1, dan a. Berdasarkan Persamaan (3.5), nilai a A sudah pasi bernilai posiif karena a A b c. Selanjunya akan diselidiki a 1 dan a harus bernilai posiif, yaiu: dan sehingga diperoleh b a1 b b (3.6) a LMK b c cb b cb b dan b c. (3.7) Buki: a. Akan dibukikan bahwa Jika R 1 maka iik ekuilibrium b b ( c) c c c E1 S, I, R,, b c b c b idak sabil 56

19 Berdasarkan Persamaan., unuk R 1 diperoleh b 1 c b c. (3.8) Pada Persamaan (3.8) erliha bahwa persamaan ersebu berlawanan dengan Persamaan (3.7), sehingga erbuki unuk R 1 maka iik ekuilibrium E 1 idak sabil. b. Akan diunjukkan bahwa iik ekuilibrium E 1 akan sabil asimoik lokal jika R 1 Berdasarkan Persamaan 3., unuk R 1 diperoleh b 1 c b c. (3.9) Persamaan (3.9) sama dengan Persamaan (3.7) sehingga erbuki jika R 1 maka iik ekuilibrium E 1 sabil asimoik lokal. D. Analisis Numerik Model SIR pada Penyebaran Penyaki Tuberculosis Analisis numerik menggambarkan lebih jelas mengenai model penyebaran penyaki Tuberculosis dengan menggunakan parameer-parameer dan nilai awal erenu. Pada subbab ini akan membahas mengenai analisis numerik jika R 1 dan R 1 dengan nilai awal dan parameer erenu. 57

20 Pada ahun 14, menuru profil kesehaan ahun 15 di koa Yogyakara erdapa penemuan kasus penderia Tuberculosis sebanyak 491 jiwa. Jumlah penduduk koa Yogyakara pada saa iu sebanyak jiwa dengan.96 jiwa penduduk laki-laki dan jiwa penduduk perempuan. Berdasarkan permasalahan nyaa yang erjadi di koa Yogyakara diperoleh nilai awal unuk S 4135, I 491, dan R 4. Selain iu juga diperoleh banyaknya kelahiran sebesar Banyaknya kemaian yang disebabkan oleh penyaki Tuberculosis adalah 1 orang dalam 1 ahun, sehingga x , x1. Selanjunya diasumsikan bahwa raaraa usia hidup seseorang adalah 7 ahun aau 84 bulan, sehingga diperoleh , x1. 1. Simulai R 1 Unuk R 1, diberikan nilai-nilai parameer supaya memenuhi syara R 1, yaiu b,15 dan c,7 (Fredlina, K. Queen, dkk, 1). Jika nilai-nilai parameer disubsiusikan pada Persamaan (3.) maka diperoleh nilai R, Dari nilai awal dan parameer-parameer ersebu, dengan demikian diperoleh simulasi R 1 yang diunjukkan pada Gambar 3.. sebagai beriku: 58

21 Gambar 3.. Grafik Simulasi unuk R, Pada Gambar 3.. erliha perubahan populasi S, I, dan R erhadap waku. Populasi I dan R mendekai nilai nol aau bahkan bisa menuju nol, sedangkan populasi S mengalami peningkaan. Hal ini menunjukkan bahwa perilaku solusi semakin lama akan menuju iik E aau dapa dikaakan bahwa pada saa R 1 maka semakin lama penyaki Tuberculosis akan hilang dari populasi. Nilai numerik unuk E adalah S* , ; I* ; dan R*.. Simulasi R 1 Unuk R 1, diberikan nilai-nilai parameer supaya memenuhi syara R 1, yaiu b,97 dan c,3 (K. Queena Fredlina, dkk, 1). Jika 59

22 nilai-nilai parameer disubsiusikan pada Persamaan (3.) maka diperoleh nilai R 3, Nilai-nilai parameer ersebu memberikan simulasi unuk R 1 sebagai beriku: Gambar 3.3. Grafik Simulasi unuk R 3, Berdasarkan Gambar 3.3. menunjukkan bahwa populasi suscepible semakin menurun sedangkan populasi infecious semakin meningka dan melebihi populasi suscepible kurang lebih seelah 15. Walaupun populasi recovered semakin meningka, namun populasi infecious mengalami peningkaan yang cukup cepa karena ingka kesembuhan penyaki Tuberculosis yang masih rendah. Hal ini menunjukkan bahwa jika parameer yang erbenuk memenuhi syara R 1 maka penyaki Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik 6

23 unuk E 1 yang dihasilkan dari parameer-parameer yang memenuhi syara R 1 adalah S* 6968, ; I* , ; dan R* 9713, Selanjunya diberikan simulasi dengan nilai awal dan parameer yang sama, namun dengan nilai b, 8 dan c,3. Jika nilai parameer disubsiusikan pada Persamaan (3.) maka diperoleh nilai R Gambar 3.4. Grafik Simulasi unuk R Pada Gambar 3.4. erliha bahwa populasi suscepible semakin menurun kurang lebih seelah 5 dan populasi infecious meningka melebihi populasi suscepible keika kurang lebih 1. Pada Gambar 3.4. populasi recovered juga erliha meningka, namun hal ersebu idak mempengaruhi populasi 61

24 suscepible karena populasi infecious meningkanya sanga cepa sehingga peenyaki Tuberculosis akan menjadi endemik. Nilai numerik yang dihasilkan adalah S* 7794, ; I* , ; dan R* 35953, Pada Gambar 3.5. menunjukkan grafik simulasi dengan nilai awal dan parameer yang sama, namun dengan nilai b, 97 dan c,15 sehingga diperoleh R 3, Gambar 3.5. Grafik Simulasi unuk R 3,19313 Berdasarkan Gambar 3.5. populasi suscepible akan semakin menurun seelah mencapai puncaknya, yaiu kurang lebih 6 dan populasi infecious akan 6

25 semakin meningka bahkan akan melebihi populasi suscepible pada kurang lebih seelah 14. Populasi recovered idak ampak begiu jelas peningkaannya, sehingga penyaki Tuberculosis dapa dikaakan menjadi endemik. Nilai numerik yang dihasilkan adalah S* 6147, ; I* , ; dan R* 15866,