BAB II TINJAUAN PUSTAKA. pengantar metode ARIMA Box Jenkins dan analisis spektral.

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pedahulua Pada Bab II aka dijelaska pegeria pegeria da eori dasar yag diguaka sebagai ladasa pembahasa pada bab selajuya. Teori yag aka dibahas pada Bab II ii secara garis besar yaiu melipui aalisis daa dere waku, pegaar meode ARIMA Box Jekis da aalisis spekral. Cuaca adalah keadaa feomea fisik dari amosfer (yag berhubuga dega suhu, ekaa udara, agi, awa, kelembaba udara, radiasi, jarak padag/visibiliy, dsb) di suau empa da pada waku ereu. Cooh Pegamaa cuaca dilakuka seiap hari. Dalam hal ii daa yag diambil sebagai pegamaa yaiu daa cuaca dari koa Surabaya dari periode waku okober 004 sampai dega desember 0. Cuaca juga merupaka salah sau fakor yag meeuka keberhasila pada sekor peraia. Dalam skala waku perubaha cuaca aka membeuk pola aau siklus ereu, baik haria, musima, ahua maupu siklus beberapa ahua. Selai perubaha yag berpola ereu, akivias mausia meyebabka pola iklim berubah secara berkelajua, baik dalam skala global maupu skala lokal. Sehigga dega meelaah beberapa fakor peeu keberhasila sekor peraia dalam hal ii salah sauya adalah fakor cuaca, maka diharapka bisa bermafaa dalam meeuka musim aam da megeahui secara dii megeai seraga hama peraia yag dapa mucul pada kodisi cuaca ereu. Pada dasarya seiap ilai dari hasil pegamaa (daa) selalu dapa dikaika dega waku pegamaaya. Haya pada saa melakuka aalisis, variabel waku 6

2 7 dega pegamaa serig idak dipersoalka. Dalam hal kaia variabel waku dega pegamaa diperhaika, sehigga daa diaggap sebagai fugsi aas waku, maka daa seperi ii disebu daa dere waku (ime series). Bayak persoala dalam ilmu erapa yag daaya merupaka daa dere waku, salah sauya dalam bidag ilmu fisika megeai klimaologi.. Aalisis Dere Waku Pada dasarya seiap ilai dari hasil pegamaa (daa) selalu dapa dikaika dega waku pegamaaya. Haya pada saa melakuka aalisis, variabel waku dega pegamaa serig idak dipersoalka. Dalam hal kaia variabel waku dega pegamaa diperhaika, sehigga daa diaggap sebagai fugsi aas waku, maka daa seperi ii disebu daa dere waku (ime series). Bayak persoala dalam ilmu erapa yag daaya merupaka daa dere waku, misalya dalam bidag ilmu a. Ekoomi : bayak barag erjual dalam seiap hari, keuuga perusahaa dalam seiap ahu da oal ilai ekspor dalam seiap bula. b. Fisika : curah huja bulaa, emperaur udara haria da gerak parikel. c. Demografi : perumbuha peduduk, moralias da aalias. d. Biomedis : deyu adi, proses peyembuha da perumbuha mikroba. Karea daa dere waku merupaka regresi daa aas waku, da salah sau segi (aspec) pada daa dere waku adalah erlibaya sebuah besara yag diamaka Auokorelasi (auocorrelaio), yag secara kosep sama dega korelasi uuk daa bivaria dalam aalisis regresi biasa. Sigifikasi (keberaria) auokorelasi meeuka aalisis regresi yag harus dilakuka pada daa dere waku. Jika auokorelasi idak sigifika (dalam kaa lai daa dere waku idak berauokorelasi), maka aalisis regresi yag harus dilakuka adalah aalisis regresi sederhaa biasa, yaiu aalisis regresi daa aas waku. Sedagka jika sigifika

3 8 (berauokorelasi) harus dilakuka aalisis regresi daa dere waku, yaiu aalisis regresi aar ilai pegamaa. Segi lai dalam daa dere waku adalah kesasioera daa yag diklasifikasika aas sasioer kua (srickly saioer) da sasioer lemah (weakly saioer) da kesasioera ii merupaka kodisi yag diperluka dalam aalisis daa dere waku, karea aka memperkecil kekelirua baku. Dalam eori saisika, seiap daa dere waku dibagu aas kompoe red (T), siklis (S), musima (M, uuk daa bulaa) da residu (R) aau serig disebu kompoee acak. Beuk hubuga aara ilai daa dega kompoe kompoeya ersebu bisa bermacam macam da beuk hubuga yag serig diguaka adalah liier da muliplikaif. Jika Y pegamaa pada waku da hubuga dega kompoeya liier, maka persamaaya adalah, jika : bulaa (.), jika : ahua (.) da muliplikaif, maka persamaaya, jika : bulaa (.3) Y = T S R, jika : ahua (.4) Sebagai akiba dari erdapaya kompoe kompoe dalam daa dere waku da erjadiya hubuga aar kompoe, adalah berauokorelasiya aar pegamaa sehigga dapa dibagu sebuah hubuga fugsioal yag diamaka regresi dere waku. Dere waku adalah suau ragkaia aau seri dari ilai ilai suau variabel aau hasil observasi yag dicaa dalam jagka waku yag berurua (Amaja, 009:9). Meode dere waku (ime series) adalah meode peramala dega megguaka aalisis pola hubuga aara variabel yag aka diperkiraka dega

4 9 variabel waku aau aalisis dere waku, beberapa meode yag serig diguaka aara lai:. Meode Smoohig. Meode Box Jekis (ARIMA) 3. Meode Proyeksi Tred da Regresi Hal yag perlu diperhaika dalam melakuka peramala adalah pada gala (error), yag idak dapa dipisahka dalam meode peramala. Uuk medapaka hasil yag medekai daa asli, maka seorag peramal berusaha membua galaya sekecil mugki..3 Kawasa dalam Aalisis Dere Waku Sudah dikemukaka pada pejelasa di aas bahwa daa dere waku adalah daa yag merupaka fugsi aas waku da seiap daa dere waku dibagu oleh kompoe red, siklis, musima (uuk daa bulaa) da kompoe acak aau residu. Sehigga berdasarka kosep ersebu, aalisis daa dere waku dapa dilakuka dalam dua kawasa (domai), yaiu kawasa waku (ime domai) da kawasa frekuesi (frequecy domai). Dalam kawasa waku adalah elaah sigifikasi auokorelasi, kesasioera daa, peaksira parameer model regresi dere waku, da peramala (forecasig). Sedagka dalam kawasa frekuesi adalah elaaha frekuesi ersembuyi, yaiu frekuesi kompoe siklis yag suli diperoleh dalam kawasa waku, dega ujua uuk megeahui hal hal isimewa aau kodisi ereu pada daa. Salah sau aalisis daa dere waku yag serig diguaka dalam kawasa waku (ime domai) adalah peramala dega meode ARIMA Box-Jekis. Sedagka dalam peeliia ii aka diguaka aalisis daa dere waku dalam kawasa frekuesi (frequecy domai) dega megguaka meode aalisis

5 0 spekral. Aalisis spekal merupaka meode dalam aalisis dere waku yag jarag dibahas, padahal peraaya saga besar dalam melegkapi iformasi megeai cirri (characers) daa dere waku. Aalisis ii membahas megeai cara meelaah periodisias daa ersembuyi (hidde periodeciies) yag suli diperoleh pada saa kajia dilakuka pada kawasa waku. Kajia periodisias daa perlu dilakuka uuk memberika iformasi megeai karakerisik dari daa dere waku ersebu, da harus dilakuka pada kawasa frekuesi melalui aalisis spekral (Mulyaa, 004)..4 Meode ARIMA Box-Jekis Seperi yag sudah dijelaska di aas bahwa salah sau aalisis dere waku yag serig diguaka dalam kawasa waku (ime domai) adalah peramala dega meode ARIMA Box-Jekis. Pegeria ime series disii adalah dere aau urua observasi aau pegamaa da biasaya urua ii berdasarka waku (Wei, 994). Aalisis diperkealka perama kali pada ahu 970 oleh George E.P. Box da Gwilym M. pedekaa ime series dapa megguaka meode aalisis fugsi auokorelasi da fugsi auokorelasi parsial uuk mempelajari perubaha daa dere waku. Uuk model paramerik serigkali dikeal dega aalisis domai waku ARIMA (Vo Sorch da Zwier, 999). Pola cuaca/iklim di Idoesia cederug membeuk pola musima, oleh karea iu perlu diramalka melalui model musima ARIMA (p,d,q) (P,D,Q) S (Nuryadi, 005), dega persamaa umum sebagai beriku: φ ( = θ a (.5) p S d S D S B ) φp ( B )( B) ( B ) Z θ q ( B) Q ( B )

6 dimaa: p, d, q = orde AR (Auoregresisive), MA (Movig Average) da pembedaa (differecig) o musima, P, D, Q = orde AR (Auoregresisive), MA (Movig Average) da pembedaa (differecig) musima, p φ p (B) = ( φb φb K φ pb ), φ S ( B ) = ( S S PS φ B φ B K φ B ), P d ( B) = orde pembedaa (differecig) o musima, q θ q (B) = ( θb θ B K θ qb ), S S S QS θ ( B ) = ( θ B θ B K θ B ), Q Z = Z µ. P Q Meode ARIMA merupaka meode yag idak melibaka variabel predikor. Bey (003) meyebuka bahwa ARIMA adalah salah sau meode sokasik yag saga bermafaa uuk membagkika proses (daa) dere waku dimaa seiap kejadia salig berkorelasi. Namu demikia meode ARIMA saga kea erhadap asumsi (daa da residual whie oise) da diguaka uuk daa yag berpola liier (Suiko, 005)..5 Aalisis Spekral Pada pejelasa sebelumya sudah dieragka bahwa aalisis daa dere waku dapa dilakuka dalam dua kawasa (domai), yaiu kawasa waku (ime domai) da kawasa frekuesi (frequecy domai). Salah sau cooh aalisis dalam domai waku (ime domai) adalah peramala (forecasig) dega meode ARIMA Box- Jekis. Sedagka dalam peeliia ii aka membahas aalisis dere waku yag dilakuka dalam kawasa frekuesi (frequecy domai), yaiu dega megaalisis periodisias daa ersembuyi (hidde periodeciies) yag suli

7 diperoleh pada saa kajia dilakuka pada kawasa waku. Meode yag diguaka adalah aalisis spekral. Aalisis spekral aau diamaka juga aalisis spekrum, dikealka oleh A.Schuser seorag pekerja sosial, pada akhir abad ke 0 dega ujua mecari periode ersembuyi dari daa. Pada saa ii aalisis spekral diguaka pada persoala peaksira spekrum uuk seluruh selag frekuesi. M. S. Barle da J.W. Tukey, megembagka aalisis spekral moder sekiar ahu keiga abad ke 0 da eoriya bayak diguaka para peggua di bidag klimaologi, ekik kelisrika, meeorologi da ilmu kelaua. Tidak seperi meode ARIMA yag saga kea erhadap asumsi (daa da residual whie oise), kelebiha dari aalisis spekral yaiu pegguaaya lebih prakis, karea dari daa yag diperoleh bisa lagsug diolah apa adaya asumsiasumsi yag harus dipeuhi erlebih dahulu. Aalisis spekral ermasuk dalam kawasa frekuesi uuk meelaah periodesias ersembuyi, yaiu periodesias yag suli diemuka dalam kawasa waku. Aalisis ii dilakuka jika diperluka iformasi megeai periodesias hal hal yag bersifa khusus, uuk melegkapi hasil aalisis dalam kawasa waku. Aalisis Spekral juga merupaka suau meode uuk melakuka rasformasi siyal daa dari domai waku ke domai frekuesi, sehigga kia bisa meliha pola periodikya uuk kemudia dieuka jeis pola yag erliha. Pada dasarya meode ii merupaka aalisis saisik iferesial (dapa disimpulka) yag berdasarka kosep frekuesi. Secara visual digambarka dega spekrum. Kosep dasar aalisis spekral yaki megiug da meggambarka periodogram dari daa.

8 3.6 Model dalam Aalisis Spekral Secara umum persamaa kurva cosius yaiu Y = R cos( π f + Φ) (.8) dimaa R(> 0) adalah ampliudo, f (frekuesi) da Φ adalah fase dari kurva. Jika kurva berulag seiap f ui waku, maka f disebu periode dari gelombag cosius. Gambar. Kurva Kosius dega = 96 da Dua Frekuesi da Fase Pada Gambar. meujukka dua kurva cosius diskri dega waku berjala dari sampai 96. Dari cooh gambar pola frekuesi dikeahui masig masig pada frekuesi ke 4/96 da 4/96. Kurva frekuesi redah memiliki fase ol, sedagka kurva frekuesi yag lebih iggi memiliki fase 0.6π. Gambar. meujukka grafik kombiasi liier dari dua kurva cosius. Pada kurva ersebu frekuesi redah memiliki ilai peggada sebayak, sedagka kurva frekuesi yag lebih iggi memiliki ilai peggada sebayak 3 da fase yag dikeahui yaiu 0.6π. Secara maaemais persamaa dari Gambar. yaiu sebagai beriku Y 4 4 = cos π + 3cos π (.9) 96 96

9 4 Gambar. Kombiasi Liier dari Dua Kurva Cosius Pada Persamaa (.8) idak sesuai uuk megesimasi karea parameer R da Φ idak dalam beuk liier. Jadi Persamaa (.8) diubah dalam beuk persamaa sebagai beriku Y = R cos( π f + Φ) = Acos(πf ) + B si(πf ) (.0) dimaa R = A + B, Φ = a a( B A) (.) da sebalikya, A = R cos(φ), B = R si(φ) (.) Uuk megesimasi model pada Persamaa (.0) dapa dilakuka dega megguaka meode regresi kuadra erkecil biasa, dimaa cos( π f) da si( πf ) diguakka sebagai variabel predikor. Jika Y dipegaruhi oleh m kurva cosius dega ampliudo sembarag, maka model maemais dari frekuesi da fase dapa diulis sebagai beriku Y = A + m [ Aj cos( f j) + B j si(πf j ] π (.3) 0 ) j Model pada Persamaa (.3) idak lai adalah model maemais yag dapa diuliska dalam beuk persamaa regresi sebagai beriku

10 5 Y = α α β L α β + ε 0 + X + Z + + m X m + mz m (.4) dimaa X = cos( πf ) da Z si( πf ) j j j = j. Koefisie regresi 0 α, α,..., α m da β,..., β m pada model dapa diduga dega megguaka meode regresi kuadra erkecil biasa..7 Periodogram Kosep dasar aalisis spekral yaki megiug da meggambarka periodogram dari daa. Tujua dari perhiuga da peggambaraya sediri yaiu uuk megeahui berapa bayak jumlah ujug garis periodogram (peak) dari daa. Selai iu, pada plo periodogram erdapa besara ilai frekuesi (f ) dari daa yag aka diguaka sebagai perhiuga dalam pembeuka model. Grafik periodogram sediri yaiu plo hubuga aara fugsi spekrum kuasa aas frekuesiya. Perhiuga periodogram dapa dilakuka berdasarka ukura sampel. Uuk sampel gajil dega = k +, periodogram I pada frekuesi f = j uuk j =,,..., k, persamaaya didefiisika sebagai beriku Meuru Cryer (008:3), dimaa j ( f ) I = ( ˆ ) ˆ I = A j + B j (.5) A ˆ j = Y cos( π j ), B = j ˆ Y si(πj ) da A ˆ0 = Y. (.6) A ˆ0 = Y. (.7) Sedagka jika ukura sampelya adalah geap dega = k, dimaa j =,,..., k maka persamaaya adalah sebagai beriku

11 6 Aˆ k = ( ) Y da B ˆ k = 0 (.8) Pada Persamaa (.6) da (.7) masih berlaku uuk j =,,, k, eapi dega caaa bahwa = k = (frekuesi eksrim). Karea pada frekuesi eksrim, dimaa j = k, berlaku Persamaa sebagai beriku f k I = ( ˆ ) A k (.9) Keiggia dari periodogram meujukka kekuaa relaif pasaga cosius sius pada berbagai frekuesi dalam pola keseluruha daa dere waku. Sebagai cooh, Gambar.3 meujukka grafik dari dari periodogram uuk plo dere waku pada Gambar.. Keiggia garis pada gambar meujuka dua buah ujug garis (peak (m)) yag meadaka adaya dua kompoe cosius sius. Pada Gambar.3, grafik meujukka ilai dari frekuesi perama yaiu da ilai dari frekuesi kedua yaiu yag diadai pada sumbu frekuesi. Ariya jika kia erapka ke dalam model Persamaa (.4) aka mejadi model sebagai beriku Y = α + α X + β Z + L + α X + β Z + ε 0 dimaa X = cos( πf ) da Z si( πf ) j j j m m j m = maka m Y = α 0 + α cos( π (0.046) ) + β si(π (0.046) ) + α cos(π (0.4583) ) + β si(π (0.4583) ) + ε

12 7 I(f) Gambar.3 Periodogram dari Dere Waku pada Gambar. Uuk seri dalam jagka waku yag lama, perhiuga uuk mecari ilai dari koefisie regresi aka lebih rumi. Dega demikia uuk mempermudah melakuka perhiuga maka diguaka baua sofware saisika agar lebih efisie..8 Koefisie Deermiasi Koefisie deermiasi (goodess of fi) yag dioasika dega R merupaka suau ukura yag megiformasika baik aau idakya suau model yag diaksir. Aau dega kaa lai, agka ersebu dapa megukur seberapa deka ilai yag diaksir dega daa sesugguhya (Nachrowi, 006). Nilai koefisie deermiasi meujukka besar variasi dari respo yag dapa dijelaska oleh model. Adapu persamaa uuk meghiug ilai koefisie deemiasi adalah sebagai beriku R i= = ( Yˆ Y ) ( Yi Yi ) i= i i (.0)

13 8 dimaa : R Y i Y i Yˆ i = Koefisie Deermiasi = Jumlah Daa = Nilai Akual dari Daa = Nilai Raa-raa dari Daa = Nilai Prediksi dari Daa Nilai R berada di aara ilai 0 sampai. Nilai R sama dega 0, meujukka bahwa variasi respo idak dapa dijelaska oleh model sama sekali. Nilai R sama dega sau, meujukka bahwa variasi respo secara keseluruha dapa dijelaska oleh model. Nilai R x 00% merupaka besarya pegaruh predikor erhadap variasi respo dalam model. Pegaruh aka semaki kua da sigifika jika ilai R medekai ilai.