KAJIAN MODEL FRAKSIONAL PROSES DIFUSI. Siwi Tri Rahayu Universitas Jenderal Soedirman

Transkripsi

1 Prosidig Semiar Nasioal Maemaika da Terapaya 6 p-issn : ; e-issn : KAJIAN MODEL FRAKSIONAL PROSES DIFUSI Siwi Tri Rahayu Uiversias Jederal Soedirma 53siwi@gmailcom Bambag Hedriya Guswao Uiversias Jederal Soedirma Nike Larasai Uiversias Jederal Soedirma ABSTRACT This research discusses he derivaio of he model ad fudameal soluio of subdiffusio equaio Subdiffusio equaio model is derived from maser equaio obaied from Coiuous Time Radom Walk (CTRW) prosess usig Capuo fracioal derivaive ad he Probabiliy Desiy Fucio (PDF) of waiig ime of paricle jump which is opoissoia Whe he waiig ime probabiliy desiy is Poissoia we obai he ormal diffusio equaio The moveme of paricle i ormal diffusio process is characerized by he paer of Mea Square Displaceme (MSD) which is liear wih respec o ime While i subdiffusio process MSD is oliear wih respec o ime ha is The fudameal soluio of subdiffusio equaio model is resriced o he The derivaio of he model ad fudameal soluio of subdiffusio equaio is doe usig Laplace rasform ad Fourier rasform Keywords: diffusio equaio subdiffusio equaio Laplace rasform Fourier rasform fudameal soluio ABSTRAK Peeliia ii megkaji peurua model da peyelesaia fudameal persamaa subdifusi Model persamaa subdifusi diuruka dari maser equaio yag diperoleh dari proses Coiuous Time Radom Walk (CTRW) dega megguaka urua fraksioal Capuo da Probabiliy Desiy Fucio (PDF) uuk waku uggu erjadiya lompaa parikel yag berdisribusi opoissoia Keika PDF uuk waku uggu berdisribusi Poissoia maka diperoleh persamaa difusi biasa Pergeraka parikel pada proses difusi biasa diadai dega pola Mea Square Displaceme (MSD) yag bersifa liier erhadap waku Semeara iu pergeraka parikel pada proses subdifusi megikui pola MSD yag bersifa oliier erhadap waku uuk Peyelesaia fudameal dari model persamaa subdifusi yag diperoleh dibaasi haya uuk variabel Peurua da peyelesaia model persamaa subdifusi dilakuka dega megguaka rasformasi Laplace da rasformasi Fourier Kaa kuci: persamaa difusi persamaa subdifusi rasformasi Laplace rasformasi Fourier solusi fudameal

2 Kajia Model Fraksioal Proses Difusi 4 PENDAHULUAN Difusi merupaka perpidaha za yag erjadi karea adaya gerak acak molekul za da adaya perbedaa koserasi za (Jorgese ) Proses meyebarya gas ammoia (NH 3 ) di udara erlaruya oksige (O ) ke dalam air aau peyebara secara meraa dari beberapa ees pewara makaa yag dimasukka ke dalam wadah berisi air merupaka beberapa cooh proses difusi Pada umumya za yag berdifusi bergerak dari daerah yag koserasiya iggi ke daerah yag koserasiya redah (Giacoli ) Selai iu hasil pergeraka mikroskopis dari kumpula parikel pada sel bakeri baha kimia hewa da sebagaiya di maa masig-masig parikel biasaya bergerak secara acak da meyebar di sekiarya juga dapa disebu sebagai proses difusi (Murray ) Pergeraka-pergeraka parikel ii dapa dimodelka dalam beuk persamaa maemaika Dalam bidag saisika Mea Squared Displaceme (MSD) adalah ukura yag biasa diguaka pada proses pergeraka acak (radom walk) Salah sauya pada persamaa difusi yag dapa dieuka sesuai dega pola dari MSD Proses difusi dapa dimodelka dega persamaa q ( x ) Dq( x ) x dega D adalah koefisie difusi da adalah operaor urua ke dua erhadap variabel ruag x Persamaa di aas diamaka sebagai persamaa difusi biasa di maa pergeraka parikel megikui pola x ) ~ ( dega x ( ) adalah MSD pada saa Persamaa di aas meggambarka proses difusi secara umum eapi erdapa beberapa proses difusi yag idak dapa lagi dimodelka dega persama ersebu Beberapa peeliia meujukka bahwa erdapa beberapa pola pergeraka parikel yag idak dapa dimodelka dega persamaa difusi biasa seperi dispersi pada akuifer yag heeroge (Adams dkk 99) peyebara io pada suau eksperime kolom (Haao dkk 998) difusi air aah (Laffaldao Purwokero 3 Desember 6

3 5 S T Rahayu dkk dkk 5) da peyebara koamia pada formasi geologi (Berkowiz dkk 6) Berbeda dega proses difusi biasa proses-proses di aas megikui pola x ( ) ~ Proses ii diamaka subdifusi yag dapa dimodelka dega persamaa D q( x ) D q( x ) x dega D adalah koefisie subdifusi da fraksioal ipe Capuo orde yag didefiisika dega D ( ) Da f ( ) D f ( ) d a ( ) adalah operaor urua Berdasarka uraia ersebu peulis erarik uuk megkaji peurua model da peyelesaia persamaa subdifusi ersebu bagaimaa Berdasarka laar belakag di aas diperoleh rumusa masalah yaiu peurua da peyelesaia model persamaa subdifusi Baasa masalah yag diguaka dalam peeliia ii adalah model diuruka dari proses Coiuous Time Radom Walk (CTRW) urua fraksioal yag diguaka adalah urua fraksioal Capuo da peyelesaia model persamaa subdifusi dibaasi haya uuk variabel Tujua dari peeliia ii adalah uuk medapaka model da peyelesaia persamaa subdifusi yag dapa dimafaaka uuk mejelaska proses-proses difusi yag idak dapa dimodelka secara baik oleh persamaa difusi biasa METODE PENELITIAN Meode peeliia yag diguaka adalah sudi pusaka yaiu dega megkaji maeri dari berbagai sumber seperi buku jural aau skripsi yag berkaia dega peeliia ii Peeliia ii dilakuka uuk megkaji peurua model da peyelesaia persamaa subdifusi Model diuruka dari proses CTRW uuk membeuk persamaa yag disebu sebagai maser equaio melalui pegguaa rasformasi Laplace da Fourier Maser equaio ii megadug Probabiliy Desiy Fucio (PDF) dari waku uggu da arah lompaa yag erliba dalam proses CTRW ersebu Pada proses CTRW ii Purwokero 3 Desember 6

4 Kajia Model Fraksioal Proses Difusi 6 waku uggu erjadiya lompaa yag diguaka berdisribusi Poissoia yag meghasilka persamaa difusi biasa da berdisribusi opoissoia yag meghasilka persamaa subdifusi Uuk meyelesaika persamaa subdifusi ii rasformasi Laplace da Fourier juga mempuyai pera peig Persamaa subdifusi dikoversi beukya erlebih dahulu melalui kedua rasformasi ersebu Kemudia dega baua pasaga rasformasi Laplace dari fugsi Miag-Leffler da pasaga rasformasi Fourier dari fugsi Wrigh peyelesaia fudameal persamaa subdifusi dapa diperoleh 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada hasil da pembahasa ii dibahas megeai model persamaa subdifusi da peyelesaia fudameal dari model ersebu 3 Peurua Model Subdifusi Teori CTRW merupaka eori yag berkaia dega pergeraka acak parikel Pergeraka acak suau parikel di yag megalami seragkaia lompaa dipegaruhi oleh waku uggu erjadiya lompaa da arah lompaa Waku uggu erjadiya lompaa erdisribusi secara idepede da ideik Misalka ( ) adalah PDF uuk waku uggu erjadiya lompaa pada saa da T( x y ) adalah PDF uuk arah lompaa dari iik y ke x Oleh karea iu waku uggu erjadiya lompaa dari iik y pada saa ke iik x pada saa mempuyai PDF ( ) Selai iu diasumsika bahwa T( x y) T( x y) Sesuai dega asumsi dasar pada proses CTRW disribusi dari waku uggu da arah lompaa salig idepede Keduaya memeuhi kodisi ormalisasi ( ) d da T ( x ) dx Selajuya misalka Q ( x ) merupaka peluag bersyara parikel k mecapai x pada saa seelah k lagkah dega posisi awal x da Uuk x da maka Purwokero 3 Desember 6

5 7 S T Rahayu dkk Q ( x ) ( ) T( x y) Q ( y ) dyd k Oleh karea iu parikel yag mecapai x pada saa mempuyai PDF sebagai beriku Q( x ) Q ( x ) k k k Q ( x ) ( ) T( x y) Q ( y ) dyd k Q ( x ) ( ) T( x y) Q( y ) dyd Karea Q ( ) x merupaka fugsi Dela Dirac yaiu maka Q ( x ) ( x) ( ) Q( x ) ( x) ( ) ( ) T( x y) Q( y ) dyd Selajuya misalka q( x ) merupaka peluag parikel berada pada posisi x da pada saa dega posisi awal x da maka q( x ) ( ; x) Q( x ) d dega ( ; x) merupaka PDF dari parikel yag mecapai x pada saa da idak melompa dalam sisa wakuya ( ) Perhaika bahwa ( ; x) ( ) dega ( ) ( r ) dr ( r ) dr yag berari bahwa parikel idak melompa dalam ierval waku () Oleh karea iu q( x ) ( ) Q( x ) d ( ) ( x) ( ) ( r) T ( x y) Q( y r) dydr d ( ) ( x) ( ) ( r) d T ( x y) Q( y r) dydr ( ) ( x) ( ) ( r) d T( x y) Q( y r) dydr r r () ( ) ( x) ( ) T( x y) q( y ) dyd k Purwokero 3 Desember 6

6 Kajia Model Fraksioal Proses Difusi 8 Dega megguaka rasformasi Laplace da Fourier uuk f() da gx ( ) maka diperoleh L s f ( s) e f ( ) d ikx F { g( x)} gˆ ( k) e g( x) dx ˆ( () s q k s) ( s) qˆ ( k s) Tˆ ( k ) () s Jika kedua ruas persamaa () dibagi dega ( s) maka Jika maka Jika kedua ruas dikuragi dega maka qˆ( k s ) ( s) qˆ ( k s) Tˆ ( k) ( s) s ( s) ( s) Hs ( ) ( s) qˆ( k s ) Hs () qˆ ( k s) Tˆ ( k) ( s) s qˆ( k s ) ( s ) () s q ˆ( k s ) H ( s) q ˆ( k s ) T ˆ( k ) q ˆ ( k s) (3) s Ivers rasformasi Laplace da Fourier dari persamaa (3) adalah q ( x ) q ( x ) H ( ) q ( x ) ( ) ( ) T x y q y dy d (4) Persamaa (4) disebu sebagai maser equaio Keika PDF dari waku uggu () adalah Poissoia yaiu maka rasformasi Laplace dari () adalah () f e ( ) Purwokero 3 Desember 6

7 9 S T Rahayu dkk Oleh karea iu ( s) s () s Hs () () s s da H ( ) Dega demikia persamaa (4) mejadi q( x ) q( x) q( x ) d T( x y) q( y ) dyd T( x y) q( y ) q( x ) dyd (5) Turua perama erhadap dari persamaa (5) adalah q ( x ) T( y x)[ q( y ) q( x )] dy Diasumsika bahwa maka diperoleh Uuk x T ( y x ) ( y x ) q ( x ) ( ) ( ) ( ) y x q x y x dy T x T x xt( ) i x dx i ( x) x x T( x) dx i j ij i j ( x) q ( x ) q( x ) () diperoleh persamaa q ( x ) ( ) D q x (6) Persamaa (6) disebu persamaa difusi dega koefisie difusi D ( x) da adalah operaor urua kedua erhadap variabel ruag x Selajuya persamaa subdifusi diperoleh dari maser equaio pada persamaa (4) dega PDF uuk waku uggu () adalah opoissoia yaiu Purwokero 3 Desember 6

8 Kajia Model Fraksioal Proses Difusi dega E adalah fugsi Miag-Leffler E ( ) E (7) z ( z) ( ) z Trasformasi Laplace dari persamaa (7) adalah sehigga ( s) s () s Hs () () s s Dega demikia persamaa (4) mejadi dega da H ( ) ( ) ( ) q( x ) q( x) T( x y) qy ( ) q( x ) dyd ( ) J T( x y) qy ( ) qx ( ) dy (8) J merupaka iegral fraksioal Riemma-Lioufille yaiu ( ) Ja f ( ) f ( ) d a a a ( ) Karea urua fraksioal Riema-Liouville yaiu D a ( ) f ( ) D f ( ) d a a ( ) merupaka ivers kiri dari J maka D q( x ) q( x) T( x y) q( y ) q( x ) dy ( ) Berdasarka hubuga aara urua fraksioal Riema-Liouville D da urua fraksioal Capuo D yaiu maka diperoleh ( a) Da f ( ) D a f ( ) f ( a) a ( ) Purwokero 3 Desember 6

9 S T Rahayu dkk D q( x ) T( x y) q( y ) q( x ) dy (9) Keika x persamaa (9) dapa diulis sebagai dega D q( x ) D q( x ) () D ( x) Persamaa () disebu model persamaa subdifusi dega D merupaka koefisie subdifusi 3 Peyelesaia Fudameal Peyelesaia fudameal dari model persamaa subdifusi pada peeliia ii dibaasi haya uuk variabel dega D Jadi peyelesaia fudameal dari model persamaa subdifusi adalah peyelesaia dari persamaa dega D q( x ) q( x ) () q( x) ( x) Trasformasi Laplace da Fourier dari persamaa () adalah s qˆ( k s ) ( s k ) Dega memafaaka pasaga rasformasi Laplace dari fugsi Miag-Leffler da pasaga rasformasi Fourier dari fugsi M-Wrigh yaiu s L E ( c ) s c aau L s c / ( ) M x E k s s c E ( c ) ( ) F aau F E k M/ x () maka diperoleh dega q( x ) M / x ( ) W x (3) Purwokero 3 Desember 6

10 Kajia Model Fraksioal Proses Difusi W z ( z)! ( ) Persamaa (33) merupaka peyelesaia fudameal dari persamaa subdifusi Jika maka persamaa ersebu mejadi fugsi Gaussia x 4 q( x ) e yag merupaka peyelesaia dari persamaa difusi biasa Pergeraka parikel pada proses difusi biasa megikui pola x ( ) ~ sedagka MSD pada proses subdifusi megikui pola x ( ) ~ dega x ( ) adalah MSD pada saa 4 KESIMPULAN DAN SARAN Model persamaa difusi diuruka dari proses CTRW melalui rasformasi Laplace da Fourier sehigga meghasilka maser equaio Keika PDF dari waku uggu berdisribusi Poissoia diperoleh model persamaa difusi biasa dega pergeraka parikel pada proses ii megikui pola MSD yag liier erhadap waku Semeara iu keika PDF dari waku uggu berdisribusi opoissoia diperoleh model persamaa subdifusi dega pergeraka parikel pada proses subdifusi ii megikui pola MSD yag bersifa oliier erhadap waku uuk Peyelesaia fudameal dari model persamaa subdifusi diperoleh dega memafaaka pasaga rasformasi Laplace fugsi Miag-Leffler da pasaga rasformasi Fourier fugsi M-Wrigh yag dibaasi haya uuk variabel Peulis meyaraka agar peeliia selajuya megkaji eag peyelesaia fudameal persamaa subdifusi uuk variabel ruag Peeliia lebih laju juga dapa megkaji peurua model da peyelesaia fudameal dari proses difusi aomali yag lai yaiu super difusi Proses- Purwokero 3 Desember 6

11 3 S T Rahayu dkk proses difusi aomali dapa dikaji secara umerik Oleh karea iu peulis juga meyaraka uuk membahas eag kajia umerik proses difusi aomali DAFTAR PUSTAKA Adams EE da Gelhar L W Field Sudy of Dispersio i a Heerogeeous Aquifer Spaial Momes Aalysis Waer Resources Research 8() (99) Berkowiz B Coris A Dez M da Scher H Modelig No-Fickia Traspor I Geological Formaios as a Coiuous Time Radom Walk Reviews of Geophysics 44 RG3 (6) -49 Giacoli DC Fisika Alih Bahasa: Yuhilza Haum Jilid Edisi ke-6 Peerbi Erlagga Haao Y ad Haao N Dispersive Traspor of Ios i Colum Experimes: A Explaaio of Log-ailed Profiles Waer Resources Research 34(5) (998) 7-33 Jorgese SE Fudameal of Ecological Modellig Third Ediio Elsevier Laffaldao G Capuo M ad Mario S Experimeal ad Theoreical Memory Diffusio of Waer i Sad Hydrol Earh Sys Sci Discuss (5) Murray JD Mahemaical Biology I: A Iroducio Third Ediio Spriger- Verlag () Purwokero 3 Desember 6