INTEGRAL TAK TENTU (pecahan rasional) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 INTEGRL TK TENTU pecaha rasioal gusia Pradjaigsih, M.Si. Jurusa Maemaika FMIP UNEJ

2 DEFINISI Fugsi suku bayak derajad dega bula o egaif 0 dimaa, 0 a a a a a P Fugsi kosa dipadag sbg fugsi suku bayak derajad ol yaiu 0 0 a P

3 DEFINISI Fugsi pecaha rasioal adalah fugsi dega beuk N D dega N da D fugsi suku bayak. Dalam bagia ii aka dibahas mecari iegral ak eu dari fugsi pecaha rasioal yaiu N D

4 BENTUK N DN D. N=D. Derajad N idak kurag dari derajad D. Derajad N kurag dari derajad D

5 . N=D Dari rumus iegrasi dasar elah dikeahui bahwa d Sehigga jika N = D maka N d D D' d D D

6 a sec sec a sec sec a sec sec a sec & a sec rumusiegrasi dasar dari sec a sec sec a sec d d d d d d ooh sec d ari

7 . Derajad N idak kurag dari derajad D Jika derajad N derajad D, lebih dahulu dilakuka pembagia N oleh D, sehigga N D Q R D dega Q & R suku bayak dalam, da derajad R<derajad D.

8 Iegrasi Q sudah dapa dikerjaka. Iegrasi R D merupaka iegral fugsi pecaha rasioal dega deraja suku bayak pembilag kurag dari deraja suku bayak peyebu.

9 O N T O H d ari d d d d d ooh

10 . Derajad N kurag dari derajad D Tapa meguragi keumumaya, diambil koefisie suku pagka eriggi dari di dalam D adalah sau, kecuali dlm keadaa khusus iegral dapa disederhaaka dega megguaka subiusi. Pada beuk deraja N kurag dari deraja D maka iegrad dipisah lebih dahulu mejadi pecaha-pecaha parsiaya.

11 sehigga d d d d ooh d ari

12 Dalam memisahka N D aas pecahapecaha parsiaya, dibedaka keadaa akar-akar persamaa D=0 : a. Semua akar real da berlaia b. Semua akar real da ada yag sama c. Puya akar idak real yag berlaia d. Puya akar idak real yag sama

13 a. Semua akar real da berlaia Misalka D=0 puya akar a,b,c,d real da berlaia, maka D=-a-b-c-d yag Karea koefisie pagka eriggiya sau da deraja N idak melebihi iga maka N D a B b c D d uuk seiap ilai yag diberika maka ilai ruas kiri sama dega ilai ruas kaa, sedag,b, da D kosaa yag aka dicari.

14 D B 5 D B 5 ooh ari iegral beriku d 5

15 5 [ B D] [6 B D] [ B-- D] [6-6BB -- D] da empa persamaa : B D 0 6 B D 0 B--D 6-6BB -- D 5 Diperoleh,B,,D,

16 5 5 d d d d d

17 Dalam keadaa ii haya dijumpai sau macam iegral yaiu d a a

18 d G d F d E c D c b B a D N Misalka D=0 puya akar uggal =a da =b, akar kembar = =c da akar berlipa iga 5 = 6 = 7 =d, maka D=-a-b-c -d da deraja N idak melebihi eam b. Semua akar real da ada yag sama dimaa,b,,d,e,f da G kosaa yag dicari.

19 Jika p akar berlipa k dari D=0 maka di ruas kaa dalam ideias diulis k pecaha beruru-uru dega peyebu -p,-p,-p,,-p k. Jadi pecaha yg sesuai dega akar p yag berlipa k ii adalah p p p p p p p k p k

20 F E D B ooh 5 ari iegral beriku

21 F E D B Dari eam persamaa ersebu diperoleh,f 6,E 5,D 8, 6,B

22 d d d d d d

23 Dalam keadaa ii dijumpai dua macam iegral yaiu.. d a d a a a -,,,...

24 c. Puya akar idak real yag berlaia T E O R E M kar-akar idak real pada persamaa derajad iggi dega koefisie real sepasag-sepasag bersekawa, ariya jika a+bi a, b real suau akar maka a-bi juga akar persamaa iu.

25 Dari eorema ersebu dikeahui bahwa a+bi da a-bi akar dari D=0, sehigga [-a+bi][-a-bi] fakor dari D. Hasil kali ii sama dega -a +b, yag merupaka beuk kuadra dalam yag defii posiip.

26 Misalka D p q{ a b }{ c d } Jadi = p, = = q, = a+bi, 5 = a-bi, 6 = c+di, 7 = c-di akar-akar persamaa ersebu.

27 Karea deraja N kurag dari derajad D maka pemisaha aas pecaha-pecaha parsial adalah Dimaa kosaa,b,,d,e,f da G kosaa yag dicari. D N d c G F b a E D q q B p D N

28 , B, B B B B ooh 6 d cari

29 arca 6 arca 6 - d d d d d d d d

30 Dalam keadaa ii dijumpai dua macam iegral yaiu.. d a a B d a b a b a b B arca b a

31 d. Puya akar idak real yag sama alogi dega beuk c, jika a+bi merupaka akar berlipa k dari persamaa D=0, maka a-bi, da fakor-fakor dari D yag sesuai dega akar-akar ii adalah [-a +b ] ] k

32 Misalka D p q { a b }{ c d } akar-akar persamaa ersebu :. = p, = = q,. kar uggal kompleks a+bi & a-bi. kar kompleks berlipa iga c+di, da c-di

33 Karea deraja N kurag dari derajad D maka pemisaha aas pecaha-pecaha parsial adalah dimaa kosaa,b,,d,e,f,g,h, I,J da K kosaa yag dicari. D N d c K J d c I H d c G F b a E D q q B p D N

34 iga suku erakhir yag sesuai dega fakor [ c d ] Jika D mempuyai fakor [ [ c d ] maka pecaha yag sesuai dega fakor ii erdiri aas k suku pecaha beruruuru dega peyebu c dari pagka sau sd k da pembilag suau beuk liear dalam. d ] k c B d B c d c d k k B k

35 0,E,D,,B diperoleh - - E E - B- D D B B B E D B 5 E D B 5 ooh 7 d 5 cari

36 arca 5 d d d d d d d

37 Dalam keadaa ii dijumpai iga macam iegral yaiu,,... uuk b a B. b a arca b B a b a b a B. a a. d d d

38 ,,... uuk b a B b a arca b B a b a b a B,,..., a a a a - d d d d Pada peyelesaia beuk erdapa empa macam iegral : D N

39 iegral keempa dg subiusi y = -a. B d y a B dy y y a b b b y b d y b a B dy iegral kedua dari ruas erakhir diubah mejadi a B y - y b b b Dega dy y b a B iegral keempa dapa diselesaika jika dapa meyelesaika d dy b a B d

40 - - d d d d d d d d d d d d d d RUMUS REDUKSI

41 Diperoleh rumus reduksi yaiu d d uuk =,, d d arca d d Ruas kaa dari iegral erakhir diperoleh dari rumus reduksi sebelumya.

42 d 8 Hiug - E, D 0, 0,,B E 9 E D 5 B D 5B 0 B B E D B 8 defii posiip E D B 8 ooh 7

43 } { } { } { 8 d d d d d d d d d

44 arca arca arca,misal } { d d d