MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ELZAKI (MMDE) UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL TAK LINEAR

Transkripsi

1 Bulei Ilmiah Ma.Sa. da Terapaya (Bimaser) Volume 06, No. (07), hal -0. MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ELZAKI (MMDE) UNTUK PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL TAK LINEAR Ermawai, Helmi, Frasiskus Fra INTISARI PDP ak liear dapa diselesaika dega MDE. Peyelesaia dega MDE memerluka perhiuga yag pajag, sehigga diperluka MMDE uuk megaasi hal ersebu. Tujua peeliia ii adalah meyelesaika PDP ak liear dega MMDE. PDP ak liear dapa diselesaika dega MMDE apabila fugsi pada persamaa ersebu iegrable, K(, ) mempuyai lebih dari sau suku da K(, ) yag diperoleh dari MDE megadug suku berlawaa ada dega salah sau suku di u (, ). Peyelesaia dega MMDE dimulai dega peerapa sifa Trasformasi Elzaki, kemudia subsiusika ilai awal. Selajuya, meeuka iers Trasformasi Elzaki pada kedua ruas uuk memperoleh bagia K(, ) dega K (, ) sebagai solusi dari u (, ), K (, ) da bagia laiya diguaka sebagai solusi dari u (, ). Hasil pembahasa meujukka bahwa MMDE lebih efisie karea proses perhiuga mejadi lebih rigkas dari MDE. Kaa Kuci : Trasformasi Elzaki, Poliomial Adomia, Nilai awal PENDAHULUAN Persamaa diferesial adalah persamaa yag memua sau aau beberapa urua dari ariabel ak bebasya []. Secara umum persamaa diferesial erbagi mejadi dua jeis yaiu Persamaa DiferesialBiasa (PDB) da Persamaa Diferesial Parsial (PDP). Berdasarka keliearaya, erdapa persamaa diferesial liear da ak liear. Persamaa diferesial dapa diselesaika dega beberapa meode. Misalya pada PDB liear, peyelesaiaya dapa dicari dega megguaka pegiegrala. Pada PDP liear dapa diselesaika dega Trasformasi, diaaraya adalah Trasformasi Elzaki []. Peyelesaia PDP dega Trasformasi Elzaki merupaka salah sau meode secara aaliik, yaiu suau meode peyelesaia model maemaika dega rumus-rumus aljabar yag sudah baku da sudah umum diguaka uuk medapaka solusi eksak dari suau persamaa diferesial. Namu, permasalaha erjadi pada PDP ak liear, karea pada persamaaa ii idak semua bagia dapa diselesaika secara aaliik, eapi juga diperluka salah sau meode umerik, yaiu salah sau meode yag diguaka uuk mecari peyelesaia dari model maemais yag diperoleh dega megguaka meode hampira sedemikia sehigga peyelesaia yag diperoleh adalah peyelesaia pedekaa []. Oleh karea iu, aka diguaka salah sau meode peyelesaia dari PDP ak liear yaiu meode Dekomposisi Elzaki (MDE). Peyelesaia PDP ak liear dega MDE merupaka peerapa Trasformasi Elzaki da Poliomial Adomia yag dilegkapi dega ilai awal [4]. Poliomial Adomia yag dibeuk megguaka ekspasi dere pada fugsi ereu, dimaa fugsi ersebu diasumsika sebagai fugsi aaliik []. Adomia juga megealka sebuah pheomea yag disebu dega isilah oise erm. Noise erm didefiisika sebagai suku yag ideik dega ada berlawaa yag mucul pada suau dere. Pegguaa MDE uuk peyelesaia PDP ak liear memerluka proses perhiuga yag pajag sehigga perlu meode peyelesaia yag lebih efisie, yaiu dega meerapka MMDE. Peeliia ii membahas bagaimaa meyelesaika MMDE dalam peyelesaia PDP ak liear. Lebih khusus pembahasa dari peeliia ii adalah meyelesaika PDP ak liear dega MMDE orde sau da orde dua dega koefisie kosa. Peyelesaia PDP ak liear megguaka MMDE adalah dega meerapka sifa dari Trasformasi Elzaki. Selajuya kedua ruas dari PDP ak liear

2 ERMAWATI, HELMI, F.FRAN dirasformasika dega sifa-sifa Trasformasi Elzaki da diperoleh persamaa dalam beuk aljabar. Kemudia subsiusika ilai awal yag elah dikeahui da meerapka iers Trasformasi Elzaki pada persamaa ersebu, sehigga diperoleh bagia K(, ) sera bagia liear da ak liearya. Selajuya subsiusika u(, ) sebagai solusi ak higga da Nu sebagai operaor ak liearya, dega A merupaka Poliomial Adomia yag meguraika seiap beuk ak liear. Pada meode ii ilai K(, ) diuraika dalam beuk pejumlaha K da K, dega K merupaka solusi dari u (, ) da uuk solusi u (, ) diperoleh dari pejumlaha K (, ) dega bagia liear sera ak liearya, sedagka pada MDE K(, ) sebagai solusi u (, ). Dega demikia diperoleh ilai u(, ) dalam beuk dere. TRANSFORMASI ELZAKI Trasformasi Elzaki perama kali diperkealka oleh Tarig M. Elzaki pada ahu 0 uuk meyelesaika PDB da PDP. Misalka diberika fugsi f dalam himpua A dega aggoaya adalah fugsi ekspoesial yag didefiisika sebagai beriku : dega M, k, k R [4]. Defiisi. [] Diberika suau fugsi f : k,, 0, j j A f M k k f Me, 0,, R R. Fugsi T : k, k yag didefiisika sebagai,, k, k 0 T E f f e d (), 0 () dega E f, adalah Trasformasi Elzaki dari fugsi f ( ) yag erdefiisi pada [0, ), adalah ariabel dalam Trasformasi Elzaki yag erdapa dalam ieral k, k. Berdasarka Defiisi, Trasformasi Elzaki mempuyai beberapa sifa operasioal dasar peig yag dapa diguaka uuk meyelesaika PDP, salah sauya adalah sifa diferesial yag dilegkapi dega ilai awal. Teorema. Jika E f, T Jika E f ulis sebagai Operaor, maka Trasformasi Elzaki dari urua f() erhadap adalah : ' T E f, f 0 da E '' T f ', f 0 f 0 ( ), T( ), selajuya f disebu sebagai iers Trasformasi Elzaki dari T(), yag di E ( ) E T f adalah operaor iers Trasformasi Elzaki. POLINOMIAL ADOMIAN Meode Dekomposisi Adomia perama kali dikealka oleh George Adomia pada ahu 994. Meode ersebu memiliki peraa dalam meyelesaika masalah PDP ak liear. Pada meode Dekomposisi Adomia, fugsi liear u merupaka suau dere yag jumlah sukuya ak erbaas (ifiie series). Dalam Meode Dekomposisi didefiisika Poliomial Adomia yaiu: d A f ( u ( )), 0,,, 0! d () dega A adalah Poliomial Adomia, λ merupaka parameer, u merupaka ariabel erika da f merupaka fugsi.

3 Modifikasi Meode Dekomposisi Elzaki uuk Peyelesaia... Dega megasumsika bahwa f(u) merupaka fugsi ak liear, dari Persamaa () maka Poliomial Adomia dapa diuraika sebagai beriku: A0 f ( u0), ' A u f ( u0), ' () A u f ( u0) u f ( u0),! d f A! d 0 METODE DEKOMPOSISI ELZAKI Meode Dekomposisi Elzaki merupaka peggabuga dari Trasformasi Elzaki da Poliomial Adomia. MDE merupaka salah sau ekik yag dapa diguaka uuk meyelesaika PDP ak liear. Beuk umum PDP ak liear adalah sebagai beriku: Lu, Ru, Nu, h,, uuk PDP ak liear orde sau dilegkapi dega ilai awal u,0 f,0 ilai awalya adalah u,0 f,0 da u,0 g,0. i (4) da jika orde dua maka Noasi L diasumsika sebagai operaor diferesial, L, R adalah operaor dari fugsi liear, N merupaka operaor dari fugsi ak liear i da h(, ) meggambarka homogeias suau PDP. Pada persamaa PDP ak liear, uuk ilai awal da homogeias dapa diselesaika dega megguaka Trasformasi Elzaki. Sedagka uuk bagia laiya dapa diselesaika dega Poliomial Adomia. Pada Persamaa (4) fugsi yag dikeahui harus iegrable dega syara limiya ada pada ieral a, b, yag didefiisika sebagai: lim f i i p 0 i Lagkah uuk meyelesaika PDP ak liear orde sau dega MDE adalah sebagai beriku:. Meerapka Trasformasi Elzaki pada PDP ak liear pada kedua ruas dari Persamaa (4),,,, E Lu E Ru E Nu E h E u(, ) f,0 E Ru(, ) ENu(, ) E h(, ). Dega melakuka perpidaha ruas da megalika seiap bagia dega sehigga diperoleh: (, ) (,0) (, ) (, ) (, ) E u f E h E Ru E Nu (5). Meerapka iers Trasformasi Elzaki pada Persamaa (5) (, ) (,0) (, ) (, ) (, ) E u E u E h E E Ru E Nu u(, ) K(, ) E E Ru(, ) E Nu(, ) dega K(,) didefiisika sebagai fugsi yag mucul dari h(,) da ilai awal uuk operaor ak liear Nu (, ) dapa diuraika mejadi: Nu, A, dega d A f ( u( )) (7) 0! d 0. Solusi u(, ) pada Persamaa (6) diasumsika sebagai suau dere ak erbaas yag dapa diuliska dalam beuk (6)

4 4 ERMAWATI, HELMI, F.FRAN u(, ) u(, ) E u(,0) E h(, ) E E R u(, ) A (8) 4. Dega mesubsiusika Persamaa (7) ke Persamaa (8), sehigga Persamaa (8) mejadi model Trasformasi Elzaki uuk masig-masig u (, ), u (, ), u (, ),, u (, ) dapa diuliska dalam beuk sebagai beriku: u0 (, ) K (, ) E u(, 0) E h(, ) (, ) R( 0 (, ) A0 u E E u (, ) E ( (, ) u E R u A E R( (, u (, ) E u ) A, 0 Selajuya diperoleh ilai u (, ), u (, ), u (, ),, u (, ) sehigga solusi PDP ak liear yag dapa diuliska dalam beuk: u(, ) u (, ) u (, ) u (, ) u (, ) Lagkah uuk meyelesaika PDP ak liear orde dua dega MDE adalah sebagai beriku:. Meerapka Trasformasi Elzaki pada PDP ak liear pada kedua ruas dari Persamaa (4),,,, f g ERu E Nu E h E Lu E Ru E Nu E h E u(, ),0 (,0) (, ) (, ) (, ). Dega melakuka perpidaha ruas da megalika seiap bagia dega sehigga diperoleh: (, ) (,0) (,0) (, ) (, ) (, ) E u f g E h E Ru E Nu (9). Meerapka iers Trasformasi Elzaki pada Persamaa (9) (, ) (,0) (,0) (, ) (, ) (, ) E u E f g E h E E Ru E Nu u(, ) K(, ) E ERu(, ) ENu(, ) (0) dega K(,) didefiisika sebagai fugsi yag mucul dari h(,) da ilai awal uuk operaor ak liear Nu (, ) dapa diuraika mejadi: Nu, A, dega d A f ( u( )) () 0! d 0. Solusi u(, ) pada Persamaa (0) diasumsika sebagai suau dere ak erbaas yag dapa diuliska dalam beuk u(, ) u(, ) E f (,0) g(,0) Eh(, ) E ER u(, ) A () Dega mesubsiusika Persamaa () ke Persamaa (), sehigga Persamaa () mejadi model Trasformasi Elzaki uuk masig-masig u (, ), u (, ), u (, ),, u (, ) yag diuliska dalam beuk sebagai beriku: u0 (, ) K (, ) E f (,0) g(, 0) E h(, ) u E (, ) ER( u0 (, ) A0 u (, ) E E R( u (, ) A

5 Modifikasi Meode Dekomposisi Elzaki uuk Peyelesaia... 5 u (, ) E E R( u (, ) A, 0 Selajuya diperoleh ilai u (, ), u (, ), u (, ),, u (, ) sehigga solusi PDP ak liear yag dapa diuliska dalam beuk: u(, ) u (, ) u (, ) u (, ) u (, )... 0 MODIFIKASI METODE DEKOMPOSISI ELZAKI 0 Meode Dekomposisi Elzaki memerluka perhiuga yag cukup pajag uuk memperoleh solusi eksak dari sebuah PDP ak liear. Hal ersebu dikareaka pola solusi yag diperoleh berbeuk dere rekursif da seiap ierasi selajuya yag dihasilka idaklah eraur sehigga diperluka solusi yag efisie uuk peyelesaiaya, yaiu dega megguaka MMDE. Secara umum lagkah-lagkah meyelesaika PDP ak liear megguaka MMDE idak jauh berbeda dega MDE. Pada MDE, K(, ) merupaka solusi dari u (, ). Sedagka pada MMDE K(, ) = K0(, ) + K (, ), dega syara solusi yag diperoleh dari ilai awal da homogeiasya mempuyai lebih dari sau suku da K(, ) yag diperoleh dari MDE megadug suku berlawaa ada dega salah sau suku di u (, ), sehigga diperoleh da u, K (, ) 0 0 u, K (, ) M(, ), dega M (, ) adalah fugsi laiya yag memua bagia liear da ak liear. Secara umum beuk ersebu dapa diformulasika sebagai beriku:, 0,,,,,, u0 K u K E E Ru0 E A0 u E E Ru E A u, E E Ru, E A, 0 Dega demikia diperoleh ilai u (, ), u (, ), u (, ), sehigga solusi PDP ak liearya dapa diuliska dalam beuk: u(, ) u (, ) u (, ) u (, ) u (, ) PENYELESAIAN PDP TAK LINEAR u u Cooh. Diberika PDP ak liear orde sau, yaiu u, () dega ilai awal u(, 0) = 0 yag aka diselesaika dega MDE da MMDE Meode Dekomposisi Elzaki Dega megasumsika bahwa u = u(, ). Lagkah perama dimulai dega meerapka sifa uama Trasformasi Elzaki uuk PDP ak liear orde sau, sehigga diperoleh: E[u ] + E[uu ] = E[ + ] T(, ) f(, 0) + E[uu ] = E[] + E[ ]

6 6 ERMAWATI, HELMI, F.FRAN T(, ) u(, 0) + E[uu ] = E[] + E[ ] T(, ) = +! E[uu ] Uuk memperoleh u(, ), dimulai dega cara megalika kedua ruas dega, sehigga diperoleh T(, ) = +! E[uu ] Selajuya lakuka iers Trasformasi Elzaki pada kedua ruas sedemikia sehigga diperoleh beuk persamaa E [T(, )] = E [ ] + E [! ] E E[uu ] u(, ) = + E E[uu ] (4) Pada Persamaa (4) diperoleh K(, ) da bagia yag laiya dapa diselesaika dega Poliomial Adomia. Diawali dega mesubsiusika Persamaa () ke Persamaa (4) mejadi u, E E A u (5) 0 0 Dimisalka A (u) = uu, sehigga diperoleh: u0 (, ) K (, ) E u, E A0 ( u) E, E u0u 0 u E E A u E E u 0u u u 0 E E E E , u E E A u E E u 0u u u u u E E Secara umum proses ierasi selajuya dapa diuliska dalam rumus sebagai beriku: (, ) u E E A ( u ), Sehigga dari hasil ierasi ersebu diperoleh peyelesaia dalam beuk solusi dere yaiu: u(, ) u (, ) u u u u u(, ) Solusi dere yag dihasilka meujukka adaya oise erm, sehigga dapa meghilagka sukusuku yag memiliki kesamaa orde pada ariabel, dega demikia diperoleh solusi eksakya yaiu: u(, )

7 Modifikasi Meode Dekomposisi Elzaki Berdasarka peyelesaia dega MDE diuraika mejadi: u, K (, ) 0 0 Modifikasi Meode Dekomposisi Elzaki uuk Peyelesaia... 7, (, ) E E A 0u u K E E A u 0!! E! u (, ) 0 u0 (, ) K(, ) sedagka pada MMDE K(, ) E E u0u 0 E E Kemudia uuk ierasi selajuya aka berakiba u (, ) 0,. Sehigga solusi yag dihasilka berbeuk solusi eksak, yaiu u(, ) u (, ) 0 Kemudia perlu diuji keakuraa solusi yag elah dihasilka dega mesubsiusika solusi ersebu kedalam Persamaa (9), mejadi: u u u Dari pejabara diaas peyelesaia PDP ak liear dega MMDE lebih efisie dibadigka dega MDE karea perhiuga pada seiap ierasiya mejadi lebih rigkas. Jadi uuk cooh selajuya PDP ak liear aka diselesaika dega megguaka MMDE. Cooh. Diberika PDP ak liear orde dua yag aka diselesaika dega MMDE, yaiu u u u u, dega ilai awal u(, 0) da u (,0) (6) Dega megasumsika bahwa u = u(, ). Lagkah perama dimulai dega meerapka sifa uama Trasformasi Elzaki uuk PDP ak liear orde dua, sehigga diperoleh: u u E E u E u T (, ) f (,0) f '(,0) E uu E u E T (, ) ( ) E u uu Uuk memperoleh peyelesaia u (, ), dimulai dega cara megalika kedua ruas dega, sehigga diperoleh: T 4 E u uu (, ) ( ) Selajuya uuk memuculka kembali ariabel, lakuka iers Trasformasi Elzaki pada kedua ruas, sedemikia sehigga diperoleh beuk persamaa: 4 E T (, ) E ( ) E E E E u uu u(, ) ( ) E Eu uu! Pada Persamaa (7) diperoleh! K(, ) yag diuraika dalam beuk K0 (, ) K(, ). (7)

8 8 ERMAWATI, HELMI, F.FRAN u (, ) E E A ( u) B ( u)! dega A ( u ) da B ( u ) masig-masig adalah A ( u) u, B ( u) uu Dega megambil u (, ) sebagai beriku: u (, ) K (, ) u (, ) E E A ( u) B ( u )! E E u0 u0u 0! E E!!!!!!! E E u u0u uu0 u (, ) E E A ( u) B ( u) E E 0!!!! 4 5 4! 5! E E u u 0u uu u u 0 u (, ) E E A ( u) B ( u) E E 0 0 4! 5!!! 4! 5! 6 7 6! 7! Kemudia uuk ierasi selajuya dapa dirumuska dalam beuk: u(, ) E E A ( u) B ( u), Sehigga solusi yag dihasilka berbeuk: 0 u(, ) u(, ) u 0 (, ) u (, ) u (, ) u (, ) !! 4! 5! 6!!! 4! 5! 6! Dega demikia, meuru dere Maclauri dapa dihasilka solusi eksakya yaiu: u(, ) e Kemudia perlu di uji keakuraa da solusi yag elah dihasilka dega mesubsiusika solusi ersebu ke Persamaa () mejadi: e e e e u u u e e u Berdasarka Cooh da, ilai K(, ) yag diperoleh dapa diuraika mejadi K (, ) da K (, ), sera u (, ) yag diperoleh dari MDE megadug suku berlawaa ada dega salah sau suku di u (, ) sehigga dapa diselesaika dega MMDE. Selajuya aka diberika cooh keika syara diaas idak erpeuhi, maka PDP ak liear idak dapa diselesaika dega MMDE. Cooh. Diberika PDP ak liear u u u u 0, yag aka dicari peyelesaiaya, dega ilai awal u(, 0) = (8)

9 Modifikasi Meode Dekomposisi Elzaki uuk Peyelesaia... 9 Dega megasumsika bahwa u = u(, ). Lagkah perama dimulai dega meerapka sifa uama Trasformasi Elzaki uuk PDP ak liear orde, sehigga diperoleh: E[u ] + E[uu ] + E[u ] = E[0] T(, ) f(, 0) + E[uu ] + E[u ] = 0 T(, ) u(, 0) + E[uu ] + E[u ] = 0 T(, ) = E[uu u ] Uuk memperoleh u(, ), dimulai dega cara megalika kedua ruas dega, sehigga diperoleh T(, ) = E[uu u ] Uuk memuculka kembali ariabel, lakuka iers Trasformasi Elzaki pada kedua ruas sedemikia sehigga diperoleh beuk persamaa E [T(, )] = E E[uu u ] u(, ) = E [ ] E E[uu u ] u(, ) = E E[uu u ] (9) Pada Persamaa (9) ilai K, yag diperoleh haya mempuyai sau suku yaiu 0 K, u (, ). Oleh karea iu, uuk peyelesaiaya idak perlu megguaka MMDE. Berdasarka lagkahlagkah pada MDE diperoleh solusi dari Persamaa (8) yaiu: u(, ) u (, ) 0... (...) 0 Dega demikia, meuru dere Maclauri dapa dihasilka solusi eksakya yaiu: u(, ), < u u Cooh 4. Diberika PDP ak liear orde sau, yaiu u u yag aka dicari peyelesaiaya, dega ilai awal u(, 0) = (0) Dega megasumsika bahwa u = u(, ). Lagkah perama dimulai dega meerapka sifa uama Trasformasi Elzaki uuk PDP ak liear orde sau, sehigga diperoleh: E[u ] + E[uu ] = E[] + E[u] T(, ) f(, 0) + E[uu ] = E[] + E[u] T(, ) u(, 0) + E[uu ] = E[] + E[u] T(, ) = + E[uu u] Uuk memperoleh u(, ), dimulai dega cara megalika kedua ruas dega, sehigga diperoleh T(, ) = + E[uu u] Uuk memuculka kembali ariabel, lakuka iers Trasformasi Elzaki pada kedua ruas sedemikia sehigga diperoleh beuk persamaa E [T(, )] = E + E[uu u] sehigga peyelesaiaya idak perlu megguaka MMDE. Berdasarka lagkah-lagkah pada MDE diperoleh solusi dari Persamaa (0) yaiu: 4 5 u(, ) u(, )...!!! 4!! 5! 0

10 0 ERMAWATI, HELMI, F.FRAN PENUTUP Dari hasil peeliia dapa disimpulka bahwa PDP ak liear dapa diselesaika dega MMDE apabila fugsi pada persamaa ersebu iegrable, solusi K(, ) yag diperoleh dari ilai awal da h(,) mempuyai lebih dari sau suku da K(, ) yag diperoleh dari MDE megadug suku berlawaa ada dega salah sau suku di u (, ). Jika K(, ) yag diperoleh idak memeuhi syara ersebu, maka PDP ak liear idak bisa diselesaika dega MMDE, eapi dapa diselesaika dega MDE. Peyelesaia PDP ak liear dega megguaka MMDE lebih efisie, karea perhiuga pada seiap ierasiya lebih rigkas dibadigka dega MDE. DAFTAR PUSTAKA []. Ayres, F. Persamaa Diferesial dalam Saua SI Meric. Erlagga, Jakara.999. []. Elzaki. T. M. Applicaio of New Trasform Elzaki Trasform o Parial Differeial Equaios, Global Joural of Pure ad Applied Mahemaics Research Idia Publicaios. 0; 7(): []. Adomia, G. Solig Froier Problems of Physics: The Decomposiio Mehod, Kluwer Academic Publisher. Boso [4]. Ziae D., ad Cherif M. H. Resoluio of Noliear Parial Differeial Equaios by Elzaki Trasform Decomposiio Mehod. Joural of Approimaio Theory ad Applied Mahemaics. 05; 5(): 7-0. ERMAWATI : FMIPA UNTAN, Poiaak, erma.wai899@gmail.com HELMI : FMIPA UNTAN, Poiaak, helmi05@yahoo.com FRANSISKUS FRAN : FMIPA UNTAN, Poiaak, fradly88@gmail.com