FOURIER Otober 03, Vol., No., 38 50 APLIKASI PERSAMAAN BESSEL ORDE NOL PADA PERSAMAAN PANAS DUA DIMENSI Annisa Ei Mlyati & Sgiyanto, Program Stdi Matematia Faltas Sains dan Tenologi UIN Snan Kalijaga Yogyaarta Jl. Marsda Adiscipto Yogyaarta, 558 Email: ey_nyzha@yahoo.com Abstract Bessel differential eqation is one of the applied eqation in physics is abot heat transfer. Application of modified Bessel fnction of order zero on heat transfer process of two-dimensional objects which can be modelled in the form of a two-order partial differential eqations as follows,. r,, t. With the obtained soltions of Bessel's differential eqation t r r r r application of circlar fin, t r,, tcnsin n J0r ( ) e two-dimensional temperatre stated on the point r, against time t. Keywords: Bessel differential eqation, Bessel fnction of order zero, heat transfer.. PENDAHULUAN Matematia adalah salah sat disiplin ilm esata yang mencoba merepresentasian mengenai fenomena alam. Oleh arena it, Matematia jga dapat diataan sebagai dasar dari beberapa disiplin ilm lainnya seperti Fisia, Biologi, Kimia, Teni bahan Eonomi. Pada Matematia, terdapat pembahasan lebih dalam lagi tentang pengajian teori teorinya. Berdasaran objenya pengajiannya Matematia dielompoan menjadi beberapa pembahasan antara lain Matematia terapan, Statistia, Aljabar, Analisis, dan Komptasi. Pada perembangannya ilm Matematia banya dignaan dalam bidang ilm lain, begit jga dengan banyanya teori-teori matematia yang menjadi dasar dalam pembahasan atapn pengajiannya. Pada penelitian ini aitaan ilm Matematia dengan pengajian bidang ilm lain, aan lebih banya dibahas pada ilm Fisia dan Teni. Salah sat teori Matematia yang diaji lebih rinci dibidang ilm Fisia atapn Teni adalah teori Persamaan Diferensial ata disebt PD. Pembahasan mengenai PD dimlai setelah peneman Kalls dan Integral. Pada tahn 676 Isaac Newton telah berhasil menyelesaian sebah PD menggnaan deret ta hingga, 38
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi tetapi Newton tida mempbliasian hal tersebt sampai dengan tahn 693, pada saat it Gotfried Wilhelm Leibniz menghasilan rmsan PD yang pertama. PD mlai berembang dari tahn etahn. Pada tahn 694-697 John Bernolli menjelasan Metode Pemisahan Variabel dan membtian bahwa PD homogen orde sat dapat diredsi menjadi bent PD dengan variabel variabel yang dapat dipisahan. Pada tahn 784 846 pengajian PD mlai disemprnaan disemprnaan salah satnya oleh Friedrich Wilhelm Bessel, seorang matematiawan Jerman yang jga astronom. Bessel mempbliasian penelitiannya melali maalah yang diterbitan tahn 86 yang disebt Persamaan Diferensial Bessel. Bent mm PD Bessel adalah,,, y y n y ( ) 0. Solsi dari PD Bessel disebt dengan fngsi Bessel. Pada penyelesaian fngsi Bessel terdapat tiga order, yait order ban bilangan blat, order bilangan blat dan order nol. Bent penyelesaian mm PD Bessel adalah : y C J C Y, dengan n menyataan order Bessel. n n PD Bessel merpaan salah sat PD yang diterapan dalam ilm Fisia yait mengenai perpindahan panas. Perpindahan Panas adalah berpindahnya energi panas ata alor pada sat benda dari bersh tinggi e sh rendah. PD Bessel pada masalah perpindahan panas di redsi dari persamaan panas yang dignaan nt mengetahi laj perpindahan panas. Persamaan panas yang aan diaji lebih rinci yait persamaan panas da dimensi. Benda da dimensi adalah benda yang mempnyai ran lasan. Adapn contoh dari benda da dimensi ini yait persegi panjang, ota, segitiga, lingaran dan lain sebagainya. Pada penelitian ini aan diaji lebih hss lagi pada benda da dimensi yang berbent lingaran. Lingaran didefinisian sebagai garis melengng yang eda jngnya bertem pada jara yang sama dari titi psat. Hal diatas yang melatarbelaangi penelitian ini yait tentang pengajian secara matematis PD Bessel etia ordernya sama dengan nol serta penerapannya dalam merepresentasian laj perpindahan panas pada benda da dimensi.. PEMBENTUKAN PERSAMAAN PANAS PADA KOORDINAT KARTESIUS Perpindahan panas bergantng dari jenis bahan benda yang diamati, antara lain alor jenis bahan c, ondtifitas thermal bahan, masa jenis bahan. Persamaan ondsi panas da dimensi dapat ditrnan melali perbahan las benda. Perbahan panjang pada smb artesis dapat dilihat pada Gambar. 39
Annisa Ei Mlyati Gambar. Koordinat artesis da dimensi Perbahan las pada benda da dimensi disimbolan dengan, y, t menyataan sh pada posisi L, L y, dan, y pada saat wat t. Oleh arena it, perpindahan ondsi panas pada oordinat dan y dapat diselesaian dengan persamaan Forier, yait q A []. Persamaan Forier dignaan nt menentan laj perpindahan panas dan laj perpindahan ondsi panas pada benda, penjabarannya sebagai berit. Pada oordinat, laj perpindahan panas (dinotasian dengan q ), diperoleh dengan mengalian ars ondsi panas posisi dengan sisi bendanya yait y, sehingga diperoleh, q A y, () Sedangan laj perpindahan ondsi panas di dalam benda, diperoleh dengan mengalian ars ondsi panas pada oordinat las permaan benda yang disimbolan dengan q, maa diperoleh, q A A y () Laj perpindahan panas pada oordinat y diperoleh dengan mengalian ars ondsi panas pada oordinat y dengan las permaan benda, yang disimbolan dengan y q, maa aan diperoleh, q q( y, t) A, (3) y y 40
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi Sedangan laj perpindahan ondsi panas di dalam benda, diperoleh dengan mengalian ars ondsi panas pada oordinat las permaan benda yang disimbolan dengan q, maa diperoleh, qy y Ay A yy (4) Setelah diperoleh persamaan ars dan laj perpindahan panas pada oordinat benda, selanjtnya aan dijelasan energi pada pada benda it. Jia energi pada benda disimbolan dengan E, maa jmlah energi benda adalah E c y., y, t energi pada benda berdasaran oordinat dan y pada wat t adalah, E c Ay., y, t t t 4, dan jmlah perbahan Berdasaran [] energi yang mas e dalam benda energi yang elar dari benda sama dengan jmlah perbahan energi pada benda, secara matematia dapat masalah ini ditlisan sebagai berit, E q q q q (6) t y Selanjtnya, dengan mensbtitsian persamaan (), (), (3), (4) dan (5) edalam persamaan (6), maa aan diperoleh.,, c A y., y, t A. ya. t y y t yy A. A. y A. y A. yy c A y y t Ay (7) Jia persamaan (4.7) diatas dibagi dengan Ay maa diperoleh, c. t, y, t yy (8) Selanjtnya, c adalah onstanta penghambr panas. Jia nilai penghambr panas main besar, maa main cepat panas membar pada benda. Oleh arena it persamaan (8) aan menjadi,., y, t (9) t yy Persamaan (9) diatas disebt jga persamaan panas pada benda da dimensi. Terdapat beberapa contoh benda da dimensi seperti benda yang memilii lasan, antara lain segitiga, ota, persegi panjang, lingaran dan lain sebagainya. Pada penelitian ini (5)
Annisa Ei Mlyati benda da dimensi yang aan di aji yait sebah benda yang berbent lingaran. Hal ini diarenaan nt mempermdah pemahaman tentang benda da dimensi dalam pengajian di penerapan fngsi Bessel. Selanjtnya, arena benda da dimensi ini berbent lingaran, maa terlebih dahl aan dibah oordinatnya, dari oordinat artesis e oordinat lingaran ata lebih dienal dengan oordinat tb. 3. PEMBENTUKAN PERSAMAAN PANAS PADA KOORDINAT KUTUB Selanjtnya aan dijelasan langah langah dalam pembentan persamaan panas pada oordinat tb yait, Langah pertama, mengbah oordinat artesis menjadi tb. r,, Jia, y, t pada oordinat artesis, dibah e oordinat tb maa aan menjadi t ini menyataan sh pada posisi, dengan memisalan derivatif pertama dan eda, r pada saat wat t. Perbahan oordinat ini rcos dan y rsin, dan emdian didapatan trnan ata Langah eda, mencari trnan parsial pertama dan eda terhadap r dan dari fngsi, y, t yait, Trnan parsial pertama terhadap r yait, cos sin r y ata dapat ditlisan dalam bent, cos sin (0) r y Trnan parsial pertama terhadap yait, sin cos r r () y Berdasaran persamaan (0) dan (), dapat diperoleh trnan pertama terhadap dan y, dengan cara membent persamaan edalam bent matris, yait r cos sin y rsin rcos Selanjtnya, variabel r dielaran, dan ras anan dipindah ras eiri, dan dengan menggnaan atran matris, maa aan diperoleh, 4
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi sin r cos r y cos r sin r Trnan parsial eda terhadap r yait, rr r r rr y yy () cos sincos sin (3) sincos cos sin (4) y yy rr Trnan parsial eda terhadap yait, r cos ysin r sin y sin cos yy cos (5) Jia fngsi, yang telah diperoleh dari persamaan (), dan fngsi sin cos y yang diperoleh pada persamaan (4), disbtitsi edalam persamaan (5), maa diperoleh y sin cos rr cos cos rsin sin r r r sin cos yy sin rr yy cos yy r rr. (5a) r r Langah etiga, nt memperoleh persamaan panas, dengan cara mensbtitsi persamaan (5a) e persamaan (9) maa diperoleh,. rr,, t r rr r r ata dapat ditlisan dalam bent. r,, t. (6) t r r r r Persamaan (6) disebt persamaan panas da dimensi dalam bent oordinat tb. 43
Annisa Ei Mlyati Selanjtnya, aan dijelasan penerapan fngsi pada benda yang berbent lingaran. Sebelmnya aan diberian terlebih dahl asmsi membatasi permasalahan yang disesaian dengan ondisi batasnya. Asmsi yang aan diberian berpa syarat awal dan syarat batas. 4. SYARAT AWAL DAN BATAS Jia sh mla mla pada wat adalah 0 0 r t ata t, maa,, 0 r,,0 0. Sh pada lingaran yang dinyataan dengan r,, t awal sh pada r, 0 r R dan 0 yait, 0 r,, t, 0 0 r,0, t 0r R 0 0 0, menyataan syarat pada saat wat t. Sh di seitar lingaran r,, t 0r R (7) dengan 0 0 5. PENYELESAIAN MODEL Pada penyelesaian model ini aan dijelasan penyelesaian model persamaan panas pada lingaran Metode yang dignaan adalah dengan separasi variabel. Penyelesaian dengan menggnaan separasi variabel, dignaan asmsi,, X Tt t. Jia diterapan pada persamaan (6), aan dicari solsi pada setiap fngsinya, maa nt langah pertama mencari solsi nt fngsi variabel menjadi,,,, r t X r T t Jia persamaan (8) disbtitsi e persamaan (6), maa aan menjadi,. Ar, Tt Ar, Tt Ar, Tt t r r r Tt. Oleh arena it asmsi separasi (8) r, Tt Ar 44
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi. Ar, T t T t Ar, Tt A r, t r r r T t A r, r Kemdian membagi persamaan (8) diatas dengan X r, Tt. Tt Ar, Ar, T t t r A r, r A r, r (9), maa aan menjadi, r A r, A r,. T t Ar, A r, T t t r A r, r A r, r r A r, Ar, (0) dengan onstanta separasi variabel =, sehingga aan diperoleh, Berdasaran persamaan (0) maa diperoleh nilai dari fngsi d T t T t dt Tt adalah,. () Penyelesaian persamaan () menggnaan PD orde sat, maa penyelesaiannya adalah, d T t dt T e T t t () Jia T t 0, maa X r,0, X r, secara berrtan aan sama dengan nol. Selanjtnya, langah eda mencari penyelesaian dari fngsi persamaan (8), aan menjadi,, Rr X r, maa asmsi dari (3) Persamaan (3) disbtitsian e persamaan (0) aan menjadi, Rr R r rr r r R r r r R r R r 45
Annisa Ei Mlyati R r R r R r r r r R r r Persamaan (4) dibagi dengan Rr, maa aan menjadi, (4) R r R r rr r r R r r r r R r r R r r.r R r r R r r Selanjtnya, persamaan diberian onstanta separasi variabel =, sehingga aan diperoleh, R r r R r r r Rr r R r r R r r R r r r Rr r R r r persamaan diatas dibagi dengan Rr, maa aan persamaan menjadi R r r R r r R r r R r r r Berdasaran persamaan (4) aan diperoleh nilai dari fngsi Rr adalah, (5) 0 (6) Persamaan (6) aan diselesaian dengan menggnaan PD orde da. Pemisalannya adalah. j f e, d d Trnan pertama. Trnan eda d d j f je j j f. je j. Pemisalan disbtitsian e persamaan (6), maa aan diperoleh bent, j j 0, j j 0 46
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi Diperoleh aar-aar arateristi adalah j i, dan j i. Aar aar arateristi berpa da aar embar, berdasaran sbbab.. maa penyelesaian dari persamaan (6), adalah, F Gcos if G sin Selanjtnya, dimisalan g nt dan h nt if G menjadi, gcos hsin, maa persamaan diatas aan (7) Pada persamaan (7), dimisalan maa n. Oleh arena it, aan diperoleh, cos sin n g n h n (7a) Berdasaran syarat batas pada persamaan (7), maa aan diperoleh,,0rr 0 r, Rr r Jia Rr 0, maa 0 dan persamaan (7a), aan menjadi, Jia disbtitsi 0 maa, 0. Mensbtitsi persamaan batas ini e 0 g. 0, dengan h 0 (8) Jia disbtitsi 0 maa, gcos n. hsin n. (9) Berdasaran persamaan (8), maa aan dipilih h 0, persamaan diatas menjadi, dengan n hsin n, (30) adalah sebah fngsi periodi dengan periode, dan n 0,,,3,... Rr, berdasaran Selanjtnya, langah etiga mencari penyelesaian dari fngsi persamaan (4), yait R r r R r r R r r R r r r 0 r R r r R r r R r r r (3) 47
Annisa Ei Mlyati Berdasaran persamaan (3), nt mempermdah penyelesaian aan dimisalan, ( ), oleh arena it s r ( ). Aan dicari trnan pertama dan eda, dari s r fngsi R r terhadap s r ( ), sehingga aan diperoleh, Trnan pertama, R R r s Trnan eda, ( ) (3) R r R s.( ) Persamaan (3) dan (33) disbtitsi e persamaan (3) maa aan diperoleh, (33) s Rrs Rrs Rr r r ata dapat ditlis dengan bent sr sr sr 0 " ' 0 (34) Berdasaran persamaan (34) dapat dilihat bahwa, ini adalah persamaan diferensial Rr Rs adalah Bessel. Selanjtnya aan diselesaian fngsi diferensial Bessel. Penyelesaian fngsi 0 0 dengan menggnaan persamaan R s c J s c Y s (35) Oleh arena it, peneyelesaian dari fngsi R s c J s c Y s 0 0! c s 0 Rs adalah, s h c J0s ln s 0! (36) Jia disbtitsian ondisi batas s 0 edalam persamaan (36) maa diperoleh, 0 0 0 R c J c Y c 0 0 0 nt memperoleh solsi yang non-trivial dari persamaan (36), dipilih c 0 maa diperoleh, R r c s 0! (37) Selanjtnya, arena s r ( ) maa persamaan (37) menjadi, 48
Apliasi Persamaan Bessel Orde Nol Pada Persamaan Panas Da Dimensi Rrc r ( ) 0! Oleh arena it fngsi Rradalah, c J0r ( ) (38) Sehingga, berdasaran (), (30), dan (38) dan prinsip sperposisi diperoleh penyelesaian persamaan panas pada oordinat tb da dimensi yait,,, sin ( ) r t C n J r e t n 0 (39) syarat awal dari persamaan (8) yait, 0 n sin ( ) 0 0 r,,0 sehingga diperoleh, C n J r (40) Berdasaran persamaan (4.39), aan dicari maa nt menentan nilai dignaan aan dibah menjadi deret-forier Bessel menjadi, 0 CnJ0r Ras anan dan iri dialian dengan J0r diperoleh, C n 0 0 J r. rdr 0 C n merpaan sebah oefisien tertent, C n dapat mengnaan deret forier. Pada persamaan (39), dan emdian di integralan maa aan Merpaan nilai dari deret forier Bessel selanjtnya, persamaan (4) disbtitsi e persamaan (40), maa aan diperoleh 0 0 sin n J 0r ( ) J0r. rdr 0 (4) 6. KESIMPULAN Berdasaran pembahasan yang telah dipaparan dalam penelitian ini yait mengenai penerapan persamaan diferensial Bessel order nol pada perpindahan panas benda da dimensi, maa dapat diambil esimplan : penerapan fngsi Bessel order sama dengan nol pada proses perpindahan panas benda da dimensi yang dapat dimodelan dalam bent persamaan diferensial parsial orde da sebagai berit, 49
Annisa Ei Mlyati. r,, t. t r r r r dengan diberian syarat awal dan batas berit, r,,0 0, 0 r 0 r R r,, t, 0 0 r,0, t 0r R 0 r,, t 0r R dengan 0 0 maa diperoleh solsi dari penerapan PD Bessel di piringan melingar adalah,,, sin ( ) t r t C J r e n n 0 yang menyataan sh da dimensi pada dititi r, terhadap wat t. 7. DAFTAR PUSTAKA [] Holman, J.P., (990), Heat Transfer, McGraw-Hill, New Yor. 50