MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

Transkripsi

1 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gnawan Semester II, 2016/ Maret 2017

2 Kliah yang Lal Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesis di R Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fngsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kra 11.6 Garis dan Garis Singgng di Rang 11.8 Permkaan di Rang 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 2

3 Kliah Hari Ini Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kra di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesis di R Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fngsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kra 11.6 Garis dan Garis Singgng di Rang 11.8 Permkaan di Rang 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 3

4 MA1201 MATEMATIKA 2A 11.1 SISTEM KOORDINAT CARTESIUS DI R 3 Memahami sistem koordinat Cartesis di R 3 Mengenali dan menggambar grafik persamaan di R 3 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 4

5 Apa yang Akan Dipelajari Kelak kita akan membahas ektor di bidang (R 2 ) dan di rang (R 3 ), dan setelah it kita akan membahas pla fngsi bernilai ektor. Sistem koordinat Cartesis (dan polar) di R 2 telah kita pelajari sebelmnya. Sekarang kita akan mempelajari sistem koordinat Cartesis di R 3. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 5

6 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 terdiri dari 3 smb yang saling tegak lrs dan berpotongan di titik O, yang kemdian disebt sebagai titik asal. Ketiga smb tsb biasanya disebt sebagai smb-x, smb-y, dan smb-z, dan membagi rang menjadi 8 oktan. x (pos.) z (pos) y (pos) 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 6 O

7 Sistem Koordinat Cartesis di R 3 Setiap titik P di R 3 dinyatakan sebagai koordinat P(x,y,z), seperti pd gambar. Jarak antara 2 titik P(x 1,y 1,z 1 ) dan Q(x 2,y 2,z 2 ) diberikan oleh rms PQ = 2 2 ( x2 x1 ) ( y2 y1) ( z2 z 1 ) 2. z O P y x 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 7

8 Persamaan Bola, Bidang, dan Garis 1. Persamaan bola yang berpsat di P(a,b,c) dan berjari-jari R adalah 2. Persamaan mm bidang di R 3 adalah 3. Persamaan menyatakan garis lrs yang melali T(a,b,c) dan searah dengan ektor (p,q,r). 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 8. ) ( ) ( ) ( R c z b y a x 0., C B A D Cz By Ax r c z q b y p a x

9 Contoh: Menggambar Bidang di R 3 Gambarlah bidang yang memiliki persamaan z x 2y 3z 6. Jawab: Bidang melali titik P(6,0,0), Q(0,3,0), dan R(0,0,2). R O Q y P x 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 9

10 Soal Gambarlah bidang di R 3 yg memiliki persamaan 2x 3z 12. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 10

11 MA1201 MATEMATIKA 2A VEKTOR, HASILKALI TITIK, DAN HASILKALI SILANG Memahami sifat-sifat ektor di R 2 dan R 3 Menghitng jmlah da ektor, hasilkali ektor dengan skalar, dan besar ektor Menghitng hasilkali titik dan hasilkali silang da ektor, dan mengetahi sifatsifatnya 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 11

12 Apa dan Mengapa Vektor Kantitas panjang, massa, dan wakt merpakan skalar, yang dapat dinyatakan dengan sebah bilangan. Kantitas fisis lainnya seperti kecepatan dan gaya tidak hanya mempnyai panjang ata besar (magnitde) tetapi jga arah. Besaran ata kantitas tsb dikenal sebagai ektor. Pemahaman tentang ektor jga diperlkan ntk mempelajari fngsi dengan banyak pebah. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 12

13 Vektor: Pendekatan Geometri Secara geometri, ektor dinyatakan sebagai anak panah, yang mempnyai titik awal (ekor) dan titik akhir (kepala), dan ditliskan dengan hrf tebal misalnya ata. kepala ekor Da ektor dikatakan sama ata setara apabila keda ektor tsb mempnyai panjang dan arah yang sama. Sbg contoh, dan di atas setara. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 13

14 Penjmlahan Da Vektor Diberikan da ektor, kita dapat menghitng jmlahnya dengan da cara: + Cara Segitiga + Cara Jajargenjang 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 14

15 Perkalian dengan Skalar Kita jga dapat mengalikan ektor dgn skalar: 2 Selisih da ektor,, dimaknai sebagai hasil operasi + (-1). 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 15

16 Vektor: Pendekatan Aljabar Di R 2 : ektor dinyatakan sebagai pasangan terrt ( 1, 2 ). [Dalam hal ini, ekor ektor adalah O(0,0) dan kepalanya adalah ( 1, 2 ).] O ( 1, 2 ) ( 1, 2, 3 ) Di R 3 : ektor dinyatakan sebagai tripel ( 1, 2, 3 ). O 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 16

17 Perkalian dengan Skalar dan Penjmlahan Di R 2 : Jika = ( 1, 2 ), = ( 1, 2 ), dan c ϵ R, maka c := (c 1,c 2 ) + := ( 1 + 1, ) Di R 3 : Jika = ( 1, 2, 3 ), = ( 1, 2, 3 ), dan c ϵ R, maka c := (c 1,c 2,c 3 ) + := ( 1 + 1, 2 + 2, ) 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 17

18 Vektor Basis Di R 2 : ektor i = (1,0) dan j = (0,1) disebt sebagai ektor basis (bak). Vektor dapat ditliskan sebagai = ( 1, 2 ) = 1 i + 2 j. Di R 3 : ektor i = (1,0,0), j = (0,1,0), dan k = (0,0,1) merpakan ektor basis (bak). = ( 1, 2, 3 ) = 1 i + 2 j + 3 k. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 18

19 Besar ata Panjang Vektor Di R 2 : Di R 3 : Catatan. Vektor yang panjangnya sama dengan 1 disebt ektor satan. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 19

20 Teorema (Sifat Aljabar Vektor) 1. + = + 2. ( + ) + w = + ( + w) = 0 + = 4. + (-) = 0 5. a(b) = (ab) 6. a( + ) = a + a 7. (a + b) = a + b 8. 1 = 9. a a. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 20

21 Hasilkali Titik Di R 2 : : Di R 3 : : Catatan: 2. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 21

22 Sifat Hasilkali Titik ( w) w 3. c( ) ( c ) /7/2014 (c) Hendra Gnawan 22

23 Teorema Jika θ adalah sdt tak negatif antara da ector tak nol dan, maka cos. Definisi: Da ektor dan tegak lrs jika dan hanya jika 0. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 23

24 Hasilkali Silang di R 3 Definisi: Hasil kali silang antara dan adalah x := ( , , ) i j k Dapat diperiksa bahwa x = ( x ). 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 24

25 Sifat Hasilkali Silang 1. ( ) 0 ( ). yakni x tegak lrs pada dan. 2.,, dan x membentk tripel tangan kanan. 3. sin. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 25

26 Sifat Hasilkali Silang 1. ( w) w. 2. k( ) ( k ) ( k). 3. ( ) w ( w). 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 26

27 Soal Bktikan bahwa: i x j = k, j x k = i, k x i = j. 3/7/2014 (c) Hendra Gnawan 27