Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 RAIL EULER MINIMAL DI DALAM GRAF BERARAH YANG ERBOBOI St Julaeha 1, Murtnngrum 2, Rda Novrda 3, Endang Retno Nugroho 4 1 Dosen Jurusan Matematka, Fakultas Sans dan eknolog, UIN Sunan Gunung Djat Bandung emal: st.julaeha @u.ac.d 2 Mahasswa Program Magster Matematka, Departemen Matematka FMIPA Unverstas Indonesa emal: murtnngrum@u.ac.d 3 Guru SMAN 11 Kota Jamb emal: rda.novrda@u.ac.d 4 Dosen Unverstas Nasonal Jakarta emal: endang.retno1@u.ac.d Abstract Suppose G s a Euleran drected graph wth an edge labelng. In ths paper wll dscuss the lterature studes an algorthm to construct Euler tral that starts at a node r wth the lexcographc mnmum label among all Euler tral that starts node r s. Keywords: Euler graph, drected graph labelng A. Pendahuluan Meskpun merupakan pokok bahasan yang sudah tua usanya namun teor graf banyak memlk terapan sampa saat n. Graf dgunakan untuk merepresentaskan objek-objek dskrt dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representas dar graf adalah menyatakan obyek dengan noktah, bulatan atau ttk, sedangkan hubungan antara objek dnyatakan dengan gars. Suatu graf G terhubung dsebut sebaga graf Euler jka terdapat jalur tertutup yang melalu semua ss d G. Dnamakan demkan sebaga penghargaan atas kontrbus matematkawan Swss yang bernama Leonard Euler (1736) yang menuls paper mengena masalah jembatan Kongsberg. Papernya merupakan paper pertama mengena teor graf [2]. Graf berarah G = (V,A) terdr dar hmpunan tak kosong V(G) sebaga smpul, dan A(G) sebaga busur berarah (arc). Pada graf berarah, smpul dapat dgambarkan sebaga ttk v atau w, sedangkan busur berarah {vw} A sebaga gars yang menghubungkan kedua smpul v dan w dengan smpul v sebaga ttk awal dan smpul w sebaga ttk ujung. Dua buah smpul v dan w dkatakan hadr (ncdent) bla ada busur berarah vw yang menghubungkan kedua smpul tersebut. Msalkan e = {vw} A
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 dan {v, w} V maka smpul v dan w dkatakan bertetangga (adjacent) bla terdapat busur berarah e d antara keduanya. Gelang (loop) adalah busur berarah yang berawal dan berakhr pada smpul yang sama, tanpa melalu smpul yang lannya. Jumlah busur berarah yang hadr pada suatu smpul v dsebut dengan derajat (degree) dar smpul tersebut dan dnotaskan dengan deg (v). Derajat keluar menyatakan jumlah busur berarah yang keluar dar smpul. Derajat masuk menyatakan jumlah busur berarah yang masuk ke smpul. Jalan (walk) pada suatu graf berarah adalah barsan dar smpul dan busur berarah yang menyatakan lntasan yang berawal dan berakhr pada suatu smpul. Lntasan adalah jalan dengan semua smpulnya berbeda [2]. Suatu graf dsebut terhubung apabla ada lntasan d antara setap dua smpulnya. Suatu graf berarah dkatakan terhubung secara kuat apabla untuk setap dua smpulnya v dan w d graf tersebut ada suatu lntasan dar v ke w, sama halnya ada sebuah lntasan dar w ke v. Suatu graf berarah adalah graf euler jka dan hanya jka derajat masuk dan derajat keluar dar smpulnya adalah sama dan memlk palng banyak sebuah subgraf terhubung yang tak nol (nontrval component). Setap graf euler berarah yang tdak memlk smpul tersolas (solated vertex) adalah terhubung secara kuat (strongly connected) meskpun memlk sfat-sfat yang memenuh terhubung secara lemah (weakly connected) [2]. Graf yang dbahas dalam makalah n adalah graf dengan pelabelan busur dmana memenuh sfat bahwa setap busur yang keluar dar smpul yang sama harus memlk label yang berbeda. Aplkas yang menark pada graf n adalah menemukan barsan de Brujn dar suatu graf de Brujn dengan menentukan srkut Euler yang ada pada graf de Brujn. Srkut Euler dengan lntasan palng mnmal pada suatu graf de Brujn merepresentaskan barsan de Brujn. Pada makalah n akan dbahas stud lteratur mengena suatu algortma untuk menyusun suatu tral Euler dengan label mnmal dar suatu smpul tertentu. B. Algortma Menyusun ral Euler Dengan Label Mnmal msalkan Msalkan G adalah graf berarah dan l : A( G) N adalah pelabelan busur berarah d G dengan alfabet N sedemkan sehngga busur berarah yang keluar dar smpul yang sama tdak memlk label yang sama. Sebuah tral adalah adalah barsan smpul-smpul sedemkan sehngga setap 112
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 dar smpul-smpul tersebut ada suatu busur ke smpul berkutnya dan tdak ada suatu busur yang dgunakan dua kal d dalam tral tersebut. Barsan W v1a 1v2a2 vk 1a k1 v adalah sebuah tral dmana k v adalah smpul dan a j adalah busur berarah sedemkan sehngga ttk ujung a j adalah 1 v dan ttk awal a j adalah v untuk setap 1,2,, k 1. Jka v1 vk maka W adalah tral tertutup. Hmpunan smpulsmpul v 1, v2,,..., v k dsmbolkan oleh V(W) dan hmpunan busur-busur a 1, a 2, a 3,..., a k 1 dsmbolkan dengan A(W). Ketka busur-busur W danggap tdak begtu pentng kta akan member smbol W dengan dengan lebh sederhana sebaga v,..., 1, v2, vk. Sebuah tral dsebut tral Euler jka busur berarah d W adalah busur berarah d G. Graf Euler adalah graf yang mengandung tral Euler. Label d W adalah kata l a ) l( ). ( 1 a k 1 Pada makalah n, stud lteratur algortma untuk menyusun suatu tral euler mnmal dar smpul r pada suatu graft G secara lexcographc terdr dar dua tahap yatu : AHAP I. Menyusun tral alpabetk pada graf G. Suatu tral alphabetk W pada suatu graf G yang dmula pada smpul r dsmbolkan dengan G r W,. Dan suatu prosedur untuk menyusur tral tersebut akan ddefnskan sebaga berkut: Dmula pada smpul r dan dlanjutkan menyusur busur yang belum dkunjung dengan label mnmal secara lexcographc. Prosedur tersebut berakhr dengan hasl suatu tral dan tral tersebut smpul r. Adapun Lexcographc ddefnskan oleh Pryanto, H [6] sebaga hmpunan yang terdr dar beberapa alfabet atau smbol yang memenuh poset dengan relas. Bla dberkan dua buah kata maka a,..., a 1, a 2 an dan b b 1, b 2,..., bn a b jka : a dan b dentk atau d dalam susunan alfabet, yakn pada suatu poss pertama memlk kesamaan kata dan selanjutnya kata yang berbeda. Msalkan a 11dan b 11, maka a b, karena pada 3 poss pertama kata a dan b memlk kesamaan, namun pada poss ke empat kata a mendahulu b, atau untuk a b 1,..., n tetap n m. (konds kata a lebh pendek dar b ). 113
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 AHAP II. Menyusun tral euler mnmal yang dmula pada smpul r. Lemma 1 [1] Msal adalah tral dengan label mnmal dantara semua tral yang hmpunan smpul d X. Msalkan Y X adalah hmpunan smpul yang terkandung dalam hmpunan smpul yang dcakup oleh. Maka adalah jalur dengan label mnmal dantara semua jalur yang ada d Y. Bukt: Dketahu: Dmsalkan adalah tral dengan label mnmal dantara tral-tral yang hmpunan smpul d X. Akan dbuktkan bahwa adalah tral dengan label mnmal. Msalkan pula ada tral lan yang merupakan tral dengan label mnmal yang Y. Berdasarkan fakta bahwa Y X, maka pada saat mencatat barsan smpul-smpul yang menghaslkan label untuk kta akan memperoleh label mnmal pada hmpunan X tersebut, sehngga X. Dengan demkan maka benar bahwa adalah tral dengan label mnmal pada X, sehngga bertentangan dengan pemsalan bahwa merupakan tral dengan label mnmal. Msalkan W v1 a1v2a2... vk 1ak1 k tral v dan tral W dapat mengunjung smpul v berulang kal, sehngga tral W tersebut dapat dbag ke dalam beberapa subtral sebaga berkut : - subtral v1 a1v2a2... v 1a1v dsmbolkan dengan Wv, - subtral vav 1 a 1... vk 1ak1v k dsmbolkan dengan v W dan - subtral vav 1 a 1... v j1a j1v j dsmbolkan dengan sedangkan smbol v W tanpa smpul v. v Wv j untuk <j. adalah tral vw Msal X adalah subset dar smpulsmpul d G. Suatu cut ddefnskan sebaga suatu kumpulan busur-busur dengan salah satu ujungnya berada d X dan satunya berada d V(G)\X, dsmbolkan dengan X. Secara sederhana untuk tral kta menulskan sebaga V G G G, dmana V() adalah hmpunan dar smpul-smpul yang merupakan ujung dar busur-busur d. Sebuah smpul v dcakup oleh tral jka G\ A [1]. v Lemma 2 [1] Msal v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh tral tertutup dantara smpul-smpul yang tdak dcakup oleh 114
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 dan msalkan w adalah smpul selanjutnya d, maka v vw Bukt Dketahu: G\ A v 1. v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh tral tertutup dantara smpul-smpul yang tdak dcakup oleh, 2. w adalah smpul selanjutnya d Akan dbuktkan: Hanya ada busur vw yang mengunjung smpul-smpul d v. Msal a adalah sembarang busur dar G v karena semua smpul dcakup oleh, maka a A( ). Yang bsa saja memlk art atau a A(v) a A(v). Dengan w adalah smpul selanjutnya d, maka ag \ Avv jka dan hanya jka a=vw. Dar defns sebuah tral alphabetk yang dmula pada r adalah suatu tral dengan label mnmal dantara semua tral yang dawal r dan r, maka akan dnyatakan suatu Lemma berkut n: Lemma 3 [1] v Msal adalah tral tertutup yang r dan v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh dantara smpulsmpul yang tdak terpaka oleh dan adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang v. Dan msalkan Z adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang v dan msal W W G \ A( ), v. Maka Z= W v v. Bukt: Dketahu : 1. adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang v. 2. Z adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang v. 3. W W G \ A( ), v Akan dbuktkan Z= v W v Karena Z vmaka Z juga Z v l l. sehngga Dan karena v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh dantara smpul-smpul yang tdak terpaka oleh maka 115
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 Dar Z lv Z lv l (1) l dperoleh bahwa Z v dan dengan jelas W v v juga v, maka Z lv W v l Dar (1) dan (2) hanya dapat dperoleh apabla Z v Z ' suatu tral Z. (2), untuk Karena v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh dantara smpul-smpul yang tdak dcakup oleh dan msalkan w adalah smpul selanjutnya d maka hanya ada satu busur vw yang bsa mengunjung smpul-smpul d dan v v, adalah label mnmal yang v d G \ A( v). V Untuk suatu tral tertutup Z dengan label mnmal label d G \ A( ) yang v dan Z adalah tral tertutup dengan label mnmal maka Z v Z '' v. Oleh karena tu maka Z '' W W G \ A( ), v sehngga Z= W v v. Dan berkut n dberkan algortma untuk menyusun tral Euler mnmal yang dmula pada smpul r. 116 Algortma 1 [1] 1. 2. vnoex() {v=r} 3. whle vnull do 4. WW(G\A(),v) over G\A() 5. (v)w(v) 6. vnoex() 7. end whle Catatan : NoEx() mengembalkan smpul terakhr yang tdak dpaka yang dkunjung oleh atau NULL jka smpulnya tdak ada. eorema 1 [1] Algortma 1 menghaslkan suatu tral Euler yang dmula pada r dan labelnya adalah mnmal dantara semua tral Euler yang dmula pada r. Bukt: Algortma tersebut d atas akan berakhr pada sejumlah langkah tertentu. Sehngga kta dapat menggunakan pembuktan secara nduks untuk membuktkannya. Kta defnskan pernyataan berkut secara nduktf: 1 G\ A WG v 1 1 1 1 v W v G, v NoEx, W, dan dengan
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 Akan kta buktkan dengan menggunakan nduks bahwa adalah tral tertutup dengan label mnmal yang v. Untuk =1, 1 W( G, r) adalah tral tertutup dengan label mnmal yang r. 1 Dan berdasarkan Lemma 1 W( G, r) adalah tral dengan label mnmal yang v 1. Untuk -1, Msalkan 1 adalah benar sebaga tral tertutup dengan label mnmal yang 1 1 v. Dan msalkan adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang 1 1 v. Berdasarkan lemma 3: Karena juga 1 l l. Dan karena v 1 1 1 1 maka v sehngga 1 v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh 1 dantara smpul-smpul yang tdak terpaka oleh bahwa l 1 maka 1 1 l v 1 1 Dar l v (3) l dperoleh 1 1 v dan dengan 1 1 1 1 jelas v W v v 1 1 juga, maka l 1 1 11 1 l v W v (4) Dar (3) dan (4) hanya dapat 1 dperoleh apabla 1 v ' untuk suatu tral ( ). Karena yang dkunjung oleh, 1 v adalah smpul terakhr 1 dantara smpul-smpul yang tdak terpaka oleh 1 dan msalkan 1 w adalah smpul selanjutnya d maka hanya ada satu busur 1 v 1 w yang bsa mengunjung 1 1 smpul-smpul d 1 1 v, dan v adalah label mnmal yang v 1 1 1 1 V d G G\ A v. Untuk suatu tral tertutup ( ) dengan label 1 mnmal label d G G\ A 1 v dan yang adalah tral tertutup dengan label mnmal maka 1 1 1 1 v W v maka ' ' W WG, v. Dan dperoleh bahwa. Oleh karena tu adalah tral tertutup dengan label mnmal dantara semua tral tertutup yang Untuk v 1. berdasarkan lemma 1, v NoEx dan adalah tral 117
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 dengan label mnmal yang v. Jad terbukt benar untuk semua. Oleh karena tu algortma n akan menghaslkan sebuah tral tertutup yang semua smpul V(), akan tetap G hanya memlk sebuah komponen terhubung secara kuat sehngga A()=A(G). Yang artnya bahwa adalah tral Euler dengan label mnmal. Sebaga Catatan : smpul awal r dapat dplh secara sembarang, suatu smpul awal yang berbeda akan menghaslkan tral yang berbeda, sekalpun yang dbahas adalah label sebaga suatu crcular strng. Sebaga contoh pada gambar 1 berkut, barsan de Brujn mnmal berkut yang dmula pada u adalah 1122 tetap yang dmula pada v adalah 1122. Gambar 1 C. Contoh Berkut n akan dberkan sebuah contoh untuk mencar tral euler dengan label mnmal secara lexcographc pada graf G berkut : Gambar 2 AHAP I. Menyusun tral alpabetk pada graf G. Pada tahap n akan dcar tral-tral alphabetk dar graf G yang kam smbolkan dengan W, dengan =,1,2,3,. Untuk lebh mempermudah pemahamannya kam proses tersebut kam sajkan dalam urutan gambar-gambar sebaga berkut : 118
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W : Lokas : v ral W : v a Lokas : v Gambar 4..1 ral W : v a v Lokas : v ral W 1 : Lokas : v Gambar 4..2 Gambar 4.1 Gambar 4.2 119
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W : v a v a 1 Lokas : v 1 ral W : v a v a 1 v 1 a 2 Lokas : v 2 v v a8=1 a8=1 v1 1 a9=11 1 v1 1 a9=11 1 a2=1 v2 1 a4=1 v2 1 a4=1 a3=11 a5=11 a1=11 a12=11 a3=11 a5=11 a1=11 a12=11 a11= 11 v5 a13= a11= 11 v5 a13= v4 11 a6=11 11 v6 v4 11 a6=11 11 v6 a7= a14= a7= a14= v7 v7 a15=1 Gambar 4.3 ral W 1 : v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 Lokas : v 3 a15=1 Gambar 4.4 ral W 1 : v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 Lokas : v v a8=1 v1 1 a9=11 1 v2 1 a3=11 a5=11 a1=11 a12=11 a11= 11 v5 a13= v4 11 a6=11 11 v6 a7= a14= v7 a15=1 Gambar 4.5 Gambar 4.6 12
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W 1 : v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 v Lokas : v 3 ral W 2 : Lokas : v 3 v v v1 1 a9=11 1 v1 1 a9=11 1 v2 v2 1 1 a3=11 a5=11 a1=11 a12=11 a3=11 a5=11 a1=11 a12=11 a11= 11 v5 a13= a11= 11 v5 a13= v4 11 a6=11 11 v6 v4 11 a6=11 11 v6 a7= a14= a7= a14= v7 v7 ral W 2 : v 3 a 9 Lokas : v 1 a15=1 Gambar 4.7 a15=1 Gambar 4.8 ral W 2 : v 3 a 9 v 1 a 3 Lokas : v 4 Gambar 4.9 Gambar 4.1 121
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W 2 : v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 Lokas : v 6 ral W 2 : v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 Lokas : v 3 Gambar 4.11 ral W 2 : v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 Lokas : v 6 ral W 3 : Lokas : v 6 Gambar 4.12 Gambar 4.13 Gambar 4.14 122
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W 3 : v 6 a 13 Lokas : v 5 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 Lokas : v 2 v v v1 1 1 v1 1 1 v2 1 v2 1 a5=11 a1=11 a5=11 a11= 11 v5 a11= 11 v5 v4 11 11 v6 v4 11 11 v6 a7= a14= a7= a14= v7 v7 a15=1 Gambar 4.15 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 Lokas : v 5 a15=1 Gambar 4.16 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 Lokas : v 4 v v1 1 1 v2 1 a11= 11 v5 v4 11 11 v6 a7= a14= v7 a15=1 Gambar 4.17 Gambar 4.18 123
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 Lokas : v 7 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 14 Lokas : v 6 Gambar 4.19 ral W 3 : v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 14 v 6 Lokas : v 7 ral W 4 : Lokas : v 7 Gambar 4.2 Gambar 4.21 Gambar 4.22 124
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 ral W 3 : v 7 Lokas : v 7 ral W 3 : v 7 a 15 v 7 Lokas : v 7 Gambar 4.23 Gambar 4.24 Dar proses tersebut d atas dperoleh 5 buah tral alphabetk yang mungkn pada graf G tersebut d atas yatu sebaga berkut : - W = v a v - W 1 =v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 v - W 2 = v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 - W 3 = v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 14 v 6 - W 4 = v 7 a 15 v 7 Yang untuk selanjutnya akan dpergunakan untuk menyusun tral euler yang mnmal secara lexcographc dengan menggunakan Algortma 1. mnmal euler yang akan kta car, adapun v adalah smpul terakhr yang dkunjung oleh dantara smpul-smpul yang tdak dcakup oleh. Penyusunan tral euler mnmal n kam sajkan dalam urutan proses-proses sebaga berkut : Dketahu : W = v a v W 1 = v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 v W 2 = v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 W 3 = v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 14 v 6 W 4 = v 7 a 15 v 7 v v AHAP II. Menyusun tral euler mnmal Pada tahap n akan dgunakan Algortma 1 untuk menyusun tral euler mnmal. Adapun W,W 1, W 2,W 3, W 4 adalah tral-tral aphabetk yang dperoleh dar tahap I, sedangkan adalah tral 125 Proses 1 W v a v (v) W (v)= v a v v v Proses 2 W 1 v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 v (v) W 1 (v)= (v a v )( v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 8 v )(v ) v v 3
Eds Jun 211 Volume V No. 1-2 ISSN 1979-8911 Proses 3 W 2 v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 (v) W 2 (v)= (v a v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 )( v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 )( v 3 a 8 v ) = v a v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 12 v 3 a 8 v v v 6 Proses 4 W3 v6 a13 v5 a1 v2 a5 v5 a11 v4 a7 v7 a14 v6 (v) W3 (v)= (v a v a1 v1 a2 v2 a4 a9 v1 a3 v4 a6 v6)( v6 a13 v5 a1 v2 a5 v5 a11 v4 a7 v7 a14 v6) ( v6 a12 a8 v) = va v a1v1 a2 v2 a4 a9 v1 a3 v4a v6 a13 v5 a1 v2 a5 v5 a11 v4 a7 v7 a14 v6 a12 a8 v v v7 Proses 5 W 4 v 7 a 15 v 7 (v) W 4 (v)= (v a v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 )( v 7 a 15 v 7 )( v 7 a 14 v 6 a 12 v 3 a 8 v ) = v a v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 15 v 7 a 14 v 6 a 12 v 3 a 8 v v NULL Proses Selesa Dar proses tersebut d atas dperoleh tral euler mnmal sebaga berkut : = v a v a 1 v 1 a 2 v 2 a 4 v 3 a 9 v 1 a 3 v 4 a 6 v 6 a 13 v 5 a 1 v 2 a 5 v 5 a 11 v 4 a 7 v 7 a 15 v 7 a 14 v 6 a 12 v 3 a 8 v. Untuk contoh graf n maka rangkaan euler mnmal tersebut berpadanan dengan barsan 16 angka bner 11. D. Daftar Pustaka Bang-Jensen, J. and Gutn, G. Dgraphs heory, Algorthms an Applcaton. Sprnger-Verlag, Berln Hedelberg, New York, London, Pars, okyo, Hongkong, Barcelona, Budhapest, 15 th August 27. Bo Hua Vctor, L. Euleran Path and Crcut. January 24, 21. Lu, C.L. Dasar-Dasar Matematka Dskrt, Alh Bahasa Ir. Bambang Sumantr, P Grameda Pustaka Utama, Jakarta 1995. Matamala, M. and Moreno, E. (24). Mnmal Euleran tral n a labeled dgraph. Departemen Matematka UCHILE-CNRS, Caslla 17-3, Correo 3, Santago, Chle. Pryanto, H (21). Konstruks Barsan de Brujn. Departemen Matematka Unverstas Indonesa, Indonesa. West, D. B (21). Introducton to Graph heory, Second Edton. Unversty of Illnos-Urbana: Prentce Hall. 126