permasalahan dalam graf yaitu permasalahan dekomposisi dan pelabelan. Lexicographic product dari G1

Transkripsi

1 DEOMPOSISI m, m -(ANTI) AJAIB DARI Hendy 1, St Fatmah 2 Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Unverstas Pesantren Tngg Darul Ulum 1,2 omplek PP Darul Ulum Peterongan Jombang hendyhendy17@gmal.com 1, seevad.unpdu17@yahoo.com 2 Abstrak Msalkan G dan H dua graf sederhana. onsep tentang dekomposs H -(ant)ajab dar graf G tmbul dar penggabungan dua permasalahan dalam graf yatu permasalahan dekomposs dan pelabelan. Lexcographc product dar G1 dan G 2, G 1G 2, adalah graf yang dperoleh dengan cara menggant setap ttk G1 dengan copy dar G2dan menggant setap ss x x d j G1 dengan graf bpartt lengkap,. eluarga (famly) G G,..., t t 1, 2 dar subgrafsubgraf d G dsebut H -dekomposs dar G jka semua subgrafsubgraf tersebut somorf dengan H, EG EG, j, dan k 1 G E( U E. Graf G dsebut ( a, d) H -antajab jka terdapat bjeks g : V( E( 1,2,..., V( E( G k sedemkan sehngga total label ttk dan ss untuk setap B, merupakan anggota a, a d, a 2d,..., a ( k 1) d. Pada peneltan n dbahas eksstens dar dekomposs m 1. m, m -antajab dar C n m untuk n 3, ata unc : Dekomposs H-ant ajab, komplemen graf, lexcographc product Abstract Let H and G be two smple graphs. The concept of an H-magc decomposton of G arses from combnaton between graph decomposton and graph labelng. Lexcographc product from G1 and G 2, G1 G 2, s a graph whch arses from G 1 by replacng each vertex of G 1 wth the copy of G2and replacng each edge x x of j G 1 wth complete bpartte,.a famly G G,..., t t 1, 2 G k of subgraphs of G s an H -decomposton of G f all subgraphs are somorphc to graph Gamatka Vol. V No. I Nopember

2 H, EG EG, j and EG E( k U 1. The graph G s sad to be ( a, d) H -antmagc f there s bjecton g : V( E( 1,2,..., V( E( n such that the total labels B are elements of a, a d, a 2d,..., a ( k 1) d. In ths paper we show that n 3, m 1 are exsts. m, m -antmagc decompostons of n m C eywords : H-antmagc decomposton, graphs complement, lexcographc product for 1. Pendahuluan Peneltan tentang graf mengalam perkembangan yang amat pesat. Beberapa dantaranya mengkombnaskan konsep-konsep yang sudah ada sepert konsep Dekomposs graf dan Pelabelan graf. Beberapa peneltan tentang perpaduan konsep Dekomposs dan Pelabelan telah dlakukan sebelumnya, dantaranya, Cycle-supermagc decompostons of Complete multpartte Graphs oleh Z. Lang (2012). emudan T.. Maryat, A.N.M. Salman, E.T. Baskoro, J. Ryan, M. Mller juga melakukan peneltan tentang On H-supermagc labelngs for certan shackles and amalgamatons of a connected graph (2010). Peneltan tentang Dekomposs H-ajab dar graf hasl lexcographc product telah dlakukan oleh Hendy dan A.N.M Salman pada tahun Pada peneltan n dhaslkan beberapa teorema dantaranya Graf memlk dekomposs -ajab jka dan hanya jka m genap atau m ganjl dan atau m ganjl dan atau m ganjl dan. Dar peneltan n penuls tertark untuk mengembangkan lebh jauh tentang graf hasl Lexcographc Product. Penuls tertark untuk mengulas Dekomposs., m m -antajab dar 2. Tnjauan Pustaka Defns 2.1. Graf G ddefnskan sebaga pasangan hmpunan (V(, E() dmana V( adalah hmpunan tak kosong dar unsur-unsur yang dsebut ttk (vertex) dan E( adalah hmpunan dar pasangan tak terurut (u,v) dar ttk-ttk u dan v yang berbeda d V( yang dsebut ss (edge). Selanjutnya ss e = (u,v) pada graf G dtuls e = uv. Banyaknya unsur d V dsebut order dar G yang dlambangkan dengan p(, sedangkan banyaknya unsur d E dsebut ukuran dar G yang dlambangkan dengan q(. Defns 2.2. Graf lengkap adalah graf sederhana yang setap ttknya terhubung ke semua ttk yang lannya. Graf lengkap dengan n buah ttk dlambangkan dengan n. Jumlah ss pada graf lengkap yang terdr dar n buah ttk adalah n(n-1) / 2 ss. Gamatka Vol. V No. I Nopember

3 Defns 2.3. Graf lngkaran adalah graf sederhana yang setap ttknya berderajat dua. Graf lngkaran dengan n ttk dlambangkan dengan C n. Defns 2.4. omplemen dar graf dsmbolkan dengan adalah graf dengan dan jka dan hanya jka. Gambar 2.1 graf C 5 dan komplemennya Defns 2.5. Dekomposs graf adalah sekumpulan atau koleks {H } dar subgraf sedemkan hngga H = E untuk setap E subset E( dan {E } adalah parts dar E(. Jka {H } adalah dekomposs dar G, maka G dapat dtuls H 1 H 2... H n, dmana n = {H }. Gambar 2.2 Dekomposs P 5 pada 6 Graf G dsebut ( a, d) H -antajab jka terdapat bjeks g : V( E( 1,2,..., V( E( sedemkan sehngga total label ttk dan ss untuk setap B, merupakan anggota a, a d, a 2d,..., a ( k 1) d. Gamatka Vol. V No. I Nopember

4 Defns 2.6. Lexcographc product dar G1 dan G 2, G 1G 2, adalah graf yang dperoleh dengan cara menggant setap ttk G1dengan copy dar G2 dan menggant setap ss x x d j G1 dengan graf bpartt lengkap t, t. Gambar 2.3. graf dan graf Defns 2.7. Pelabelan adalah pemetaan yang daerah asalnya (doman) merupakan beberapa hmpunan elemen graf, hmpunan ttk-ttk atau hmpunan semua ttk dan ss yang daerah haslnya (range) adalah hmpunan blangan bulat postf. Pelabelan pada suatu graf sebarang adalah pemetaan atau fungs yang memasangkan unsur-unsur graf (ttk atau ss) dengan blangan (basanya blangan bulat postf). Jka doman dar pemetaan adalah ttk maka pelabelan dsebut pelabelan ttk (vertex labelng). Jka domannya adalah ss, maka dsebut pelabelan ss (edge labelng), dan jka domannya ttk dan ss, maka dsebut pelabelan total (total labelng). Defns 2.8. Pelabelan total ss ajab (edge-magc total labelng) pada graf adalah pemetaan bjektf dar V E pada hmpunan {1, 2, 3,, h} sehngga untuk sebarang ss d berlaku (v)+ (ve) + (e) = k untuk suatu konstanta k. Selanjutnya k dsebut konstanta ajab pada G dan G dsebut graf total ss ajab. Gambar 2.4 Pelabelan total ss ajab dar graf C 5 dengan konstanta ajab k = 14 Pada pelabelan total antajab berlaku syarat bahwa semua bobot berbeda nla. Pada pelabelan total ( )-antajab berlaku syarat bahwa semua bobot membentuk barsan artmatka yang ddefnskan pada suatu pelabelan Gamatka Vol. V No. I Nopember

5 dsebut pelabelan total (a,d)-antajab dar graf bla hmpunan semua bobot adalah membentuk barsan artmatka untuk suatu blangan postf a dan d, dmana a > 0 dan d > 0. Gambar 2.5 Pelabelan total (12,1) antajab dar C 5 3. Pembahasan Teorema 3.1. Graf memlk dekomposs ant ajab untuk. Bukt : a) Graf dapat ddekomposs menjad dua buah karena ketka mendekomposs menjad beberapa subgraf sama halnya dengan mendekomposs graf terhadap ss-ssnya. Graf mempunya dua buah ss. Dengan demkan graf dapat dparts menjad dua buah untuk setap. b) Berkutnya dlakukan pelabelan total ant ajab pada graf sedemkan sehngga total label pada masng-masng membentuk barsan artmatka. emudan untuk memberkan label pada ttk dan ss dsetap parts, ddefnskan adalah hmpunan ttk-ttk pada parts/subgraf ke dan adalah hmpunan ss-ss pada parts/subgraf ke. Label ttk-ttk dengan aturan sebaga berkut: } emudan label ss-ss dengan aturan sebaga berkut: Sehngga apabla pada setap label pada ttk dan ss djumlahkan maka akan menghaslkan sebuah parts yang dsebut dengan dmana: Gamatka Vol. V No. I Nopember

6 Dar a) dan b) terbukt bahwa Graf ant ajab memlk dekomposs Gambar 3.1 Dekomposs 2,2 (64,8) antajab dar graf 4 2 C Teorema 3.2: Graf memlk dekomposs -ant ajab untuk. Bukt : a) Graf dapat ddekomposs menjad lma buah karena ketka mendekomposs menjad beberapa subgraf sama halnya dengan mendekomposs graf terhadap ss-ssnya. Graf mempunya lma buah ss. Dengan demkan graf dapat dparts menjad lma buah untuk setap. b) Berkutnya dlakukan pelabelan total ant ajab pada graf sedemkan sehngga total label pada masng-masng membentuk barsan artmatka. emudan untuk memberkan label pada ttk dan ss dsetap parts, ddefnskan adalah hmpunan ttk-ttk pada parts/subgraf ke dan adalah hmpunan ss-ss pada parts/subgraf ke. Label ttk-ttk dengan aturan sebaga berkut: emudan label ss-ss dengan aturan sebaga berkut: Dar a) dan b) terbukt bahwa Graf -ant ajab memlk dekomposs Gamatka Vol. V No. I Nopember

7 Gambar 2. Dekomposs 3,3 dar graf C 5 3 Contoh dar graf dapat ddekomposskan menjad lma buah 3,3 karena jumlah parts yang dperoleh sama dengan jumlah ss pada graf. Untuk melabel ttk-ttknya sebaga berkut: T Untuk member label pada ttkttk d parts 1 T Untuk member label pada ttkttk d parts 2 T Untuk member label pada ttkttk d parts 3 T Untuk member label pada ttkttk d parts 4 T Untuk member label pada ttkttk d parts 5 Untuk melabel ss-ssnya sebaga berkut: S Untuk member label pada ss-ss d parts 1 S Untuk member label pada ss-ss d parts 2 S Untuk member label pada ss-ss d parts 3 S Untuk member label pada ss-ss d parts 4 S Untuk member label pada ss-ss d parts Gamatka Vol. V No. I Nopember

8 Untuk menghtung total jumlah dar nla label-label pada ss dengan mudah maka dapat menggunakan rumus barsan artmatka yatu sebaga berkut: 5 eterangan: : Suku pertama pada label ss : Beda pada setap nla pada label ss : Banyak suku pada label ss : suku ke pada label ss; emudan djumlah pada setap partsnya adalah sebaga berkut: dlabel dengan blangan-blangan pada {1,6,11} dengan jumlah 18 dlabel dengan blangan-blangan pada {2,7,12} dengan jumlah 21 dlabel dengan blangan-blangan pada {3,8,13} dengan jumlah 24 dlabel dengan blangan-blangan pada {4,9,14} dengan jumlah 27 dlabel dengan blangan-blangan pada {5,10,15} dengan jumlah 30 dlabel dengan blangan-blangan pada {16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56} dengan jumlah 324 dlabel dengan blangan-blangan pada {17, 22, 27, 32, 37, 42, 47, 52, 57} dengan jumlah 333 dlabel dengan blangan-blangan pada {18, 23, 28, 33, 38, 43, 48, 53, 58} dengan jumlah 342 dlabel dengan blangan-blangan pada {19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59} dengan jumlah 351 dlabel dengan blangan-blangan pada {20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60} dengan jumlah 360 Dlanjutkan dengan menjumlahkan label ttk dan ssnya pada tap-tap parts pada graf sebaga berkut: Sehngga dperoleh jumlah dar masng-masng parts yang membentuk barsan artmatka dengan selsh 12, maka graf mempunya dekomposs -ant ajab. Teorema 3.3. Graf memlk dekomposs -ant ajab untuk dan. Bukt: a) Graf dapat ddekomposs menjad buah karena ketka mendekomposs menjad beberapa subgraf sama halnya dengan mendekomposs graf terhadap ss-ssnya. Graf mempunya buah ss. Dengan demkan graf dapat dparts menjad buah untuk setap dan. Gamatka Vol. V No. I Nopember

9 b) Berkutnya dlakukan pelabelan total ant ajab pada graf sedemkan sehngga total label pada masng-masng membentuk barsan artmatka. emudan untuk memberkan label pada ttk dan ss dsetap parts, ddefnskan adalah hmpunan ttk-ttk pada parts/subgraf ke dan adalah hmpunan ss-ss pada parts/subgraf ke. Label ttk-ttk dengan aturan sebaga berkut: emudan label ss-ss dengan aturan sebaga berkut: Jad dar a) dan b) maka memlk dekomposs -ant ajab 4. Penutup Dar pembahasan datas dapat dsmpulkan bahwa jumlah parts dar hasl pendekompossan graf terhadap adalah sama dengan jumlah ss pada graf C n. Cara pelabelan ttk dan ss pada pembahasan datas merupakan salah satu dar beberapa pelabelan total antajab yang bsa dlakukan karena dekomposs -ant ajab dar graf tdak tunggal. Daftar Pustaka Asnah, Barroh Faktorsas Graf Beraturan, Skrps tdak dpublkaskan. Malang: Fakultas Matematka UIN Malk. D. Froncek, P. ovar, T. ovarova Constructng Dstance Magc Graphs from Regular Graphs Dorur, Atmn Barsan dan Deret Blangan. barsan artmatka pdf. dakses tanggal Hamzah, Syaful. Graph Theory. dakses tanggal Hasmawat Alternatf Pembuktan dan Penerapan Teorema Boundy. No. 03. Vol. 07. Hal dakses tanggal Hendy. Salman, A.N.M. Dekomposs H-Ajab Dar Graf Hasl Lexcographc product. Bandung: Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Insttut Teknolog Bandung. Irawat, Dna. Pelabelan Total Ss Ajab Pada Graf Bntang. No. 01. Vol. 02. Hal. 86. Padang: Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Andalas. Munawarah, Rna Dekomposs Graf omplt. Skrps tdak dpublkaskan. Malang: Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger (UIN). Gamatka Vol. V No. I Nopember

10 Oktavy Llyan, Nony Pelabelan Total Super Vertex-Magc Pada Cycle dan Graf Crculant. Skrps tdak dpublkaskan. Surakarta: Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Sebelas Maret. Parestu, Andrea Teor Graf dan Pelabelan Graf. Jakarta: Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Indonesa. Rahman, Arf, dkk. Pelabelan Total (a,d) Ss Ant Ajab Pada Graf Petersen. Padang: Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unverstas Andalas. T.. Maryat, A.N.M. Salman, E.T. Baskoro, J. Ryan, M. Mller, On H- supermagc labelngs for certan shackles and amalgamatons of a connected graph, Utl. Math. 83(2010) T.. Maryat, A.N.M. Salman, E.T. Baskoro, Supermagc coverngs of the unon graphsand amalgamatons, Dscrete Math. 313 (2013) Z. Lang, Cycle-supermagc decompostons of Complete multpartte Graphs, Dscrete Mathematcs 312 (2012) Gamatka Vol. V No. I Nopember