REGRESI DAN KORELASI. Penduga Kuadrat Terkecil. Penduga b0 dan b1 yang memenuhi kriterium kuadrat terkecil dapat ditemukan dalam dua cara berikut :

Transkripsi

1 BAHAN AJAR EKONOMETRIKA AGUS TRI BASUKI UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH YOGYAKARTA REGRESI DAN KORELASI Tujuan metode kuadrat terkecl adalah menemukan nla dugaan b0 dan b yang menghaslkan jumlah kesalahan kuadrat mnmum. Dalam pengertan tertentu, yang segera akan kta bahas, nla dugaan tu akan menghaslkan fungs regres lner yang bak. Penduga Kuadrat Terkecl. Penduga b0 dan b yang memenuh krterum kuadrat terkecl dapat dtemukan dalam dua cara berkut : Pendekatan Pertama, dgunakan suatu prosedur pencaran numerk. Prosedur n untuk berbaga nla dugaan b0 dan b yang berbeda sampa dperoleh nla dugaan yang memnmumkan. Pendekatan kedua adalah menemukan nla-nla b0 dan b secara analts yang memnmumkan Jumlah Kesalahan Kuadrat ( e ). Pendekatan analts mungkn dlakukan bla model regresnya secara sstemats tdak terlalu rumt, sepert halnya d sn. Dapat dperlhatkan nla-nla b0 dan b yang memnmumkan ( e ) untuk data sampel yang dmlk dberkan oleh sstem persamaan lnear berkut : y nb b X 0 (a) X Y b X b X (b) 0 Persamaan (a) dan (b) dnamakan persamaan normal; b0 dan b dnamakan penduga ttk (pont estmator) bag 0 dan. Besaran-besaran Y, X, dan seterusnya d dalam (a) dan (b) dhtung dar amatan-amatan sampel(x, Y). Dengan demkan, kedua persamaan tu bsa dselesakan. Untuk memperoleh b0 dan b bsa dhtung secara langsung menggunakan rumus : PENGANTAR EKONOMETRI

2 X Y XY n X X Y Y b (c) X X X X n b0 Y b X Y bx (c) n dalam hal n X dan Y berturut-turut adalah rataan X dan rataan Y. Persamaan normal (a) dan (b) dapat dturunkan secara kalkulus. Untuk suatu data amatan (X, Y), e dapat dturunkan dengan cara mendferensalkan: e = (Y X) terhadap 0 dan. Kta peroleh: Q ( Y 0 X) 0 Q X ( Y 0 X ) Selanjutnya kedua turunan parsal n dsamakan dengan nol, dan dengan menggunakan b0 dan b untuk menyatakan 0 dan yang memnmumkan ( e ), maka: ( Y X ) 0 0 X ( Y X ) 0 0 Sstem persamaan n dnamakan persamaan normal. Dengan menyelesakan persamaan-persamaan normal n dperoleh: n X Y ( X )( Y ) b n X ( X ) b Y b X 0 Rumus terakhr n merupakan vers lan dar rumusan yang telah dsajkan d depan, namun akan menghjaslkan nla yang sama. PENGANTAR EKONOMETRI

3 Penduga kuadrat terkecl n alah penduga tak bas dan merupakan fungs lnear dar Y, yatu: a. Eb ( 0) 0 dan Eb ( ) (jad merupakan penduga tak bas). ( X X ) Y ky ( X X) n X Y ( X )( Y ) b. b n X ( X ) dmana: ( X X) k ( X X) b0 Y X ky by n dmana: b ( Xk) n (bak b maupun b 0 merupakan kombnas lnear atau fungs lnear dar Y ). PENGANTAR EKONOMETRI 3

4 Konsums Analss Regres Sederhana Tabel Data konsums (Y) dan pendapatan (X) 30 mahasswa fakultas ekonom No Y X No Y X No Y X Sumber : Data Hpotes Pendapatan PENGANTAR EKONOMETRI 4

5 Perhtungan regres lnear sederhana Dar tabel datas dapat kta jabarkan sebaga berkut : No Y X YX X^ y y ^ y^ Y' e^ PENGANTAR EKONOMETRI 5

6 Persamaan (.5a) dan (.5b) dapat dsusun sebaga berkut : 64 = 30 b b = 75 b b = 5560 b b = 5560 b b = 0 b b b = 0.93 b0 = Sehngga persamaan regresnya dapat dsusun sebaga berku : Y = 0, ,93 X + et dmana : Bo = 0,484, artnya jka faktor lan danggap tetap maka rata-rata konsums sebesar 0,484 satuan B = 0,93, artnya jka faktor lan danggap tetap maka kenakan pendapatn sebesar satuan akan menngkatkan konsums sebesar 0,93 satuan Dalam praktek sebetulnya banyak sekal faktor yang mempengaruh suatu varabel dependen y, tdak hanya satu varabel. Contoh yang palng nyata adalah pembelan produk oleh konsumen. Pembelan produk oleh konsumen tdak hanya dpengaruh oleh faktor harga, tatap juga bsa dpengaruh oleh faktor klan produk, preferens konsumen, keterjangkauan produk, dan ftur produk. Untuk membuat analss pengaruh berbaga macam faktor ndependen terhadap satu varabel dependen kta menggunakan analss regres dan korelas berganda. PENGANTAR EKONOMETRI 6

7 Analss Regres Berganda Dalam analss regres lner sederhana, rumus regres drumuskan dengan y = a + b. Untuk regres berganda lebh dar satu varabel ndependen. Rumus regresnya adalah : Y = a + b + b +...+e Dmana :,, 3...adalah varabel ndependen a : konstanta b adalah koefsen perubahan y dengan dan konstan b adalah koefsen perubahan y bla konstant dengan dan 3 konstan b3 adalah koefsen perubahan y bla 3 berubah dengan dan konstan e adalah error Rumus regres datas adalah untuk regres dengan dua varabel ndependen, kta bsa juga memperluas jumlah varabel ndependen msal menjad tga varabel ndependen () sehngga rumus regresnya adalah: Y = a + b + b + b33 Persamaan regres datas apabla kta bsa perluas dengan n varabel ndependen maka rumus regres adalah: Y = a + b + b + b bnn Untuk mendapatkan persamaan regres datas nla konstanta dan slope regres dcar dengan menggunakan metode kuadrat terkecl. Sebaga contoh untuk dua varabel ndependen metode Least square adalah sebaga berkut: ΣY = na + b + b ΣXY = a ΣX + b ΣX + b ΣXX ΣXY = a ΣX + b ΣX X + b ΣX Persamaan normal data dapat dturunkan secara kalkulus. Untuk suatu data amatan (X, Y), e dapat dturunkan dengan cara mendferensalkan: e = (Y X -X) terhadap 0, dan dapat kta peroleh: PENGANTAR EKONOMETRI 7

8 Q/ 0 = - (Y X -X) Q/ = - X(Y X -X) Q/ = - X(Y X -X) Apabla jumlah varabel ndependen dperluas menjad ke-k varabel maka metode least square adalah sebaga berkut: ΣY = na + bσ + b Σ + b bk ΣXk ΣXY = a ΣX + b ΣX + b ΣXX+ b3 ΣXX bk ΣXXk ΣXY = a ΣX + b ΣX X3 + b ΣX + b3 ΣX X3 + + bk Σ(XXk) ΣX3Y = a ΣX3 + b ΣX X3 + b ΣX X3 + b3 ΣX3 + + bk Σ(X3Xk) ΣXkY = a ΣXk + b ΣX Xk + b ΣX Xk + b3 ΣX3Xk + + bk ΣXk Untuk mendapatkan nla a, b, dan b kta menggunakan perkalan matrks dengan predks dua varabel ndependen, persamaan matrks yang dgunakan adalah sebaga berkut: y a y b y b n H = ba A b = A -.H dmana A - = det A det A dmana det A, A = n Det A = n. Σ Σ + Σ. Σ.Σ + Σ. Σ.Σ - Σ. Σ.Σ - Σ. Σ.n - Σ. Σ. Σ PENGANTAR EKONOMETRI 8

9 Det A = Σy Σ Σ + Σ. Σ.Σy + Σ. Σ.Σy - Σy. Σ.Σ - Σ. Σ. Σy - Σ. Σ. Σy Det A = n. Σy Σ + Σy. Σ.Σ + Σ. Σy.Σ - Σ. Σy.Σ Σy. Σ.n - Σ. Σy. Σ Det A3 = n Σ. Σy + Σ.Σy.Σ + Σy. Σ.Σ - Σ. Σ.Σy Σ. Σy.n - Σy. Σ. Σ Dmana nla a, b, b bsa ddapatkan dengan cara sebaga berkut: a = det A b = det A det A b = det A det A3 det A Untuk mengetahu lebh jelas berkut adalah contoh penerapan regres berganda. Seorang manager perusahaan ngn mengetahu pengaruh dar jumlah perklanan d koran (X) dan jumlah perklanan d rado (X), terhadap volume penjualan (Y) dalam setahun selama 0 tahun. Data yang dkumpulkan adalah sebaga berkut: Tabel Jumlah Iklan Koran (X), Rado (X) dan Volume penjualan (Y) NO X X Y Jumlah Manager tersebut ngn mengetahu pengaruh dar jumlah klan d tv dan koran selama setahun terhadap volume penjualan. Buatkanlah persamaan regres untuk menjawab hal tersebut. PENGANTAR EKONOMETRI 9

10 Untuk mendapatkan persamaan regres kta membuat tabel sepert berkut: Tabel Least Square Methode NO X X Y X X Y XX XY XY Jumlah ΣY = na + b + b ΣXY = a ΣX + b ΣX + b ΣXX ΣXY = a ΣX + b ΣX X + b ΣX 69 = 0 a + 70 b + 9 b.9 = 70 a b + 64 b.545 = 9 a + 64 b b Dalam perkalan matrks A B = C B = A - C a b b = A b = c Dengan aturan perkalan matrks, persamaan regres ddapatkan dengan cara mencar determnan matrk A, A, A, A3 sebaga berkut: PENGANTAR EKONOMETRI 0

11 Det A = ( ) + ( ) + ( ( ) ( ) ( ) = 44 Det A= ( ) + ( ) + (9 64.9) ( ) - ( ) ( ) = 48 Det A = ( ) + ( ) + ( ) (9.9 9) ( ) ( ) = 37 Det A3 = ( ) + (70.9 9) + ( ) - ( ) (64.9 0) ( ) = 6 Dar perhtungan datas kta bsa mencar koefsen a, b, b dengan perhtungan sebaga berkut: det A a = det A 48 = 44 = 5,6 det A b = det A 37 = 44 = 0,84 det A3 b = det A 6 = 44 = 0,59 Dengan demkan kta bsa menyatakan persamaan regresnya sebaga berkut: Y= 5,6 + 0,84 X + 0,59 X Koefsen Korelas dan Koefsen Determnas Model regres adalah suatu model yang dhaslkan oleh metode yang dsebut least square methode. Dalam setap model regers apabla dgunakan untuk PENGANTAR EKONOMETRI

12 mempredks akan terjad kesalahan dmana hasl persamaan regres tdak sama dengan hasl nla Y. Kesalahan n dsebut dengan standar error of estmate. Standar kesalahan n terbag menjad dua yatu kesalahan yang bsa djelaskan oleh model regres dan kesalahan yang tdak bsa djelaskan oleh model regres. Sebagamana dbahas pada bab sebelumnya, koefsen korelas adalah besar hubungan antara varabel ndependen dengan varabel dependen. Sedangkan koefsen determnas adalah suatu ndkator yang menunjukkan besarnya varans dar varabel depneden yang bsa djelaskan oleh varabel ndependen. Sehngga untuk mencar koefsen determnas kta bsa mendapatkan dar besarnya penympangan atau varans dar varabel dependen dbag dengan total penympangan atau varans. R Eplaned Varaton = Total Varaton = - ( Y Yˆ) ( Y Y) Dmana R adalah koefsen determnas Y adalah nla Y Yˆ adalah nla y predks Y rata-rata Y Sehngga koefsen korelas adalah akar kuadrat dar koefsen determnas. r= R Dar soal pengaruh jumlah klan d rado (X) dan jumlah klan d koran (X) terhadap volume penjualan datas dperoleh persamaan regresnya adalah Y= 5,6+0,84X+0,59X, carlah koefsen korelas dan koefsen determnasnya! Untuk mencar nla Y kta memasukkan nla X dan X kedalam persamaan dan mengurang nla Y dengan rata-rata Y, sehngga dperoleh tabel sepert dbawah. PENGANTAR EKONOMETRI

13 Predks Y dengan X dan Varans Y Sampel X X Y Y (Y-Y ) y ,36 0,96, ,36 0,96, ,95 0,005 0, ,79 0,044 0, ,79 0,044 0, ,79 0,044 0, ,79,464, , 0,0484, , 0,0484, , 0,0484,5 Jumlah ,49,0033 4,5 Berdasarkan tabel datas nla koefsen determnas dhtung dengan rumus: R = - ( Y Yˆ) ( Y Y) R,0033 = - 4,5 R = 0,86 Sehngga koefsen korelasnya adalah akar kuadrat dar koefsen determnas. R = 0, 86 = 0,98 PENGANTAR EKONOMETRI 3

14 Lathan Soal. Apa yang Sauadara ketahu tentang regres. Dketahu data perekonoman negara ABC sebaga berkut : Perkembangan Ekonom negara ABC Tahun GDP Konsums Inflas Sumber : Data hpotess Pertanyaan : a. Buatlah persamaan regres dan hasl regresnya b. Tentukan korelas berganda, dan apa artnya 3. Dketahu data pengeluaran konsums dan pendapatan suatu wlayah tahun 00-0 sebaga berkut : PENGANTAR EKONOMETRI 4

15 Tahun Konsums Pendapatan Pertanyaan : a. Buatlah persamaan regres dan hasl regresnya b. Tentukan korelasnya, dan apa artnya PENGANTAR EKONOMETRI 5

16 DAFTAR PUSTAKA Allen L. Webster, Appled Statstcs for Bussness and Economcs An Esseental Verson, Thrd Edton, Irwn Mc Graw-Hll, 998. Budyuwono, Nugroho, Pengantar Statstk Ekonom & Perusahaan, Jld, Eds Pertama, UPP AMP YKPN, Yogyakarta, 996. Barrow, Mke. Statstcs of Economcs: Accountng and Busness Studes. 3 rd edton. Upper Saddle Rver, NJ: Prentce-Hall, 00 Dajan, Anto. Pengantar Metode Statstk. Jakarta: Penerbt LP3ES, 974 Danel, Wayne W. Statstk Nonparametrk Terapan. Terjemahan Ale Tr Kantjono W. Jakarta: PT Grameda Hasan, Iqbal M, Pokok-pokok Mater Statstk (statstc deskrptf), Bum Aksara, Jakarta, 999. J. Supranto, Statstk Teor dan Aplkas, Jld, Eds Kedua, Jakarta, Penerbt Erlangga, 009 Wonnacott, Thomas H. and Ronald J. Wonnacott. Introductory Statstcs for Busness and Economcs. Thrd edton. New York: John Wley & Sons, 990 Zanal Mustafa, Pengantar Statstk Deskrptf, Eds Revs, Ekonsa, Yogyakarta, 998 PENGANTAR EKONOMETRI 6