PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b-busur BERURUTAN

Transkripsi

1 JIMT Vol. 4 No. Jun 07 (Hal - 0) ISSN : X PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b-busur BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER L n (; ; t) DAN L n (;, s; t) Nujana, I W. Sudasana, dan Resnawat 3,,3 Pogam Stud Matematka Juusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unvestas Tadulako Jalan Sukano-Hatta Km. 9 Palu 948, Indonesa [email protected], [email protected], 3 [email protected] ABSTRACT A bjecton f: V E,, 3,, v + e} s called an b-edge consecutve edge-magc total labelng (b-edge consecutve EMT labelng) of G wth vetces v and edges e f f s an edge-magc total labelng of G and f(e) = b +, b +, b + 3,, b + e}, wth 0 b v. If a connected gaph G has b-edge consecutve EMT labelng wth b,,3,, v } then G s a tee. Lobste s one of tee that conssts of a sngle path, whee whch evey vetex has dstance at most t fom the vetces n the man path, wth t s an ntege. Futhemoe, an nvestgaton wll be conducted about b-edge consecutve EMT labelng on lobste L n (; ; t) and L n (;, s; t) fo n ;, s ; and t. The esults show that lobste L n (; ; t) and L n (;, s; t) fo n ;, s ; and t have b-edge consecutve EMT labelngs. Keywods : B-Edge Consecutve Edge-Magc Total Labelng, Lobste Gaph. ABSTRAK Suatu pemetaan bjektf f: V E,, 3,, v + e} dsebut suatu pelabelan total busu-ajab b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) da G yang memlk banyaknya ttk v dan banyaknya ss e jka f adalah suatu pelabelan total busu-ajab da Gdan f(e) = b +, b +, b + 3,, b + e}, 0 b v. Jka gaf tehubung G mempunya PTBA b-busu beuutan dengan b,,3,, v } maka G adalah suatu gaf pohon. Gaf lobste meupakan salah satu gaf pohon yang ted da satu lntasan, dmana setap smpul memlk jaak palng banyak t tehadap ttk-ttk d lntasan utama, dengan t adalah suatu blangan bulat. Selanjutnya, akan dlakukan nvestgas mengena PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste L n (; ; t) dan gaf Lobste L n (;, s; t) uk n ;, s ; dan t.hasl yang dpeoleh adalah gafl obste L n (; ; t)dan gaf Lobste L n (;, s; t) uk n ;, s ; dan t memlk PTBA b-busubeuutan. Kata Kunc : Gaf Lobste, Pelabelan Total Busu Ajab B-busu Beuutan.

2 I. PENDAHULUAN 3.. Lata Belakang Teo gaf adalah cabang kajan yang mempelaja sfat-sfat gaf. Secaa umum, suatu gaf G adalah pasangan hmpunan (V(G), E(G)) dengan V(G) yang meupakan hmpunan ttk yang tak kosong dan E(G) yang meupakan hmpunan ss (pasangan elemen) da V.Salah satu mate gaf yang bekembang dan mendapat pehatan khusus adalah pelabelan gaf. Pelabelan pada suatu gaf adalah pemetaan bjektf yang memasangkan unsu-unsu gaf (smpul atau busu) dengan blangan bulat postf. Jka doman da pelabelan adalah hmpunan smpul, maka pelabelannya dsebut pelabelan smpul (vetex labelng), sedangkan jka doman da pelabelan adalah hmpunan busu, maka pelabelannya dsebut pelabelan busu (edge labelng). Jka doman da pelabelan adalah gabungan hmpunan smpul dan busu, maka pelabelannya dsebut pelabelan total (total labelng). Kn sudah banyak jens pelabelan gaf yang telah dkembangkan, dantaanya pelabelan gacefull, pelabelan total tak beatuan, pelabelan ajab, pelabelan ant ajab, dan pelabelan total supe ajab. Dalam pelabelan total supe ajab, dkenal pula pelabelan total smpul ajab dan pelabelan total busu ajab, seta pelabelan beuutan yang meupakan pengembangan da pelabelan total supe ajab tu send. Konsep peneltan mengena pelabelan total busu ajab semakn bekembang, sehngga Sugeng dan Mlle [4] mengkaj dan mempekenalkan stlah pelabelan total busuajab busu beuutan. Suatu pemetaan bjektf f: V E,, 3,, v + e} dsebut suatu pelabelan total busu-ajab b-busu beuutan (PTBA b-busu beuutan) da G jka f adalah suatu pelabelan total busu-ajab da G dan f(e) = b +, b +, b + 3,, b + e}, 0 b v. Jka suatu gaf memlk PTBA b-busu beuutan maka banyak maksmum busu pada G adalah v atau dengan kata lan e v. Jka suatu gaf tehubung G mempunya PTBA b-busu beuutan dengan b,, 3,, v } maka G adalah suatu gaf pohon. Peneltan mengena gaf pohon teus bekembang, salah satunya dpekenalkan oleh Khan, Pal, dan Pal [] yatu gaf lobste. Dalam pape Khan, Pal, dan Pal [] mengatakan bahwa gaf lobste adalah gaf pohon yang ted da satu lntasan (dengan panjang maksmum) dmana setap smpul memlk jaak palng banyak t tehadap lntasan utama, dengan t adalah suatu blangan bulat. Dalam gaf lobste, jaak yang dmaksud adalah jaak antaa smpul lan dengan smpul tedekat pada lntasan. Kemudan adapula peneltan mengena PTBA b-busu beuutan pada suatu gaf G, peneltan n juga telah banyak dlakukan. Sehngga Rachmawat [] melakukan peneltan mengena PTBA b-busu beuutan pada gaf Lobste L n (; ) dan L n (;, s) dengan t =.

3 3.. Rumusan Masalah Bagamana mempeoleh pelabelan total busu-ajab busu-beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada gaf Lobste L n (; ; t) dan gaf Lobste L n (;, s; t)uk t Tujuan Tujuan peneltan n adalah mempeoleh pelabelan total busu-ajab busu-beuutan (PTBA b-busu beuutan) pada gaf Lobste yatu gaf Lobste L n (; ; t)dan gaf Lobste L n (;, s; t) uk t Manfaat Peneltan Adapun Manfaat yang dapat dbekan pada peneltan n adalah:. Sebaga tambahan nfomas dan wawasan pengetahuan tentang pelabelan total busu-ajab busu-beuutan pada gaf Lobste. Sebaga bahan kepustakaan yang djadkan saana pengembangan wawasan kelmuwan khususnya d juusan matematka pada mata kulah teo gaf dan pelabelan gaf Batasan Masalah Peneltan n dbatas pada pelabelan total busu-ajab busu-beuutan khususnya pada gaf Lobste L n (; ; t) uk t,dan gaf Lobste L n (;, s; t) uk t. II. METODE PENELITIAN Langkah-langkah yang dlakukan dalam peneltan n yatu a. Memula peneltan. b. Melakukan stud lteatu dengan mengumpulkan mate da buku-buku, atkel dan junal yang ddapat da pepustakaan dan pepustakaan onlne. c. Menotaskan smpul pada Gaf Lobste L n (; ; t)dan Gaf Lobste L n (;, s; t). d. Mendefnskan fungs pelabelan smpul. e. Menunjukkan label-label smpul meupakan gabungan da hmpunan blangan beuutan. f. Menunjukkan hmpunan W = f(x) + f(y) xy E} membentuk hmpunan blangan bulat postf beuutan. g. Menunjukkan Gaf Lobste L n (; ; t)dan Gaf Lobste L n (;, s; t) meupakan PTBA b-busu beuutan dengan konstanta ajab k = b + e + w. h. Menympulkan hasl peneltan. 3

4 III. HASIL DAN PEMBAHASAN Sebelum dsajkan hasl peneltan n, telebh dahulu dbekan Lemma danteoema-teoema pentng yang telah dtemukan sebelumnya yang akan dgunakan uk membuktkan hasl bau dalam peneltan n. Teoema-teoema tesebut adalah: Lemma 3. Suatu gaf G dengan v smpul dan e busu adalah suatu gaf busu ajab b-busu beuutan jka dan hanya jka tedapat suatu pemetaan bjektf f: V E,, 3,, v + e} sedemkan sehngga f(v) =,,3,, v + e} b +, b +, b + 3,, b + e}, 0 b v dan hmpunan W = f(x) + f(y) xy E} ted da e blangan bulat postf beuutan. (Slaban & Sugeng, [3]). Teoema 3. Setap gaf busu-ajab b-busu beuutan mempunya pelabelan smpul busu antajab. Teoema 3. Dual da pelabelan total busu-ajab b-busu beuutan uk suatu gaf G adalah suatu pelabelan total busu ajab (v b) -busu beuutan. Teoema 3.3 Jka suatu gaf tehubung G mempunya pelabelan total busu-ajab b-busu beuutan dengan b,, 3,, v } maka G adalah suatu gaf pohon. 3.. PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (; ; t) Gaf lobste L n (; ; t), adalah gaf lobste teatu dengan n menyatakan banyak smpul pada lntasan, menyatakan banyak smpul bejaak da setap smpul lntasan, menyatakan banyak daun pada smpul tejauh da setap smpul lntasan dan t menyatakan panjang maksmum (jaak) da smpul lntasan. vt ut vt ut vt ut vt v3 v u u3 ut vt ut vt v C u ut vt ut vt v3 v u u3 ut v C u v33 v3 u3 u33 v3 C3 u3 vn3 vn un un3 vn Cn un Gamba : Penotasan smpul pada gaf lobste L n (; ; t) 4

5 Banyaknya smpul pada gaf lobste L n (; ; t) adalah v = n + nt n = n( + t ) dan banyaknya busu adalah e = n + nt n = n( + t ). Teoema 3 Setap gaf Lobste L n (; ; t) memlk PTBA b-busu Beuutan dengan n ( + t ) + t +, n = ganjl, t = ganjl n b = ( + t ) + t, n = ganjl, t = genap n ( + t ), n = genap Bukt: Bekan label smpulda gaf lobste L n (; ; t) masng masng pada t ganjl dan t genap sebaga bekut : Label smpul pada t ganjl : f(v j ) = p + p + ( + t ) + + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T ( + t ) + t (t ), ganjl, j genap, I, j T ( + t ) (t ) +, genap, j ganjl, I, j T ( + t ) (t ), genap, j genap, I, j T. () ( + t ) + + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T p + ( + t ) + t (t ), ganjl, j genap, I, j T f(u j ) = p + ( + t ) (t ) +, genap, j ganjl, I, j T ( + t ) (t ), genap, j genap, I, j T. () ( + t ) + k, ganjl, I, k R f(v k ) = p + ( + t ) t + k +, genap, I, k R. (3) ( + t ) + + t + k, ganjl, I, k R f(u k ) = p + ( + t ) + k, genap, I, k R. (4) p + ( + t ) + (t ) +, ganjl, I f(c ) = ( + t ) (t ), genap, I. (5) 5

6 Label smpul pada t genap : f(v j ) = f(u j ) = p + ( + t ) + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T ( + t ) + + t (t ), ganjl, j genap, I, j T p + ( + t ) (t ), genap, j ganjl, I, j T ( + t ) (t ) +, genap, j genap, I, j T. (6) ( + t ) + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T p + ( + t ) + + t (t ), ganjl, j genap, I, j T ( + t ) (t ), genap, j ganjl, I, j T ( + t ) (t p + ) +, genap, j genap, I, j T. (7) p + ( + t ) + k, ganjl, I, k R f(v k ) = ( + t ) t + k +, genap, I, k R. (8) p + ( + t ) + + t + k, ganjl, I, k R f(u k ) = ( + t ) + k, genap, I, k R. (9) p + f(c ) = ( + t ) + + (t ), ganjl, I ( + t ) (t ) +, genap, I. (0) Dengan label tesebut dpeoleh : 3n( + t ) +, n = ganjl, t = ganjl k = 3n( + t ) +, n = ganjl, t = genap 3n( + t ), n = genap 3.. PTBA b-busu Beuutan pada Gaf Lobste L n (;, s; t) Gaf lobste L n (;, s; t), adalah gaf lobste teatu dengan n menyatakan banyak smpul pada lntasan, menyatakan banyak smpul bejaak da setap smpul lntasan, menyatakan banyak daun pada smpul tejauh da smpul lntasan pada smpul petama, s 6

7 menyatakan banyak daun pada smpul tejauh da smpul lntasan pada smpul kedua dan t menyatakan panjang maksmum (jaak) da smpul lntasan. vt ut vt ut vt ut ut 3 vt v3 v u u3 ut vt ut vt v C u ut vt ut ut 3 vt v3 v u u3 ut v C u 3 v33 v3 u3 u33 v3 C3 u3 3 vn3 vn un un3 vn Cn un Gamba : Penotasan smpul pada gaf lobste L n (;, s; t) Banyaknya smpul pada gaf lobste L n (;, s; t) adalah v = n + ns + nt n = n( + s + t ) dan banyaknya busu adalah e = n + ns + nt n = n( + s + t ). Teoema 3. Setap gaf Lobste L n (;, s; t) memlk PTBA b-busu Beuutan dengan Bukt: b = n ( + s + t ) + + s + t, n = ganjl, t = ganjl n ( + s + t ) + t, n = ganjl, t = genap n ( + s + t ), n = genap Bekan label smpul da gaf lobste L n (;, s; t) masng masng pada t ganjl dan t genap sebaga bekut : Label smpul pada t ganjl : f(v j ) = p + p + ( + s + t ) + + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T ( + s + t ) + t (t ), ganjl, j genap, I, j T ( + s + t ) s (t ) +, genap, j ganjl, I, j T ( + s + t ) (t ), genap, j genap, I, j T. () 7

8 ( + s + t ) + + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T p + ( + s + t ) + t (t ), ganjl, j genap, I, j T f(u j ) = p + ( + s + t ) s (t ) +, genap, j ganjl, I, j T ( + s + t ) (t ), genap, j genap, I, j T. () ( + s + t ) + k, ganjl, I, k R f(v k ) = p + ( + s + t ) s t + k +, genap, I, k R. (3) ( + s + t ) + + t + k, ganjl, I, k R f(u k ) = p + ( + s + t ) s + k, genap, I, k R. (4) p + ( + s + t ) + (t ) +, ganjl, I f(c ) = ( + s + t ) (t ), genap, I. (5) Label smpul pada t genap: f(v j ) = f(u j ) = p + ( + s + t ) + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T ( + s + t ) + + t (t ), ganjl, j genap, I, j T p + ( + s + t ) (t ), genap, j ganjl, I, j T ( + s + t ) s (t ) +, genap, j genap, I, j T. (6) ( + s + t ) + t (t ), ganjl, j ganjl, I, j T p + ( + s + t ) + + t (t ), ganjl, j genap, I, j T p + ( + s + t ) (t ), genap, j ganjl, I, j T ( + s + t ) s (t ) +, genap, j genap, I, j T. (7) p + ( + s + t ) + k, ganjl, I, k R f(v k ) = ( + s + t ) s t + k +, genap, I, k R. (8) 8

9 p + ( + s + t ) + + t + k, ganjl, I, k R f(u k ) = ( + s + t ) s + k, genap, I, k R. (9) p + f(c ) = ( + s + t ) + + (t ), ganjl, I ( + s + t ) s (t ) +, genap, I. (0) Dengan label tesebut dpeoleh : 3n( + s + t ) + + s, n = ganjl, t = ganjl k = 3n( + s + t ) s +, n = ganjl, t = genap 3n( + s + t ), n = genap IV. Kesmpulan Bedasakan peneltan yang telah dlakukan dapat dsmpulkan bahwa uk gaf lobste L n (; ; t) dan L n (;, s; t) memlk PTBA b-busu beuutan. Hasl-hasl yang dpeoleh dbekan dalam tabel dbawah n: Tabel : PTBA b-busu beuutan pada gaf lobste Gaf b k Keteangan Lobste L n (; ; t) Lobste L n (;, s; t) n ( + t ) + t + 3n( + t ) + n ganjl t ganjl n ( + t ) + t 3n( + t ) + n ganjl t genap n ( + t ) 3n( + t ) n genap n ganjl n ( + s + t ) + + s + t 3n( + s + t ) + + s t ganjl n ( + s + t ) + t 3n( + s + t ) n ganjl s + t genap n ( + s + t ) 3n( + s + t ) n genap 9

10 DAFTAR PUSTAKA [] Khan, N., Pal, A., & Pal, M., 009, Edge Coloung of Cactus Gaphs. [] Rachmawat, Syafan., Pelabelan Total Busu-Ajab B-Busu-Beuutan (PTBA B-Busu Beuutan) Pada Gaf Lobste L n (; ) Dan L n (;, s), 0, FMIPA UI, Depok. [3] Slaban, D. R, & Sugeng, K. A., Pelabelan Total Busu Beuutan Busu Ajab Pada Gaf Tehubung Bukan Gaf Pohon, 00. [4] Sugeng, K.A., & Mlle, M., 008, On Consecutve Edge Magc Total Labelng Of Gaph, Jounal Of Dscete Algotms. 0