PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI QR TUGAS AKHIR

Transkripsi

1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI QR TUGAS AKHIR Dajukan sebaga Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sans pada Jurusan Matematka Oleh : IIS ERIANTI 8 FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU PEKANBARU

2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI QR IIS ERIANTI 8 Tanggal Sdang : Jul Tanggal Wsuda : Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger Sultan Syarf Kasm Rau Jl. HR. Soebrantas No. Pekanbaru ABSTRAK Sstem persamaan lnear kompleks adalah sstem persamaan lnear yang berbentuk blangan rl dan majner, yang d smbolkan dengan bentuk +, dmana adalah blangan rl dan adalah blangan majner. Proses penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks terlebh dahulu akan dtentukan matrks kompleks yang berukuran dan selanjutnya akan dpsahkan antara blangan real dan kompleks, dan akan menghaslkan matrks yang berukuran. Untuk matrks kompleks yang berukuran 7 7 akan menghaslkan matrks yang berukuran. Kemudan dtentukan solus penyelesaan dar sstem persamaan lnear kompleks. Sstem persamaan lnear kompleks dapat dselesakan dengan menggunakan metode dekomposs QR. Metode dekomposs QR merupakan suatu metode yang mendekomposskan suatu matrks A menjad matrks Q dan R, dengan Q adalah matrks yang vektor kolomnya ortonormal dan R adalah matrks segtga atas. Katakunc: bass ortogonal, bass ortonormal, dekomposs QR, sstem persamaan lnear kompleks. v

3 KATA PENGANTAR Alhamdulllahrabbl alamn, segala puj syukur penuls ucapkan kehadrat Allah SWT karena atas rahmat dan hdayah-nya sehngga penuls dapat menyelesakan Tugas Akhr dengan judul Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear Kompleks Menggunakan Metode Dekomposs QR. Penulsan tugas akhr n dmaksudkan untuk memenuh salah satu syarat dalam rangka menyelesakan stud Strata (S) d Unverstas Islam Neger Sultan Syarf Kasm Rau. Shalawat beserta salam selalu tercurahkan kepada Nab Muhammad SAW, mudah-mudahan kta semua selalu mendapat syafa at dan dalam lndungan Allah SWT amn. Dalam penyusunan dan penyelesaan tugas akhr n, penuls tdak terlepas dar bantuan berbaga phak, bak langsung maupun tdak langsung. Untuk tu penuls mengucapkan termakash yang tak terhngga kepada kedua orang tua tercnta ayahanda dan bunda yang tdak pernah lelah dalam mencurahkan kash sayang, perhatan, do a, dan dukungan untuk menyelesakan tugas akhr n. Pada kesempatan n pula, penuls mengucapkan termakash kepada :. Bapak Prof. Dr. H. M. Nazr selaku Rektor Unverstas Islam Neger Sultan Syarf Kasm Rau.. Ibu Dra. Hj. Yenta Morena, M.S selaku Dekan Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger Sultan Syarf Kasm Rau.. Ibu Sr Basrat, M.Sc selaku Ketua Jurusan Matematka Fakultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger Sultan Syarf Kasm Rau.. Ibu Ftr Aryan, M.Sc selaku pembmbng tugas akhr yang telah banyak membantu, mengarahkan, mendukung, dan membmbng penuls dengan penuh kesabarannya dalam penulsan tugas akhr n.. Ibu Yuslenta Muda, M.Sc selaku penguj I yang telah banyak membantu, memberkan krtkan dan saran serta dukungan dalam penulsan tugas akhr n.

4 . Bapak Wartono, M.Sc selaku penguj II yang telah banyak membantu, mendukung dan memberkan saran dalam penulsan tugas akhr n. 7. Semua dosen-dosen Jurusan Matematka yang telah memberkan dukungan serta saran dalam menyelesakan tugas akhr n. Dalam penyusunan tugas akhr n penuls telah berusaha semaksmal mungkn. Walaupun demkan tdak tertutup kemungknan adanya kesalahan dan kekurangan bak dalam penulsan maupun dalam penyajan mater. Oleh karena tu, penuls mengharapkan krtk dan saran dar berbaga phak dem kesempurnaan tugas akhr n. Pekanbaru, Jul Is Erant

5 DAFTAR ISI LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAHAN... LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL... LEMBAR PERNYATAAN... LEMBAR PERSEMBAHAN... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... DAFTAR ISI... DAFTAR SIMBOL... DAFTAR GAMBAR... Halaman v v v v v v BAB I BAB II PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah... I-. Rumusan Masalah... I-. Batasan Masalah... I-. Tujuan Peneltan... I-. Manfaat Penulsan... I-. Sstematka Penulsan... I- LANDASAN TEORI. Sstem Persamaan Lnear... II-. Sstem Persamaan Lnear Kompleks... II-. Dekomposs QR... II-8 BAB III METODOLOGI PENELITIAN... BAB IV PEMBAHASAN... III- IV-

6 BAB V PENUTUP. Kesmpulan... V-. Saran... V- DAFTAR PUSTAKA DAFTAR RIWAYAT HIDUP

7 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sstem persamaan lnear merupakan sekumpulan persamaan lnear yang terdr dar koefsen dan varabel. Koefsen pada persamaan lnear ada yang berbentuk blangan real, ada yang berbentuk blangan nterval, ada yang berbentuk blangan fuzzy dan ada juga yang berbentuk blangan kompleks. Kajan dalam tugas akhr n adalah sstem persamaan lnear kompleks. Peneltan masalah sstem persaman lnear telah banyak dlakukan oleh para matematkawan. Banyak metode yang dkembangkan untuk menentukan solus dar sstem persaman lnear. Sstem persamaan lnear pada dasarnya memlk tujuan yang sama yatu mencar solus yang memenuh dar sstem persamaan lnear tersebut. Penyelesaan masalah sstem persaman lnear dapat d lakukan dengan cara Operas Bars Elementer (OBE), Elmnas Gauss, Elmnas Gauss-Jordan, aturan Cramer dan metode dekomposs. Beberapa jens dekomposs matrks lannya adalah sepert; Dekomposs Nla Sngular, Dekomposs Schur, Dekomposs Dolete, Dekomposs Cholesky, Dekomposs LU, Dekomposs QR. Dalam tugas akhr n menggunakan metode dekomposs QR. Metode Dekomposs QR adalah suatu metode yang membag suatu matrks menjad suatu hasl perkalan matrks Q dan R, dengan Q merupakan matrks dengan vektor kolom yang ortonormal dan R merupakan matrks segtga atas yang dapat d balk. Maka A dapat dfaktorkan sebaga A QR. Metode dekomposs QR telah banyak dgunakan oleh penelt-penelt sebelumnya pada skrps Sugeng Wdodo yang berjudul Kajan Dekomposs Matrks pada tahun. Sugeng Wdodo dalam peneltannya memaparkan bahwa terdapat hubungan antara Dekomposs Nla Sngular dan Dekomposs QR yatu nla sngular A pada Dekomposs Nla Sngular adalah nla sngular R pada Dekomposs QR dar A. Tess Purbandn dengan judul Sstem Pengenalan

8 Wajah pada Subruang Orthogonal Dengan Menggunakan Laplacanface Terdekomposs QR, tahun. Peneltan oleh Purbandn memberkan hasl bahwa dengan mengkombnaskan Algortma LPP dan QR akan dhaslkan keakuratan hasl dan baya komputas yang murah dalam pengklasfkasan pengenalan wajah. Penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks sudah dbahas sebelumnya pada buku Ncholson, W. Keth Elementery Algebra. Frst Edton. McGraw- Hll, Sngapore.. Selanjutnya Skrps Dew Yulant yang berjudul Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear Kompleks menggunakan Metode Dekomposs SVD pada tahun. Berdasarkan uraan tersebut, maka penuls tertark untuk menggunakan dekomposs QR dalam menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks. Sehngga pada Tugas Akhr n penuls melakukan peneltan dengan judul Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear Kompleks Menggunakan Metode Dekomposs QR.. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah durakan datas, rumusan masalah dalam tugas akhr n adalah, Bagamana menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks menggunakan metode dekomposs QR?.. Batasan Masalah Agar tujuan dar peneltan n dapat dcapa dengan bak dan tepat, maka dperlukan adanya pembatasan masalah, dantaranya:. Sstem persaman lnear kompleks yang dtelt adalah sstem persamaan lnear dengan persamaan untuk varabel, dan 7 persamaan untuk 7 varabel.. Koefsen pada sstem persamaan lnear berbentuk + dengan,. I-

9 . Tujuan Peneltan Tujuan peneltan n adalah memperoleh penyelesaan dar sstem persamaan lnear kompleks dengan persamaan untuk varabel dan 7 persamaan untuk 7 varabel dengan menggunakan metode dekomposs QR.. Manfaat Peneltan Manfaat dar penulsan n adalah sebaga berkut:. Untuk memperdalam pemahaman penuls mengena mater tentang sstem persamaan lnear kompleks, dan mengembangkan wawasan dspln lmu yang telah dpelajarr untuk mengkaj suatu permasalahan aljabar lnear khususnya dalam hal menyelesakan system persamaan lnear kompleks dengan menggunakan metode dekomposs QR.. Memberkan nformas kepada pembaca bahwa dekomposs QR dapat juga dgunakan untuk menyelesakan system persamaan lnear kompleks.. Sstematka Penulsan Sstematka penulsan tugas akhr n adalah sebaga berkut: BAB I Pendahuluan Bab n berss latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan peneltan, manfaat penulsan, dan sstematka penulsan. BAB II Landasan Teor Bab n menjelaskan tentang sstem persamaan lnear, blangan kompleks, blangan konjugat kompleks, matrks kompleks, ruang hasl kal dalam, bass orthogonal dan bass ortonormal, Gram Schmt, dan Dekomposs QR BAB III Metodolog Peneltan Bab n berskan langkah-langkah atau prosedur dalam menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks dengan menggunakan metode dekomposs QR. I-

10 BAB IV BAB V Pembahasan Bab n berskan penjelasan bagamana metode dekomposs QR dapat dgunakan untuk menyelesakan suatu sstem persamaan lnear kompleks. Kesmpulan dan Saran Bab n berskan kesmpulan dar hasl dan pembahasan yang telah dlakukan pada bab IV dan saran dar penuls. I-

11 BAB II LANDASAN TEORI Bab n berskan penjelasan mengena teor pendukung yang akan dgunakan dalam menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks dengan menggunakan metode dekomposs QR.. Sstem Persamaan Lnear Defns. (Schaum s, ): Sstem persamaan lnear adalah sekumpulan persamaan lnear yang terdr dar persamaan lnear,,,, dengan varabel yang tdak dketahu,,,, dapat dsusun dalam bentuk sebaga berkut: (.) dengan adalah koefsen dar varabel yang tdak dketahu pada persamaan, dan blangan adalah konstanta dar persamaan. Sstem persamaan lnear pada persamaan (.) yang terdr dar persamaan lnear dengan varabel ekuvalen dengan persamaan matrks AX B, yatu : (.) dengan [ ] adalah matrks koefsen, [ ] adalah vektor kolom dar varabel-varabel yang tdak dketahu, dan [ ] adalah vektor kolom dar konstanta. Sstem persamaan lnear pada persamaan (.) dsebut sebaga sstem persamaan lnear m n. Sstem n dsebut sstem bujur sangkar jka m n, yatu jka banyaknya persamaan sama banyaknya varabel yang tdak dketahu.

12 Sstem persamaan lnear pada persamaan (.) dsebut sebaga sstem persamaan lnear homogen jka semua koefsen konstantanya adalah nol, yatu jka,,,. Jka tdak maka sstem persamaan lnear tu dsebut sebaga sstem persamaan lnear non homogen. Beberapa bentuk pemecahan atau solus dar sstem persamaan lnear adalah sebaga berkut: ) Memlk satu solus. Dkatakan memlk satu solus apabla gars-gars persamaan berpotongan d satu ttk. In terjad jka gars-gars memlk kemrngan yang berbeda. ) Tdak memlk solus. Dkatakan tdak memlk solus apabla gars-gars persamaan salng sejajar. In terjad jka gars-gars memlk kemrngan yang berbeda. ) Memlk banyak solus. Dkatan memlk banyak solus apabla gars-gars persamaan berhmptan. In terjad jka gars-gars memlk kemrngan yang sama. Selanjutnya, akan dberkan contoh penyelesaan sstem persamaan lnear real sebaga berkut : Contoh. : Selesakan sstem persamaan lnear berkut dengan menggunakan operas bars elementer (OBE) Penyelesaan: 8 + Bars kedua dtambah kal bars pertama II-

13 8 8 Bars ketga dtambah bars pertama 8 + Bars kedua dkal bars kedua + Bars ketga dtambah kal bars pertama 8 Bars ketga dkal bars kedua 8 Bars pertama dkurang kal bars ketga 8 Bars kedua dkurang kal bars ketga 8 8 Jad, solus dar sstem persamaan lnear d atas adalah solus tunggal dengan, 8, dan 8.. Sstem Persamaan Lnear Kompleks Sebelum membahas mengena sstem persamaan lnear kompleks, akan djelaskan terlebh dahulu pengertan blangan kompleks. Blangan kompleks II-

14 adalah blangan yang terdr dar blangan real dan majner. Berkut akan dberkan defns dar blangan kompleks. Defns. (Hasugan, M. ): Blangan kompleks z adalah pasangan terurut dar blangan nyata dan, dtuls sebaga berkut :, +. (.) notas dsebut sebaga satuan majner,, maka, dengan dsebut sebaga bagan nyata (real) dar dan dsebut sebaga bagan majner dar, Re, I (.) Jka suatu blangan kompleks z y, maka konjugat dar adalah, selanjutnya, maka berlaku sfat sebaga +. Defns. (Lpschutz, S. ): Matrks adalah susunan seg empat sku-sku dar blangan-blangan dalam susunan tersebut dnamakan entr dalam matrks. Matrks kompleks yatu matrks dengan entr-entr blangan kompleks. Msalkan adalah matrks kompleks, jka + adalah blangan kompleks, maka adalah konjugatnya. Konjugat dar matrks kompleks, yang dtuls, adalah matrks yang dperoleh dar dengan cara menghtung konjugat dar setap entr. Operas transpose dan operas konjugas bersfat komutatf untuk sebarang matrks A, dan notas dgunakan untuk transpose konjugat, yatu : ( ) Selanjutnya, akan dberkan contoh matrks kompleks sebaga berkut : Contoh. : Carlah transpos konjugat dar matrks + + II-

15 Penyelesaan: a. Mencar konjugat dar matrks b. Mencar transpos konjugat dar matrks ( ). Hubungan antara matrks kompleks dan transpos konjugatnya akan menghaslkan beberapa jens matrks kompleks, salah satu dantaranya adalah matrks Unter. Matrks unter merupakan matrks kompleks yang bars-bars dan kolom-kolomnya membentuk suatu hmpunan ortonormal yang relatf terhadap hasl kal ttk dar vektor-vektor kompleks. Defns. (Anton, H. ): Sebuah matrks kompleks dsebut unter jka: dengan catatan haruslah bujur sangkar dan dapat dbalk. dengan entr-entr blangan (.) Contoh. : Tunjukkan bahwa Penyelesaan : a. Mencar nla adalah matrks unter. + + b. Mengalkan matrks A dengan matrks. + + II-

16 karena, maka. Jad merupakan matrks unter. Dar defns (. ) maka sstem persamaan lnear kompleks merupakan sstem persamaan lnear dengan koefsen atau konstantanya adalah blangan kompleks. Menurut Ncholson () menjelaskan bahwa sstem persaman lnear kompleks dapat juga dselesakan dengan menggunakan Operas Bars Elementer. Contoh. : Selesakan sstem persamaan lnear kompleks berkut dengan menggunakan Operas Bars Elementer (OBE). Penyelesaan: Bars kedua dkurang ( Bars ketga dtambah bars pertama + + Bars kedua dkal bars kedua + Bars pertama dkurang +, +, +, +, + Bars ketga dkurang bars kedua ) bars pertama + + bars kedua ( + ) II-

17 , +, Msalkan, maka ddapat solus banyak dar sstem persamaan lnear d atas dengan, +, dan +. Defns. (Rahgooy, dkk. 9) Suatu sstem persamaan lnear kompleks n n (.) dengan koefsen matrks,, adalah matrks kompleks n n. Pada persamaan (.) dapat dnyatakan dalam bentuk sebaga berkut :,,,, dmana, Sehngga penjabarannya dbentuk sebaga berkut : (.7) Sehngga solus sstem persamaan lnearnya dapat dtuls sebaga berkut : untuk,,,, Selanjutnya dapat dtuls dalam bentuk matrks sebaga berkut : (.8) II-7

18 . Dekomposs QR Dekomposs QR merupakan metode yang membag suatu matrks menjad suatu hasl perkalan matrks Q dan matrks R, dmana Q merupakan matrks ortonormal dan R merupakan matrks segtga atas yang dapat dbalk. Untuk menentukan suatu matrks ortonormal dan matrks segtga atas, salah satunya dengan menggunakan proses Gram-Schmdt. Sebelum melakukan proses Gram-Schmdt akan djelaskan terlebh dahulu mengena hasl kal dalam, bass orthogonal dan bass ortonormal. Defns. (Anton, H. ): Ruang hasl kal dalam (nner product space) pada sebuah ruang vektor rl adalah fungs yang mengasosaskan sebuah blangan rll, dengan semua vektor, dan d dalam dan skalar dar sebuah blangan rl, sehngga memenuh sfat-sfat sebaga berkut:.,, untuk semua,.,, untuk semua dan semua,. +,, +, untuk semua,, v., dan, untuk semua jka dan hanya jka. Jka adalah sebuang hasl kal dalam, maka norma (norm) sebuah vektor d dalam d notaskan dengan dan ddefenskan sebaga berkut :. Defns.8 (Anton, H. ): Jka adalah suatu ruang vektor sebarang dan {,,, }, maka dsebut bass untuk jka memenuh kedua syarat berkut: () Hmpunan S bebas lnear. () Hmpunan merentang pada. Defns.9 (Anton, H. ): Vektor, d dalam sebuah ruang hasl kal dalam pada dkatakan ortogonal jka,. Selanjutnya, jka dkatakan bass ortonormal jka dan hanya jka. II-8

19 Teorema. (Anton, H. ) Jka,,, adalah sebuah bass ortonormal untuk sebuah ruang hasl kal dalam, dan adalah sebuah vektor sebarang pada, maka:, +, + +,. Bukt: karena,,, adalah sebuah bass, dmana vektor dapat dnyatakan dalam bentuk sebaga berkut: akan dtunjukan bahwa, untuk,,,. Untuk setap vektor dperoleh:, + + +, +, +, Karena,,, adalah sebuah hmpunan ortonormal, maka dperoleh:, dan, jka j, Oleh karena tu, maka, dapat dsederhanakan menjad, Jka,,, adalah sebuah bass ortogonal untuk sebuah ruang vektor, maka normalsas tap-tap vektor d dalam bass n akan menghaslkan bass ortonormal yatu dengan bentuk sebaga berkut:,,..., Sehngga, jka adalah sebuah vektor sebarang d dalam, berdasarkan Teorema. maka d peroleh:, +, , (.9) Berdasarkan Defns.9 pada persamaan (.9) dapat d tulskan kembal sebaga :, +, , (.) II-9

20 Pada persamaan (.), menyatakan sebuah kombnas lnear dar vektorvektor d dalam bass ortogonal. Dan untuk menentukan bass ortogonal dan ortonormal pada ruang hasl kal dalam akan d gunakan konsep proyeks ortogonal. Secara umum dapat d defnskan proyeks ortogonal pada terhadap ruang hasl kal dalam adalah sebaga berkut : Defns. (Anton, H. ): Jka,, adalah sebuah bass ortogonal untuk W, dan adalah sebuah vektor sebarang pada, maka proyeks ortogonal terhadap adalah: Proj, +, + +, (.) Proses mengubah sebarang bass ortogonal ke bass ortonormal dnamakan proses gram-schmdt. Berkut langkah-langkah proses gram-schmdt: Langkah : Msalkan : Langkah : Jka, maka bukan merupakan vektor bass. Dar akan d peroleh:, Langkah : Untuk membentuk sebuah vektor yang ortogonal terhadap maupun, maka akan d tentukan komponen yang ortogonal terhadap ruang yang d rentang oleh dan, yatu: II-

21 Langkah : Untuk menentukan sebuah vektor yang ortonormal terhadap dan, dan, akan d tentukan komponen yang orthogonal terhadap ruang yang drentang oleh,, dan, yatu: Secara umum, proses gram-schmdt dapat dnyatakan sebaga berkut: untuk,,,,, Dar penjabaran proses gram-schmdt, sehngga dapat dtentukan solus metode dekomposs QR. Berkut adalah Teorema yang mendefnskan dekomposs QR : Teorema. (Anton, H. ): Jka adalah sebuah marks yang memlk vektor-vektor kolom yang bebas lnear, maka dapat dfaktorkan sebaga dengan Q adalah sebuah matrks m n yang memlk vektor-vektor kolom ortonormal, dan R adalah matrks segtga atas yang dapat dbalk. Bukt : Msalkan dketahu matrks C. Bahwa vektor-vektor kolom dar A adalah,, dan vektor-vektor kolom ortonormal dar Q adalah,,, sehngga, C dan C. Berdasarkan Teorema. bahwa,, dapat dnyatakan dalam bentuk vektor-vektor,, maka,, dapat dsajkan sebaga kombnas lnear dar bass ortonormal tersebut, yatu: II-

22 , +, + +,, +, + +,, +, + +, Vektor kolom ke- sebuah hasl kal matrks adalah sebuah kombnas lnear dar vektor-vektor kolom pertamanya dengan koefsen-koefsen yang dturunkan dar kolom ke- faktor keduanya. Selanjutnya hubungan n dapat dtuls dalam bentuk matrks sebaga berkut:,,,,,,,,, dan dapat dtuls: (.) Akan tetap, sfat proses Gram-Schmdt menggarskan bahwa untuk, vektor ortogonal terhadap,,, ; sehngga, semua entr yang terletak d bawah dagonal utama R adalah nol. Dapat dtuls sebaga berkut :,,,,,,. Teorema. (Steven, j. ): Jka A adalah matrks yang dperoleh dar faktor AQR, dmana Q adalah matrks kolom vektor dar bass ortonormal untuk kolom A dekomposs QR maka sstem normal untuk dapat dnyatakan sebaga, dan solusnya dapat dnyatakan sebaga berkut : (.) II-

23 Bukt : Jka A adalah matrks non-sngular yatu :, kemudan A ddekomposskan ke dalam sebuah hasl kal QR, maka persamaanpersamaan n dapat drubah kedalam bentuk sebaga berkut :, Karena Q merupakan kolom-kolom ortonormal, sehngga, Karena R dapat dbalk, maka solus dapat dnyatakan sebaga berkut : Contoh. : Gunakan Dekomposs QR untuk menyelesakan sstem persamaan lnear berkut: Penyelesaan: Dbentuk: , 9 8 Matrks A dapat dnyatakan ke dalam bentuk matrks kolom, dengan:,,, 7, dperoleh : Untuk menentukan matrks Q maka dlakukan proses gram-schmdt sebaga berkut: II-

24 ) (,,, ) Karena maka, ),,,,,,,,,,,, 8 8, 9, 7, 8 8,,,,,,. Karena maka, ),,,,,,,,, 8,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 9,, 9. II-

25 Karena maka,.7, ), 7,,, 7,,,,, 8,,,, 7,,,,,,,,, 7,,, 7 9,, 9 7, 7 9,, 9 7, 77,, 98 Karena maka, ,87.. Sehngga dapat dbentuk matrks Q, yatu: II-

26 Sehngga, ddapatkan matrks yatu sebaga berkut:,,,,,,,,,, Selanjutnya akan dcar matrks dan : Sehngga dengan menggunakan persamaan (.) maka : maka d dapatkan nla untuk,, dan. II-

27 BAB III METODOLOGI PENELITIAN Metodolog yang dgunakan dalam penulsan tugas akhr n adalah stud pustaka dengan mempelajar lteratur-lteratur yang berhubungan dengan pokok permasalahan. Dengan langkah-langkah sebaga berkut : ) Dberkan sstem persamaan lnear kompleks. ) Mengubah sstem persamaan lnear kompleks ke dalam bentuk persamaan matrks AXB. ) Membentuk matrks AXB menjad matrks. ) Menentukan matrks Q dengan proses Gram-Schmdt sebaga berkut: dengan, sehngga matrks., untuk,,,, ) Menentukan matrks segtga atas R dengan menggunakan ketentuan sebaga berkut : ) Menentukan matrks.,,,,,, 7) Menentukan matrks. 8) Menentukan solus nla dar operas matrks dengan ketentuan..

28 Langkah-langkah metodolog peneltan datas juga dapat gambarkan pada flowchart berkut n : Mula Dberkan sstem persamaan lnear kompleks Mengubah persamaan ke dalam bentuk matrks AX B Membentuk matrks AX B ke dalam bentuk matrks Menentukan matrks Q dengan proses Gram-Schmdt berkut :, dengan,, untuk,,,, sehngga matrks Menentukan Matrks R dengan ketentuan sebaga berkut :,,,,,, Menentukan Matrks Q T Menentukan Matrks R - Menentukan solus nla X dengan ketentuan. Selesa Gambar. Flowchart Metodolog Peneltan III-

29 BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN Dalam bab n akan djelaskan tentang penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks menggunakan metode dekomposs QR. Sstem persamaan lnear dapat dbentuk dalam bentuk persamaan dengan A merupakan matrks koefsen yang akan dtentukan bentuk QR-nya dan selanjutnya akan dtentukan solus nla dar sstem persamaan lnearnya. Berkut akan dberkan contoh penyelesaan sstem persamaan lnear kompleks dengan menggunakan metode dekomposs QR. Contoh.: Dberkan sstem persamaan lnear kompleks dengan persamaan dan varabel sebaga berkut : Selesakan sstem persamaan lnear kompleks d atas menggunakan metode dekomposs QR. Penyelesaan: Berdasarkan soal d atas maka ddapatkan sstem persamaan lnear kompleks, yatu sebaga berkut :

30 IV- Selanjutnya, dar persamaan (.7) maka akan dperoleh matrks sebaga berkut: D, E, P P P P P P P, S S S S S S S, U, V. Selanjutnya mengubah matrks D, E, P, S, U dan V ke dalam bentuk matrks pada persamaan (.8) sebaga berkut : S S S S S S P P P P P P

31 Sehngga, dar matrks datas maka dperoleh vektor kolom sebaga berkut : u u u u u u 7 9, u,, u,, u, , u , , u , , u Selanjutnya yatu menentukan matrks Q menggunakan proses Gram-Schmdt dengan langkah-langkah sebaga berkut : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk :,,,,,,,,,,, ,897 Sehngga ddapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

32 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

33 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

34 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

35 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-7

36 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk: IV-8

37 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : Dar langkah-langkah yang telah dlakukan untuk memperoleh vektor kolom maka dapat dbentuk matrks Q sebaga berkut : IV-9

38 Selanjutnya, untuk menentukan matrks segtga atas R dengan menggunakan ketentuan sebaga berkut :,,,,,, Sehngga ddapatkan matrks R yatu : IV-

39 Selanjutnya, ddapatkan matrks dengan bantuan software MATLAB 7. sebaga berkut : IV-

40 Selanjutnya, akan dtentukan matrks yatu : Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (.) maka ddapatkan nla sebaga berkut : IV-

41 IV- Sehngga ddapatkan solus dar sstem persamaan lnear kompleks d atas adalah sebaga berkut : (.987. ) (.. ) Contoh. : Dberkan sstem persamaan lnear kompleks untuk 7 persamaan dan 7 varabel sebaga berkut : Selesakan sstem persamaan lnear kompleks d atas menggunakan metode dekomposs. Penyelesaan : Berdasarkan sstem persamaan lnear datas maka ddapatkan sstem persamaan lnear kompleks sebaga berkut :

42 IV Selanjutnya, dar persamaan (.7) maka akan dperoleh matrks sebaga berkut: D, E 7 P P P P P P P P, 7 S S S S S S S S, U, V

43 Selanjutnya mengubah matrks D, E, P, S, U dan V ke dalam bentuk matrks pada persamaan (.8) sebaga berkut : P P P P P P P 7 S S S S S S S7 Sehngga, dar matrks datas maka dperoleh vektor kolom yatu sebaga berkut : u u u u u u u 7 9 -, u , , u , , u , , u , , u , , u , u Selanjutnya, yatu menentukan matrks Q menggunakan proses Gram-Schmdt dengan langkah-langkah sebaga berkut : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : v u,,,,,,,,,,,,, v 8. IV-

44 Sehngga ddapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

45 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-7

46 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-8

47 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-9

48 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk: Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

49 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : IV-

50 ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : ) Berkut akan dtentukan vektor kolom dengan mengoperaskan bentuk : IV-

51 Sehngga d dapatkan vektor kolom yatu : Sehngga dapat dbentuk matrks Q sebaga berkut : IV-

52 Selanjutnya, untuk menentukan matrks segtga atas R dengan menggunakan ketentuan sebaga berkut :,,,,,, Sehngga ddapatkan matrks R yatu : IV-

53 Selanjutnya, ddapatkan matrks dengan bantuan software MATLAB 7. sebaga berkut : IV-

54 Selanjutnya, akan dtentukan matrks yatu : Selanjutnya, dengan menggunakan persamaan (.) maka ddapatkan nla sebaga berkut : IV-

55 Sehngga ddapatkan solus dar sstem persamaan lnear kompleks datas adalah sebaga berkut : ( ) ( ) ( ) (. +.9 ) (.8.79 ) (.. ) ( ). IV-7

56 V- BAB V PENUTUP. Kesmpulan Berdasarkan pembahasan pada bab IV, maka dperoleh solus dar hasl peneltan dengan menggunakan metode dekomposs QR untuk contoh. sstem persamaan lnear kompleks untuk persamaan dan varabel sebaga berkut : dan memlk solus sebaga berkut : (.987. ) (.. ) Kemudan, untuk contoh. sstem persamaan lnear kompleks untuk 7 persamaan dan 7 varabel adalah sebaga berkut:

57 dan memlk solus sebaga berkut : ( ) ( ) ( ) (. +.9 ) (.8.79 ) (.. ) ( ).. Saran Pada tugas akhr n, penuls menggunakan metode dekomposs QR dalam menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks. Bag penelt yang ngn melanjutkan peneltan n, dsarankan untuk menggunakan metode lan dalam menyelesakan sstem persamaan lnear kompleks. V-

58 DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. Aljabar Lnear Elementer Vers Aplkas, Eds Kedelapan. Erlangga. Jakarta.. Hasugan, M. Jmmy, dan Agus Prjono. Menguasa Analss Kompleks dalam Matematka Teknk. Rekayasa Sans, Bandung.. Leon, Steven J. Aljabar Lnear dan Aplkasnya, Eds Kelma. Erlangga, Jakarta.. Lpschutz, Seymour. Marc Lars Lpson. Aljabar Lnear Schaum s. Eds Ketga. Erlangga, Jakarta.. Ncholson, W. Keth. Elementary Lnear Algebra. Frst Edton. Mc Graw-Hll, Sngapore.. Purbandn. Sstem Pengenalan Wajah Pada Subruang Orthogonal Dengan Menggunakan Laplacanfaces Terdekomposs QR. (ITS) Surabaya.. Taher Rahgooy, dkk. Fuzzy Comple System of Lnear Equatons Appled to Crcut Analyss. Vol., No., December, 9. Wdodo, Sugeng. Kajan Dekomposs Matrks. (ITS) Surabaya.. Yulant, Dew. Penyelesaan Sstem Persamaan Lnear Kompleks menggunakan Metode Dekomposs SVD. UIN-SUSKA Rau..