KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO

Transkripsi

1 KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Kajian Bandwidth Optimal Pada Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Bogor, Nopember 2009 Surasno G

3 ABSTRACT SURASNO. A study of the optimal bandwidth in estimation of the local intensity function of a periodic Poisson process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI Periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In many applications, it is needed to find estimators for the intensity function of a periodic Poisson process. In this thesis, bandwidths for the estimators of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed. The behavior of the estimator using optimal bandwidth and estimator using asymptotically optimal bandwidth are compared through Monte Carlo simulations. The results of the simulations show that the behavior of the two estimators are not much different. Finally, asymptotic distribution and confidence interval for the estimator using asymptotically optimal bandwidth of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed. Keywords : periodic Poisson process, local intensity function, optimal bandwidth, asymptotic distribution, confidence interval

4 RINGKASAN SURASNO. Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson tersebut. Pada karya ilmiah ini dikaji tentang bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Pada awalnya ditentukan penduga suatu fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. (dengan periode yang diketahui) dengan dengan pengamatan pada interval [0,n]. Penduga tipe kernel bagi, dirumuskan sebagai berikut: G Pada penduga di atas, disebut bandwidth Selanjutnya dibuktikan dan dirumuskan sifat sifat statistika penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, berupa aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, ragam dan MSE. Untuk memperoleh bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Disamping itu juga dibahas perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik, melalui simulasi Monte Carlo menggunakan program R. Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu syarat tertentu, diperoleh hasil bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses poisson periodik dengan menggunakan bandwidth optimal dan bandwidth optimal asimtotik menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda. Pada bagian terakhir dibahas sebaran asimtotik dan selang kepercayaan penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik. Sedangkan sifat-sifat statistika dari masing-masing penduga juga telah didapatkan rumusannya. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization) bagi menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik konvergen ke normal baku. Nilai peluang fungsi

5 intensitas lokal berada pada selang kepercayaan teoritis hampir sama dengan nilai peluangnya pada selang kepercayaan simulasi. Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi intensitas, bandwidth optimal, bandwidth optimal asimtotik, selang kepercayaan.

6 Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

7 PRAKATA Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2009 ini adalah Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc dan Drs,Siswandi MS selaku pembimbing serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.selaku penguji yang banyak memberikan saran. Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada DEPAG RI yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, istri dan anak-anak tercinta serta seluruh keluarga, atas doa dan kasih sayangnya. Kemudian kepada rekan-rekan seangkatan BUD II DEPAG RI dan kakak tingkat yang telah memberikan dorongan motivasi kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB.. Semoga Karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Nopember 2009 Surasno

8 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Mei 1964 dari Bapak Djupan dan ibu Muhrimah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara. Tahun 1983 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Jakarta, melanjutkan kuliah di Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, mengambil program Sarjana Muda Fakultas Tarbiyah Tadris Matematika. Tahun 1988 mendapat SK CPNS sebagai guru di Madrasah Aliyah Negeri (MAN) 1 Purwokerto Filial (sekarang menjadi MAN Sumpiuh) Jawa Tengah. Tahun 2000 menyelesaikan program S1 di Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Purwokerto Fakultas Tarbiyah jurusan Pendidikan Agama Islam. Pada tahun yang sama lulus seleksi Program Penyetaraan Universitas Negeri Semarang pada Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, mendapat beasiswa DMAP Departemen Agama Republik Indonesia dan lulus pada tahun Pada tahun 2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister pada Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

9 KAJIAN BANDWIDTH OPTIMAL PADA PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK SURASNO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCA SARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

10 Judul Tesis : Kajian Bandwidth Optimal Pada Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik Nama : Surasno NRP : G Program Studi : Matematika Terapan Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Ketua Drs. Siswandi, M.S. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 4 Nopember 2009 Tanggal Lulus:

11 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.

12 DAFTAR ISI Halaman I PENDAHULUAN Latar Belakang Tujuan Penelitian... 2 II TINJAUAN PUSTAKA Proses Poisson Periodik Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik... 6 III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI 8 INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK 3.1. Perumusan Penduga Fungsi Intensitas Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas Pemilihan Bandwidth optimal IV SIMULASI PEMBANDINGAN PRILAKU PENDUGA FUNGSI 13 INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN DUGAAN BANDWIDTH DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 4.1 Simulasi dengan Bandwidth Optimal Simulasi dengan Bandwidth Optimal Asimtotik V PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON 21 PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya Sebaran Asimtotik bagi Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga g g Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi Simulasi Selang Kepercayaan bagi VI. KESIMPULAN DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN... 37

13 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1 : Beberapa Definisi dan Lema Teknis.. 36 Lampiran 2 : Program Simulasi 43 Lampiran 3 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal. 48 Lampiran 4 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik 53 Lampiran 5 : Hasil simulasi kenormalan asimtotik. 58

14 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Banyak hal dalam kehidupan sehari-hari dapat dijelaskan dengan menggunakan kaidah-kaidah peluang. Dalam hal ini secara khusus, dengan proses stokastik dapat dimodelkan perilaku kejadian yang akan datang, misalnya untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, asuransi dan seismologi (Helmers et al. 2003). Data yang diperoleh dari suatu kejadian kadang-kadang tidak dapat dijadikan pedoman untuk memperkirakan kejadian berikutnya, sehingga sulit untuk dianalisis untuk menghasilkan informasi yang penting. Ada beberapa pendekatan di dalam menganalisis data jenis ini, bisa menggunakan pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik, akan mudah digunakan bila suatu data dapat dimodelkan secara sederhana, dan data mempunyai pola distribusi tertentu seperti yang sudah dikenal di dalam statistika. Tetapi bila data tersebut sulit untuk dimodelkan dan tidak diketahui distribusi apa yang harus digunakan, maka dapat menggunakan suatu pendekatan non parametrik. Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal (s) menyatakan laju kedatangan pelanggan pada waktu s. Dalam penerapannya diperlukan penduga bagi fungsi intensitas dari suatu proses Poisson periodik, di antaranya penduga bagi fungsi intensitas global maupun fungsi intensitas lokal. Pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik telah diteliti pada Helmers et al. (2003, 2005).

15 2 Pada penelitian ini dibahas kajian bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. 1.2 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian yang dilakukan adalah 1) Mereview sifat-sifat statistik dan penentuan bandwidth optimal dari penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik. 2) Melakukan simulasi Monte Carlo untuk membandingkan perilaku penduga dengan dugaan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik. 3) Menentukan kenormalan asimtotik dan selang kepercayaan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik.

16 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Proses Poisson Periodik Definisi 2.1 : Proses stokastik Proses stokastik X={X(t), t T } adalah suatu himpunan dari peubah acak X(t) yang memetakan suatu ruang contoh p ke suatu ruang state S. (Ross, 2007) Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai keadaan (state) dari proses pada waktu t. Dalam hal ini ruang state S dapat berupa himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya). Definisi 2.2 : Proses stokastik dengan waktu kontinu Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. Definisi 2.3 : Inkremen bebas Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T } disebut memiliki inkremen bebas jika untuk semua t < t < t <... < t, peubah acak X t ) - X t ), n X( t 2 )- X t ),, X t ) - X ) adalah bebas. ( 1 ( n ( t n 1 ( 1 ( 0 (Ross, 2007) Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas. Definisi 2.4 : Inkremen stasioner Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t T } disebut memiliki inkremen stasioner jika memiliki sebaran yang sama untuk semua nilai t. (Ross, 2007)

17 4 Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak bergantung pada lokasi titik titik tersebut. Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kita anggap bahwa himpunan indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, 8). Definisi 2.5 : Proses pencacahan Suatu proses stokastik {N(t), t=} disebut proses pencacahan jika N(t) menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut. (i) N(t) = 0 untuk semua t [0, 8). (ii) Nilai N(t) adalah integer. (iii)jika s < t maka N(s ) = N(t), s,t [0, 8). (iv) Untuk s < t maka N(t ) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval (s, t]. (Ross, 2007) Definisi 2.6 : Proses Poisson Suatu proses pencacahan {N(t), t=0} disebut proses Poisson dengan laju, >0, jika dipenuhi tiga syarat berikut. (i) N(0) = 0. (ii) Proses tersebut memiliki inkremen bebas. (iii)banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t, memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan t. Jadi untuk semua t, s>0, g K (Ross, 2007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa t, yang menjelaskan bahwa proses Poisson memiliki laju.

18 pada titik s R adalah (s), yaitu nilai fungsi di s. (Cressie, 1991) 5 Definisi 2.7 : Proses Poisson homogen Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju yang merupakan konstanta untuk semua waktu t. (Ross, 2007) Definisi 2.8 : Proses Poisson tak homogen Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu (t). (Ross, 2007) Definisi 2.9 : Fungsi intensitas Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t 0}, yaitu (t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t. (Cressie, 1991) Definisi 2.10 : Intensitas lokal Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas Definisi 2.11 : Fungsi intensitas global Misalkan N([0, n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n]. Fungsi intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai jika limit di atas ada. Definisi 2.12 : Fungsi periodik Suatu fungsi disebut periodik jika (Cressie, 1991) untuk semua dan k, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Konstanta terkecil yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi tersebut. (Browder, 1996)

19 6 Definisi 2.13 : Proses Poisson periodik Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik. (Cressie,1991) 2.4 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Fungsi intensitas dari suatu proses Poisson merupakan laju dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal (yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga. Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non parametrik (Diggle, 1985). Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat didekati dengan fungsi penduga Kernel (Hardle, 1993). Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis, misalkan dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh G Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata rata banyaknya kejadian proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas global dapat dihampiri dengan G Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas dengan periode yang diketahui. Namun demikian, Helmers et al. (2003, 2005)

20 7 telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistika dari penduga fungsi intensitas proses Poisson periodik tersebut. Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas (lokal) proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Pada perkembangan berikutnya, setelah didapat rumusan penduga fungsi intensitas, dilanjutkan dengan pendugaan turunan pertama dan kedua oleh Syamsuri (2007). Diperoleh rumusan baru yaitu penduga turunan pertama dan kedua terhadap fungsi intensitas proses poisson periodik, yang kemudian dilanjutkan oleh Herniwati (2007) dan Arifin (2008). Herniwati mengkaji tentang kekonsistenan penduga, sedangkan Arifin mengkaji tentang sebaran asimtotiknya. Dalam kajiannya diperoleh hasil bahwa penduga turunan pertama fungsi intensitas bersifat konsisten dan memiliki sebaran normal, demikian halnya dengan turunan kedua. Tahun 2009, Eviliyanida melakukan kajian lanjutan, tetapi lebih mengkhususkan pada fungsi intensitas dengan tren linear. Ternyata, prilaku penduga yang dikaji memiliki kesamaan dalam hal kekonsistenan, kekonvergenan MSE maupun sifat-sifat statistiknya, baik tanpa tren maupun dengan tren linear. Kajian tentang fungsi intensitas masih diperkaya lagi dengan penelitian oleh Surawu (2009) yang memfokuskan penelitian pada sebaran asimtotik bukan terhadap penduga fungsi, tetapi terhadap komponen periodik fungsi intensitas dengan tren linear. Dari kajiannya diperoleh hal yang hampir sama dengan peneliti-peneliti sebelumnya. Demikian juga dengan Hidayah (2009). Dengan penelitiannya diperoleh rumusan selang kepercayaan terhadap penduga fungsi intensitas. Disimpulkan juga bahwa penduga fungsi intensitas memiliki nilai peluang yang hampir sama pada selang kepercayaan, baik teoritis maupun simulasi. Penelitian dilanjutkan oleh Marthalena (2009) yang memperoleh rumusan penduga nonparametric bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik dengan periode ganda. Penduga tersebut juga memiliki prilaku yang hampir sama pula dengan prilaku penduga yang sebelumnya telah dikaji.

21 BAB III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK 3.1 Perumusan Penduga Fungsi Intensitas Misalkan N adalah proses Poisson pada interval dengan fungsi intensitas (tidak diketahui) yang terintegralkan lokal. Diasumsikan bahwa adalah periodik dengan periode diketahui, yaitu. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari, kecuali asumsi bahwa adalah periodik. Karena adalah periodik maka untuk setiap titik dan untuk semua dengan adalah himpunan bilangan bulat, berlaku: G (3.1) Misalkan bahwa untuk suatu p, hanya terdapat realisasi tunggal N ( dari proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang p dengan fungsi intensitas yang diamati hanya pada interval terbatas [0, n]. Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari, sehingga berlaku: G G Syarat cukup agar s merupakan titik Lebesgue dari adalah fungsi kontinu di s. Karena adalah periodik dengan periode maka untuk menduga di titik cukup diduga nilai pada G Misalkan K : merupakan fungsi yang bernilai real, dinamakan fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut (Helmers et al., 2003) : (K1) K adalah fungsi kepekatan peluang (K2) K terbatas (K3) K terdefinisi pada daerah [-1,1]. Misalkan juga merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0, yaitu: untuk G G Penduga dari fungsi intensitas pada titik didefinisikan sebagai berikut:

22 9 s G (3.4) Penduga yang didefinisikan pada (3.4) dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Ide di balik perumusan penduga dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai fungsi di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [ ], untuk. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai :. (3.5) Karena fungsi adalah periodik dengan periode, maka untuk menduga nilai fungsi dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s+k, asalkan s+k. Sehingga untuk setiap k, nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai : G (3.6) Banyaknya k sehingga adalah mendekati semua rataan di atas untuk semua k sehingga adalah s = s. Jadi nilai rataan dari = s (3.7) dengan dimana := G Agar penduga ini lebih umum, maka digunakan fungsi kernel umum K yang memenuhi (K1), (K2), dan (K3), sehingga diperoleh persamaan (3.4). 3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas Sifat-sifat statistika penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dengan periode diketahui (Mangku, 2006) adalah sebagai berikut:

23 10 Teorema 3.1 : Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), dan, maka (s)+ jika n Bukti : (Lihat Mangku 2006) Teorema 3. 2 : Aproksimasi asimtotik varians, (3.8) Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal, berhingga di s. Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), jika n, asalkan s adalah titik Lebesgue dari Bukti: (Lihat Mangku 2006) maka (3.9) 3.3 Pemilihan Bandwidth Optimal Dalam penelitian ini, yang dimaksud bandwidth ( adalah jarak antara titik s dengan titik terjauh yang disertakan dalam pendugaan fungsi intersitas di titik s, dimana dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t]. Penentuan bandwidth optimal diperlukan, agar pendugaan fungsi intensitas sedekat mungkin terhadap fungsi intensitasnya. Nilai optimum dari tergantung pada kriteria yang digunakan untuk mengukur akurasi dari. Kriteria yang bisa digunakan adalah mean square error (MSE) (Cressie, Hardle, 1991). Untuk menduga bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut : G (3.10) G (3.11) Dengan mensubstitusikan (3.8) dan (3.9) ke (3.11) diperoleh langkah-langkah sebagai berikut :

24 11 +, jika. (3.12) Selanjutnya ditentukan turunan pertama terhadap sebagai berikut = + G(3.13) = Agar minimum maka turunan pertamanya sama dengan 0, sehingga diperoleh sebagai berikut :.

25 12 G (3.14) Selanjutnya untuk menentukan jenis optimumnya, ditentukan turunan kedua terhadap sebagai berikut G (3.15) Dari (3.15) diketahui turunan kedua terhadap bernilai positif, sehingga syarat minimum terpenuhi. Dengan demikian diperoleh bandwidth optimal penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.

26 BAB IV SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu pengamatan pangkat -1/5 atau bandwidth yang nilainya sama dengan panjang interval. Simulasi komputer dilakukan dengan menggunakan program R dalam membangkitkan realisasi proses Poisson periodik, dengan ukuran sampel yang terbatas. Dalam simulasi ini digunakan fungsi intensitas (4.1) Dipilih A = 2,, dan. Dengan pemilihan parameterparameter tersebut, maka fungsi intensitas (4.1) menjadi untuk (4.2) untuk. (4.3) Gambar 1. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.2) s

27 14 Gambar 2. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.3) s Pada simulasi untuk membandingkan perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik ini digunakan metode Monte Carlo untuk membangkitkan realisasi dari proses Poisson periodik tersebut. Pembangkitan realisasi ini dilakukan pada interval [0, n] serta dipilih n = 100, n = 500, dan n = Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (3.4) dengan fungsi kernel, yang dapat ditulis sebagai G G Pendugaan pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai yang sedang), dan di s = 4.9 (mewakili nilai yang besar) dengan periode. Sedangkan pendugaan untuk periode dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai yang sedang), dan di s = 9.8 (mewakili nilai yang besar). Untuk kernel K yang merupakan fungsi kepekatan peluang seragam pada interval [-1,1]: yang akan digunakan untuk aplikasi (3.8) dan (3.9). (4.5)

28 15 Sehingga pendekatan asimtotik bagi nilai harapan penduga, berdasarkan Teorema 3.1, diperoleh serta untuk. G G Sedangkan pendekatan asimtotik bagi varian penduga, berdasarkan Teorema 3.2, diperoleh G jika. (Mangku, 2006) 4.1 Simulasi dengan bandwidth optimal Analog dengan (3.34), tetapi menggunakan kernel seragam, diperoleh bandwith optimal dengan rumus G G Selanjutnya dari (4.2) dan (4.3) diperoleh turunan kedua dari fungsi intensitas sebagai berikut G dan G G G G G G G Dengan menggunakan nilai dan yang sebenarnya dan nilai n yang dipilih, yaitu 100, 500, dan 1000 maka diperoleh nilai bandwidth optimal (4.9). Pendugaan pada setiap titik untuk tiap kasus diulang sebanyak M = 1000 kali.

29 16 Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan dalam Tabel 1, berikut ini : Tabel 1. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal (M=1000) tau titik n Semakin kecil nilai berarti penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik semakin baik. Dari hasil simulasi dengan bandwidth optimal, diperoleh bahwa MSE terkecil terdapat pada, s =2.6, dan n=1000, juga pada, s =5.2, dan n=1000, yaitu G. Secara umum dapat dikatakan bahwa semakin besar n pada setiap titik, diperoleh nilai semakin kecil. Hal ini dikarenakan pada setiap titik, jika n

30 17 semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga menyebabkan nilai semakin kecil. 4.2 Simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik. Pada simulasi ini digunakan bandwidth sama dengan panjang interval pengamatan pangkat -1/5 atau dapat dinyatakan dengan, yang disebut bandwidth optimal asimtotik. Periode untuk tetap sama dan dilakukan pada tiga titik yang sama pula dengan simulasi yang menggunakan bandwidth optimal. Pendugaan pada setiap titik untuk setiap kasus diulang sebanyak M=1000 kali. Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan pada Tabel 2 berikut ini : Tabel 2. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik (M=1000) tau titik n

31 Dari Tabel 2 dapat dilihat bahwa MSE terkecil terdapat pada, s =2.6, dan n=1000, yaitu G. Sebagaimana yang dihasilkan pada 4.1, menunjukkan bahwa nilai semakin kecil dengan semakin besarnya nilai n pada setiap titik. Hal ini juga dikarenakan pada setiap titik, jika n semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga memperkecil nilai G Perbandingan nilai dari penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal asimtotik disajikan pada Tabel 3, Tabel 4, dan Tabel 5 Tabel 3. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 100 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2) Tabel 4. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 500 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2)

32 19 Tabel 5. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 1000 n tau titik indeks optimal (1) asimtotik (2) (1) - (2) Perbandingan MSE tersebut diilustrasikan dengan gambar berikut : Gambar 3. Grafik perbandingan MSE pada n = 100 MSE 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, indeks optimal asimtotik Gambar 4. Grafik perbandingan MSE pada n = 500 0,25 0,2 MSE 0,15 0,1 0,05 optimal asimtotik indeks

33 20 Gambar 5. Grafik perbandingan MSE pada n = ,12 0,1 0,08 MSE 0,06 0,04 0,02 optimal asimtotik indeks Dari tabel dan grafik di atas dapat disimpulkan bahwa kedua jenis penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik memiliki MSE yang relatif sama, baik menggunakan bandwidth optimal maupun bandwidth optimal asimtotik. Maka pada bab berikutnya dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwith optimal asimtotik.

34 BAB V PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya Pada bagian ini dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu. Dengan mensubstitusi bandwidth tersebut pada (3.4) diperoleh : s G s G (5.1) Pembuktian persamaan (5.1) analog dengan pembahasan pada bab III. Berdasarkan pembahasan pada bab III, sifat-sifat statistik penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik adalah sebagai berikut : Berdasarkan Teorema 3.1 dengan diperoleh hasil berikut : Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.12) diperoleh : (s)+, (5.2) jika n. Pembuktian (5.2) analog dengan pembuktian (3.12) pada bab III. Sehingga diperoleh juga Bias (5.3) jika n. Berdasarkan Teorema 3.2 dengan diperoleh hasil berikut : Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal, berhingga di s. Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.13) diperoleh : (5.4)

35 22 jika n, asalkan s adalah titik Lebesgue dari. Sebagaimana (3.15) untuk menghitung MSE menggunakan rumus : G Dengan mensubstitusikan (5.5) dan (5.6) diperoleh sebagai berikut : untuk n G 5.2 Sebaran Asimtotik bagi Teorema 5.1 (Kenormalan asimtotik bagi Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga di s. Misalkan pula kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka G

36 23 jika Bukti : dengan G Untuk membuktikan Teorema 5.1, ruas kiri pada (5.6) dapat ditulis dalam bentuk : G Sehingga, untuk membuktikan (5.6) cukup ditunjukkan (5.7) (5.8) dan jika (5.9) G Terlebih dahulu dibuktikan (5.8) yang ruas kirinya dapat dinyatakan dalam bentuk : G (5.10) Sehingga untuk membuktikan (5.8), akan ditunjukkan dan G (5.11) (5.12) jika G Bukti dari (5.11) adalah sebagai berikut : Misalkan untuk setiap k = 0,1,2, G

37 24 Untuk dan setiap interval dan adalah saling lepas. Hal ini mengakibatkan untuk setiap peubah acak dan adalah saling lepas. Selanjutnya diperoleh bahwa, k = 0,1,2, adalah barisan dari peubah acak yang memenuhi i.i.d (independent and identically distributed), dengan nilai harapan dan varian yang berhingga, karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi [-1,1]. Sehingga penduga dapat dinyatakan dengan merupakan jumlah peubah acak i.i.d dikalikan dengan suatu konstanta. Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat dapat diperoleh (5.11). Untuk membuktikan (5.12), terlebih dahulu ruas kirinya dinyatakan sebagai berikut : Selanjutnya dengan menggunakan (5.4) persamaannya menjadi : untuk maka diperoleh (5.12). Selanjutnya untuk membuktikan (5.9), dengan menggunakan (5.2), ruas kiri pada (5.9) dapat dinyatakan dengan

38 25 untuk maka diperoleh (5.9). Dengan demikian Teorema 5.1 terbukti. Teorema 5.2 (Kenormalan asimtotik (Studentization) bagi Misalkan fungsi intensitas adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki turunan kedua berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2),(K3), maka berlaku Bukti : G Untuk membuktikan (5.13), akan ditunjukkan bahwa jika G Jika kedua ruas (5.14) dikuadratkan maka diperoleh jika G G Jadi untuk membuktikan (5.14) cukup dibuktikan jika G Atau sama dengan membuktikan G G G jika G

39 26 Untuk membuktikan (5.16) digunakan Teorema 3.1 tentang pendekatan asimtotik bagi nilai harapan, yang dinyatakan pada persamaan (5.2), dan Teorema 3.2 tentang pendekatan asimtotik bagi varian, yang dinyatakan pada persamaan (5.4) Untuk membuktikan (5.17) maka akan diperlihatkan untuk setiap berlaku G jika. Ruas kiri pada (5.18) dapat dinyatakan sebagai berikut: G G Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga maka ruas kanan persamaan (5.19) G G Berdasarkan Teorema 3.1, dari persamaan (5.2) dapat dinyatakan bahwa untuk, maka ada bilangan nyata M, sehingga G G Dengan mensubstitusikan persamaan (5.22) ke ruas kanan (5.21), maka (5.20) dapat ditulis menjadi: G G Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, maka peluang pada (5.22) adalah G Berdasarkan Teorema 3.2, serta diperoleh bahwa jika, maka sehingga (5.18) terbukti benar. 5.3 Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga Berdasarkan Teorema 5.2 tentang kenormalan asimtotik (studentization) dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik, sebagai aplikasi dari

40 27 (5.13) dapat dirumuskan suatu selang kepercayaan dengan koefisien kepercayaan bagi sebagai berikut: Corollary 1 (Selang Kepercayaan bagi ) Untuk suatu tingkat kepercayaan dengan 0 < < 1, berdasarkan selang kepercayaan normal untuk melalui pendekatan peluang 1 diberikan oleh, (5.24) dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan G untuk, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi, dan periode diketahui. 5.4 Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi Pada simulasi untuk memeriksa kenormalan asimtotik bagi menggunakan metode Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi dari proses Poisson dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (5.1) dan mengambil fungsi kernel K = diperoleh s G (5.26) Pendugaan pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi terdahulu (BAB IV), yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai yang sedang), dan di s =4.9 (mewakili nilai yang besar) dengan periode. Sedangkan pendugaan untuk periode dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai yang sedang), dan di s =9.8 (mewakili nilai yang besar). Hasil simulasinya ditunjukkan dengan pada gambar-gambar grafik berikut ini :

41 28 Gambar 6. Kenormalan asimtotik 1000 penduga untuk n =100, s =2.6, G Gambar 7. Kenormalan asimtotik 1000 penduga untuk n =500, s =2.6, G Gambar 8. Kenormalan asimtotik 1000 penduga untuk n =1000, s =2.6, G

42 29 Dari hasil simulasi normalitas asimtotik sebagaimana pada Gambar 6, 7 dan 8, (dapat juga dilihat Gambar 9-23 pada lampiran 4) menunjukkan bahwa semakin besar nilai n grafiknya semakin mendekati garis lurus, artinya bahwa sebaran dari penduga mendekati normal. 5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi Pada simulasi ini dibandingkan banyaknya fungsi intensitas lokal yang berada pada selang kepercayaan teoritis (berdasarkan persamaan (5.24)) dengan selang kepercayaan simulasi. Selang kepercayaan teoritis dengan menggunakan fungsi kernel K = dirumuskan sebagai berikut: dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan (5.27) G Sedangkan selang kepercayaan simulasi dirumuskan sebagai berikut:. (5.28) Sebagaimana simulasi terdahulu, simulasi ini juga menggunakan metode Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi dari proses Poisson dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = Pendugaan dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi terdahulu yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai yang sedang), dan di s =4.9 (mewakili nilai yang besar) dengan periode. Sedangkan pendugaan untuk periode dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai yang

43 30 sedang), dan di s =9.8 (mewakili nilai yang besar). Hasil simulasi dengan taraf kepercayaan G dapat dilihat pada Tabel 4. Tabel 4. Hasil simulasi selang kepercayaan dengan G dan M = 1000 tau titik n hn indeks SK teoritis SK simulasi prosentase SK teoritis prosestase SK simulasi % 95.2% % 94.4% % 95.2% % 94.5% % 95.1% % 94.4% % 87.1% % 90.8% % 93.1% % 95.0% % 95.7% % 94.6% % 91.3% % 94.6% % 94.9% % 90.6% % 94.0% % 94.4% Secara umum dari tabel tersebut bisa dilihat, jika semakin panjang interval pengamatan, maka akan diperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi intensitas lokal yang semakin pendek, hal ini berkaitan dengan nilai simpangan baku yang semakin kecil.

44 BAB VI KESIMPULAN Untuk menduga fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson periodik dengan periode (diketahui) yang diamati pada interval dilakukan pendugaan di titik cukup diduga nilai pada. Penduga tipe kernel dari fungsi intensitas pada titik dirumuskan sebagai berikut: jika G Dari kajian yang telah dilakukan oleh peneliti terdahulu diperoleh rumusan bandwidth optimal berikut : G 1. Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan menggunakan bandwidth optimal dan bandwidth optimal asimtotik adalah tidak jauh berbeda. Oleh sebab itu dilakukan pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu. Dengan mensubstitusi nilai bandwidth tersebut, diperoleh G 2. Selanjutnya dilakukan pengkajian mengenai sifat-sifat statistik dan kenormalan asimtotik, yang hasilnya sebagai berikut: a). Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan adalah jika n. b). Aproksimasi asimtotik bagi ragam adalah

45 32, jika n. c). Mean Square Error (MSE) adalah jika n. d). Kenormalan asimtotik bagi, adalah jika Gdengan G 3. Berdasarkan kajian dari sifat-sifat statistika dan kenormalan asimtotik dari penduga dapat disimpulkan bahwa: Kenormalan asimtotik (studentization) bagi adalah jika. 4. Sebagai aplikasi dari kenormalan (studentization) bagi dapat diperoleh suatu selang kepercayaan bagi, adalah sebagai berikut: dimana menyatakan fungsi distribusi normal baku dan untuk, asalkan s adalah titik Lebesgue bagi.

46 33 5. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization) bagi menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik mendekati normal baku. 6. Nilai peluang fungsi intensitas lokal berada pada selang kepercayaan teoritis hampir sama dengan nilai peluangnya pada selang kepercayaan hasil simulasi.

47 DAFTAR PUSTAKA Arifin, Z Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor. Browder A Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer. Cressie, N Statistics for Spatial Data. New York: Wiley. Diggle, P. J A Kernel method for smoothing point proses data. Applied Statistic, 34, Dudley RM Real Analysis and Probability. California: Wardswort & Brooks. Ghahramani S, 2005, Fundamental of Probability with Stochastics Processes. Ed. Ke-3. New Jersey: Pearson Prentice Hall. Grimmet GR, Stizaker DR Probability and Random Processes. Ed.ke 2. Oxford: Clarendon Press. Farida, T Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor. Hardle, W Smoothing Techiques, Springer-Verlag, New York. Hardle, W Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press. Helmers R On estimation the intensity of oil-polution in the North-Sea. CWI Note BS-N9501. Helmers R, Mangku I W., Zitikis R Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84, Helmers R, Mangku I W., Zitikis R Statistical properties of the intensity function of the intensity function of cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 92, Herniwati Kekonsistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor.

48 35 Hidayah, S Selang Kepercayaan bagi Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor. Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW Introduction to Mathematical Statistics. Ed.Ke-5. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River. Mangku, I W., Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Application. Vol.5, No:2, Roos S. M., Introduction to Probability Models. Ed. 9. Burlington: Elsevier, Inc. Serflling, R. J Aproximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. Surawu, Joko Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor. Syamsuri Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor. Walpole, R. E Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia. Wheeden, R.L. and Zygmund Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.

49 LAMPIRAN

50 36 Lampiran 1 : Beberapa definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan peluang Dalam penelitian biasanya diperlukan pengamatan yang diperoleh melalui percobaan yang dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama. Hasil percobaan tersebut tidak dapat diprediksi dengan tepat, tetapi bisa diketahui semua kemungkinan hasilnya. Percobaan semacam ini disebut dengan percobaan acak. Definisi 1 : Ruang contoh Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan p. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi 2 : Kejadian Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh p. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi 3: Kejadian lepas Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi 4 : Kejadian saling bebas Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika: G

51 37 Secara umum himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika : untuk setiap himpunan bagian J dari I. (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Peubah Acak dan Fungsi Sebaran Definisi 5 : Peubah acak Misalkan adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada yang memetakan setiap unsur kesatu dan hanya satu bilangan real X ( = x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real X ( G (Hogg et al, 2005) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran. Definisi 6 : Fungsi sebaran Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang. Misalkan kejadian maka peluang dari kejadian A adalah G Fungsi disebut fungsi sebaran dari peubah acak X. (Hogg et al, 2005) Definisi 7 : Peubah acak diskret Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari semua peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah. (Hogg et al, 2005)

52 38 Definisi 8 : Fungsi massa peluang Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi diberikan oleh: Definisi 9 : Peubah acak Poisson G yang (Hogg et al, 2005) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter, >, jika fungsi massa peluangnya diberikan oleh untuk k = 0, 1, 2, Nilai Harapan dan Varian Definisi 10 : Nilai harapan K Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang. Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah jika jumlah di atas konvergen mutlak. Definisi 11: Varian (Ross, 2007) (Hogg et al, 2005) Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang dan nilai harapan E(X). Ragam atau varian dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau, adalah 2.5 Penduga Definisi 12 : Statistik G Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak (Hogg et al, 2005) tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui. (Hogg et al, 2005)

53 39 Definisi 13 : Penduga Misalkan g adalalah contoh acak. Suatu statistik U( g ) yang digunakan untuk menduga fungsi parameter, dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi, dilambangkan oleh G Bilamana nilai g maka nilai U( g ) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi. (Hogg et al, 2005) Definisi 14 : Penduga tak bias (i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter, yaitu E[U( g )]= disebut penduga tak bias bagi parameter. Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias. (ii) Jika g, maka U( g ) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi parameter. (Hogg et al, 2005) Definisi 15 : Kekonvergenan dalam peluang Misalkan g adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang ). Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan jika untuk setiap berlaku untuk G (Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi 16 : Kekonvergenan dalam sebaran Misalkan g adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang ). Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam sebaran ke X, dinotasikan jika untuk semua titik x pada fungsi yang kontinu berlaku untuk G (Grimmett dan Stirzaker, 2001)

54 40 Definisi 17 : Penduga konsisten Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter ), disebut penduga konsisten bagi G (Hogg et al, 2005) Definisi 18 : Fungsi terintegralkan lokal Fungsi intensitas disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas kita peroleh G (Dudley, 1989) Definisi 19 : (.) dan o(.) Simbol simbol (.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L. (i) Notasi u(x) = (v(x)),, menyatakan bahwa terbatas, untuk G (ii) Notasi u(x) = o(v(x)),, menyatakan bahwa, untuk G (Serfling, 1980) Definisi 20 : Titik Lebesgue Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi jika berlaku G (Wheeden and Zygmund, 1977) Lema 1 (Teorema Deret Taylor) Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan K K K (Serflling, 1980)