PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 2009/2010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA

Transkripsi

1

2 PEMBAHASAN UN SMA TAHUN PELAJARAN 009/010 MATEMATIKA PROGRAM STUDY IPA PEMBAHAS : 1. Sigit Tri Guntoro, M.Si.. Jakim Wiyoto, S.Si. 3. Marfuah, M.T. 4. Rohmitawati, S.Si. PPPPTK MATEMATIKA 010

3 1. Perhatikan premis-premis berikut. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara.. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding. Ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah: A. Saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding. B. Saya giat belajar atau saya tidak boleh ikut bertanding. C. Saya giat belajar maka saya bisa meraih juara. D. Saya giat belajar dan saya boleh ikut bertanding. E. Saya ikut bertanding maka saya giat belajar. Untuk dapat mengerjakan soal ini, diperlukan langkah pengerjaan. Langkah pertama adalah penarikan kesimpulan dari premis-premis, dan langkah berikutnya adalah menentukan ingkaran kesimpulan yang diperoleh pada langkah pertama. Langkah Pertama: Penarikan Kesimpulan Premis Misal p adalah kalimat saya giat belajar q adalah kalimat saya bisa meraih juara r adalah kalimat saya boleh ikut bertanding Maka premis-premis di atas dapat disusun dalam kalimat logika berikut. 1. Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara : p q. Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertanding : q r Dari premis-premis di atas, gunakan silogisme untuk penarikan kesimpulan. Ingat kembali konsep penarikan kesimpulan menggunakan silogisme, yakni: p q q r p r Sehingga diperoleh kesimpulan premis-premis di atas adalah; p r.

4 Langkah Kedua: Menentukan Ingkaran dari Kesimpulan Kesimpulan yang diperoleh pada langkah sebelumnya adalah implikasi: p r Ingat kembali konsep ingkaran dari pernyataan implikasi, yakni : p r = p r Jadi ingkaran dari kesimpulan kedua premis di atas adalah p r, yakni saya giat belajar dan saya tidak boleh ikut bertanding. Bentuk sederhana dari 3 ( 5a b ) 4 5 ( 5a b ) 4 Jawaban: A A. B. C. D. E a b a b 4 5 a b ab a b 3 ( 5a b ) 4 5 ( 5a b ) a b a b a b a b menggunakan sifat m ( a ) n mn = a

5 a b menggunakan sifat a a m n = a m n Jawaban: A 3. Bentuk sederhana dari ( )( ) = A B C D. 4 6 E ( + )( ) ( ) ( 9 5) 4 = dari sifat a b = ( a + b)( a b) karena penyebut masih dalam bentuk akar, maka dikalikan dengan sekawannya ( ) ( ) ( ) 4 6 = Jawaban: B

6 4. Nilai dari 7 3 log9 + log3. log 4 = 3 3 log log18 A. B. C. D. E Untuk mengerjakan soal ini, diperlukan sifat-sifat logaritma berikut: a 1). log a = 1 a m a ). log b = m. log b 3). n a 1 a log b =. log b n a b a 4). log b. log c = log c 5). a b log a log b a log c c = Untuk memudahkan pembahasan, soal yaitu: 7 3 log9 + log3. log log log18 dipisah menjadi 3 bagian,

7 7 log 9 = 3 3 log 3 = 3 3 log 3 sifat ) dan 3) = 3 sifat 1) 3 log3. log 4 = 1 3 log 3. log = = = 3 log 3.. log 1 3 log3. log 4. log 4. sifat 4) sifat ) dan 3) = 4 sifat 1) 3 3 log log18 = 3 log 18 = 3 log = log 3 = Jadi 3 log 3 =. 7 3 log9 + log3. log log log18 = = 14 6 Jawaban: B

8 5. Grafik fungsi kuadrat = + + menyinggung garis y = 3x + 4. Nilai b yang f ( x) x bx 4 memenuhi adalah. A. 4 B. 3 C. 0 D. 3 E. 4 Karena garis dan grafik bersinggungan, maka berlaku: x + bx + 4 = 3x + 4 x + ( b 3) x = 0 *) Menggunakan sifat garis singgung grafik fungsi kuadrat, maka berlaku nilai diskriminan (D) pada persamaan *) adalah 0, sehingga: ( b 3) = 0 ( b 3) = 0 b=3 Jawaban: D 6. Akar-akar persamaan kuadrat + ( 1) + = 0 adalah α dan β. Jika α=β dan a>0 maka x a x nilai a=. A. B. 3 C. 4 D. 6 E. 8 Untuk mengerjakan soal ini, digunakan konsep jumlahan dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Misal akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 adalah x 1 dan x, berlaku: x 1 + x = x 1. x = c a b a

9 Diperoleh: α + β = ( a 1) = a + 1 α. β = Tetapi karena α=β, berlaku pula: α + β = β + β = 3β Sehingga 3β = a + 1 a = 1 3β *) Tetapi karena α=β, berlaku pula: α. β = β. β = β Sehingga: β = β = 1 β = 1 atau β = 1 Dengan menggunakan persamaan *) diperoleh: untuk β = 1 maka a = 1 3β = 1 3(1) = (tidak memenuhi syarat a>0) untuk β = 1 maka a = 1 3β = 1 3( 1) = 4 (memenuhi) Jawaban: C 7. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan akar-akarnya p+1 dan q+1 adalah. x 5x 1 = 0maka persamaan kuadrat baru yang A. B. C. D. E. x + 10x + 11 = 0 x 10x + 7 = 0 x 10x + 11 = 0 x 1x + 7 = 0 x 1x 7 = 0 Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan dan hasil kali akar diperoleh: x 5x 1 = 0, menggunakan rumus jumlahan p+q = 5 p.q = 1

10 Ingat kembali konsep pembentukan persamaan kuadrat apabila akar-akar persamaannya diketahui. Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x 1 dan x adalah: ( ) x x + x x + x x = Sehingga untuk menentukan persamaan kuadrat persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya p+1 dan q+1, harus ditentukan terlebih dahulu nilai (p+1)+( q+1) dan (p+1).(q+1). ( p + 1) + ( q + 1) = ( p + q) + = (5) + = 1 ( p + 1).( q + 1) = 4 pq + p + q + 1 = 4 pq + ( p + q) + 1 = 4( 1) + (5) + 1 = 7 Diperoleh persamaan kuadrat baru yang terbentuk adalah: (( ) ( )) ( )( ) x p q + 1 x + p + 1 q + 1 = 0 x 1x + 7 = 0 Jawaban: D 8. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran ( ) ( ) y 7x + 5 = 0 adalah A. y 7x 13 = 0 B. y + 7x + 3 = 0 C. y 7x 3 = 0 D. y + 7x + 3 = 0 E. y 7x + 3 = 0 x 4 + y 5 = 8 yang sejajar dengan Misal h adalah garis singgung lingkaran. Karena h sejajar dengan garis y 7x + 5 = 0, berarti gradien garis h yakni m h= 7 (dua garis sejajar memiliki gradien yang sama besar). Rumus untuk mencari persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di (a,b) dan berjari-jari r dengan gradien m adalah: ( ) y b = m x a ± r m + 1

11 Karena a = 4, b= 5, r= 8 dan m h = 7, diperoleh: ( ) y b = m x a ± r m + 1 y 5 = 7( x 4) ± y 5 = 7x 8 ± 0 y 7x + 43 = 0 atau y 7x + 3 = 0 Jawaban: E 9. Diketahui fungsi ( ) f x = x + 1, x 3 dan x 3 Nilai komposisi fungsi ( go f )( ) =.. A. B. 3 C. 4 D. 7 E. 8 g( x) = x + x + 1 Nilai fungsi komposisi diperoleh dari ( )( ) g f Karena f ( ) = + 1 = 3, maka: 3 ( ()) g f = g ( 3) =( 3) + ( 3) + 1 = 7 o dari: ( ()) g f. Jawaban: D

12 10. Diketahui f ( x ) = 1 5 x, x x + dan 1 f ( x) adalah invers dari f ( x ). Nilai f 1 ( 3) =.. A. 4 3 B. C. 5 D. 3 E. 7 Catatan: terdapat kesalahan pengetikan pada naskah soal asli, seharusnya: Diketahui f ( x ) = 1 5 x, x dan f x + 1 ( x) adalah invers dari f ( x ). Nilai f 1 ( 3) =.. Misal y = f ( x ) = 1 5 x, x, maka x + y ( x + ) = 1 5x f 1 ( x) = x yang dapat diperoleh dengan cara: yx + 5x = 1 y x ( y ) + 5 = 1 y 1 y x = y + 5 f 1 ( x) = 1 x x + 5 Sehingga: f 1 1 ( 3) ( 3) = ( 3) + 5 = 7 Jawaban: E

13 11. Suku banyak dibagi 1 sisanya 6, dan dibagi sisanya 4. Nilai =. A. 0 B. C. 3 D. 6 E. 9 Ingat Teorema Sisa 1: Jika suku banyak dibagi, maka sisa pembagiannya adalah. dibagi dibagi 1 sisanya 6, dan dibagi sisanya. Berdasar Teorema Sisa 1 diperoleh (i) (ii) Dari (i) dan (ii) Sehingga 9 Jawaban: E

14 1. Toko A, toko B, dan toko C menjual sepeda. Ketiga toko tersebut selalu berbelanja di sebuah distributor sepeda yang sama. Toko A harus membayar Rp ,00 untuk pembelian 5 sepeda jenis I dan 4 sepeda jenis II. Toko B harus membayar Rp ,00 untuk pembelian 3 sepeda jenis I dan sepeda jenis II. Jika toko C membeli 6 sepeda jenis I dan sepeda jenis II, maka toko C harus membayar sebesar. A. Rp ,00 B. Rp ,00 C. Rp ,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00 Toko A Toko B Toko C Jenis I Jenis II 4 Harga ? Dari permasalahan di atas dapat dimodelkan dalam sistem persamaan matematika: 5 I + 4 II = I + II = Penyelesaian dari sistem persamaan di atas 3 I + II = x I + 4 II = I + 4 II = x I II = I = I = II = I + II = 6 x x = Toko C harus membayar Rp ,00. Jawaban: C

15 13. Luas daerah parkir m. Luas rata-rata untuk mobil kecil 4 m dan mobil besar 0 m. Daya tampung maksimum hanya 00 kendaraan, biaya parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar Rp.000,00/jam. Jika dalam satu jam terisi penuh dan tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, penghasilan maksimum tempat parkir adalah. A. Rp ,00 B. Rp00.000,00 C. Rp60.000,00 D. Rp ,00 E. Rp ,00 Misalkan mobil kecil dinotasikan sebagai dan mobil besar dinotasikan sebagai. Permasalahan di atas dapat dimodelkan sebagai permasalahan mencari hasil maksimum dari fungsi, dengan batasan (konstrain): 00 (i) dan (ii) Sketsa dari model optimalisasi ini adalah sebagai berikut: y x + y =00 A (0,88) B (140,60) x C (00,0) 4x + 0y =1760

16 Garis 00 dengan garis berpotongan di titik B. Substitusi dari persamaan 00 ke persamaan diperoleh: Titik B (140,60) Jadi ada tiga titik yang perlu ditinjau sebagai titik yang menjadikan, maksimum, yaitu A (0,88), B (140,60), dan C (00,0). Di titik A (0,88), 0, = Di titik B (140,60), 140, = Di titik C (00,0), 00, = Jadi, optimum terjadi di B (140,60), 140,60= Maknanya penghasilan maksimum tempat parkir tersebut dicapai jika memarkir 140 kendaraan kecil dan 60 kendaraan besar dengan pendapatan Rp60.000,00. Jawaban: C

17 14. Diketahui matriks-matriks 1 0, 4 3 4, 1 dan Jika, maka nilai. A. -6 B. - C. 0 D. 1 E = Jawaban: C

18 15. Diketahui segitiga PQR dengan 1, 5, 1, 3, 4, 1,,, 1. Besar sudut PQR adalah. A. 135 o B. 90 o C. 60 o D. 45 o E. 30 o Vektor,1,0 Vektor 1,,0 Misalkan sudut antara vector,, dan,, Cosinus = R Misalkan adalah sudut antara dan cos cos 0 P θ Q 90 Jawaban: B

19 16. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat, 1, 1, 1, 4,, 5, 0, 3. Proyeksi vektor pada adalah. A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 E. 3 Vektor 3,5, 1 Vektor 3,1, adalah proyeksi vektor pada Jawaban: C

20 17. Bayangan kurva 3 yang ditransformasikan oleh matriks 0 1 dilanjutkan oleh 1 0 matriks 1 0 adalah. 0 1 A. 3 B. 3 C. 3 D. 3 E Jadi 3 Jawaban: C

21 18. Perhatikan gambar grafik fungsi eksponen berikut ini! Persamaan grafik fungsi invers pada gambar adalah. A. log B. log C. log D. log E. log log log log log log log log log log 1 log 1 log Jawaban: E 19. Diketahui barisan aritmetika dengan U n adalah suku ke-n. Jika U + U 15 + U 40 = 165, maka U 19 =. A. 10 B. 19 C. 8,5 D. 55 E. 8,5

22 U = U 15 = 14 U 40 = 39 U + U 15 + U 40 = U 19 = = 55 Jawaban: D 0. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah. A. 4 B. C. D. E. - Misalkan bilangan tersebut adalah 3,, dan Bilangan-bilangan tersebut adalah, 5, dan 8. Barisan geometri yang terbentuk, 4,8 merupakan barisan geometri dengan rasio. Jawaban: B

23 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jarak titik A ke garis CF adalah. A. 6 3cm B. 6 cm C. 3 6 cm D. 3 3cm E. 6 cm Untuk mempermudah perlu dibuat gambar sebagai berikut. H G E F T 6 D C A B Dari sini diperoleh jarak titik A ke garis CF adalah AT, dan diperoleh juga CF = GF + GC yang menghasilkan CF = 6. Sementara itu, luas ACF = sin 60 o = 18 3 (Ingat luas segitiga yang diketahui panjang sisi dan 1 sudut) Disamping itu luas segitiga ACF dapat juga dicari dengan Luas ACF = 1. CF. AT 18 3 = AT. Jadi AT = 3 6 Jawaban: A

24 . Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai kosinus sudut antara CH dan bidang BDHF adalah. A. B. C. D E Untuk mempermudah pengerjaan perlu dibuat gambar sebagai berikut: H G E α F A D T B C Dari gambar di atas terlihat bahwa α adalah sudut antara CH dan bidang BDHF. Mengingat AHC adalah sama sisi dan AT = TC maka α = 1 AHC = 30 o. Jadi cos α = cos 30 o = 1 3 Jawaban: D

25 30 o 8 cm 3. Luas segi 1 beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran luar 8 cm adalah. A. 19 cm B. 17 cm C. 16 cm D. 148 cm E. 144 cm Untuk mempermudah pengerjaan perlu dibuat gambar sebagai berikut: C A B Dari sini diperoleh Luas AHC = 1.AC.AB sin ( ACB) = sin 30 o = 16 Karena semua ada 1 segitiga yang kongruen maka luas segi 1 beraturan = = 19 Jawaban: A

26 4. Diketahu prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang rusuk-rusuk alas AB = 5 cm, BC = 7 cm, dan AC = 8 cm. D E F Panjang rusuk tegak 10 cm. Volum prisma tersebut adalah... A. 100 cm 3 B cm 3 A C C. 175 cm 3 D. 00 cm 3 B E cm 3 Perhatikan segitiga ABC pada prisma tersebut. A 8 C 5 7 B Dari sini diperoleh s = setengah keliling segitiga = 10. dan luas ABC = s( s a)( s b)( s c) = 10(10 5)(10 8)(10 7) = 10 3 Dengan demikian diperoleh bahwa Volum prisma = luas ABC tinggi = = Jawaban : B

27 5. Himpunan penyelesaian persamaan: cos x sin x = 0, untuk 0 x π adalah. π π π,, A. 3 6 π 5π 3π,, B. 6 6 C. D. E. π π 7π,, 6 7 π 4π 11,, π π 11π,,π 3 6 cos x sin x = 0 1 sin x sin x = 0 sin x + sin x 1 = 0 ( sin x 1) (sin x + 1) = 0 Dari sini diperoleh ( sin x 1) = 0 atau (sin x + 1) = 0. 1 π 5π sin x 1 = 0 sin x =, diperoleh penyelesaian x = atau x = 6 6 3π sin x + 1 = 0 sin x = -1, diperoleh penyelesaian x = Jadi himpunan penyelesaian persamaan: cos x sin x = 0, untuk 0 x π adalah π 5π,, 6 6 3π Jawaban : B

28 cos(45 a) + cos(45 + a) 6. Hasil dari =... sin(45 + a) + sin(45 a) A. B. 1 1 C. D. 1 E. Dengan penyederhanaan diperoleh: cos(45 a) + cos(45 + a) = sin(45 + a) + sin(45 a) = 1 1 cos( (45 a a)).cos( (45 a 45 a)) 1 1 sin( (45 a a)).sin( (45 a 45 a)) cos 45.cos a = 1 sin 45.cos a Jawaban: D

29 7. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p q = 30 o. Jika cos p.sin q = 6 1, maka nilai dari sin p. cos q =... 1 A. 6 B. 6 3 C. 6 4 D. 6 5 E. 1 6 Karena p dan q sudut lancip maka kedua sudut tersebut pasti berada di Kuadran I. 1 p q = 30 o sin (p q) = sin 30 o sin p. cos q cos p. sin q = sin p. cos q = sin p. cos q = 6 6 Jawaban : D

30 8. Nilai lim 8 =... x x x 4 A. B. C. D E. x x 8 = 4 ( x + ) ( x )( x + ) x 8 4 = x + Jadi 8 1 = x x 4 lim = x x + lim x Jawaban : B sin x + sin 5x 9. Nilai lim =... x 0 6x A. B. 1 1 C. 1 D. 3 E. -1 sin x + sin 5x = 6x Jadi nilai sin x sin 5x + 6x 6x sin x + sin 5x x lim = 0 lim + 0 6x x x 6 sin x sin 5x x 6

31 = sin x x 6x lim 0 + = = 1 lim 0 sin5x x x 6 Jawaban : B 30. Garis singgung kurva y = (x +) yang melalui titik(1,9) memotong sumbu Y di titik... A. (0,8) B. (0,4) C. (0,-3) D. (0,-1) E. (0,-1) Jelas bahwa kurva melalui (1,9) karena titik ini memenuhi persamaan kurva. Kemudian dicari persamaan garis singgung kurva yang melalui titik ini sebagai berikut: Gradien garis singgung kurva m(x) di peroleh dari m(x) = y = 4x(x +). Berarti m(1) = 1 sehingga persamaan garis singgung yang melalui titik (1,9) adalah y 9 = 1 (x 1). Pada persamaan garis ini, untuk nilai x = 0 (memotong sumbu Y) akan diperoleh y = -3. Jadi garis singgung ini akan melalui titik (0, 3). Jawaban : C 31. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t diberikan oleh fungsi 6 5. Kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada t =. A. 6 detik B. 4 detik C. 3 detik D. detik E. 1 detik

32 Penyelesaian : Nilai t saat kecepatan maksimum tercapai saat = Jadi kecepatan maksimum mobil tersebut akan tercapai pada saat t=4 detik. Jawaban : B 3. Hasil dari A. -58 B. -56 C. -8 D. -16 E. -14

33 Penyelesaian : = 18 = 18. = = 58 Jawaban : A 33. Hasil dari 36 A. B. C. sin D. 3 sin cos E. sin cos Penyelesaian : cos = 3 cos = sin + c = sin cos + c = 3 sin cos + c Jawaban : D

34 34. Nilai dari cos3 A. -1 B. C. 0 D. E. 1 Penyelesaian : cos3 sin3 = sin 3 sin 3 = sin sin = 0 1 = Jawaban : B 35. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi oleh kurva,, 0, dan garis x = adalah A. B. C. 3 D. 3 E. 4

35 Penyelesaian : Luas daerah = = = = 4 = = Jawaban : B 36. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva dan diputar mengelilingi sumbu x adalah.. B. satuan volum satuan volum C. satuan volum D. satuan volum E. satuan volum

36 Penyelesaian :, diputar mengelilingi sumbu x V = Dari gambar : V = = = = = Jadi volum benda putar yang terjadi = Jawaban : A

37 37. Perhatikan tabel data berikut! Data Frekuensi Median dari data pada tabel adalah A. 34, B. 34,5 + 9 C. 9,5 + 9 D. 9, E. 38, Penyelesaian : 1 Jumlah seluruh data = 3. Setengah dari jumlah seluruh data = 16. Jadi median akan terletak di kelas interval ke 3. b = batas bawah kelas median = 9,5 p = panjang kelas median = 10 N = ukuran sampel =3 F = jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas < kelas median = 10

38 .f = frekuensi kelas median = 1 Jadi median : 9, Jawaban : D 38. Dalam ruang tunggu, terdapat tempat duduk sebanyak kursi yang akan diduduki oleh 4 pemuda dan 3 pemudi. Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang-seling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok adalah. A. 1 B. 84 C. 144 D. 88 E. 576 Penyelesaian : Terdapat 7 kursi sehingga : Kursi pertama diduduki pemuda dengan 4 kemungkinan Kursi kedua diduduki pemudi dengan 3 kemungkinan Kursi ketiga diduduki pemuda dengan 3 kemungkinan Kursi keempat diduduki pemudi dengan kemungkinan Kursi kelima diduduki pemuda dengan kemungkinan Kursi keenam diduduki pemudi dengan 1 kemungkinan

39 Kursi ketujuh diduduki pemuda dengan 1 kemungkinan. Sehingga Banyak cara duduk berjajar agar mereka dapat duduk selang-seling pemuda dan pemudi dalam satu kelompok = 4! 3! =4 x 6 = 144 Jawaban : C 39. Diketahui 7 titik dan tidak ada 3 titik atau lebih yang segaris. Banyak segitiga yang dapat dibentuk dari titik-titik tersebut adalah A. 10 B. 1 C. 30 D. 35 E. 70 Penyelesaian : Banyak segitiga yang dapat terbentuk = nc r =!!! 7C 3 =!!! =!!! = = 35 Jadi banyak segitiga yang dapat terbentuk = 35. Jawaban : D

40 40. Sebuah kantong berisi 4 bola merah, 3 bola putih, dan 3 bola hitam. Diambil sebuah bola secara acak, peluang terambil bola merah atau hitam adalah : A. B. C. D. E. Penyelesaian : Misalkan A = terambil kelereng merah B = terambil kelerang hitam Kedua peristiwa diatas saling asing (saling ekslusif). P(A) = = = P(B) = = P (A atau B) = P(A) + P(B) = + = Jadi peluang terambil bola merah atau bola hitam adalah Jawaban : B