PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI GEOMETRIK

Transkripsi

1 PROSES PERCABANGAN PADA DISTRIBUSI GEOMETRIK Arantika Desmawati, Respatiwulan, dan Dewi Retno Sari S Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Seelas Maret Astrak. Proses percaangan muncul secara alami dalam eragai hal terutama reproduksi individu. Dalam proses percaangan dipelajari fungsi pemangkit proailitas yang merepresentasikan proailitas suatu kejadian. Salah satu persoalan proses percaangan yang tertua yaitu tentang kepunahan nama keluarga. Nama keluarga hanya dapat diwariskan oleh keturunan laki-laki. Kepunahan nama keluarga sesuai dengan distriusi geometrik. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang dan menerapkan proses percaangan pada distriusi geometrik. Berdasarkan penurunan ulang terseut, diperoleh fungsi pemangkit proailitas yang digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi anyaknya generasi sampai nama keluarga punah. Berdasarkan penerapan proses percaangan untuk rantai keturunan laki-laki di Amerika diperoleh hasil ahwa proses percaangan pada distriusi geometrik dengan proailitas sukses seesar = 0, 4107, proailitas tidak memiliki keturunan laki-laki seesar p 0 = 0,4825 dan proailitas memiliki j keturunan laki-laki seesar p j = (0,2126)(0,5893) (j 1) untuk j 1 mempunyai rata-rata anyaknya generasi sampai nama keluarga di Amerika punah seesar µ = 1, 4349 dengan variansi seesar 3, Kata kunci : proses percaangan, distriusi geometrik, proailitas, rata-rata, variansi 1. PENDAHULUAN Proses percaangan muncul secara alami pada eragai hal dalam kehidupan. Proses percaangan erat kaitannya dengan reproduksi individu. Individuindividu yang diamati saling independen dan hidup dalam suatu rentang waktu. Tiap individu akan mempunyai sejumlah keturunan dan kemudian mati. Beerapa kasus proses percaangan yang menonjol yaitu penggandaan elektron, reaksi rantai neutron, dan penurunan nama keluarga(taylor dan Karlin[8]). Proses percaangan juga erperan dalam iologi tentang ermacam-macam karsinogenesis (Meza [4]), teori jaringan (Newman [6]) dan reaksi erantai polimerase (Kimmel dan Axelrod [3]). Proses percaangan dapat digunakan dalam mempelajari populasi makhluk hidup yang ditinjau dari sudut pandang matematika. Dalam proses percaangan dipelajari fungsi pemangkit proailitas yang merepresentasikan proailitas dari suatu kejadian (Reluga [7]). Untuk mempelajari fungsi pemangkit, perlu diketahui distriusi proailitas dari variael random yang diamati. Variael random dalam proses percaangan dapat mengikuti suatu distriusi antara lain distriusi Bernoulli, inomial, Poisson, geometrik atau inomial negatif. 1

2 Proses Percaangan... Salah satu persoalan proses percaangan yang tertua yaitu tentang nama keluarga angsawan Inggris yang hanya diturunkan kepada keturunan laki-laki (Kimmel dan Axelrod [3]). Nama keluarga yang diturunkan oleh leluhur akan punah apaila semua keturunan laki-laki meninggal tanpa mewariskannya kepada anak laki-laki mereka. Dalam suatu keluarga, terdapat dua kemungkinan jenis kelamin dari keturunan mereka yaitu laki-laki dan perempuan. Apaila keturunan mereka erjenis kelamin laki-laki maka keturunan mereka akan memawa nama keluarga, tetapi tidak ila keturunan mereka erjenis kelamin perempuan. Nama keluarga tidak dapat diturunkan apaila keturunan erjenis kelamin perempuan. Kepunahan nama keluarga sesuai dengan karakterisrik distriusi geometrik. Asumsikan jenis kelamin tiap kelahiran ersifat independen. Kelahiran keturunan pada suatu generasi diandaikan seagai suatu percoaan Bernoulli. Untuk mengetahui kepunahaan nama keluarga, dikatakan percoaan Bernoulli memperoleh hasil sukses apaila pada suatu generasi setiap kelahiran memerikan keturunan erjenis kelamin perempuan dan gagal apaila terdapat kelahiran yang memerikan keturunan erjenis kelamin laki-laki sehingga nama keluarga masih dapat diturunkan. Serangkaian percoaan Bernoulli yang terjadi sampai pertama kali diperoleh hasil sukses ini merupakan distriusi geometrik. Pada penelitian ini dikaji ulang tentang proses percaangan dengan anyaknya generasi sampai punah erdistriusi geometrik dan penerapannya. 2. PROSES PERCABANGAN Proses percaangan dikemukakan pertama kali oleh Bienayme pada tahun Sekitar tahun 1870, model terseut dikemangkan oleh seorang ahli matematika ernama Henry William Watson ersama seorang ahli iometri ernama Francis Galton. Pengemangan terseut khususnya dalam hal penurunan nama keluarga yang hanya diturunkan untuk keturunan laki-laki (Mode [5]). Menurut Allen [1], proses percaangan waktu diskrit merupakan suatu rantai Markov waktu diskrit dengan variael waktu dan ruang state diskrit. State pada waktu n+1 hanya dipengaruhi oleh state pada waktu n. Dimisalkan variael random X adalah anyaknya keturunan pada generasi tertentu dan setiap individu menghasilkan keturunan erjumlah random seanyak ξ dengan distriusi proailitas Pr(ξ = k) = p k untuk k = 0,1,2,... dengan p k 0 dan k p k = 1. Banyaknya keturunan pada generasi ke-n adalah X n dan ukuran total populasi pada generasi ke-n adalah Z n dengan n = 0,1,2,... Menurut Allen [1], pada proses percaangan terdapat tiga asumsi yaitu (1) proailitas individu menghasilkan keturunan adalah p yang ernilai sama untuk setiap individu,

3 Proses Percaangan... (2) setiap individu menghasilkan keturunan secara independen, dan (3) proses dimulai dengan individu tunggal pada waktu n = 0. Asumsi 1 dan 2 memerikan definisi proses percaangan Galton-Watson waktu diskrit yaitu rantai Markov waktu diskrit yang menggamarkan pertumuhan populasi yang ereproduksi dengan percaangan sederhana dan proses tidak harus dimulai dengan individu tunggal. Ilustrasi dari contoh proses percaangan Galton-Watson waktu diskrit dapat dilihat pada Gamar 1. Asumsi 3 menyatakan ahwa Z 0 = 1. Generasi Gamar 1. Proses percaangan Galton-Watson waktu diskrit Pada generasi ke-n, X n secara independen menghasilkan keturunan erjumlah ξ (n) 1,ξ (n) 2,...,ξ (n) X n sehingga kumulatif anyaknya keturunan yang dihasilkan pada generasi ke-(n + 1) adalah X n+1 = ξ (n) 1 +ξ (n) ξ (n) X n. Total populasi pada generasi ke-(n) adalah Z n = X 0 +X 1 +X X n. 3. DISTRIBUSI GEOMETRIK Distriusi geometrik merupakan distriusi yang muncul dari serangkaian percoaan Bernoulli yang saling independen. Percoaan Bernoulli adalah percoaan yang memiliki dua kemungkinan hasil yaitu sukses (R) dengan P(R) = dan gagal (F) dengan P(F) = 1 = c. Andaikan percoaan Bernoulli dilakukan hingga terjadi sukses yang pertama, maka anyaknya sukses adalah satu dan anyaknya percoaan Bernoulli yang dilakukan merupakan variael random erdistriusi geometrik. Banyaknya percoaan Bernoulli yang diperlukan sampai menghasilkan sukses yang pertama dinotasikan dengan Y. Nilai Y yang mungkin

4 Proses Percaangan... adalah 1,2,3,... dengan Y = y terjadi jika dan hanya jika terdapat serangkaian y 1 kegagalan dan 1 sukses. Dengan syarat ahwa percoaan saling independen, maka erlaku f(y) = P[Y = y] = P[FF...FR] = c y 1,y = 1,2,3, FUNGSI PEMBANGKIT Fungsi pemangkit sangat erguna untuk menentukan nilai ekspektasi. Menurut Bain dan Engelhardt [2], jika Y adalah suatu variael random, maka nilai ekspektasi M Y (s) = E(e sy ) diseut fungsi pemangkit momen dari Y. Untuk variael random yang ernilai ilangan ulat tak negatif seperti dalam kasus proses percaangan, leih mudah dikerjakan dengan ekspektasi tipe lain yang dikenal dengan momen faktorial. Momen faktorial ke-r dari Y adalah E[Y(Y 1)...(Y r+1)] dan fungsi pemangkit momen faktorial dari Y adalah G Y (s) = E(s Y ) apaila nilai ekspektasi ada untuk setiap s dalam interval 1 h < s < 1+h. Fungsi pemangkit momen faktorial juga diseut fungsi pemangkit proailitas karena variael random Y yang ernilai ilangan ulat tak negatif. Fungsi pemangkit proailitas menentukan distriusi dari variael random terseut. Jika Y mempunyai suatu fungsi pemangkit proailitas, G Y (s), maka G Y (1) = E[Y], G Y(1) = E[Y(Y 1)], G (r) Y (1) = E[Y(Y 1)...(Y r +1)]. 5. HASIL DAN PEMBAHASAN 5.1. Proses Percaangan pada Distriusi Geometrik. Suatu individu yang ingin melestarikan jenisnya, ia harus melakukan reproduksi. Reproduksi adalah proses suatu individu menghasilkan individu aru. Proses inilah cara dasar individu untuk mempertahankan jenisnya sehingga memiliki keturunan yang hidup pada generasi selanjutnya. Suatu populasi terdiri atas individu yang melakukan reproduksi misalnya hewan, akteri, dan virus komputer. Reproduksi mengakiatkan meningkatnya jumlah individu dalam suatu populasi. Setiap keturunan hasil reproduksi dapat memiliki sifat yang sama dengan individu induk dan dapat pula ereda. Sifat-sifat yang dimaksud misalnya adalah jenis kelamin, entuk fisik ataupun kepemilikan penyakit menurun. Apaila keturunan memiliki dua kemungkinan sifat, maka reproduksi dapat dipandang seagai percoaan Bernoulli

5 Proses Percaangan... Mengacu pada pengertian proses percaangan, reproduksi pada suatu generasi dianggap seagai suatu percoaan Bernoulli yang memiliki keturunan sukses (R) apaila diperoleh keturunan dengan keadaan yang diharapkan dan keturunan gagal (F) apaila diperoleh keturunan dengan keadaan yang tidak diharapkan. Proailitas untuk memiliki keturunan sukses seesar dan proailitas untuk memiliki keturunan sukses seesar 1 = c. Reproduksi akan dilakukan hingga diperoleh keturunan dengan keadaan yang diharapkan atau dengan kata lain hingga percoaan Bernoulli memiliki keturunan sukses. Apaila variael random Y adalah anyak generasi sampai diperoleh keturunan dengan keadaan yang diharapkan untuk pertama kalinya maka Y erdistriusi geometrik. Variael random dalam proses percaangan erkaitan dengan fungsi pemangkit proailitas. Fungsi pemangkit proailitas merupakan alat utama untuk analisis proses percaangan. Fungsi pemangkit proailitas dapat digunakan untuk menentukan rata-rata dan variansi. Untuk mengetahui fungsi pemangkit proailitas dari suatu variael random, harus diketahui terleih dahulu distriusi dari variael random terseut Rata-rata dan Variansi. Rata-rata dan variansi pada proses percaangan ditentukan erdasarkan fungsi pemangkit proailitas sesuai distriusi dari variael random. Fungsi pemangkit proaililtas diturunkan untuk memperoleh rata-rata dan variansi. Turunan pertama fungsi pemangkit proailitas pada distriusi geometrik adalah Untuk s = 1, diperoleh G Y(s) = E(Ys Y 1 ). G Y(1) = E(Y1 Y 1 ) = E(Y). Nilai ekspektasi variael random Y adalah rata-rata populasi yang diamati sehingga G Y (1) = µ. (5.1) Fungsi pemangkit proailitas untuk variael random Y dengan proailitas memiliki keturunan sukses seesar adalah G Y (s) = 1 (1 )s. (5.2) Turunan pertama untuk persamaan (5.2) adalah G (1 ) Y (s) = nilai s = 1, diperoleh G (1 ) Y (1) = 2 Y yaitu = 1 dan untuk (1 (1 )s) 2. Jadi nilai rata-rata variael random µ = 1. (5.3)

6 Proses Percaangan... Mengacu pada Bain dan Engelhardt [2], dierikan definisi variansi seagai Turunan kedua fungsi pemangkit proailitas adalah σ 2 = E(Y 2 ) (E(Y)) 2. (5.4) G Y(s) = E(Y(Y 1)s Y 2 ) = E((Y 2 Y)s Y 2 ). Untuk s = 1, diperoleh G Y (1) = E((Y 2 Y)1 Y 2 ) dan untuk y = 0,1,2,3,..., diperoleh nilai 1 Y 2 = 1 sehingga atau G Y (1) = E((Y 2 Y)) = E(Y 2 ) E(Y) E(Y 2 ) = G Y (1)+E(Y). (5.5) Berdasarkan persamaan (5.5), persamaan (5.4) dapat dinyatakan seagai σ 2 = G Y(1)+E(Y) (E(Y)) 2. (5.6) Turunan kedua fungsi pemangkit proailitas untuk variael random Y seagaimana pada persamaan (5.2) adalah Untuk nilai s = 1, diperoleh G 2(1 )2 Y (s) = (1 (1 )s) 3. G Y(1) = 2(1 )2 2. (5.7) Berdasarkan persamaan (5.3) dan (5.7), variansi pada persamaan (5.6) dapat dinyatakan seagai σ 2 = 2(1 )2 = (1 )2 2 Jadi variansi variael random Y adalah ( 1 ) 2 σ 2 = (1 )

7 Proses Percaangan Penerapan. Proses percaangan mulai muncul sejak Galton menyampaikan persoalan tentang punahnya nama keluarga pada suatu populasi. Nama keluarga hanya dapat diturunkan oleh keturunan laki-laki sehingga nama keluarga akan erhenti diturunkan apaila keturunan erjenis kelamin perempuan. Pada 1931, Alfred Lotka mengasumsikan suatu distriusi geometrik untuk menyesuaikan distriusi keturunan populasi laki-laki Amerika pada tahun Teori proses percaangan dengan distriusi geometrik digunakan untuk memahas kepunahan nama keluarga. Karena nama keluarga diturunkan oleh keturunan laki-laki maka hanya jumlah keturunan laki-laki yang diperhitungkan. Proailitas ahwa seorang laki-laki memiliki j keturunan laki-laki adalah p j = (1 p 0 )(1 ) (j 1),j = 1,2,3,...,j 1. Proailitas ahwa seorang laki-laki tidak memiliki keturunan laki-laki adalah p 0. Proailitas sukses atau dengan kata lain nama keluarga akan punah adalah. Lotka memerikan estimasi proailitas untuk distriusi geometrik yaitu = 0,4107 dan p 0 = 0,4825 sehingga diperoleh p j = (0,2126)(0,5893) (j 1). Dari pemahasan yang telah diuraikan, diketahui ahwa rata-rata anyaknya generasi sampai nama keluarga punah seesar µ = 1 = 1, Diketahui ahwa variansi anyaknya generasi sampai nama keluarga punah adalah σ 2 = (1 ) = 3, Hal ini erarti ahwa rata-rata nama keluarga di Amerika pada tahun 1920 akan punah pada generasi ke-1, 4349 dan memiliki ukuran penyearan seesar 3, 4937 terhadap nilai rata-rata. Berdasarkan simulasi untuk eerapa nilai pada interval 0,20 sampai 0,50 dapat disimpulkan jika esarnya proailitas sukses punah yaitu semakin kecil, maka rata-rata anyaknya generasi sampai nama keluarga punah semakin esar dengan variansi yang semakin esar pula. 6. KESIMPULAN Dari hasil dan pemahasan yang telah dilakukan, diperoleh dua kesimpulan erikut. (1) Rata-rata dan variansi proses percaangan pada distriusi geometrik adalah µ = 1 dan σ 2 = (1 ) (2) Penerapan proses percaangan pada distriusi geometrik dengan proailitas sukses punah seesar 0, 4107, proailitas tidak memiliki keturunan

8 Proses Percaangan... laki-laki seesar 0, 4825 dan proailitas memiliki j keturunan laki-laki seesar (0,2126)(0,5893) (j 1) untuk j 1 diperoleh µ = 1,4349 dengan variansi seesar 3, Hal ini erarti ahwa rata-rata nama keluarga di Amerika pada tahun 1920 akan punah pada generasi ke-1, 4349 namun memiliki ukuran penyearan seesar 3, 4937 terhadap nilai rata-rata. DAFTAR PUSTAKA [1] Allen, L. J. S. An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology. Prentice Hall, New Jersey, [2] Bain, L. J. and M. Engelhardt. Introducton to Proaility and Mathematical Statistics. Duxury Press, California, [3] Kimmel, M and D. E. Axelrod. Branching Process in Biology. Springer-Verlag, New York, [4] Meza, R. Age-specific Incidence of Cancer: Phases, Transitions, and Biological Implications. Proceedings of the National Academy of Science, 105(42), [5] Mode, C. J. Multitype Branching Process Theory and Applications. Elsevier, New York, [6] Newman, M. E. J. et al. Random Graph with Aritrary Degree Distriutions and Their Applications. Physical Review E, 64(2), [7] Reluga, T. C. Branching Process and Noncommuting Random Variales in Population Biology. Canadian Applied Mathemathics Quarterly, 17: , [8] Taylor, H. M. and S. Karlin. An Introduction to Stochastic Modeling. Academic Press, San Diego,