Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

Transkripsi

1 Pembahasan Simak UI Matematika Dasar 2012

2 PETUNJUK UMUM 1. Sebelum mengerjakan ujian, periksalah terlebih dulu, jumlah soal dan nomor halaman yang terdapat pada naskah soal. Naskah soal ini terdiri dari 12 halaman. 2. Tulislah nomor peserta Anda pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. 3. Tulislah kode naskah soal ini, pada lembar jawaban di tempat yang disediakan. Kode naskah soal ini: Bacalah dengan cermat setiap petunjuk yang menjelaskan cara menjawab soal. 5. Pikirkanlah sebaik-baiknya sebelum menjawab tiap soal, karena setiap jawaban yang salah akan mengakibatkan pengurangan nilai (penilaian: benar +4, kosong 0, salah -1). 6. Jawablah lebih dulu soal-soal yang menurut Anda mudah, kemudian lanjutkan dengan menjawab soal-soal yang lebih sukar sehingga semua soal terjawab. 7. Tulislah jawaban Anda pada lembar jawaban ujian yang disediakan. 8. Untuk keperluan coret-mencoret, harap menggunakan tempat yang kosong pada naskah soal ini dan jangan pernah menggunakan lembar jawaban karena akan mengakibatkan jawaban Anda tidak dapat terbaca. 9. Selama ujian, Anda tidak diperkenankan bertanya atau meminta penjelasan mengenai soal-soal yang diujikan kepada siapapun, termasuk kepada pengawas ujian. 10. Setelah ujian selesai, Anda diharapkan tetap duduk di tempat Anda sampai pengawas ujian datang ke tempat Anda untuk mengumpulkan lembar jawaban. 11. Perhatikan agar lembar jawaban ujian tidak kotor, tidak basah, tidak terlipat, dan tidak sobek. PETUNJUK KHUSUS PETUNJUK A: Pilih satu jawaban yang paling tepat. PETUNJUK B: Soal terdiri dari 3 bagian, yaitu PERNYATAAN, kata SEBAB, dan ALASAN yang disusun berurutan. Pilihlah: (A) Jika pernyataan benar, alasan benar, dan keduanya menunjukkan hubungan sebab dan akibat (B) Jika pernyataan benar, alasan benar, tetapi keduanya tidak menunjukkan hubungan sebab dan akibat (C) Jika pernyataan benar dan alasan salah (D) Jika pernyataan salah dan alasan benar (E) Jika pernyataan dan alasan keduanya salah PETUNJUK C: Pilihlah: (A) Jika (1), (2), dan (3) yang benar (B) Jika (1) dan (3) yang benar (C) Jika (2) dan (4) yang benar (D) Jika hanya (4) yang benar (E) Jika semuanya benar

3 Kode Naskah Soal: 221 MATA UJIAN : Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris TANGGAL UJIAN : 8 JULI 2012 WAKTU : 120 MENIT JUMLAH SOAL : 60 Keterangan : Mata Ujian MATEMATIKA DASAR nomor 1 sampai nomor 20 Mata Ujian BAHASA INDONESIA nomor 21 sampai nomor 40 Mata Ujian BAHASA INGGRIS nomor 41 sampai nomor 60 MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor Sebuah garis h yang melalui titik asal memotong kurva 2y = 3x 2 2x + 1 di dua titik di mana jumlah nilai x-nya adalah 10, maka gradien dari garis h adalah... (A) 1 (B) 3 2 (C) 6 (D) 14 (E) Diketahui sebuah barisan 3 2, 3 4, 9 8, 15,.... Jumlah 16 sepuluh suku pertama dari barisan tersebut adalah... (A) (B) (C) (D) (E) Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = x y dan x y = x5y, maka x 2 + 3y =... (A) 29 (B) 28 (C) 27 (D) 26 (E) Hasil perkalian dari nilai-nilai x yang memenuhi x = adalah... x 2(10 log x) 8 5. (A) 10 2 (B) 10 3 (C) 10 4 (D) 10 5 (E) 10 7 Jika luas dari gambar di atas adalah 40 satuan luas dan jika 3 < a < 5, maka... (A) 2 3 < b < 31 6 (B) 3 2 < b < 31 6 (C) 9 < b < 25 (D) 9 < b < 31 (E) 43 < b < Diketahui bahwa jika Deni mendapatkan nilai 75 pada ulangan yang akan datang, maka rata-rata nilai ulangannya adalah 82. Jika Deni mendapatkan nilai 93, maka rata-rata nilai ulangannya adalah 85. Banyaknya ulangan yang sudah diikuti Deni adalah... (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 c Universitas Indonesia Halaman 1 dari 12 halaman

4 Kode Naskah Soal: Sebuah dadu dilempar sebanyak 6 kali. Peluang munculnya angka yang lebih besar atau sama dengan 5 dalam minimal 5 kali pelemparan adalah... (A) (B) (C) (D) (E) ( 2 z log b ) 8. Diketahui A = log 1 merupakan 1 z matriks singular. Maka a log b 3 a + z log a. b log z 2 =... (A) 10 (B) 6 (C) 0 (D) 6 (E) Jika garis singgung parabola y = 4x x 2 di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola y = x 2 6x + k, maka nilai dari 5 k 1 adalah... (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Nilai maksimum dari k di mana 5 cos(2θ) 2k sin(θ) dan 0 < θ π adalah... (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) Diketahui y = 1 csc x. Jika y dan 0 x 2π, y maka nilai x yang memenuhi adalah... (A) 0 < x < π 2 (B) 0 < x π 2 (C) 0 x π (D) 0 < x π (E) 0 < x < π 12. lim x 1 sin 2(x 1) (x 2 2x + 1) cot 1 2 (x 1) =... (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 1 (D) 2 (E) Dari sehelai karton akan dibuat sebuah kotak tanpa tutup dengan alas persegi. Jika jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah 192 cm 2, maka volume kotak terbesar yang mungkin adalah... (A) 256 cm 3 (B) 320 cm 3 (C) 364 cm 3 (D) 381 cm 3 (E) 428 cm Jika diketahui xyz = 2 6 dan ( 2 log x)( 2 log yz) + ( 2 log y)( 2 log z) = 10 dengan x, y, z 0, maka 2 log 2 x + 2 log 2 y + 2 log 2 z =... (A) 2 (B) 3 (C) Jika diketahui a + b + c = 18 a 2 + b 2 + c 2 = 756 a 2 = bc maka a =... (A) 18 (B) 12 (C) 1 (D) 5 (E) 6 (D) 12 (E) Jika kedua akar persamaan px 2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai... (A) maksimum 30 (B) minimum 30 (C) minimum 6 (D) maksimum 6 (E) minimum 15/2 c Universitas Indonesia Halaman 2 dari 12 halaman

5 Kode Naskah Soal: 221 Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 17 sampai nomor Apabila k = x + y, maka k 2 k = 1 dan apabila k = x y, maka k 2 + k = 1, maka x + y =... (1) (2) 1 2 (3) (4) Misalkan f : R R dan g : R R, f(x) = x + 2 dan (g f)(x) = 2x 2 + 4x 6. Misalkan juga x 1 dan x 2 adalah akar-akar dari g(x) = 0, maka x 1 + 2x 2 =... (1) 0 (2) 1 (3) 3 (4) Jika diketahui y 2 + 2y + 1, y2 + 3y 1, y 1 3 adalah tiga suku barisan aritmatika, maka nilai suku kedua yang memenuhi adalah... (1) 1 (2) 2 (3) 1 (4) Diketahui bahwa x 2 + 2xy + 2y 2 = 13 dengan x dan y adalah bilangan bulat. Nilai x y yang mungkin dengan x > 0 dan y > 0 adalah... (1) 4 (2) 1 (3) 4 (4) 1 c Universitas Indonesia Halaman 3 dari 12 halaman

6 Kode Naskah Soal: 222 MATA UJIAN : Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris TANGGAL UJIAN : 8 JULI 2012 WAKTU : 120 MENIT JUMLAH SOAL : 60 Keterangan : Mata Ujian MATEMATIKA DASAR nomor 1 sampai nomor 20 Mata Ujian BAHASA INDONESIA nomor 21 sampai nomor 40 Mata Ujian BAHASA INGGRIS nomor 41 sampai nomor 60 MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor Jika diketahui f(n) = 2 log 3 3 log 4 4 log 5... n 1 log n, maka f(8) + f(16) + f(32) f(2 30 ) =... (A) 461 (B) 462 (C) 463 (D) 464 (E) Syarat agar persamaan (p 2)x 4 + 2px 2 + (p 1) = 0 mempunyai 4 akar riil yang berbeda adalah... (A) 0 < p < 2 (B) p < 1 atau p > 2 (C) 0 < p < 1 (D) 2/3 < p < 1 (E) 0 < p < 2/3 ax 2 + bx x 3. Misalkan lim x 4 x 2 = 1, maka bilangan 16 2 bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan a 2b adalah... (A) 5 (B) 2 (C) 6 (D) 7 (E) 8 4. Jumlah dari semua bilangan bulat x yang memenuhi pertidaksamaan x 2 11 (A) 33 (B) 60 (C) 77 < 6 7 < x adalah... (D) 253 (E) Pada suatu ulangan Matematika, ternyata nilai Nita salah karena adanya kesalahan pencatatan oleh gurunya. Nilai Nita sebenarnya adalah empat kali dari nilai yang dicatat oleh gurunya. Ketika guru Matematika Nita mengoreksi kesalahannya, rata-rata nilai ulangan kelas Nita naik 2 poin. Jika kelas Nita terdiri dari 30 orang (termasuk Nita), maka nilai ulangan Nita yang sebenarnya adalah... (A) 50 (B) 60 (C) 70 (D) 80 (E) Jika garis singgung parabola y = 4x x 2 di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola y = x 2 6x + k, maka nilai dari 5 k 1 adalah... (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4 7. Jika sin(x) = a, maka 1 a a 1 a 2 =... (A) sin 2 (x). tan 2 (x) (B) sec 2 (x). cos(x) (C) cos(2x).(x) (D) sec(2x). tan 2 (x) (E) (1 + cot(x))/ sin(x). cos(x) 8. Jika kedua akar persamaan px 2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai... (A) maksimum 30 (B) minimum 30 (C) minimum 6 (D) maksimum 6 (E) minimum 15/2 c Universitas Indonesia Halaman 1 dari 13 halaman

7 Kode Naskah Soal: Seseorang membeli dua macam tablet: tablet A dan tablet B sebagai suplemen harian yang masing-masing mengandung elemen X dan Y. Banyaknya elemen X pada tablet A dan B masing-masing adalah 100 mg dan 200 mg, sedangkan banyaknya elemen Y yang terkandung pada tablet A dan B masing-masing adalah 400 mg dan 200 mg. Orang tersebut ingin suplemen harian yang dikonsumsi dari kedua tablet ini mengandung tidak kurang dari 0,6 g tetapi tidak lebih dari 1,6 g elemen X dan mengandung tidak kurang dari 1,2 g tetapi tidak lebih dari 2,8 g elemen Y. Jika banyaknya tablet setiap hari adalah a tablet A dan b tablet B, di mana a dan b adalah nilai yang membuat total tablet yang dikonsumsi sedikit mungkin, maka a + b adalah... (A) 4 (B) 7 (C) 8 (D) 10 (E) Jumlah dari semua kemungkinan jawaban persamaan x = 3x 35 3x adalah... (A) 12 (B) 35 (C) 40 (D) 42 (E) Garis l sejajar dengan garis 4x y 3 = 0 dan melalui titik (1, 5). Garis l tersebut juga memotong sebuah parabola yang melalui tiga titik (0, 1),(1, 1), dan( 1, 1) di titik P dan Q. Jumlah absis P dan Q adalah Diketahui dalam sebuah ruangan terdapat tiga kelompok orang, yaitu kelompok ibu sebanyak 3 orang, kelompok bapak sebanyak 4 orang, dan kelompok anak sebanyak 2 orang. Mereka hendak duduk pada sebuah bangku panjang. Peluang bahwa mereka akan duduk berdampingan berkelompok adalah (A) (B) (C) (D) (E) = (A) 1 (B) 3 (C) 25 4 (D) 25 2 (E) Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = x y dan x y = x5y, maka x 2 + 3y =... (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 3 (E) 4 (A) 29 (B) 28 (C) 27 (D) 26 (E) Diketahui f : R R yang memenuhi f(f(x)) = (x + 1)f(x) x. Maka f(1) =... (A) 1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 (E) 3 c Universitas Indonesia Halaman 2 dari 13 halaman

8 Kode Naskah Soal: Diketahui f(x) = 2 2x + 3 dan x T adalah nilai tengah dari domain f(x). Maka [f(x T )] 2 =... (A) 1 2 (B) 2 5 (C) 0 (D) 2 2 (E) Diketahui bahwa f(x) adalah fungsi kuadrat yang memenuhi pertidaksamaan x 2 2x + 3 f(x) 2x 2 4x + 4 untuk semua bilangan riil x. Jika diketahui bahwa f(5) = 26, maka f(7) =... (A) 38 (B) 50 (C) 56 (D) 74 (E) Jika y(x) = ( 3 sin(x) + cos(x))(3 3 cos(x) 3 sin(x)), maka nilai minimum dari y(x) adalah... (A) 6 (B) 3 (C) 0 (D) 3 (E) 6 Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 19 sampai nomor Apabila k = x + y, maka k 2 k = 1 dan apabila k = x y, maka k 2 + k = 1, maka x + y =... (1) (2) 1 2 (3) (4) Diketahui matriks A 2 2 = [a ij ] = ij, B 2 2 = [b ij ] = i j dan C 2 2 = [c ij ] = i j. Pernyataan berikut ini yang BENAR adalah... (1) Jika A + B = C + D, maka D 2 2 = [d ij ] = ij. (2) Jika AB = XC, maka X = [x ij ] = (ij). (3) B tidak mempunyai invers. (4) A matriks singular. c Universitas Indonesia Halaman 3 dari 13 halaman

9 Kode Naskah Soal: 223 MATA UJIAN : Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris TANGGAL UJIAN : 8 JULI 2012 WAKTU : 120 MENIT JUMLAH SOAL : 60 Keterangan : Mata Ujian MATEMATIKA DASAR nomor 1 sampai nomor 20 Mata Ujian BAHASA INDONESIA nomor 21 sampai nomor 40 Mata Ujian BAHASA INGGRIS nomor 41 sampai nomor 60 MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor Jika 4 sin(x) 4 = 1, maka diskriminan dari cos(x) persaman kuadrat sin(x)a 2 + cos(x)a cos(x) = 0 adalah... (A) 4 (B) 2 (C) 0 (D) 2 (E) 4 2. Jika f(2) = 3, f (2) = 4, g(2) = 2 dan g (2) = 5, d maka untuk x = 2, nilai dari dx [f 2 (x) + g 3 (x)] d dx [f(g(x))] adalah... (A) 3,6 (B) 4,2 (C) 4,8 (D) 5,6 (E) 7 3. Jika (a + b + c + d + e + f + g + h + i + j) 2 diuraikan dan disederhanakan, maka banyaknya suku yang berbeda adalah... (A) 10 (B) 20 (C) 45 (D) 55 (E) Ahmad dan Aisyah adalah teman satu sekolah di sebuah SMA di kota Depok. Saat ini mereka duduk di kelas 1. Mereka mencatat jumlah seluruh siswa kelas 1 di sekolah mereka. Aisyah mencatat, 5/17 dari temannya di kelas 1 adalah laki-laki, sedangkan menurut catatan Ahmad, 2/7 dari temannya di kelas 1 adalah laki-laki. Jika catatan mereka berdua tidak salah, maka banyaknya jumlah siswa perempuan kelas 1 di sekolah mereka adalah... (A) 35 (B) 55 (C) 65 (D) 85 (E) Jika 3 x 4, 2 y 5, 4 z 10, dan w = z xy, maka nilai terbesar yang mungkin untuk w adalah... (A) 10 (B) 16 (C) Jika cos 2x = (D) 25 (E) cos 2x untuk 0 < x < 2π, 4 cos 2x 1, maka jumlah nilai x yang memenuhi adalah... (A) 720 o (B) 480 o (C) 390 o (D) 360 o (E) 240 o 7. Banyaknya bilangan ratusan kelipatan 5 yang dapat disusun dari digit 0, 1, 2, 3, 4, 5 dengan digit yang berbeda adalah... (A) 24 (B) 30 (C) 32 (D) 36 (E) 40 c Universitas Indonesia Halaman 1 dari 12 halaman

10 Kode Naskah Soal: Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan 9. x > 1 dan y > 0. Jika xy = x y dan x y = x5y, maka x 2 + 3y =... (A) 29 (B) 28 (C) 27 (D) 26 (E) 25 Dalam sebuah bujursangkar dibuat empat buah persegi panjang yang sama sehingga terdapat bujursangkar kecil di dalamnya (seperti tampak dalam gambar). Jika diketahui luas bujursangkar besar adalah sembilan kali lebih besar dari luas bujursangkar kecil, maka perbandingan sisi panjang dan sisi pendek dari persegi panjang adalah... (A) 5 4 (B) 4 3 (C) 3 2 (D) 2 (E) Dua buah parabola mempunyai titik puncak yang sama. Parabola pertama memotong sumbu-x di titik (a,0) dan (b,0) serta memotong sumbu-y di (0, 32). Parabola kedua definit positif dan memotong sumbu-y di (0,40). Jika a dan b dua bilangan bulat positif pertama yang habis dibagi 4, maka persamaan parabola kedua adalah... (A) y = x (B) y = x 2 32 (C) y = x 2 12x 32 (D) y = x x + 40 (E) y = x 2 12x Jika garis singgung parabola y = 4x x 2 di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola y = x 2 6x + k, maka nilai dari 5 k 1 adalah... (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut x 2 + 2x 3 x 2 x 6 < x 1 x + 2 adalah... { (A) x }. x < 3 2 < x 1 3, x R { } (B) x x 3 2 < x < 1 3, x R { } (C) x x < < x < 3, x R (D) {x x 3 2 < x 1, x R} (E) {x 3 x < 2 1 x < 3, x R}. 13. Jika kedua akar persamaan px 2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai... (A) maksimum 30 (B) minimum 30 (C) minimum 6 (D) maksimum 6 (E) minimum 15/2 c Universitas Indonesia Halaman 2 dari 12 halaman

11 Kode Naskah Soal: Sebuah lingkaran memiliki jari-jari log a 2 dan keliling log b 4, maka a log b =... (A) 1 4π (B) 1 π (C) π (D) 2π (E) 10 2π 15. Misalkan a dan b adalah sudut lancip yang dibentuk oleh sumbu-x dengan garis singgung kurva y = x 2 + 6x 8 di titik potong kurva tersebut dengan garis y = 2x 5, maka sin(a b)=... (A) 1 4 (B) (C) 15 (D) (E) Jika titik A(a, c) dan B(b, d) adalah dua buah titik berbeda yang terletak pada kurva y = x 2 + x + 3, maka garis AB akan memotong sumbu-y pada... (A) y = a + b + 3 ab 3 (B) y = a 2 + a + 3 (C) y = b 2 + b + 3 (D) y = a 2 b (E) y = 3 ab 17. Misalkan rata-rata nilai ujian Matematika dari 30 siswa adalah 8,4. Jika nilai yang terkecil tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,5, sedangkan jika nilai terbesarnya tidak diperhitungkan, maka rata-ratanya menjadi 8,2. Jangkauan dari nilai ujian Matematika adalah... Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 18 sampai nomor Apabila k = x + y, maka k 2 k = 1 dan apabila k = x y, maka k 2 + k = 1, maka x + y =... (1) (2) 1 2 (3) (4) Jika persamaan matriks D 1 B 1 D 1 C 1 = A, A 0, maka pernyataan tersebut setara dengan... (1) BD = CD (2) B = C (3) ABD = ACD (4) B 1 C 1 = DA 20. Pada segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di C, besar A = 15 o dan panjang sisi AB= 5 cm. Titik D pada sisi AB sedemikian sehingga CD tegak lurus AB dan BCD = A. Pernyataan berikut ini yang BENAR adalah... (1) AD = 5 sin 2 15 o (2) CD = 5 sin 15 o cos 15 o (3) AD < CD (4) BD < AD (A) 6,7 (B) 7,4 (C) 7,8 (D) 8,2 (E) 8,7 c Universitas Indonesia Halaman 3 dari 12 halaman

12 Kode Naskah Soal: 224 MATA UJIAN : Matematika Dasar, Bahasa Indonesia, dan Bahasa Inggris TANGGAL UJIAN : 8 JULI 2012 WAKTU : 120 MENIT JUMLAH SOAL : 60 Keterangan : Mata Ujian MATEMATIKA DASAR nomor 1 sampai nomor 20 Mata Ujian BAHASA INDONESIA nomor 21 sampai nomor 40 Mata Ujian BAHASA INGGRIS nomor 41 sampai nomor 60 MATEMATIKA DASAR Gunakan Petunjuk A dalam menjawab soal nomor 1 sampai nomor Jika cos(2x) + cos(4x) = 1 2, maka sin(4x) + 2 sin(6x) + sin(8x) =... (A) sin(2x) + sin(4x) (B) sin(x) + sin(2x) (C) cos(x) + cos(2x) (D) cos(2x) + cos(4x) (E) sin(2x) + cos(4x) 2. Jika setiap anggota dari himpunan 5, 6, 7,..., 20 dikalikan dengan setiap anggota dari himpunan 21, 22,..., 30, maka penjumlahan dari semua hasil kali tersebut adalah... (A) (B) (C) (D) (E) Diketahui f(x) = ax 2 + (b + 1)x (a + b + 1) memotong sumbu-x di dua titik yang berbeda. Jika f(x) dibagi x mempunyai sisa (a + 6), maka a dipenuhi oleh... (A) a < 3 atau a > 3 (B) 3 < a < 3 (C) a 3 (D) a < 2 atau a > 8 (E) 2 < a < 8 4. Nilai x yang memenuhi 2 log x log(3x + 7) + 2 log 2 adalah... (A) 2 x 14 (B) 2 x 0 (C) 0 < x 14 (D) 2 < x < 0 (E) 0 x lim x 0 (A) x 5 2 x x = (B) 2 5 (C) (D) (E) Jika diketahui tan 2α + cot α = 0 untuk 0 < α < 180, maka nilai sin 2α =... (A) 1 (B) 0, 5 (C) 0 (D) 0,5 (E) 1 c Universitas Indonesia Halaman 1 dari 13 halaman

13 Kode Naskah Soal: Diketahui sebuah segitiga mempunyai tinggi t satuan dan alas a satuan. Dengan ukuran tinggi bertambah x satuan terbentuk segitiga baru. Berapa alas harus dikurangi supaya luas segitiga baru sepertiga dari segitiga semula? (A) ax t + x (B) a + x 3(t + x) (C) a + x 6(t + x) (D) a(2t + 3x) 3(t + x) a(3t + 2x) (E) 3(t + x) [ ] Jika matriks A =, maka matriks B yang 3 5 memenuhi A + B T = (A B) T adalah... [ ] 2 3 (A) 1 5 [ ] 0 2 (B) 2 0 [ ] 0 2 (C) 2 0 [ ] 0 1 (D) 1 0 [ ] 0 1 (E) A dan B berjalan menuju C dari dua tempat yang berbeda dengan waktu yang sama. Jika CAB = 30 o dan CBA = 45 o, maka perbandingan kecepatan A dengan kecepatan B agar mereka sampai di C pada saat yang bersamaan adalah... (A) 1 : 2 (B) 2 : 1 (C) 2 : 3 (D) 3 : 2 (E) 3 : Jika ( penyelesaian dari pertidaksamaan tan x + π ) 1 untuk π 3 2 < x < π adalah aπ x bπ atau cπ x < dπ, maka nilai dari a d + c b =... (A) 3 2 (B) 5 8 (C) 9 8 (D) 5 4 (E) Jika garis singgung parabola y = 4x x 2 di titik M(1, 3) juga merupakan garis singgung parabola y = x 2 6x + k, maka nilai dari 5 k 1 adalah... (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) Jika f(0) = 0 dan f (0) = 2, maka turunan dari f(f(f(f(f(f(x)))))) di x = 0 adalah... (A) 128 (B) 64 (C) 32 (D) 16 (E) Jika diketahui x dan y adalah bilangan riil dengan x > 1 dan y > 0. Jika xy = x y dan x y = x5y, maka x 2 + 3y =... (A) 29 (B) 28 (C) 27 (D) 26 (E) Titik yang memaksimumkan 3x + 2y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linier y 2x, y 20, x + y 60 adalah... (A) (10, 20) (B) (40, 20) (C) (20, 40) (D) (60, 0) (E) (0, 60) c Universitas Indonesia Halaman 2 dari 13 halaman

14 Kode Naskah Soal: orang siswa kelas X, 4 orang siswa kelas XI dan 2 orang siswa kelas XII dipanggil ke ruang kepala sekolah. Kepala sekolah akan menunjuk 2 orang siswa sebagai ketua dan sekretaris mewakili sekolah untuk mengikuti rapat teknis porseni tingkat kabupaten. Peluang terpilih keduanya dari kelas yang berbeda dan ketua harus berasal dari kelas yang lebih tinggi dari sekretaris adalah... (A) 7 36 (B) (C) (D) (E) Nilai rata-rata matematika di suatu kelas yang jumlah siswanya 22 orang adalah 5 dengan jangkauan 4. Jika nilai siswa yang paling rendah dan yang paling tinggi tidak disertakan, maka nilai rata-ratanya berubah menjadi 4,9. Nilai siswa yang tertinggi adalah... (A) 7 (B) 7,5 (C) 8 (D) 8,5 (E) Jika kedua akar persamaan px 2 + 8x + 3p = 0 bernilai negatif, maka jumlah kuadrat kedua akar-akar tersebut akan bernilai... (A) maksimum 30 (B) minimum 30 (C) minimum 6 (D) maksimum 6 (E) minimum 15/2 18. Sebuah kotak berisi 2 koin Rp200, 4 koin Rp500, dan 6 koin Rp koin diambil tanpa pengembalian, di mana setiap koin memiliki peluang terpilih yang sama. Peluang bahwa enam koin yang terambil memiliki jumlah minimal Rp5000 adalah... (A) (B) (C) (D) (E) Gunakan Petunjuk C dalam menjawab soal nomor 19 sampai nomor Diberikan (x 1) 2 (x 4) 2 < (x 2) 2. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah... (1) { x 2 2 < x < 3 3 } (2) { x 3 3 < x < } (3) { x < x < } (4) { x x < 2 2 atau x > } 20. Apabila k = x + y, maka k 2 k = 1 dan apabila k = x y, maka k 2 + k = 1, maka x + y =... (1) (2) 1 2 (3) (4) c Universitas Indonesia Halaman 3 dari 13 halaman

15 PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: Persamaan umum garis adalah y = mx + c. Karena h melalui titik asal (0,0), maka y = mx. Kemudian karena memotong kurva 2y = 3x 2x + 1 maka 2mx = 3x 2x + 1 3x (2 + 2m)x + 1 = 0 Maka jumlah nilai x-nya adalah x + x = 10 = 2. Perhatikan bahwa 3 2, 3 4, 9 8, 15 16, = , 2 1 2, , 2 1 2, Maka jumlah sepuluh suku pertama dari barisan tersebut adalah Perhatikan bahwa, m = 14. Jawaban: (D) = (2 + 2 ) + (2 2 ) + (2 + 2 ) + (2 2 ) + + (2 2 ) 2 = (2 2 ) + (2 2 ) + + (2 2 ) 2 = (2 1) + 2 (2 1) (2 1) 2 = = 10 + xy = x log xy = x log 2 2 ((2 ) 1) = = y log y = y 1...(1) dan = 5y log y Dari (1) dan (2) maka diperoleh y 1 = 1 5y y = 1/3 Sehingga diperoleh pula x. = x x = x x = 27. Jadi, x + 3y = = 28. = 1 5y...(2) Jawaban: (A)

16 4. Perhatikan bahwa = ( ) x = 10 x = 10 log 10 = 2 log x 6 = 2a 6 (a = log 10 2a 6a + 8 = 0. Maka hasil kali nilai-nilai x yang memenuhi adalah ) log(x x ) = log x + log x = a + a = 6 2 = 3 x x = Luas daerah bangun pada gambar adalah L = (a + b) b = 40 (a + b) = 40 + b a = 40 + b b Dengan batasan 3 < a < 5, maka 3 < 40 + b b < b < 40 + b < 5 + b 9 + 6b + b < 40 + b < b + b 6b < 31 atau 10b > 15 < b < 6. Misalkan banyak ulangan yang telah dilakukan Deni adalah n 1 dengan jumlah semua nilai adalah X. Jika ulangan yang berikutnya adalah 75, maka Dan jika ulangan berikutnya adalah 93, maka = 82 X + 75 = 82n...(1) = 85 X + 93 = 85n...(2) Dengan mengeliminasi (2) dan (1) maka diperoleh 18 = 3n n = 6 Jawaban: (D) 7. Peluang munculnya kejadian A: angka lebih besar atau sama dengan 5 pada pelemparan satu kali mata dadu adalah () = ({,}) = =. () () Jika dadu dilempar enam kali, peluang kejadian A terjadi pada minimal lima kali pelemparan adalah A tepat terjadi lima kali + A terjadi tepat enam kali, yaitu 1 3. C C = = Jawaban: (A)

17 8. Karena A adalah matriks singular maka Akibatnya, log b a + log a det A = 0 2 log 2 + log z log b. log z = 3 log b. log b = 0 log b = 0 = 2 + log a + 2 log z. log a = 3( 2) = 6 9. Gradien garis singgung y = 4x x di titik (1,3) adalah m(1) = y (1) = 4 2x = 2. Sehingga diperoleh garis singgung y = 2(x 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva y = x 6x + k maka jelas memiliki gradien yang sama m = y = 2x 6 2x 6 = 2 x = 4 sehingga diperoleh pula y = 2(4 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = k k = 17. Jadi diperoleh 5 k 1 = 5 16 = Perhatikan bahwa f(x) = Karena k ( ) sehingga f (x) = 0, yaitu Jadi, k = f = = = + sin θ., agar k maksimum maka fungsi di atas harus maksimum f (x) = 2 cos θ sin θ + cos θ = 0 = 0 2 cos θ (1 + sin θ) = 0 cos θ = 0 θ = + sin = 3. Jawaban: (A) 11. Perhatikan bahwa y 1 + ()() 0 0 y 1 atau 0 < y 2 1 atau 0 < 2 sin x 1 sin x = 1 atau 0 < sin x 2 0 < sin x 1 x = π atau 0 < x π Jawaban: (D)

18 12. Perhatikan bahwa, 1 sin 2(x 1) sin 2(x 1) tan (x lim (x 2x + 1) cot 1 = lim 2 1) = (x 1) (x 1)(x 1) 2 = Jumlah luas bidang alas dan semua bidang sisi kotak adalah L = L persegi + 4 L persegi panjang = s + 4st = 192 t = Volume kotak adalah V = L alas t = s t = s Agar Vvolume kotak sebesar mungkin maka V = 0 yaitu 48 s = 0 s = 48. = 64 s = 8 Jadi, V = = = 256. = 48s s. Jawaban: (D) Jawaban: (A) 14. Perhatikan bahwa, ( log x)( log yz) + ( log y)( log z) = 10 log x log y + log x log z + ( log y)( log z) = 10 Dengan memisalkan log x = a, log y = b, dan log y = c, maka = ( log x + log y + log z log x + log y + log z = a + b + c = (a + b + c) 2(ab + ac + ad) ) 2log x log y + log x log z = ( log xyz) 2.10 = ( log 2 ) 20 = = Perhatikan bahwa (a + b + c) = a + b + c + 2(ab + ac + bc) 18 = (a(b + c) + a ) = 2(a(18 a) + a ) 216 = 18a a = 12 + ( log y)( log z) Jawaban: (C) 16. Karena kedua akar negatif maka x + x = < 0 p > 0 dan diskriminan D 0 yaitu 64 12p 0 p artinya p = adalah maksimum. Akibatnya x + x = (x + x ) 2x x = = 6 = 6 p adalah nilai minimum. Jawaban: (C)

19 17. Karena x + y = k maka x + y adalah akar-akar dari persamaan k k 1 = 0, yaitu x, y = 1 ± (1) 4(1)( 1) ± 5 = 2 Jawaban: (1) dan (3) 18. Perhatikan bahwa (g f)(x) = gf(x) 2x + 4x 6 = g(x + 2) g(x) = 2(x 2) + 4(x 2) 6 = 2x 8x x 8 6 = 2x 4x 6 = (2x + 2)(x 3) x = 1 atau x = 3 Jadi, x + 2x = = 5 atau x + 2x = 3 + ( 2) = 1 Jawaban: (2) dan (4) 19. Perhatikan bahwa, U = y + 2y + 1 = (y + 1) = y + 1 U = y 1 Maka, 2b = U U = 2 b = 1. Di sisi lain, b = U u = y + 3y 1 (y + 1) 3 1 = 3 = y 4 y = 1 y = ±1 Akibatnya, suku keduanya adalah 1. Untuk y = 1 maka U = = 1 2. Untuk y = 1 maka U = 1 Jawaban: (2) dan (4) 20. Perhatikan bahwa, x + 2xy + 2y = x + 2xy + y + y 13 = (x + y) + y Dua bilangan kuadrat bulat yang mungkin dengan jumlah 13 adalah 4 dan 9. Akibatnya, jika (x + y) = 4 dan y = 9 maka y = 3 dan x = 1 tidak mungkin karena x > 0. Kemudian jika (x + y) = 9 dan y = 4 maka y = 2 dan x = 1. Jadi, x y = 1 3 = 4 atau x y = 1 2 = 1 Jawaban: (4)

20 PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: Perhatikan bahwa, f(n) = log 3 log 4 log 5 log n = log n Akibatnya, f(8) + f(16) + + f(2 ) = f(2 ) + f(2 ) + + f(2 ) = log 2 + log log 2 = (28 barisan aritmetika dengan a = 3, b = 1) = S = 28 ( ) 2 = 14(6 + 27) = = Dengan memisalkan x = a maka diperoleh (p 2)a + 2pa + (p 1) = 0 Agar persamaan kuadrat di atas memiliki akar-akar riil berbeda maka D > 0, yaitu (2p) 4(p 1)(p 2) > 0 4p 4(p 3p + 2) > 0 3p 2 > 0 p > Jawaban: (D) 3. Jika x 4, maka penyebut x 16 = = 0. Agar terdefinisi menjadi maka pembilang juga harus 0, yaitu a(4) + b(4) 4 = 0 16a + 4b = 2...(1) Kemudian karena maka dengan menggunakan metode L hospital diperoleh 2ax + b 1 2 x lim = 1 2x 2 = 8a + b = 4. 8a + b =...(2) Dengan mengalikan 4 pada persamaan (2) kemudian menguraninya dengan persamaan (1) maka diperoleh 16a = 13 a = sehingga b = 8. = Jadi, a 2b = + = = 6. Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari 6 adalah 6. Jawaban: (C)

21 4. Perhatikan bahwa x 2 11 < 6 7 < x x 2 < atau x + 1 > x < = 11 atau x > = 3 3 < x < 11 Bilangan bulat yang memenuhi x adalah 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, dan 11 Jumlahnya adalah (4 + 11) + (5 + 10) + (6 + 9) + (7 + 8) = 4 15 = Misalkan nilai ulangan Nita yang tercatat oleh gurunya = a. Diketahui setelah diperbaiki nilai ulangan Nita sebenarnya adalah b = 4a dan rata-rata barunya adalah x + 2. Perhatikan bahwa, x baru = x + 2 = + 2 (A adalah total nilai 29 anak selain Nita) A + b = A + a + 60 b = b + 60 b = 60 b = 80 Jawaban: (D) 6. Gradien garis singgung y = 4x x di titik (1,3) adalah m(1) = y (1) = 4 2x = 2. Sehingga diperoleh garis singgung y = 2(x 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva y = x 6x + k maka jelas memiliki gradien yang sama m = y = 2x 6 2x 6 = 2 x = 4 sehingga diperoleh pula y = 2(4 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = k k = 17. Jadi diperoleh 5 k 1 = 5 16 = Dengan a = sin(x), perhatikan bahwa 1 a + 1 a 1 a = 1 a + a a 1 a = 1 sin x + sin x sin x 1 sin x cos x + sin x = sin x cos x cot x = sin x cos x + 1 sin x cos x = (1 + cot x)/ sin x cos x Jawaban: (E)

22 8. Karena kedua akar negatif maka x + x = < 0 p > 0 dan diskriminan D 0 yaitu 64 12p 0 p artinya p = adalah maksimum. Akibatnya x + x = (x + x ) 2x x = = 6 = 6 p adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 9. Misalkan banyaknya tablet A adalah a dan B adalah b. Diketahui bahwa, (1) a + 200b 1600 (2) a + 200b 2800 Nilai minimum dapat diperoleh dari eliminasi persamaan (1) dan persamaan (2) dengan batas minimum. Yaitu 600 = 100a + 200b 1200 = 400a + 200b 600 = 300a a = 2 dan b =. = 2 Jadi, a + b = 4. Jawaban: (A) 10. Perhatikan bahwa, x = 3x 35 3x = 3x 3x 35 Untuk x x = 3x 3x + 35 x = 35. Untuk x < x = 3x x = 6x 35 = 35 6x 7x = 35 x = 5. Jadi, jumlah semua nilai x adalah = 40. Jawaban: (C) 11. Karena garis l sejajar garis 4x y 3 = 0 y = 4x 3 yang memiliki gradien m = 4, maka gradien garis l adalah m = m = 4. Kemudian karena melalui titik (1,5) maka persamaan garis l y = 4(x 1) + 5 = 4x + 1. Persamaan parabola y = ax + bx + c melalui: - (0, 1) maka 1 = c c = 1. - (1,1) maka 1 = a + b 1 a + b = 2 - ( 1, 1) maka 1 = a b 1 a b = 0 a = b Akibatnya, a = b = 1 sehingga y = x + x 1. Jadi jumlah absis x + x dari titik potong l dan parabola, yaitu x + x 1 = 4x + 1 x 3x 2 = 0, adalah = = 3 Jawaban: (D) 12. Banyaknya kemungkinan keseluruhan adalah n(s) = ( )! = 9! Dengan menganggap kelompok adalah satu kesatuan maka akan terdapat 3 kelompok kesatuan sehingga susunan duduk per kelompok terdapat 3!, kemudian karena

23 kelompok ibu tedapat 3 orang maka terdapat 3!, kelompok bapak 4!, dan kelompok anak 2!. Jadi total banyaknya kemungkinannya adalah n(a) = 3! 3! 4! 2! Jadi peluangnya, P(A) = n(a) 3! 3! 4! 2! = n(s) 9! = = Perhatikan bahwa, = 5 (5 1) 5 (5 1) = 5 = 25 Jawaban: (E) 14. Perhatikan bahwa, xy = x log xy = x log = y log y = y 1...(1) dan = 5y log y Dari (1) dan (2) maka diperoleh y 1 = 1 5y y = 1/3 Sehingga diperoleh pula x. = x x = x x = 27. Jadi, x + 3y = = 28. = 1 5y...(2) 15. Karena ff(x) = (x + 1)f(x) x f(x) = (f (x) + 1)x f (x), Perhatikan bahwa, f(1) = (f (1) + 1). 1 f (1) = 1. Jawaban: (C) 16. Karena f(x) = 2 2x + 3, maka syarat yang harus dipenuhi adalah: 2 2x x x x + 3 0, sehingga 0 2x x 1 x Maka nilai tengah interval tersebut adalah X = =. Akibatnya, [f(x )] = f 1 2 = = 2 2 = 0 Jawaban: (C)

24 17. Perhatikan bahwa, x 2x + 3 f(x) 2x 4x f(5) 34 Karena f(5) = 26 artinya f(5) merupakan titik tengah antara 18 dan 34. Akibatnya, f(7) adalah titik tengah interval = 38 dan = 74, yaitu = = 56. Jawaban: (C) 18. Perhatikan bahwa, y(x) = 3 sin x + cos x3 3 cos x 3 sin x = 9 sin x cos x 3 3 sin x cos x 3 sin x cos x = 6 sin x cos x 3 3(cos x sin x) = 3 sin 2x 3 3 cos 2x Agar y ekstrim (min/maks) maka y = 0, yaitu y (x) = 6 cos 2x sin 2x = sin 2x = 6 cos 2x tan 2x = 3 2x = 150 atau 330 Jika 2x = 150 maka y = 3 sin cos 150 = + = 6 (maksimum) Jika 2x = 330 maka y = 3 sin cos 330 = = 6 (minimum) Jawaban: (A) 19. Karena x + y = k maka x + y adalah akar-akar dari persamaan k k 1 = 0, yaitu x, y = 1 ± (1) 4(1)( 1) 2.1 = 1 ± 5 2 Jawaban: (1) dan (3) 20. Perhatikan bahwa, (1) A + B = C + D ij + (i j) = i j + D D = ij + (i j) i j Jika i = 1 dan j = 2 maka D = (1 2) 1 2 = 2 + ( 1) 1 = 0 ij. (2) AB = XC ij(i j) = X i j X = () Jika i = 2 dan j = 1 maka X =.() = 2 ij (3) det B = (a. a a. a ) = (1 1). (2 2) (1 2)(2 1) = 0 ( 1). 1 = 1 0 Artinya B memiliki invers. (4) det A = (a. a a. a ) = = 4 4 = 0 Artinya A tidak memiliki invers atau disebut matriks singular. Jawaban: (4)

25 PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: Perhatikan bahwa, 4 sin x = 1 = 1 2 sin 2x 4 = cos x cos x + 2 sin 2x = 4 Kemudian dari persamaan kuadrat perhatikan bahwa 2. Perhatikan bahwa, d dx [f (x) + g (x)] = d dx fg(x) Jika x = 2, maka 2f(2)f (2) + 3g (2)g (2) D = b 4ac = cos x 4 sin x ( cos x) f g(2)g (2) = cos x + 2 sin 2x = 4 2f(x)f (x) + 3g (x)g (x) = f (2). 5 f g(x)g (x) = Jawaban: (E) = = 4,2 3. Banyaknya suku yang berbeda dari suku pangkat 2 adalah banyaknya setiap pasang dari variabel yang ada yaitu C. Karena terdapat 10 huruf yaitu huruf a, b,, j. Jadi, banyaknya suku yang berbeda adalah C =..! = 45. Jawaban: (C) 4. Misalkan total siswa adalah A dan banyaknya siswa laki-laki adalah x, maka menurut Aisyah, x = (A 1) = A (Karena yang dihitung dalam survei adalah teman-temannya sehingga Aisyah tidak dihitung). Sedangkan menurut Ahmad, x 1 = (A 1) x = A + (Karena Ahmad sendiri tidak terhitung sekaligus sebagai teman laki-lakinya). Jadi,!.! A = A + A = + A = A = 120 Jadi banyaknya teman siswi perempuan Aisyah di kelas 1 adalah. (120 1) = 84 sehingga totalnya adalah 85. Jawaban: (D) 5. Karena w = z xy, agar w sebesar mungkin maka z harus sebesar mungkin dan xy sekecil mungkin. Agar z sebesar mungkin maka z = 10 karena 4 z 10. Agar xy sekecil mungkin maka pilih x = 3 dan y = 5 sehingga xy = 15. Jadi, w = 10 ( 15) = 25.

26 6. Perhatikan bahwa, cos 2x = cos 2x cos 2x + 2 cos 2x + 8 cos 2x = 3 8 cos 2x + 10 cos 2x + 2 = 9 8 cos 2x + 10 cos 2x 7 = 0 8a + 10a 7 = 0 (2a 1)(4a + 7) = 0 a = atau a = (tidak mungkin krn <-1) Jadi, a = cos 2x = 2x = 60, 300, 420, 660, Jawaban: (D) x = 30, 150, 210, 330 Jadi, jumlahnya adalah = 720. Jawaban: (A) 7. Karena kelipatan 5 maka angka belakang atau satuan adalah angka 0 dan 5 (2 angka). - Untuk angka satuan adalah 0 maka angka ratusan haruslah tanpa 0 sehingga terdapat 5 angka yang diperbolehkan {1,2,...,5}. Sedangkan untuk puluhan, karena 0 telah terpakai pada satuan, dan salah satu dari {1,2...5} terpakai di ratusan maka tersisa 4 angka. Jadi, banyaknya susunan angkanya adalah = Untuk angka satuan adalah 5 maka angka ratusan haruslah tanpa 0 dan 5 sehingga terdapat 4 angka yang diperbolehkan {1,2,...,4}. Sedangkan untuk puluhan, karena 5 telah terpakai pada satuan, dan salah satu dari {1,2...4} terpakai di ratusan maka tersisa 4 angka + 1 angka 0 untuk satuan. Jadi, banyaknya susunan angkanya adalah = 20. Jadi, banyaknya susunan angka ratusan kelipatan 5 adalah = 40 Jawaban: (E) 8. Perhatikan bahwa, xy = x log xy = x log = y log y = y 1...(1) dan = 5y log y = 1 5y...(2) Dari (1) dan (2) maka diperoleh y 1 = 1 5y y = 1/3 Sehingga diperoleh pula x. = x x = x x = 27. Jadi, x + 3y = = Misalkan sisi panjang dari persegi panjang adalah x dan sisi pendeknya adalah y. Diketahui L = 9L s = 9r s = 3r. Pada gambar dapat dilihat bahwa panjang sisi bujur sangkar besar adalah s = 2y + r 2y = s r = 2r y = r

27 dan sisi panjang dari persegi panjang adalah x = y + r = 2y = 2 Jawaban: (D) 10. Karena melalui titik (a, 0) dan (b, 0) dan a dan b adalah dua bilangan positif pertama yang habis dibagi delapan maka a = 4 dan b = 8 sehingga persamaan parabola pertama: y = A(x 4)(x 8). Kemudian karena melalui (0, 32) maka 32 = A( 4)( 8) A = 1. Jadi y = 1(x 4)(x 8) = x + 12x 32. Parabola ini memiliki titik puncak:, =, () = (6,4). Karena parabola kedua memiliki puncak yang sama maka persamaan parabola kedua adalah: y y = Bx x y 4 = B(x 6). Kemudian karena melalui (0,40) maka 40 4 = B( 6) B = 1 Jadi, persamaan parabola 2 adalah y = 1(x 12x + 36) + 4 y = x 12x + 40 Jawaban: (E) 11. Gradien garis singgung y = 4x x di titik (1,3) adalah m(1) = y (1) = 4 2x = 2. Sehingga diperoleh garis singgung y = 2(x 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva y = x 6x + k maka jelas memiliki gradien yang sama m = y = 2x 6 2x 6 = 2 x = 4 sehingga diperoleh pula y = 2(4 1) + 3 = 9. Akibatnya, 9 = k k = 17. Jadi diperoleh 5 k 1 = 5 16 = Perhatikan bahwa x + 2x 3 x x 6 < x 1 x + 2 x + 2x 3 (x 1) x < x 6 (x + 2) (x + 3)(x 1) (x 1) (x + 2)(x 3) (x + 2) < 0 (x + 3)(x 1)(x + 2) (x 1) (x 3) (x + 2) < 0 (x 3) (x 1)[x + 5x + 6 (x 4x + 3) (x + 2) < 0 (x 3) (x 1)(9x + 3) (x + 2) (x 3) < 0 ( 2) (1) (3) Jadi, {x < 2} 2 < x < {1 < x < 3}. Namun karena ada dalam akar maka:

28 x + 2x 3 (x + 3)(x 1) x = x 6 (x + 2)(x 3) ( 3) ( 2) (1) (3) Jadi, {x 3} { 2 < x 1} {x > 3}. Akibatnya, himpunan penyelesaiannya adalah {x x 3 2 < x < 1 3 } 13. Karena kedua akar negatif maka x + x = < 0 p > 0 dan diskriminan D 0 yaitu 64 12p 0 p artinya p = adalah maksimum. Akibatnya x + x = (x + x ) 2x x = = 6 = 6 p adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 14. Diketahui, r = log a dan K = log b, maka K = 2πr log b = 2π log a Jadi, log b = π. = 2π 2 log b = 2π 15. Titik potong antara kurva dan garis adalah 2x 5 = x + 6x 8 x 4x + 3 = 0 (x 3)(x 1) = 0 x = 3 dan x = 1 Gradien garis singgung kurva pada dua absis titik potong tersebut adalah tan a = m = y (1) = 2x + 6 = 4 tan b = m = y (3) = 2x + 6 = 0 Jadi, tan(a b) = = = Jawaban: (C) Akibatnya, 4 sin(a b) = = 4 17 = Jawaban: (D) 16. Karena A = (a, c) dan B = (b, d) pada kurva maka c = a + a + 3 dan d = b + b + 3. Sehingga gradien dari garis AB adalah c d m = a b = a + a + 3 b b 3 a b = a b + a b (a b)(a + b + 1) = = a + b + 1 a b a b Maka persamaan yang melalui ruas garis AB adalah

29 y (a + a + 3) = m(x a) = (a + b + 1)(x a) Titik potong dengan sumbu y adalah ketika x = 0, yaitu y (a + a + 3) = (a + b + 1)( a) y = a ab a + a + a + 3 = 3 ab Jawaban: (E) 17. Misalkan nilai terkecil x dan terbesar x. Dengan A adalah total nilai tanpa x dan x, perhatikan bahwa A + x = 8,5 29 dan x + A 29 = 8,2 Dengan mengurangi persamaan atas dengan bawah maka diperoleh A + x 29 x + A 29 = 0,3 x x = 0,3 29 x x = 8,7 Jawaban: (E) 18. Karena x + y = k maka x + y adalah akar-akar dari persamaan k k 1 = 0, yaitu x, y = 1 ± (1) 4(1)( 1) Perhatikan bahwa, D B D C = A Maka (1) (BD) (CD) = A. Karena A 0 maka BD CD. = 1 ± 5 2 Jawaban: (1) dan (3) (2) D (B C ) = A. Jika B = C maka A = 0, padahal A 0. Jadi B C. (3) Jika ABD = ACD maka BD = CD (karena A 0 sehingga memiliki invers). Akibatnya, (BD) (CD) = 0 = A. Padahal A 0. jadi ABD ACD. (4) Dari (2) D (B C ) = A B C = DA 20. B 5 cm Jawaban: (4) D 15 o 15 o C Perhatikan bahwa, (1) AD = AC cos 15 = (AB cos 15 ) cos 15 = 5 cos 15 5 sin 15 (2) CD = BC cos 15 = (AB sin 15 ) cos 15 = 5 sin 15 cos 15 A

30 (3) Perhatikan bahwa AD = 5 cos 15 = 5 2 (2 cos 15 ) = 5 2 (cos 30 1) = 5 2 (1 3 1) 2 = < 0 4 Sedangkan CD = 5 sin 15 cos 15 = sin 30 = > 0 Jadi, AD < CD (4) Perhatikan bahwa, BD = BC sin 15 = AB sin 15 = 5 sin 15 = 5 2 (2 sin 15 ) = 5 2 (1 cos 30 ) = = > 0 dan berdasarkan (3) telah diperoleh bahwa AD < 0, maka AD < BD. Jawaban: (2) dan (3)

31 PEMBAHASAN SIMAK UI 2012 MATEMATIKA DASAR Kode: Perhatikan bahwa, cos 2x + cos 4x = 1 2 cos 2x + 2 cos 2x 1 = 1/2 4 cos 2x + 2 cos 2x 3 = 0 (2 cos 2x 1)(2 cos 2x + 3) = 0 cos 2x = 2x = 60 x = 30 Perhatikan pula bahwa sin 4x + 2 sin 6x + sin 8x = sin sin sin 240 = = 0 (a) sin 2x + sin 4x = sin 60 + sin (b) sin x + sin 2x = sin 30 + sin 60 0 (c) cos x + cos 2x = cos 30 + cos 60 0 (d) cos 2x + cos 4x = cos 60 + cos 120 = cos 60 cos 60 = 0 (e) sin 2x + cos 4x = sin 60 + cos 120 = sin 60 cos 60 0 Jawaban: (D) 2. Jika setiap anggota dari {5,6,,20} dikalikan dengan setiap anggota dari {21,22,,30}, maka jumlah dari semuanya adalah S = ( )( ) = 16 2 = S. S = S. S ( ). 10 ( ) 2 = 8( ). 5(42 + 9) = = = Jawaban: (D) 3. Karena f(x) dibagi x bersisa (a + 6) maka (a + 6) = f(0) = (a + b + 1) 6 = b + 1 b = 5 Jadi, f(x) = ax + 6x (a + 6). Akibatnya, agar memotong sumbu x di dua titik berbeda maka diskriminan dari f(x), D > 0, yaitu 36 4a (a + 6) > a + 24a > 0 a + 6a + 9 > 0 (a + 3) > 0 a 3 Jawaban: (C)

32 4. Perhatikan bahwa 2 log x log(3x + 7) + 2 log 2 log x log(3x + 7). 2 x 12x + 28 x 12x 28 0 (x + 2)(x 14) 0 2 x 14 Kemudian karena berada di dalam log maka - x > 0-3x + 7 > 0 x > Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah 0 < x Perhatikan bahwa, x 5 2 x lim x x x x x x 5 2 x = lim x x x 4 x = lim x x x = = = Jawaban: (C) Jawaban: (C) 6. Perhatikan bahwa, tan 2α + cot α = 0 tan 2α = cot α sin 2α cos α = cos 2α sin α sin 2α sin α = cos α cos 2α 2 cos α sin α sin α = cos α (1 2 sin α) 2 sin α = (2 sin α 1) 0 = 1 Persamaan ini tidak konsisten maka tidak ada nilai x yang memenuhi. Jawaban: - 7. Diketahui segitiga awal dengan tinggi t dan alas a, maka L =. Jika tinggi bertambah x maka menjadi t + x, akibatnya agar luas menjadi nya maka, L = L = 1 at 3 2 (a y)(t + x) = at 2 6

33 at (a y) = 3(t + x) at 3at + 3ax at y = a = 3(t + x) 3(t + x) a(2t + 3x) = 3(t + x) Jawaban: (D) 8. Perhatikan bahwa A + B = (A B) = A B. Akibatnya, 2B = A A B = = = Jawaban: (D) 9. Jarak dari A ke C adalah s = v. t, sedangkan jarak B ke C adalah s = v. t. Berdasarkan aturan sinus pada segitiga maka BC sin CAB = AC sin CBA. =.. =. 10. Perhatikan bahwa, = = tan x + 1 tan x tan x + = 1 x + 60 = 135, 315, 495, 675 x = 75, 255, 435 (75 ), 615 (255 ) Karena < x < π 90 = 270 < x < 180 maka x = 75 = π. Kemudian karena x + x Jadi, π (π) < x < atau x < π Artinya a = 5/12 ; b = 1; c = 1/2; dan d = 1/6 Sehingga a d + = + = = = Jawaban: Gradien garis singgung y = 4x x di titik (1,3) adalah m(1) = y (1) = 4 2x = 2. Sehingga diperoleh garis singgung y = 2(x 1) + 3. Karena garis singgung kurva tersebut sama dengan kurva y = x 6x + k maka jelas memiliki gradien yang sama m = y = 2x 6 2x 6 = 2 x = 4 sehingga diperoleh pula y = 2(4 1) + 3 = 9.

34 Akibatnya, 9 = k k = 17. Jadi diperoleh 5 k 1 = 5 16 = Perhatikan bahwa, y = f f f f ff(x) f f f ff(x) f f ff(x) Perhatikan bahwa f(0) = 0 Maka f ff(x) f f(x) f (x) ff(0) = f(0) = 0 f ff(0) = f(0) = 0 dst. y (0) = f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) f (0) = f (0) = 2 = Perhatikan bahwa, xy = x log xy = x log = y log y = y 1...(1) dan = 5y log y Dari (1) dan (2) maka diperoleh y 1 = 1 5y y = 1/3 Sehingga diperoleh pula x. = x x = x x = 27. Jadi, x + 3y = = = 1 5y...(2) Perhatikan bahwa, - Untuk (10,20) maka 3x + 2y = = Untuk (40,20) maka 3x + 2y = = Untuk (20,40) maka 3x + 2y = = 140. Jadi, (40,20) memaksimumkan 3x + 2y.

35 15. Kejadian dimana terpilihnya ketua dari kelas yang lebih tinggi dari sekrtaris jelas akan memberikan pilihan dari kelas yang berbeda jadi kejadian terjadi sekaligus dengan kemungkinannya: (1) Ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas XI = 2.4 = 8 (2) Ketua dari kelas XII dan sekretaris dari kelas X = 2.3 = 6 (3) Ketua dari kelas XI dan sekretaris dari kelas X = 3.4 = 12 Jadi, terdapat 26 kemugkinan. Akibatnya, peluang kejadian di atas adalah P(A) = 26 C = 26 = ! ! 16. Misalkan a nilai terkecil dan b adalah nilai terbesar serta total nilai tanpa nilai terbesar dan terkecil adalah A, maka Jawaban: (E) x = a + A + b 22 = 5 dan rata-rata tanpa a dan b adalah = 4,9 A = 98. Akibatnya, = 5 a + b + 98 = 110 a + b = 12 dengan diketahui jangkauan adalah J = b a = 4 maka 2b = 16 b = 8 Jawaban: (C) 17. Karena kedua akar negatif maka x + x = < 0 p > 0 dan diskriminan D 0 yaitu 64 12p 0 p artinya p = adalah maksimum. Akibatnya x + x = (x + x ) 2x x = = 6 = 6 p adalah nilai minimum. Jawaban: (C) 18. Misalkan A adalah kejadian terambilnya minimal jumlah Perhatikan bahwa 6 koin yang memiliki jumlah minimal 5000 adalah (1) 6 koin 1000 > 5000 maka terdapat C = 1 kemungkinan (2) 5 koin koin 500 maka terdapat C. C = 24 kemungkinan (3) 5 koin koin 200 maka terdapat C. C = 12 kemungkinan (4) 4 koin koin 500 maka terdapat C. C = 90 kemungkinan Jadi total terdapat 127. Akibatnya peluang dari A adalah

36 P(A) = 127 C = 127 = ! Jawaban: (C) 19. Perhatikan bahwa, (x 1) (x 4) < (x 2) (x 5x + 4) (x 2) < 0 x 5x + 4 (x 2)x 5x (x 2) < 0 (x 6x + 6)(x 4x + 2) < 0 Untuk x 6x + 6 = 0 (x 3) = 0 (x 3) = 3 x 3 = ± 3 x = 3 ± 3 Untuk x 4x + 2 = 0 (x 2) = 0 (x 3) = 2 Jadi, diperoleh x 2 = ± 2 x = 2 ± (1) 2 3 < x < 3 3 atau (2)2 + 3 < x < Jawaban: (1) dan (3) 20. Karena x + y = k maka x + y adalah akar-akar dari persamaan k k 1 = 0, yaitu x, y = 1 ± (1) 4(1)( 1) ± 5 = 2 Jawaban: (1) dan (3)