6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI"

Verawati Sutedja
7 tahun lalu
Tontonan:

1 6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah f () = a + b, dengan a, b R, dan a 0 (6.1) Grafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang memotong sumbu- di (, 0) dan sumbu-y di (0, y). Koefisien arah atau gradien m dari fungsi linear merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan perubahan nilai, yang nilainya dapat berharga positif atau negatif. Jika m positif berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah. Perhatikan Gambar 6.1. berikut: Gambar 6.1. Ruas garis AB. Komponen y dari garis AB = y y 1. Sedangkan komponen dari garis AB = 1. Sehingga Perubahan komponen y m Perubahan komponen y y m (6.) Jika garis melalui titik pangkal (0, 0), maka gradien garisnya adalah y m (6.3) 1 Matematika Ekonomi

2 Contoh 1 Tentukan gradien garis yang melalui a. Titik P(, -5) dan titik Q(-9, 3) b. Titik pangkal dan titik A(-, -8). a. Melalui titik P(, -5) dan titik Q(-9, 3) P(, -5) berarti 1 =, y 1 = -5 Q(-9, 3) berarti = -9, y = 3 y y1 3 ( 5) 8 8 m Jadi, gradien garis yang melalui titik P(, -5) dan titik Q(-9, 3) adalah 8 m. 11 b. Melalui titik pangkal dan titik A(-, -8) y 8 m 4 Jadi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(-, -8) adalah m = Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik Perhatikan Gambar 6.. di bawah ini: 4 y B(, y) A(1, y1) Gambar 6.. Persamaan garis lurus. Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat ( 1, y 1 ) dan titik B dengan koordinat bebas, yaitu (, y). Jika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB terdiri astas semua titik (, y) dengan hubungan seperti berikut: y y1 m 1 y y m( ) 1 1 Matematika Ekonomi

3 Artinya, persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik ( 1, y 1 ) adalah: y y 1 = m( 1 ) (6.4) Contoh. Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dengan gradien -. Titik A(-3, 4) berarti 1 = -3, y 1 = 4. Gradien - berarti m = -. Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik ( 1, y 1 ) adalah: y y 1 = m( 1 ) y 4 = - ( (-3)) y 4 = - ( + 3) y 4 = - 6 y = y = - Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dan bergradien - adalah y = Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Perhatikan kembali Gambar 6.1. Gradien garis yang melalui titik ( 1, y 1 ) dan y y1 (, y ) adalah m. Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (6.4) maka diperoleh: y y 1 = m( 1 ) y y1 y y1 ( 1) 1 1 ( ) y y y y y y1 1 y y Artinya, persamaan garis yang melalui dua titik yaitu titik ( 1, y 1 ) dan (, y ) adalah: y y1 1 (6.5) y y 3 Matematika Ekonomi

4 Contoh 3 Perhatikan Gambar 6.3. berikut y 8 B(5, 8) 6 4 A(3, 4) garis l -6-8 Gambar 6.3. Persamaan garis l. Tentukanlah persamaan garis l. Garis l melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8). A(3, 4), berarti 1 = 3, y 1 = 4 B(5, 8), berarti = 5, y = 8 Persamaan garis l yang melalui titik ( 1, y 1 ) dan titik (, y ) adalah: y y1 1 y y y y (y 4) = 4( 3) y 8 = 4 1 y = y = 4 4 y = Jadi, persamaan garis l yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah y = Hubungan Dua Buah Garis Lurus Misalkan diketahui garis k : y = m 1 + c 1 dan garis l : y = m + c, maka berlaku: a. Persamaan garis k sejajar dengan garis l jika m 1 = m. b. Persamaan garis k tegak lurus dengan garis l jika m 1. m = -1. c. Persamaan garis k berimpit dengan garis l jika m 1 = m dan c 1 = c. 4 Matematika Ekonomi

5 d. Persamaan garis k berpotongan dengan garis l jika kedua garis tersebut memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong antara kedua persamaan garis diperoleh apabila k = l. Contoh 4. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(6, ) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(, -5) dan Q(-6, 3). Garis yang melalui P(, -5) dan Q(-6, 3). P(, -5) berarti 1 =, y 1 = -5. Q(-6, 3) berarti = -6, y = 3. Misalkan gradien garis yang melalui titik P(, -5) dan Q(-6, 3) adalah m 1 maka: y y1 3 ( 5) 8 m Misalkan pula gradien garis yang melalui titik A(6, ) adalah m. Karena persamaan garis yang melalui titik A(6, ) dengan garis yang melalui titik P(, -5) dan Q(-6, 3) adalah sejajar, maka m 1 = m = -1. Sehingga persamaan garis dengan gradien m = -1 dan melalui titik A(6, ) adalah: y y 1 = m ( 1 ) y = -1( 6) y = y = y = Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(6, ) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(, -5) dan Q(-6, 3) adalah y = Contoh 5. Carilah titik potong y = 10 dan y = +. Titik potong kedua persamaan diperoleh jika kedua persaman tersebut dipersamakan. Sehingga: 10 = + 3 = 8 = 8/3. Untuk = 8/3, maka diperoleh y = (8/3) + = 14/3. Sehingga diperoleh titik potong kedua persamaan tersebut adalah (8/3, 14/3). Perhatikan Gambar 6.4. berikut: 5 Matematika Ekonomi

6 y y = 10 - (8/3, 14/3) y = Gambar 6.4. Persamaan garis y = 10 dan y = Fungsi Kuadrat Fungsi f: R R yang berbentuk f () = a + b + c, dengan a 0 disebut fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y = a + b + c. Dalam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik potongnya terhadap sumbu-. Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat adalah dengan menggunakan rumus berikut: b D 1, dengan D = b 4ac (6.6) a Jika nilai D = 0, maka hanya terdapat satu akar fungsi kuadrat yaitu b 1 1. Artinya grafik hanya akan memotong sumbu- di satu titik. a b D Jika nilai D > 0, maka terdapat dua akar fungsi kuadrat 1 dan a b D 1. Artinya grafik fungsi memotong sumbu- di dua titik. a Jika D < 0, maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real tidak ada atau grafik tidak memotong sumbu-. 6 Matematika Ekonomi

7 Perhatikan Gambar 6.5. berikut: Gambar 6.5. Kurva fungsi kuadrat f() = a + b + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D. Fungsi kuadrat f () = a + b + c, selalu memiliki nilai ekstrim maksimum atau nilai ekstrim minimum tergantung pada nilai a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Sedangkan jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum. b 4ac y y 4a y Contoh 6 ma min jika a 0 jika a 0 (6.7) Jika y 3 m mempunyai nilai minimum -13/8, tentukanlah harga m. b 4ac ymin 4a 1 3 4() m () m m = 13 m = 1 4 y (-6/8, -13/8) - -3 Gambar 6.6. Gambar fungsi kuadrat y = + 3 ½ dengan nilai minimum -13/8. -4 y = ^ + 3-1/ 7 Matematika Ekonomi

8 Soal Latihan 1. Tentukan titik potong dari a. 4 + y = 1 dan + y = 8. b y = dan 5 + 7y = -. Misalkan titik potong dari soal No.1 adalah ( 0, y 0 ), maka tentukanlah a. 0 y 0 b. 0 + y 0 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut: a. y = + 3 b. y = 4 4. Jika 1 dan adalah akar-akar persamaan kuadrat 6 5 = 0, maka berapakah Jika grafik y = + p + q mempunyai titik puncak (1, ) maka tentukan nilai p dan q tersebut. 8 Matematika Ekonomi

dokumen-dokumen yang mirip

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT

BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya