Ukuran Pusat, Letak, dan Penyimpangan Data

Transkripsi

1 Uura Pusat, Leta, da Peympaga Data Dsusu oleh Putraj Hedawat, S.S., M.Pd., M.Sc. Dr. Scolasta Mara, M.S.. Uura Pemusata Data Data yag telah dumpula dapat dpresetasa dalam betu tabel da gra yag bertujua utu membera gambara yag lebh jelas da lebh mudah dpaham dar data uattat. Sela tu, utu medapata gambara yag lebh jelas megea umpula data ba megea sampel maupu populas mash dperlua uura-uura yag merupaa wal dar umpula data tersebut. Dalam baga aa dbahas uura gejala pemusata, leta, da peympaga. Uura tegah dar seumpula data adalah la tuggal yag represetat bag eseluruha la data atau dapat meggambara dstrbus data tu, hususya dalam hal letaya (loasya). Nla tersebut dhtug dar eseluruha data bersaguta sehgga cederug terleta duruta palg tegah atau pusat setelah data duruta meurut besarya. Oleh area tu, la tuggal tersebut serg damaa uura tedes setral (measures o cetral tedecy) atau uura la pusat (measures o cetral value). a. Rata-Rata da Rata-Rata Terbobot Utu perhtuga selajutya aa dguaa smbol. Nla data uattat dyataa dega smbol,,...,. utu meyataa bayaya data atau obje yag dtelt dalam sampel (uura sampel) dguaa smbol. Smbol rata-rata utu sampel adalah. ) Data tda delompoa

2 Rata-rata htug utu data uattat dperoleh dega membag jumlah la data oleh bayaya data. Rata-rata dar seumpula observas adalah jumlah semua observas dbag baya observas. Des Ja suatu sampel beruura dega eleme,,..., maa rata-rata sampel adalah ( )/ atau Cotoh Berut la hasl uja matemata berturut-turut dar 5 orag sswa SMK 60, 68, 58, 75, 89. Bla data dyataa dalam betu smbol dapat dtuls = 60, = 68, 3 = 58, = 75, da 5 = 89. Dalam hal = Sehgga, la rata-rata uja Matemata = Saat meghtug rata-rata dar suatu umpula data, semua la pegamata daggap sama petg da dber bobot yag sama dalam perhtuga. Dalam stuas d maa la data tda sama petg, dapat dbera bobot yag proporsoal utu setap la data tersebut tergatug pada derajat epetga da emuda dapat dhtug rata-rata terbobot. Des Msal,,..., adalah hmpua buah la da w, w,..., w adalah bobot yag dbera pada masg-masg la tersebut. Maa rata-rata terbobot (rata-rata terbobot) dapat dhtug dega persamaa w w atau w w... w... w w w

3 Cotoh Seorag mahasswa megambl mataulah A dega bobot ss da memperoleh la D = (w =, = ) da mata ulah B dega bobot 3 ss da memperoleh la A = (w = 3, = ) serta mata ulah C dega bobot ss da memperoleh la B = 3 (w3 =, 3 = 3) maa des prestasya adalah ( ) (3 ) ( 3) 3 7 6,83 Perhtuga pembobota juga dapat dguaa utu meghtug rata-rata gabuga dar beberapa hmpua data yag dombasa. Msalya dpuya hmpua data yag terdr atas & jumlah data pegamata dega rata-rata masg-masg adalah da. Rata-rata ombas edua hmpua data dperoleh dega Cotoh 3 Dua elompo sampel masg-masg beruura 6 da meml rata-rata berturut-turut 78 da 83. Maa rata-rata gabuga dapat dhtug dega ) Data delompoa Data yag delompoa da telah dsederhaaa dalam betu tabel dstrbus reues dapat pula dhtug rata-rataya. Harga rata-rata yag dperoleh merupaa harga pedeata, dega aggapa bahwa la yag terleta pada suatu terval elas sama dega harga tt tegahya. Rata-rata yag dperoleh merupaa rata-rata terbobot dega la bobotya sama dega la reuesya. Des 3 Rata-rata dar data yag delompoa adalah 3

4 dega adalah tt tegah terval elas e-, merupaa reues terval elas e-, da meujua bayaya data. Cotoh Detahu peroleha la uja Statsta. Empat sswa memperoleh la 7, lma orag memperoleh la 68, tga sswa memperoleh la 55, satu sswa memperoleh la 78 da dua orag sswa memperoleh la 80. Utu perhtuga rata-rata, dapat dbuat tabel peolog dega meyataa la da meyataa reues utu la yag bersesuaa berut Jumlah Dalam asus bobot adalah reues dar masg-masg data. 039 Sehgga dperoleh 6, 3. 5 Cotoh 5 Detahu data tgg bada atlet baset d Uverstas Neger XXX dalam betu tabel dstrbus reues. Iterval elas 6,5-67, ,5-70, ,5-73, ,5-76, ,5-79,

5 79,5-8, ,5-85, Jumlah Utu meghtug rata-rata, dapat dguaa tabel peolog (olom.) sehgga dapat dhtug = 873 7, Cara la utu meghtug rata-rata data dalam betu tabel dstrbus reues adalah dega cara sad megguaa rumus berut. 0 p c Dmaa p adalah pajag elas terval da 0 adalah salah satu tada elas/la tegah dar terval data yag dplh. Utu tada 0 dber la sad c = 0. Nla tegah yag lebh ecl dar 0 berturut-turut dber la sad -, -, -3 da seterusya. Sedaga la tegah yag lebh besar dar 0 dber sad +, +, +3 da seterusya. Cotoh 6 Perhata embal Cotoh 5. Rata-rata tgg bada atlet baset d Uverstas Neger XXX dega megguaa cara sad dapat dhtug dega meyusu tabel berut. Iterval elas c c 6,5-67, ,5-70, ,5-73, ,5-76, ,5-79, ,5-8,

6 8,5-85, Jumlah 50-6 c 6 0 p , 7, 6 Pada asus dambl la 0 = 75 da la sad utu la adalah c = 0. Selajutya berturut-turut dbera la sad utu masg-masg terval elas dega la tegah urag dar da lebh dar 0. Cara sad haya berlau apabla pajag elas terval semuaya sama. b. Modus Utu meyataa perstwa yag palg baya terjad dguaa uura modus atau serg dsgat Mo. Sehgga, modus dar seumpula data adalah la yag serg mucul atau la yag mempuya reues tertgg dalam umpula data tersebut. Modus sergal dpaa utu meetua rata-rata data ualtat. Msalya serg ddegar: ecelaaa lalu ltas umumya dsebaba oleh elalaa pegemud, ebaara terjad ebayaa area osletg arus lstr, hal merupaa modus dar masg-masg ejada. Modus utu data uattat dtetua dega meetua reues terbaya dar umpula data yag damat. ) Data tda delompoa Cotoh 7 Pada Cotoh, modus la uja Matemata sswa adalah 68 area la 68 mucul palg baya yatu 5 al. ) Data delompoa Utu data yag delompoa da dsusu dalam tabel dstrbus reues maa modus dapat dhtug dega rumus Mo b b p b b 6

7 dega b : batas bawah terval modus p : pajag terval elas modus b : beda reues atara terval elas modus dega terval elas sebelumya b : beda reues atara terval elas modus dega terval elas sesudahya. Dmaa terval elas modus adalah terval yag mempuya reues tertgg. Cotoh 8 Pada Cotoh 5, modus tgg bada atlet bola baset d Uverstas Neger XXX dapat dhtug dega rumus modus data berelompo. Pada Cotoh 5, terval modus terleta pada terval e- dega reues sebaya. Sehgga dperoleh b = 73,5 p = 3 b = 8 = 3 b = 7 = b 3 Jad modus adalah Mo b p 73,5 3 7, b b c. Meda Meda dar seumpula data adalah la yag berada d tegah dar seumpula data tu setelah dsusu da duruta laya. Meda serg dtuls dega Me. Ja la meda adalah Me, maa 50% dar seluruh data laya palg tgg sama dega Me sedaga 50% lag laya palg redah sama dega Me. ) Data tda delompoa Utu data yag tda delompoa, ja jumlah data gajl, maa meda merupaa data palg tegah. Utu data dega jumlah geap, maa setelah 7

8 data dsusu meurut uruta laya, meda adalah rata-rata htug dua data tegah. Cotoh 9 Utu data berjumlah gajl. Data la hasl uja Matemata dar 5 orag mahasswa pada Cotoh membera la: Meda dar data tersebut dperoleh setelah meguruta data mejad Jad Medaya adalah 68. Utu data berjumlah geap. Data berat bada dar 6 orag sswa sebaga berut: Setelah data duruta laya mejad: Me. Jad Medaya adalah , 5 ) Data delompoa Utu meghtug meda data yag telah delompoa dalam betu dstrbus reues dguaa cara terpolas, dega megaggap bahwa data yag jatuh pada suatu terval letaya tersebar merata dalam terval tu. Rumus utu meghtug meda data berelompo adalah dega Me b p F b : batas bawah terval meda yatu elas d maa meda aa terleta : uura sampel atau baya data p : pajag terval elas meda F : jumlah reuas terval elas sebelum terval meda : reues elas meda 8

9 Iterval meda adalah terval dmaa meda tu berada, dperoleh dega cara meghtug la data uruta e- meurut uruta reuesya dar uruta atas e bawah (atau dar bawah e atas). Cotoh 0 Dar Cotoh 5, detahu = 50 maa = 5. Uruta reues dar atas e bawah = 3 Sehgga harga meda terleta dalam terval elas yag e-, yatu pada terval 73,5-76,5 dega reues. Iterval elas yag damaa terval meda. Sehgga dperoleh b : 73,5 : 50 p : 3 F : : F 5 Jad meda adalah Me b p 73,5 3 7, 59.. Uura Leta Data a. Kuartl Kuartl adalah la-la yag membag seumpula data mejad empat baga secara sama setelah data tersebut duruta meurut uruta laya. Ada tga buah uartl, yatu uartl pertama, uartl edua, da uartl etga dsgat dega K, K, da K3. Pembera ama dmula dar la uartl yag palg ecl. Lagah meetua la uartl adalah susu data meurut uruta laya, emuda tetua leta uartl da meghtug la uartl. ) Data tda delompoa Leta uartl e dber lambag K, dtetua dega rumus Cotoh Leta K data e dega,,3. 9

10 Data la hasl uja matemata dar 5 orag sswa pada Cotoh setelah duruta mejad Leta Kuartl I : Leta Kuartl II : Leta Kuartl III : ) Data delompoa data e = data e yatu K 6 5 data e = data e 3 yatu K = Meda = data e = data e yatu K 3 8 Utu megtug Kuartl data yag telah delompoa dalam betu tabel dstrbus reues dguaa rumus berut. dega K F b p dega,, 3. b : batas bawah elas K yatu elas d maa K aa terleta : uura sampel atau baya data p : pajag elas K F : jumlah reuas terval elas sebelum terval uartl : reues elas K Cotoh Kembal pada Cotoh 5. Nla uartl dar data tersebut adalah. Nla Kuartl I Detahu = 50 maa =,5 Jumlah reues terval e da e adalah = 3. Sehgga harga Kuartl I terleta dalam terval e-, yatu 67,5-70,5 dega reues 7. Iterval elas yag damaa terval Kuartl I. 0

11 maa b = 67,5 F = 6 = 7 c = 3 F,5 6 Jad Kuartl I adalah K b p 67,5 3 70, 9 7 Nla Kuartl II Kuartl II : K = Meda =7,59 Nla Kuartl III Detahu = 50 maa 3 = 37,5 Jumlah reues terval e sampa e 5 adalah = 39. Sehgga harga meda terleta dalam terval e-5, yatu 76,5-79,5 dega reues 7. Iterval elas yag damaa terval Kuartl III. maa b = 76,5 F = 3 = 7 Jad Kuartl III adalah 3 F 37,5 3 K 3 b p 76,5 3 77,9. 7 b. Uura Peympaga Data Sela uura gejala pusat da uura leta, mash ada uura la yatu uura peympaga atau uura dspers da serg dsebut uura varas. Uura peympaga meggambara bagamaa berpecarya data uattat. a. Jagaua/retag Retag adalah selsh data terbesar da terecl. Retag = data terbesar data terecl Cotoh 3 Data la hasl uja Matemata dar 5 mahasswa: Maa retag = = 9.

12 Retag atar uartl dapat dhtug dega meghtug selsh atara uartl 3 da uartl. Retag Atar Kuartl = RAK = K3 K Smpaga uartl atau devas uartl atau dsebut pula retag sem atar uartl laya setegah dar retag atar uartl. Smpaga Kuartl = SK = K - b. Rata-Rata Smpaga 3 K Rata-rata smpaga adalah harga rata-rata peympaga tap data terhadap rata-rataya. Besar perbedaaa atara data da rata-rataya adalah harga mutlaya. ) Data tda delompoa Msalya detahu seumpula data hasl pegamata,,..., dega rata-rata. Utu meghtug rata-rata smpaga sebelumya dtetua jara atar data dega rata-rata da dtuls dega smbol. Selajutya jara atara dega rata-rata djumlaha lalu dbag oleh. Maa rata-rata smpagaya adalah Cotoh RS = Dar data la hasl uja Matemata dar 5 sswa dperoleh rata-rata

13 Maa rata-rata smpaga adalah RS = 9, 6. 5 ) Data delompoa Rata-rata smpaga utu data yag delompoa, dhtug dega RS = dega adalah tt tegah teval elas e-, merupaa reues terval elas e-, da meujua baya data. Cotoh 5 Dar Cotoh 5 dperoleh rata-rata adalah X 7, 6. Sehgga, 33,88 Rata-rata smpaga = SR =, Iterval elas - - 6,5-67, ,6 5,8 67,5-70, ,6 39,8 70,5-73,5 7 8,6, 73,5-76, ,36 3, 76,5-79, ,36 6,88 79,5-8, ,36,5 8,5-85, ,36 6,8 Jumlah 50 33,88 c. Varas da Smpaga Bau Uura smpaga yag palg baya dguaa adalah smpaga bau. Pagat dua dar smpaga bau damaa varas. Varas sampel 3

14 ddesa sebaga jumlah uadrat devas terhadap rata-rata sampel dbag dega. ) Data tda delompoa Varas utu data yag tda delompoa, dapat dhtug dega s atau s Smpaga bau sampel ddesa sebaga aar post dar varas sampel, yatu : s = s. Cotoh 6 Dar data la hasl uja Matemata dar 5 sswa s ,. Varas = 5 Jad, smpaga bau adalah s s 58,5, 59. ) Data delompoa Varas utu data yag delompoa, dapat dhtug dega s atau s Smpaga bau sampel ddesa sebaga aar post dar varas sampel, yatu : s = s. Cotoh 7 Data tgg bada atlet bola vol d Uverstas Neger XXX.

15 Iterval elas 6,5-67, ,5-70, ,5-73, ,5-76, ,5-79, ,5-8, ,5-85, Jumlah Varas : s s , , 36 Sehgga smpaga bau data = s = s = 5,5. Raguma. Uura Pemusata Data a. Rata-Rata da Rata-Rata Terbobot Data tda delompoa ( )/ atau Data delompoa b. Modus Modus dar seumpula data adalah la yag serg mucul atau la yag mempuya reues tertgg dalam umpula data tersebut. Data tda delompoa, modus utu data uattat dtetua dega meetua reues terbaya dar umpula data yag damat. 5

16 Data delompoa Mo b b p b b c. Meda Meda dar seumpula data adalah la yag berada d tegah dar seumpula data tu setelah dsusu da duruta laya. Data tda delompoa, ja jumlah data gajl, maa meda merupaa data palg tegah, data dega jumlah geap, maa setelah data dsusu meurut uruta laya, meda adalah rata-rata htug dua data tegah. Data delompoa. Uura Leta Data a. Kuartl Me b p F Kuartl adalah la-la yag membag seumpula data mejad empat baga secara sama setelah data tersebut duruta meurut uruta laya. Data tda delompoa Leta uartl e : Leta K data e dega,,3. F Data delompoa K b p dega,, Uura Peympaga Data Uura peympaga meggambara bagamaa berpecarya data uattat. a. Jagaua/retag Retag = data terbesar data terecl Retag Atar Kuartl = RAK = K3 K 6

17 7 Smpaga Kuartl = SK = 3 K - K b. Rata-Rata Smpaga Rata-rata smpaga adalah harga rata-rata peympaga tap data terhadap ratarataya. Besar perbedaaa atara data da rata-rataya adalah harga mutlaya. Data tda delompoa RS = Data delompoa RS = c. Varas da Smpaga Bau Varas sampel ddesa sebaga jumlah uadrat devas terhadap rata-rata sampel dbag dega. Data tda delompoa s atau s Data delompoa s atau s Smpaga bau: s = s.