Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

Transkripsi

1 SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Bentuk :, dimana,,, dan b adalah konstanta real. Sistem persamaan linier adalah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier. Bentuk : Atau dalam bentuk : Atau dimana : A disebut matriks koefisien X disebut matriks peubah B disebut matriks konstanta.. Contoh 1 : FMIPA UAD membeli sebuah Laptop dan 2 PC seharga 5 jt. Jika yang dibeli 3 laptop dan 1 PC maka harganya 10 jt. Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

2 Missal x = laptopp dan y = PC, maka x + 2y = x + y = Atau dapat ditulis dalam bentuk. SPL AX=B SPL non Homogen B 0 SPL Homogen B = 0 Mempunyai Solusi(Konsisten) Tidak mempunyai Solusi Selalu mempunyai solusi Solusi Tunggal (tepat satu solusi) Tak hingga banyak solusi Solusi trivial xi =0 TAk hingga banyak solusi Solusi SPL adalah himpunann bilangan real yang jika disubstitusikan pada peubah dalam suatu SPL akan memenuhi nilai kebenarann SPL tersebut. Untuk SPL x + 2y = x + y = Maka { x = ,, y = } adalah solusi SPL tersebut. Untuk suatu SPL terdapat tiga kemungkinan terkait dengan solusi: - - SPL mempunyai tak hingga banyak solusi SPL mempunyai solusi tunggal

3 - SPL tidak mempunyai solusi Ilustrasi solusi SPL (untuk SPL 2 x 2, SPL dengan 2 persamaan dan 2 peubah) Dalam grafik, solusi SPL adalahtitik potong dari kedua garis. Pada gambar (a) terlihat kedua garis sejajar sehingga tidak mempunayi titik potong, jadi tidak ada solusi. Pada gambar (b) kedua garis berpotongan tepat di satu titik, jadi SPL punyai solusi tunggal. Pada gambar (c) kedua garis berhimpit, sehingga SPL punya banyak tak hingga solusi. Contoh 2: (Silakan anda verfikasi) a. SPL yang punya tepat satu solusi b. SPL yang tidak punya solusi c. SPL yang punya tak hingga banyak solusi Mencari solusi SPL Solusi SPL dengan Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi baris elementer (OBE)

4 Sebelum nya kita tinjau mengenai Operasi Baris Elementer (OBE). Ada tiga jenis OBE, yaitu: 1. Menukarkan satu baris dengan baris lain 2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta nonnegative 3. Menjumlahkan hasil perkalian suatu baris dengan knstanta nonnegative dengan baris lain. 3 2 Contoh : Misalkan OBE 1. ( baris pertama ditukar dengan baris kedua) diperoleh OBE 2. ½ b 1 ( baris pertama dikalikan ½ ) diperoleh OBE 3. ½ b 1 + b 3 (setengah kali baris pertama ditambahkan ke baris ketiga) diperoleh Beberapa istilah dalam matriks yang perlu diketahui: Misalkan diberikan matriks Baris tak nol adalah baris yang memuat unsur tak nol. Untuk matriks B diatas baris pertama dan kedua adalah baris tak nol. - Baris nol adalah baris yang semua unsurnya nol. Baris ketiga pada matriks B adalah baris nol - Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris kedua matriks B adalah unsur pertama tak nol pada masing-masing baris. - Bilangan 1 pada baris pertama kolom pertama dinamakan satu utama.

5 Sifat matriks hasil OBE: 1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 ( satu utama) 2. Baris yang lebih rendah ( urutan dibawahnya) memuat satu utama yang lebih ke kanan. 3. Jika ada baris nol, maka diletakkan pada baris terakhir. 4. Pada kolom yang memuat unsur satu utama, maka unsur yang lain adalah nol. Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3 maka dinamakan bentuk eselon baris dan proses utuk memperoleh matriks eselon baris ini dinamakan Eliminasi Gauss. Jika suatu matriks memenuhi sifat 1,2,3, dan 4 maka dinamakan bentuk eselon baris tereduksi dan proses utuk memperoleh matriks eselon baris tereduksi ini dinamakan Eliminasi Gauss-Jordan. Contoh 3 : Bentuk eselon baris Bentuk eselon baris terseduksi

6 Selanjutnya akan dicari solusi SPL dengan OBE. Langkah: - Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar (Augmented Matrix) - Lakukan OBE sampai menjadi bentuk eselon baris /eselon baris tereduksi. Contoh 4: Selesaikan SPL Jawab : x + 2y = 5 3x + y = 10. Dalam bentuk matriks yang diperbesar Selanjutnya kita lakukan OBE Persamaan yang besesuaian / x + 2y = 5 3x + y = 10 x + 2y = 5-5y = -5 x + 2y = 5 y = 1 Sampai disini kita telah mendapatkan betuk eselon baris (proses eliminasi Gauss). Dengan substitusi mundur kita dapatkan: y = 1 x + 2y = Jadi solusi SPL adalah 3,.

7 Jika diinginkan bentuk eselon baris tereduksi (proses eliminasi Gauss-Jordan) maka dari langkah terakhir diatas perlu dilanjutkan sebagai berikut: merupakan bentuk eselon baris tereduksi, yang menunjukkan solusi SPL, yaitu 3,. Contoh 5: (SPL dengan solusi tunggal) Tentukan solusi SPL dengan eliminasi Gauss-Jordan 3 1. Jawab: Dalam bentuk matriks yang diperbesar SPL menjadi Selanjutnya dengan OBE / Jadi diperoleh solusi SPL tersebut adalah, 3,.

8 Contoh 6: (SPL punya banyak solusi) Selesaikan SPL Jawab: Dari sini terliha peubah bebas yang tidak memuat unsur kunci adalah. Persamaan baru yang sesuai adalah 3. Selanjutnya kia berikan nilai parameter tertentu pada peubah bebas tersebut, kemudian substitusikan pada persamaan baru. Misalkan. Dengan t bilangan real (konstanta), maka Degnan demikian solusi SPL adalah 3, untuk sebarang bilangan real t. Jika diambil t = 0, maka salah satu penyelesaiannya adalah 3, 0. Pembaca dapat mencoba untuk t yang lain. Contoh 7 : (SPL tidak konsisten/tidak punya solusi) Selesaikan SPL

9 Jawab: Matriks yang diperbesar: Dengan OBE Dari hasil ini diperoleh persamaan , yang tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi SPL ini tidak punya solusi. Solusi SPL dengan invers matriks Perhatikan SPL Atau. Jika kita kalikan kedua ruas SPL di atas dengan, diperoleh:. Sebelum menyelesaikan SPL ini dengan invers matriks, kita perlu ingat bahwa suatu matriks A mempunyai invers jika det 0. Contoh: Selesaikan SPL

10 Jawab: Perhatikan bahwa Jadi A punya invers, yaitu Dengan demikian diperoleh = Jadi solusi SPL di atas adalah 3,,. Solusi SPL dengan Aturan Crammer Langkah dalam memyelesaikan SPL menggunakan Aturan Crammer adalah: Langkah 1. Hitung determinan A Langkah 2. Tentukan, yaitu matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B. Langkah 3. Tentukan det. Langkah 4. Solusi SPL adalah det det. Contoh: Selesaikan SPL

11 Menggunakan aturan Carmmer. Jawab: Perhatikan det(a), Sehingga, det det det det dan det det Jadi solusi SPL di atas adalah 3,,.. SPL Homogen SPL homogen berbentuk AX = 0. SPL homogen selalu punyai solusi, yaitu salah satu dari dua kemungkinan berikut: 1. Solusi trivial ( 0, untuk semua i. 2. Tak hingga banyak solusi. Suatu SPL homogen akan memiliki solusi tak hingga banyak (nontrivial) jika determinan matriks koefisiennya sama dengan nol, yaitu jika det 0.

12 Contoh : SPL homogen dengan solusi trivial Silakan anda coba sebagai latihan. Contoh: SPL homogen dengan solusi tak hingga banyak Solusi dari SPL ini adalah,,,. Silakan anda coba. SOAL Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jordan: