BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU

Transkripsi

1 BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU

2

3 BERBAGAI MODEL MATEMATIKA BERBENTUK PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA TINGKAT SATU Budiyono Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Abstrak Untuk mengetahui peranan matematika dalam menyelesaikan masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara keseluruhan. Tahapan penyelesaian masalah ini biasa dikenal dengan nama masalah permodelan dan suatu tahapan penyelesaian dengan memakai teori matematika mulai digunakan disebut model matematika. Berbagai model matematika yang mempunyai bentuk persamaan diferensial biasa tingkat satu yang disajikan dalam tulisan ini di antaranya adalah L masalah laju perubahan sederhana, masalah benda jatuh bebas, masalah rangkaian listrik, masalah tabungan pendapatan, investasi, dan masalah hutang Domar. Kata Kunci: model matematika, persamaan diferensial memahami Pendahuluan Dalam berbagai disiplin ilmu, penggunaan matematika telah demikian luasnya. Matematika mempunyai peranan yang sangat penting dan memberi sumbangan yang besar bagi perkembangan ilmu pengeta-huan dan teknologi. Penyebabnya adalah matematika mempunyai logika yang konsisten, sistimatika dan konstruksinya dapat dijadikan alat. Juga memberi gagasan untuk keadaan nyata dan mengungkap rahasia alam. Berbagai masalah nyata dalam disiplin ilmu lain proses penyelesaiannya memerlukan matematika yang disertai dengan berbagai metode dan tekniknya. Untuk

4 mengetahui seberapa peranan matematika dalam penyelesaian masalah nyata, perlu dipelajari masalahnya secara menyeluruh. Tahapan penyelesaian masalah nyata disebut sebagai masalah permodel- Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu 11 an. Suatu tahapan penyelesaian di Maksudnya, mana teori matematika mulai digusymbol nakan disebut model matematika. tika,sehingga dan dalam lambang Pada umumnya, masalah permenuliskannya matemadiperoleh beberapa persamaan matematika atau bentuk modelan muncul di dunia nyata lainnya. sebagai pengamatan. berubah menjadi model matematika,

5 Pengamatan itu dapat dilakukan di dan yang perlu diperhatikan pada laboratorium atau di alam bebas, model sampai pada gejala yang nampak terbaik. Pemilihan model matemasetiap hari. Penyelesaian masalah tika yang terbaik mempunyai hara-pan nyata, dapat memberikan penyelesaian yang hasil suatu pembentukan modelnya Selanjutnya matematika model dipilih yang melalui beberapa tahap. Tahap yang mendekati pertama adalah membuat pengama- Tahap ke-5 adalah menyele-saikan tan intuitif dan memeriksa kesamodel matematika, yaitu menentukan maannya dengan sistim lain yang

6 penyelesaian matema-tikanya. Tahap telah diketahui sampai memperoleh ke-6 adalah mem-buat kesimpulan berbagai dan dugaan. Tahap kedua, keadaan real dugaan sebenar-nya. dari analisis mencoba merumuskan masalahnya matematikanya. Tahap ke-6 adalah sampai pada konsep yang akan membuat tafsiran atas penye-lesaian digunakannya. Tahap yang ke-3, baru tentang masalah nyata. Tahap mengumpulkan informasi sebanyakyang banyaknya yang berhubungan dengbandingkan hasil penafsiran yang an masalahnya. Dari sini kemudian didapat dengan keadaan nyata dan

7 dipilih beberapa yang penting untuk menjelaskan menyederhanakan masalah. Tahap penyimpangan yang terjadi. yang ke-4 adalah menyatakan model real dalam bahasa matema-tika. terakhir Jika adalah perbedaan terjadi memataupun penyimpangan yang besar, harus diadakan pengu- 12 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu langan kembali proses permodelbiasa dapat ditentukan tingkat persaannya dengan meninjau setiap langmaannya. Jika penyelesaian umum kah yang telah dilaksanakan. Kemudiketahui, maka dengan mengelimidian pembentukan model real dan nasi parameternya melalui operasi model turunan biasa, kita dapat menentukan matematikanya

8 diperbaiki. Setelah proses perbaikan ini dilaksapersamaan diferesial. nakan, diperhatikan lagi penyimpangannya. Dalam hal terjadi penyimpangan yang perlu Metode pemisahan peubah dianalisis faktor penyebabnya sedipakai untuk mencari penyelehingga saian persamaan diferensial bidari kecil, a. Model Pemisahan Peubah hasil ini didapat informasi yang berguna. asa. Bentuk persamaan biasa linier tingkat satu adalah : Persamaan Diferensial Biasa Tingkat Satu Persamaan diferensial adalah

9 dy = f ( x, y) atau y 1 = f ( x, y) dx atau F (x,y,y1)= 0 suatu persamaan yang melibatkan suatu fungsi beserta turunannya. atau F (x,y, dy )=0 dx Untuk fungsi dengan sebuah peu-bah Jika persamaan diferen-sial real, turunan yang terlibat adalah biasanya ditulis dalam ben-tuk y1 turunan = f (x.y) dengan mani-pulasi biasa, sehingga dise-but persamaan diferensial biasa. aljabar dapat ditulis dalam bentuk Penyelesaian persamaan dife- : rensial biasa terdiri dari penye-lesaian P(x) + q(y) dy = 0 umum, atau penyeleaian khusus

10 dan penyelesaian singular (jika ada). Dari banyaknya parameter p(x) dx + q (y) dy = 0 pada penyelesaian persamaan diferensial Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu 13 Dalam kasus p(x) dan q(y) fungsi elementer, maka penyelesaiannya diperoleh mengintegralkan c. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu dengan Persamaan diferensial lini-er ruas tingkat satu mempunyai bentuk kedua umum : persamaan itu, didapat : p(x) dx + q(y) dy = C A(x) y1 + B(x)y = C(x).A(x) 0 Penyelesaian umum persamaan dengan A,B dan C kontinu pada diferensialnya adalah: irisan ketiga daerah

11 definisi P(x) + Q(y) = C rensial itu juga dapat ditulis dalam dengan P(x) = p(x) dx dan bentuk : Q(y) = q (y) dy y1 + p (r) y = q (x) dengan p dan q kontinu pada b. Persamaan Diferensial irisan kedua daerah deferensial. Homogen Bertingkat Satu Persamaan yang fungsi tersebut. Persamaan dife- mempunyai bentuk : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 disebut persamaan diferensial homogen tingkat satu jika M dan N adalah fungsi homogen yang berderajat sama. Persamaan itu dapat ditulis dalam bentuk : M (tx, ty) t n M (x, y) F(x,y)== N (tx, ty) t n N (x, y) = fl (x,y) = t f (x,y) Cara penyelesaiannya deng-an menggunakan Substitusi = y atau y = x x Penyelesaian persamaan itu adalah dengan cara mengalikan kedua ruas persamaan deferensialnya dengan faktor p (x)dx didapat : p (x)dx => y1 = p (x)dx p(x)y = p (x)dx. q(x) 14 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu Ruas kiri bentuk di atas yaitu saian persamaan diferensial ekp (x)dx.q(x) dapat ditulis sebagai

12 sak adalah suatu fungsi dengan d ( p (x)dx y), ini berakibat : dx sebuah parameter yang berben-tuk F (x,y) = C. d ( p(x)dx.y) = p(x)dx.q(x) dx Penyelesaian rensialnya persamaan diperoleh mengintegralkan difedengan kedua pada persamaan deferensialnya menghasilkan bentuk yang da-pat disebut faktor laju perubahan yang sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu. masalah seperti itu biasa disebut masalah laju perubahan yang sederhana. integrasi. d. Persamaan Diferensial Eksak Persamaan deferensial yang M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0 disebut eksak jika terdapat fungsi tersebut, dimisalkan besarnya popup = P (t), P>0 Besarnya laju perubahan populasi pada saat t dapat dinyatakan z = F (x,y) sehingga sebagai : dz = d F (x,y) = M (x,y) dx + N (x,y) dy persamaan Untuk menyelesaikan masalah lasi pada saat t adalah : mempunyai bentuk: diferensial eksak diberikan oleh teorema berikut : Misalkan fungsi dua peubah M, N,

13 Diketahui suatu populasi yang setiap saat besarnya berubah dengan Faktor yang setelah dikalikan Ciri hana ruas bentuk itu. diselesaikan Masalah Laju Perubahan SederdN dm dan. Jadi penyeledy dx dp d (Pt ) = dt dt Disebabkan bahwa laju perubahan populasi setiap saat itu sebanding dengan besarnya populasi pada saat itu, maka terdapatlah konstan k = 0 sehingga: Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu 15 P= Masalah Benda Jatuh Bebas dp = kp. k = 0 dt Apabila suatu benda dengan Pada masalah ini, k > 0, jika P massa m jatuh bebas, maka selain bertambah dan k < 0 jika k bergaya berat benda W = mg, benda itu kurang. Selanjutnya kita selesaikan juga mengalami hambatan udara yang persamaan diferensial yang terakhir menurut dengan menggunakan metode pemi-

14 berbanding lurus dengan kuadrat sahan peubah : kecepatannya. Apabila besarnya kecepatan dp = k.dt p benda tersebut pada saat t adalah v dp = k.dt p adalah b, maka besarnya hambatan dan terdapat gaya lain yang mempe- P = Ckt.CC1 ngaruhi gerakan benda, maka mekt P = C e.c > 0 besarnya nurut Hukum Kedua Newton, massa populasi pada saat t berbentuk fungsi eksponensial P = P (t) = C e kt.c > 0 memperhatikan perbandingannya Dengan mengandalkan bahwa tidak P = e kt+c1 Ternyata konstanta udara adalah U, maka U = bv². ln P = kt + C1 Dengan

15 penelitian bentuk kali percepatan sama dengan gaya diperoleh persamaan diferensial. m= fungsi itu, kita mengatakan bahwa populasinya terbentuk secara eksponential. Selanjutnya, jika diketadv = mg bv² dt dan V (o) = Vo Kita selesaikan persamaan hui dua data untuk besarnya P pada diferensial itu dengan peubah bebas t saat yang berbeda, maka kita dapat dan peubah tidak bebasnya v. Akan menentukan besarnya konstan C dan diperoleh informasi tentang sifat v k. sebagai fungsi dari t, yaitu besarnya kecepatan pada setiap saat. Dari 16 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu bentuk ini kita dapat mem-berikan oleh bahwa tafsiran fisisnya. sepanjang induktor berbanding lurus dengan Masalah Listrik besarnya laju daya

16 perubahan EL arus I, dinyatakan dengan notasi matema- Kita mempunyai suatu rangtika sebagai : kaian listrik yang terdiri dari daya EL = L. gerak listrik. E (t) vol, tahanan dl dt (resistansi) R ohm dan induktansi L dengan konstanta perbandingan L Henry disebut induktansi. seperti ditunjukkan pada gambar berikut : Menurut R jumlah aljabar hukum dari Kirchoff, daya yang dihasilkan sepanjang suatu tahanan tertutup adalah nol, atau besarnya E(t) S

17 daya yang diberikan pada suatu rangkaian tertutup sama dengan jumlah sisa daya pada rangkaian S = saklar L Apabila saklar pada rangkaian tersebut. Diperoleh matematika: ditutup maka terjadi aliran arus litrik EL + ER = E (t) pada rangkaian tersebut. Menurut yang hukum Ohm, besarnya daya ER deferensial sepanjang resistor berbanding lurus dengan arus sesaat I. Dinyatakan dengan notasi matematika sebagai : ER = R.I Dengan konstanta perbandinghubungan memberikan L persamaan dl + RI = E (t) dt Atau dl R I + I= E (t) dt L L an R disebut tahanan (resistansi). Model matematika rangkaian Dari eksperimen (percobaan) diperlistrik ini berbentuk persamaan dife-

18 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu 17 rensial linear dengan peubah bebas t dan I sebagai peubah tidak bebas-nya. Penyelesaian persamaan dife-rensial langsung marginal tersebut I = I (t), yang menyatakan dengan dy, dinyatakan dengan: dt I (t) = g. besarnya arus listrik pada setiap saat. penda-patan dy... (2) dt Konstanta g diharapkan lebih besar Masalah Tabungan dari pada nol dan merupakan nilai Masalah tabungan S, pendabanding pertambahan modal terhapatan y, dan investasi I model dap pendapatannya, dinyatakan sematematikanya dibuat oleh Domar bagai: dan Harrod. Dengan persamaan g= differensial, maka model ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Tabungan S suatu masyarakat

19 Idt dk = dy dy dengan dk = I ; dt = pendapatan modal K. pada waktu t adalah fraksi tertentu s Menurut definisi maka tabungdari pendapatannya y pada waktu itu, an yang terealisasi masyarakat adadinyatakan sebagai : lah pertambahan kekayaannya. Besarnya sama dengan pendapatan S (t) = s. y (t) (1) dengan anggapan bahwa tabungan yang diinginkan dan tabungan yang terealisasi sama adanya. Fraksi s letaknya antara nol dan satu merupakan kecenderungan marginal atau rerata untuk menabung. para harus sama, sehingga S ter-realisasi = I terealisasi. Pada umum-nya tabungan yang diinginkan tidak perlu sama dengan tabungan teren-cana sehingga: S terrealisasi = S terencana Investasi I yang diinginkan atau direncanakan dikurangi konsumsi, maka kedua-nya entrepreneur masyarakat pada waktu t ber-banding = I terrealisasi. Investasi terealisasi yang sama dengan tabungan terealisasi itu dapat 18 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu dihitung dengan rumus (1) dan menyatakan pengaruh belanja defi-sit

20 investasi terencana dapat dihitung atas pendapatan nasional. dengan rumus (2). Dimisalkan Para entrepreneur masya- rakat untuk mencegah pengangguran diambil kebijaksana-an investasi belanja defisit. Defisit dd dalam terencana = investasi terrealisasi. Ini jangka waktu dt berbanding langdinyatakan sebagai : sung dengan dt dan dengan pandamenginginkan agar S (t) = I (t)... (3) patan nasional y, sehingga hubung-an yang dengan persamaan (1) dan (2) ini menjadi persamaan. g= dapat dy = S. y (t) dt persamaan dalam

21 dd = k y dt dd = ky (1) dt Persamaan yang terakhir ini merupakan dinyatakan deferensial Defisit dd ditutup dengan tingkat satu yang peubahnya dapat pinjaman, dipisahkan menjadi : merupakan hutang nasional. Persady S = dt y g maan (1) menyatakan bahwa laju naik demikian D hutang nasional berbanding langsung Penyelesaian umumnya adalah : S g = t = lnc y y = Ce dengan dengan tetapan pendapatan k nasi-onal adalah y. persentase pendapatan nasional yang dipinjam S t y

22 negara. Dalam model matematika itu Masalah Hutang Model matematika perlu masalah hutang ini biasa disebut sebagai model hutang domar. Model ini dimisalkan lagi bagaimana pendapatan nasional y berubah dengan waktu t, maka diandaikan : Y = at + yo. (2) Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu 19 Dengan a = konstanta, dan yo bahan sederhana, masalah benda = pendapatan pada waktu t = a. jatuh, masalah rangkaian listrik, substitusi masalah tabungan pendapatan dan (2) dalam (1) menginvestasi, masalah hutang dan lainhasilkan persamaan deferensial. lain. dd = k at + k yo dt Daftar Pustaka

23 Penyelesaian umumnya adalah : D = ½ k at² + ky ot + C Penutup Persamaan diferensial ada-lah salah satu cabang matematika yang banyak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah yang dapat dimodelkan. Alat untuk mengetahui kelakuan maupun sifatsifat masalah-masalah yang ditinjau digunakan persamaan deferensial. Persamaan deferensial yang paling sederhana adalah persamaan deferensial tingkat satu. Persamaan ini dapat digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah laju peru- Ayres. F Theory and Problem Of Differential Equation. New York : Schaum s Out Line Series. Mc Graw Hill. Johannes H, Budiomo Sri Handoko Pengantar Matematika untuk Ekonomi. Jakarta : LP3ES. Martono. K Kalkulus Persamaan Diferensial Biasa. Bandung : ITB. Nababan Pendahuluan Persamaan Diferensial Biasa. Jakarta. Karunika. Simmons. G.T Differential Equations With Applica- tions and Historical Notes. Tata Mc.Graw: Hill Publishing. 20 Budiyono: Berbagai Model Matematika Berbentuk Persamaan Diferansial Tingkat Satu

24