Persamaan Diferensial

Transkripsi

1 Pertemuan I Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY September 8, 2016

2 Skydiver Figure: Penerjun Payung

3 Skydiver Asumsi untuk pergerakan skydiver 1 gaya gravitasi 2 gaya hambat karena atmosfer Hukum Newton II mg kv 2 = m d 2 v dt 2

4 Population Figure: Pertumbuhan Populasi

5 U.S Census

6 Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio.

7 Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio. Asumsi Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya.

8 Population Thomas Maltus, An Essay on the principle of Population, 1798 Population, when unchecked, increases in a geometrical ratio. Asumsi Laju pertumbuhan dari populasi proporsional terhadap populasinya. Model dp dt = kp, P > 0

9 Tipe Variabel Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1 Variabel independent

10 Tipe Variabel Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1 Variabel independent 2 Variabel dependent

11 Tipe Variabel Tiga tipe dasar variabel yang digunakan dalam model persamaan diferensial adalah 1 Variabel independent 2 Variabel dependent 3 Parameter

12 Denisi adalah persamaan yang memuat satu atau lebih variabel dependent terhadap satu atau lebih variabel independent. Contoh 1 d 2 y dx 2 2 d 4 x dt 4 + xy + 5 d 2 x dt 2 3 v s + v t = v ( dy dx ) 2 = 0 + 3x = sin t 4 2 u x u y u z 2 = 0

13 Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Elementer (PDE)

14 Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Denisi Elementer (PDE) PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent.

15 Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Denisi Elementer (PDE) PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent. Parsial (PDP)

16 Klasikasi berdasarkan banyaknya variabel independent, persamaan diferensial dibagi menjadi dua jenis yaitu : Denisi Elementer (PDE) PDE adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap satu variabel independent. Denisi Parsial (PDP) PDP adalah persamaan diferensial dari satu atau lebih variabel dependent terhadap lebih dari satu variabel independent.

17 Klasikasi Berdasarkan sifat linearitasnya, persamaan diferensial juga dibagi menjadi dua yaitu : Contoh d 2 y dx 2 d 2 y dx 2 d 2 y Linear Nonlinear + 5 dy dx + 6y 2 = dy dx ( + ) 6y = dy dx 2 dx + 6y = 0 d 2 y dx 2 + 5y dy dx + 6y = 0

18 Order Order dari suatu persamaan diferensial adalah nilai turunan tertinggi dari suatu persamaan difereneial. Contoh d 2 y dx 2 d 2 y dx 2 d 2 y + 5 dy dx + 6y 2 = dy dx ( + ) 6y = dy dx 2 dx + 6y = 0 d 2 y dx 2 + 5y dy dx + 6y = 0

19 Solusi Persamaan diferensial order n secara umum dapat dinyatakan dalma bentuk F [ x, y, dy dx,, d n ] y dx n = 0 (1) dengan F adalah fungsi real. Fungsi f sedemikian sehingga y = f (x) memenuhi Persamaan 1 disebut dengan solusi eksplisit. Relasi g (x, y) = 0 disebut solusi implisit jika memenuhi Persamaan 1.

20 Contoh Butkikan bahwa fungsi f yang terdenisi di setiap bilangan real x f (x) = 2 sin x + 3 cos x merupakan solusi eksplisit dari persamaan diferensial d 2 y dx 2 + y = 0

21 Nilai Awal dan Syarat Batas Figure: Syarat tambahan

22 Soal 1 hitunglah derivatif dari y = e 2t cos 3t

23 Soal 2 Hitunglah derivatif dari y = t 1 t 2

24 Soal 3 Tentukan bentuk kurva yang diparametrisasi di bidang-xy berikut : x = 3 sin 2t, y = cos 2t, 0 t π

25 Soal 4 Dari kelima fungsi berikut, yang merupakan fungsi naik pada interval 0 < t < 1 adalah 1 1 t 2 2 e t 3 2e 2t e t cos πt 5 t 2 1

26 Soal 5 π Nilai integral tertentu π 2 cos t dt adalah 2

27 Soal 6 Hitunglah nilai integral berikut : x 2 ( x )3 dx

28 Soal 7 Hitunglah integral berikut : dt = t

29 Soal 8 Jika f (t) = 12e 2t + 18 sin 3t dan f (0) = f (0) = 3, maka f (t) =...

30 Soal 9 Tentukan kemiringan dy dt x = e t, y = 1 + t 2 di t = 3 untuk garis singgung kurva

31 Interpretasi hasil Interpreting your score: Skor Interpretasi 8-9 Anda sudah siap belajar 6-7 Pelajari kembali soal-soal yang jawaban Anda salah 5 ke bawah Anda disarankan mempelajari kembali materi prasyarat

32 Ross, S.L, Dierential Equations, 1984, J. Willey, New York Boyce, W.E., dan Diprima, R.C. Elementary Dierential Equations dan Boundary Value Problems, 1992, J. Willey, New York. Zill, Dennis G., Cullen, Michael R Dierential Equations with Boundary-value Problems. Fourth Edition. USA : Brooks/Cole Publishing Company. Trench, W.F Elementary Dierential Equations.