Bab 7 Persamaan Differensial Orde-2 Non Homogen

Transkripsi

1 Metode Matematika Astronomi- Bab 7 Persamaan Differensial Orde- Non Homogen 7. Persamaan Differensial Orde- Homogen 0 Bentuk Umum a b cy ab, dan c konstanta, persamaan ini dapat juga ditulis sebagai : ad y bdy cy ad bd c y ( ) 0 d d D, D d d Untuk mencari solusi lakukan sebagai berikut. Cari akar persamaan karakteristik dengan rumus " abc " ad bd c 0 D. Solusi Umum b b 4ac a D D ce ce, bila D D y ce ce, bila D D 3. Gunakan rumus Euler, bila akar karakteristiknya imajiner i Contoh : i e cos isin. p.d : 3 4y 0, cari akar persamaan karakteristik D 3D 4 0 D ( 4) ( 4) D D y c e c e atau y e c e c e Carilah solusi persamaan differensial homogen; Persamaan karakteristik D D D D 0 ( D ) 0 KK-Astronomi ITB Page 7- y 0

2 Metode Matematika Astronomi- Solusinya : y ce ce ( c c) e 3. Cari solusi p.d Persamaan karakteristik : D i, D i Gunakan rumus Euler: 5y D D 5 0 D y e c e c e i i y e c Cos isin c Cos isin y e d Cos d Sin e CoskCos SinkSin e Cos( k) Dengan k suatu konstanta, ingat hubungan; ( ) 7. Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Bentuk umum : p( ) Q( ) y R( ) (*) Dimana, P(), Q(), dan R() dapat juga berwujud suatu konstanta Solusinya : y = y h + y k Dengan ; y h solusi homogen, dicari dengan mengambil R() = 0 y k solusi khusus, dicari dengan mengambil bentuk y k R() dan kemudian disubstitusi pada (*), cara ini disebut metoda koefisien tak tentu Tabel 7- Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari y k No Bentuk R() yk yang diambil m b b... b b m m m 0 m B B... B B m m m 0 bcos csin BCos CSin 3 Sec 4 be, α real atau imajiner V ( ) Cos V ( ) Sin V dan V solusi homogennya Be [asal solusi homogen tidak mengandung faktor e α ]. Bila mempunyai faktor e coba bentuk ( A B) e, ( AB C ) e demikian seterusnya 5 Bentuk lain / kombinasi Coba dengan trial & error 6 bcos atau bsin Tetap harus ditulis : ACos BSin 7 a Tetap harus ditulis dalam bentuk lengkap : A B C KK-Astronomi ITB Page 7-

3 Metode Matematika Astronomi- Contoh () : Cari solusi umum 3 4y Jawab: Solusi homogen 3 4y 0 D 3D 4 y 0 Cari akar persamaan karakteristik; D D D D D, D 4 h y c e c e c e c e D D 4 Solusi khusus, misal Jadi k yk A B C k 3 4y k A 3 A B 4 A B C 4A 6A 4B A 3B 4C 4A A 4 6A 4B 0 B 3 dari A3B 4C 0 diperoleh C Jadi Jadi yk Solusi Umumnya: y yh yk y ce ce Contoh (): Cari solusi umum Jawab: Solusi homogen 4 3y y 0 D 4D 3 0 D, D 3 y c e c e h 3 Solusi khusus, misal yk A B Jadi k 0 4A 3 A B 6 3 k 4 3y 6 3 k 3A 4A 3B 6 3 A 4A3B 3 B 5 KK-Astronomi ITB Page 7-3

4 Metode Matematika Astronomi- Dengan demikian y 5 Jadi solusi umumnya; y y y y c e c e h k k Aplikasi Persamaan Differensial Massa jatuh bebas dengan hambatan udara dv m mg -bv m-massa total b-koefisien gesek udara v= kecepatan g-percepatan gravitasi Volume air yang keluar dapat ditentukan apabila debit k, diketahui dh k h h-tinggi air dari dasar bejana k-debit air Rangkaian RL di L RI E I-arus listrik, R-resistor L-induktor, S-switch E-tegangan motor listrik KK-Astronomi ITB Page 7-4

5 Metode Matematika Astronomi- Pursuit Problem Menentukan titik cegat, bila arus air, kecepatan kapal diketahui, dinyatakan dengan konstanta a; y d a y a-konstanta yang bergantung pada arus air kecepatan angin, kecepatan kapal dan lain-lain Jembatan gantung yang berosilasi dalam arah vertikal; k y k-konstanta Beban bermassa m, disangga oleh pegas dengan konstanta k, bergerak dalam arah vertikal. Gesekan dengan udara diabaikan; ky 0 m L d I di I de R C I-arus listrik. R-resistor L-induktor. S-switch E-tegangan motor listrik KK-Astronomi ITB Page 7-5

6 Metode Matematika Astronomi- Bandul yang berayun-ayun, hambatan udara diabaikan d l mgsin 0 l-panjang lengan, m-massa bandul g-percepatan gravitasi Percobaan Galileo, tentang adanya gaya gravitasi dari Bumi g. Rangkaian Listrik Dari Hukum Kirchoff R L E E E di di R E L RI E() t I L L di R E I L L Solusi: R R E L L Ie e. c L KK-Astronomi ITB Page 7-6

7 Metode Matematika Astronomi-. Getaran Harmonik Tanpa gesekan w g ky gk B w g - percepatan gravitasi k - konstanta pegas w - berat beban Syarat batas t 0, y ' 0, y y0 Dengan gesekan w g ky q q - koefisien gesekan Misalkan gq E, w gk B w E B y 0 Merupakan persamaan differensial orde- homogen KK-Astronomi ITB Page 7-7

8 Metode Matematika Astronomi- R C L Circuit RLC R [Ohm], L [Henry], C [Farad], I [Ampere] Tegangan yang terjadi di. Melewati L EL L. Melewati R ER RI dalam hal ini It E(t) dq 3. Melewati Qt C EC I t C C Hukum Kirchoff E EL ER EC di Jika E t Eosin t Eosin t L RI t I t C Turunkan terhadap t d I di It I Eo cos t L R LI " RI ' E cos o t C C F 3 Forced Oscillations Resonance my" cy ' ky r t Spring (k) F Jika cos r t F t o Maka my" cy ' ky F cost o Bo F Analogy contoh () dan () diragakan dalam table berikut Dash Pot r(t) KK-Astronomi ITB Page 7-8

9 Tabel 7- Metode Matematika Astronomi- Analogi sistim listrik dan Mekanik Electrical System Inductance (L) Resistance (R) Rec. of Capacitance C Mechanical System Mass (M) Damping Constant (C) Spring Modulus (k) Deriv. Ecos t of electromotive force Driving Force Ecos t o o Current It Displacement (y(t)) 7.4 Latihan Soal untuk latihan gunakan metoda koefisien tak tentu untuk menyelesaikan persamaan diferensial berikut :. y '' 9y [. 3. y '' y ' 6y y'' y' y 4. y'' y' 4 [ 3 3 y ce ce ] 9 y c c e ] ( ) y '' 5 y ' 6y e [ y ce ce e ] 6. y'' 6 y' 9y e y '' 4 y ' 3y e 3 [ y'' y' y 3e 9. y'' y' y Sin [ 0. y'' 4 y' Cos 3 3 y ce ce e ] 3 y ce ce Sin Cos ] 5 5. y'' 4y Cos y ccos csin Cos 5. y'' 9y Sin3 3. y'' 9y Sin e [ 4. y '' y ' 3 e y c Cos c Sin Sin e ] 5. y '' 5 y ' 6y e tapi dengan syarat bila 0, y, y' 0 maka y e e e 3 KK-Astronomi ITB Page 7-9

10 Metode Matematika Astronomi- Bab 7... Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Persamaan Differensial Orde- Homogen Persamaan Differensial Orde- Non Homogen Aplikasi Persamaan Differensial Latihan... 9 Tabel 7- Ringkasan metoda koefisien tak tentu guna mencari y k... Tabel 7- Analogi sistim listrik dan Mekanik... 9 KK-Astronomi ITB Page 7-0