Pengantar Statistika Matematik(a)

Transkripsi

1 Catatan Kuliah Pengantar Statistika Matematik(a) Statistika Lebih Dari Sekadar Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014

2 Tentang Pengantar Statistika Matematik(a) A. Jadwal kuliah: Senin, Kamis, B. Silabus: Peubah acak dan distribusi Distribusi diskrit Distribusi kontinu Fungsi peluang bersama Peluang dan ekspektasi bersyarat C. Buku teks: Sheldon M Ross; A First Course in Probability. Mathematical Statistics. D. Penilaian: 1. Ujian 1 (45%) - Kamis, Ujian 2 (45%) - Kamis, PR/Kuis (10%) Pengantar Statistika Matematik(a) i K. Syuhada, PhD.

3 D. Matriks kegiatan perkuliahan: Table 1: Matriks perkuliahan Analisis Data. Minggu- Materi Keterangan 1-2 Pengantar Penjelasan kuliah Peubah acak dan distribusi 3-4 Distribusi diskrit 5-6 Distribusi kontinu 7 UTS Kamis, Praktik Nyata Peluang Nyoblos! 8-9 Fungsi peluang bersama 10,12 Peluang dan ekspektasi bersyarat 14 UAS Kamis, Pengantar Statistika Matematik(a) ii K. Syuhada, PhD.

4 Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Peubah Acak Diskrit dan Kontinu Tentang Fungsi Distribusi Ekspektasi Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Diskrit Distribusi Binomial Distribusi Geometrik Distribusi Poisson Lebih Jauh Tentang Distribusi Diskrit Distribusi Kontinu Peubah Acak Kontinu dan Transformasi Beberapa Distribusi Kontinu Aplikasi Dalam Asuransi Antrean Eksponensial iii

5 BAB 1 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi Silabus: Peubah acak diskrit, peubah acak kontinu, fungsi distribusi, fungsi peluang. Statistika Matematik(a) adalah perkuliahan yang menitikberatkan pada kajian peluang secara matematik. Untuk itu, peluang yang harus ditekankan adalah peluang pada nilai peubah acak. Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari peubah acak dan distribusi adalah: 1. memahami dan membedakan peubah acak diskrit dan kontinu 2. menghitung peluang pada nilai peubah acak 3. menentukan fungsi distribusi dan transformasi peubah acak (serta distribusi peluang yang menyertainya) 4. menghitung ekspektasi dan fungsi pembangkit momen 1.1 Peubah Acak Diskrit dan Kontinu Apa yang dapat kita katakan tentang peubah acak? Peubah acak tidaklah acak dan bukanlah peubah Peubah acak adalah fungsi yang memetakan ruang sampel S ke bilangan real R 1

6 Definisi Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {a i, i = 1, 2,... } sedemikian hingga P ( {X = a i } ) = P (X = a i ) = 1 i i Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. F X disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dari bilangan real dan barisan {p i, i = 1, 2,... } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga p i = 1 dan i F X (x) = a i x p i Jika diberikan himpunan terhitung {a i, i = 1, 2,... } dan bilangan positif {p i, i = 1, 2,... } sdh i p i = 1, fungsi peluang p X (x) adalah p X (x) = p i = P (X = a i ), dengan x = a i Catatan: P (a < X b) = F (b) F (a) P (X b) P (X < b) ( { P (X < b) = P lim X b 1 }) n n ( = lim P X b 1 ) n n ( = lim F b 1 ) n n Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

7 Definisi Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi (densitas) peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) = d dx F X(x); f(x) 0, x atau dengan kata lain F X (x) = x f X (t) dt Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi (densitas) peluang ada maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt LATIHAN: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah Misalkan X peubah acak dengan support S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x 1 X x 2 ) = λ (x 2 x 1 ), untuk a x 1 x 2 b. Untuk menentukan λ, misalkan x 1 = a dan x 2 = b. Maka, P (a X b) = 1 = λ (b a) λ = 1/(b a). Fungsi distribusinya adalah... Fungsi peluangnya adalah... Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

8 1.2 Tentang Fungsi Distribusi Fungsi distribusi berperan dalam kajian peluang pada peubah acak. Jika kita memiliki fungsi distribusi maka fungsi peluang dapat (dengan mudah) ditentukan. Namun, hal sebaliknya tidak berlaku. Pada kajian statistika lanjut, seperti konsep Copula, fungsi distribusi akan lebih bermanfaat dibandingkan dengan fungsi peluang. Sifat-sifat fungsi distribusi: F ( ) = 0 dan F ( ) = 1 F merupakan fungsi tidak turun; F (a) F (b) untuk a b F adalah fungsi kontinu kanan; lim F (x + ϵ) = F (x) ϵ 0 + Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). Jika b a, maka P (a < X b) = F (b) F (a) Untuk setiap x, P (X = x) = lim P (x ϵ < X ) = F (x) F (x ) ϵ 0 + (Perhatikan notasi F (x ) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan g(x) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan g(x) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah... Misalkan X mempunyai fungsi peluang f(x) = 1 dan Y = g(x) = hx + k, h < 0. Maka X = g 1 (Y ) = F X (x) = F Y (y) = Y Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

9 LATIHAN: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x) yang naik murni. Misalkan Y = F X (X). Tentukan distribusi dari Y. 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan F X (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak F 1 X (U). 3. Misalkan U 1, U 2,..., U n sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampel acak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1 e λ x, x > 0) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan Y = g(x) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, F Y (y) = P (Y y) = P (g(x) y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g 1 (y) digunakan untuk menentukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g 1 (y)). Untuk X U( 1, 2) dan g(x) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : F Y (y) = LATIHAN: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 e λx, maka f(x) = 2. *Misalkan f(x) = c/(1 + x 2 ) untuk < x < dan c konstanta. Fungsi f(x) tak negatif dan (1 + x2 ) 1 dx = π. Berapa nilai c agar f(x) menjadi fungsi peluang? Tentukan fungsi distribusinya. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(x) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) untuk support Y = g(x). Komponen J(y) = d dy g 1 (y) adalah transformasi Jacobian. Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

10 Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X U( 1, 2) dan Y = g(x) = X 2. Maka untuk y [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu, dan satu fungsi invers untuk y (1, 4] yaitu. Fungsi peluang dari Y adalah f(y) = 1.3 Ekspektasi Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). ekspektasi dari X, jika ada, adalah Nilai harapan atau E(X) = µ X = f(x)dx Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X p.a. dengan f.p. f(x). Maka nilai harapan/ekspektasi dari g(x), jika ada, adalah E[g(X)] = g(x)f(x)dx. Operator integral bersifat linier. Jika g 1 (X) dan g 2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag 1 (X) + bg 2 (X) + c] = ae[g 1 (X)] + be[g 2 (X)] + c LATIHAN: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapannya ada maka E(X) = c. 2. Misalkan X U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f(x) = 1 [ ], σπ 1 + (x µ)2 σ 2 Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

11 dengan µ, σ konstanta yang memenuhi µ < dan σ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X Exp(λ). Nilai harapan/ekspektasi dari X adalah Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang M X (t) = G X (e t ) asalkan G X (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika f X (x) = λe λx I 0, (x), maka M X (t) = 2. Jika M X (t) ada maka M a+bx (t) = 3. Jika X i, i = 1,..., n saling bebas, M Xi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi, maka M S (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. Pengantar Statistika Matematik(a) 7 K. Syuhada, PhD.

12 5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. 7. Misalkan Y U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat (( E((Y µ Y ) 2 ) = E Y a + b ) r ) 2 Pengantar Statistika Matematik(a) 8 K. Syuhada, PhD.

13 BAB 2 Distribusi Diskrit Silabus: Distribusi binomial, geometrik, Poisson; varian distribusi: kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions Fungsi peluang dan/atau fungsi distribusi dari suatu peubah acak seringkali diberikan (tidak perlu ditentukan). Hal ini terjadi karena f.p. tersebut sudah dikenal atau dianggap sering dipakai/cocok dengan fenomena sehari-hari (umum). Tiga diantara distribusi tersebut adalah binomial, geometrik dan Poisson. Secara khusus, aplikasi distribusi tersebut akan diperlihatkan pada bidang asuransi. Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransilah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity). Tujuan yang ingin dicapai dalam mempelajari distribusi diskrit yang telah dikenal adalah: 1. mempelajari dan menghitung peluang dari peubah acak yang berdistribusi binomial, geometrik dan Poisson 2. memahami varian distribusi 2.1 Distribusi Binomial Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari 1

14 semua klaim yang masuk. Misalkan X B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = C n k θ k (1 θ) n k, k = 0, 1, 2,..., n Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan fungsi peluang (fp), yaitu E(X m ) = n x m P (X = k). k=0 Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) =, dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): M X (t) = Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: Fungsi likelihood dan log-likelihood:... Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi:... Penaksir θ:... Turunan kedua terhadap parameter: Distribusi Geometrik Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 α) x 1 α, x = 1, 2,... Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

15 Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) = 1 α, V ar(x) = 1 α 2, dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan! 2.3 Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(x) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? Teorema Jika X 1,..., X n peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan X i P OI(λ i ) maka X = X X n P OI(λ λ n ). Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

16 Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ 1 dan λ 2. Kita dapat menentukan distribusi X X + Y = n sebagai berikut P (X = k X + Y = n) P (X = k, X + Y = n) = P (X + Y = n) P (X = k, Y = n k) = P (X + Y = n) P (X = k) P (Y = n k) = P (X + Y = n) = exp( λ 1) λ k 1 (k!) 1 exp( λ 2 ) λ n k 2 ((n k)!) 1 exp( (λ 1 + λ 2 )) (λ 1 + λ 2 ) n (n!) 1 = n! k!(n k)! ( λ1 λ 1 + λ 2 ) k ( λ2 λ 1 + λ 2 ) n k. Dengan kata lain, X X + Y = n B(n, λ 1 /(λ 1 + λ 2 )). 2.4 Lebih Jauh Tentang Distribusi Diskrit Kelas Distribusi (a, b, 0) Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ): f(x) = e λ λ x, x = 0, 1, 2,... x! yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk X = x 1, Diperoleh f(x 1) = e λ λ x 1 (x 1)!. f(x) f(x 1) = e λ λ x / e λ λ x 1 x! (x 1)! = λ x atau f(x) = ( ) λ f(x 1), x = 1, 2,... x Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

17 Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( f(x) = a + b ) f(x 1), x = 1, 2,..., x dengan a, b konstanta dan f(0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi. Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions Misalkan X B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: X P (X = k) Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya 0 telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai zero-modified and zero-truncated distributions. Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f(x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f(x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f(x) adalah f M (x) = c f(x), x = 1, 2,... dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c = 1 f M (0) 1 f(0). Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghi- Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

18 tung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: f M (1) = 1 f M (0) 1 f(0) f(1) = = Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = dan f M (3) = Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X P (X = k) Zero-Modified Zero-Truncated Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter Misalkan X adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah f X (x) dan P X (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

19 BAB 3 Distribusi Kontinu Silabus: Distribusi uniform, normal, gamma; fungsi kesintasan; CTE; aplikasi: deductibles dan policy limit; antrean eksponensial Tujuan yang ingin dicapai dalam memahami distribusi kontinu dan aplikasi dalam asuransi dan antrean adalah 1. mempelajari distribusi uniform dan manfaat nya dalam membangun data berbagai distribusi 2. mengkaji distribusi normal sebagai kesepakatan dalam memahami fenomena riil 3. memahami dan menghitung peluang dan ekspektasi pada peubah acak kontinu dalam bidang asuransi 4. menentukan peluang dalam aplikasi antrean eksponensial 3.1 Peubah Acak Kontinu dan Transformasi Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya F X dapat diturunkan. Fungsi peluang f X adalah turunan dari fungsi distribusi, f X (x) = d dx F X(x) atau dengan kata lain F X (x) = x f X (t) dt 1

20 Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Latihan: 1. Diketahui f(x) = c e 2x, x > 0, Hitung (i) c, (ii) P (X > 2) 2. Suatu peubah acak X memiliki fungsi peluang f(x) = k (1 x 2 ), untuk 1 < x < 1. Tentukan F X (x) Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak menjadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak Y = X λ ; Y = X 1 α, dsb. Contoh lain, misalkan X 1,..., X n peubah acak dengan fungsi peluang f X1,..., f Xn. Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang f X (x) = p 1 f X1 (x) + + p n f Xn (x), dengan p i 0, n i=1 p i = Beberapa Distribusi Kontinu Distribusi Uniform Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi Uniform pada selang [a, b] jika Pengantar Statistika Matematik(a) 2 K. Syuhada, PhD.

21 fungsi peluang f X nya sebagai berikut f X (x) = 1 b a, a x b. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap fungsi distribusi kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) maka peubah acak X memiliki fungsi distribusi F. Contoh. Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x = u x = log(1 u) Jadi, jika U adalah peubah acah Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah peubah acak Eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). Distribusi Normal Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut distribusi normal. Peubah acak kontinu X adalah peubah acak normal atau Gauss dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluangnya adalah ( 1 f X (x) = exp 1 ) (x µ)2, 2 π σ 2σ2 untuk x. Pengantar Statistika Matematik(a) 3 K. Syuhada, PhD.

22 Teorema Limit DeMoivre-Laplace Jika S n menyatakan banyaknya sukses yang terjadi pada n percobaan independen, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ( ) P a S n np b Φ(b) Φ(a), np(1 p) untuk n. (pendekatan Normal untuk Binomial akan baik jika np(1 p) besar, np(1 p) 10) Latihan: 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (X > 1/2) 2. Tentukan mean dan variansi dari peubah acak Uniform pada selang nol dan satu 3. Jika X N(1, 4), hitung P (2 < X < 3) 4. Peubah acak normal dengan parameter (0, 1) dikatakan sebagai peubah acak normal standar. Tentukan c sedemikian hingga P ( X < c) = 0.5 Distribusi Gamma Definisi Fungsi Gamma: Γ(t) = 0 x t 1 e x dx Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0 Diskusi. Γ(n) = (n 1)! n = 1, 2,... ( Γ n + 1 ) = (2n)! π 2 n! 2 2n Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya sukses yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif Pengantar Statistika Matematik(a) 4 K. Syuhada, PhD.

23 dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r. Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang (pdf) f(x) = λα Γ(α) xα 1 e λx, x > 0 dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x Gamma(α, λ). Diskusi. α = 1 α < 1 α > 1 Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5 Catatan: 1. Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi distribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah nilai kumulatif peluang yang lebih besar dari x atau S(x) = 1 F (x) = P (X > x), dengan sifat-sifat sbb: Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit, F (x) = P (X x) = x f(x) dx + x P (X = x) dengan sifat ekspektasi... Contoh: Misalkan X U(0, 10). Misalkan Y = X 2 untuk X > 2. Pengantar Statistika Matematik(a) 5 K. Syuhada, PhD.

24 3.3 Aplikasi Dalam Asuransi Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil. Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage). Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan coinsurance. Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan X L menyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss; X P menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian. Deductibles Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis sebesar X d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, X L, adalah X L = X d, untuk X > d, dan X L = 0 untuk X d. Distribusi peluang untuk X L adalah... Peubah acak X P (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d, X P = X d X > d. Fungsi kesintasan S XP adalah... Pengantar Statistika Matematik(a) 6 K. Syuhada, PhD.

25 Catatan: X L memiliki censored distribution, X P memiliki truncated distribution. Latihan. Misalkan X dan Y, dengan deductible d = Hitung E(X L ), E(X P ), E(Y L ), E(Y P ), jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal. Policy limit Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan X U = u, untuk X u, dan X U = X untuk X < u. Notasi: X U = X u. 3.4 Antrean Eksponensial Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazardnya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi waktu antar-kedatangan. Pengantar Statistika Matematik(a) 7 K. Syuhada, PhD.