BAB 3 KONDISI RANK SEHINGGA MATRIKS AB DAN BA SERUPA. Pada bab ini akan diperkenalkan konsep matriks penrose dan grup inverse

Transkripsi

1 BAB 3 KS RAK SEHGGA MATRKS AB A BA SERUPA Pada bab ini akan diperkenalkan konsep matriks penrose dan grup inverse serta akan ditunjukkan syarat cukup, syarat perlu atau keduanya pada rank matriks A dan B sehingga perkalian matriks AB dan BA serupa dan sifat-sifat matriks A dan B yang serupa. 3. Matriks Penrose Pada tahun 955, Penrose menunjukkan bahwa untuk setiap matriks hingga A (persegi atau persegi panjang) dari elemen real atau kompleks, terdapat matriks tunggal X sehingga memenuhi persamaan sebagai berikut : AXA = A () XAX = X (2) (AX) * = AX (3) (XA) * = XA (4) Untuk setiap A M n (C), notasi A{,2,3,4 } adalah himpunan dari semua matriks X di M n (C) yang memenuhi persamaan (), (2), (3) dan (4). ari persamaan (), (2), (3), dan (4) diatas, sebuah matriks X A{,2,3,4 } disebut inverse-{,2,3,4 } dari A dan dinotasikan sebagai { }, 2,3,4 A. Akibatnya : 29

2 A () adalah himpunan matriks X M n (C) yang memenuhi persamaan () dan A (,2) adalah himpunan matriks X M n (C) yang memenuhi persamaan () dan (2). efinisi 3.. (, 2, 3, 4) A adalah himpunan matriks X M n (C)yang memenuhi persamaan persamaan (), (2), (3) dan (4) yang disebut juga inverse Moore-Penrose. Empat persamaan Penrose diatas dilengkapi dengan persamaan berikut (yang hanya berlaku untuk matriks persegi) : A k XA = A k (5) AX = XA (6) A k XA = XA k (7) AX k = X k A (8) dengan k : bilangan bulat positif. Setiap matriks persegi yang memiliki inverse-{5, 2, 6} tunggal dimana k adalah indeks disebut inverse razin. Untuk sebarang matriks persegi A, inverse arzin dinotasikan dengan A. ari persamaan (5), (2), (6) diperoleh : AX = XA 30

3 A k+ X = A k (9) AX 2 = X (0) dalam hal ini X = A. Teorema 3..2 iketahui A sebagai matriks Hermit. Misalkan A M n (C) maka AA * serupa A * A dan AA () serupa A () A. Bukti : Akan dibuktikan AA * serupa A * A. Karena A * = A maka AA * = AA = A * A akibatnya terdapat GL n (C) sehingga AA * = AA * A = - AA * = - A * A AA * = - A * A Jadi AA * serupa A * A, dengan A merupakan matriks Hermit. Akan dibuktikan bahwa AA () serupa A () A. iketahui A * = A dan AA () A = A. iketahui pula jika AB = A = BA maka B = dengan A,B M n (C). AA () A = (AA () A)A () = AA () AA () A = A maka AA () = AA () AA () AA () atau dapat ditulis dengan bentuk 3

4 AA () AA () AA () = AA () = AA () ( AA () A) akibatnya AA () AA () = AA () = (AA () A)A () = AA () AA () = AA () = maka AA () = A () ( AA () AA () A) atau dapat ditulis dengan bentuk (A () AA () A)A () A = A () A = (A () A(A () AA () A)) Akibatnya A () AA () A = A () A = A () ( AA () A) = A () A A () A = A () A = A () A = = AA () Jelas A () A serupa AA () karena terdapat GL n (C) sehingga A () A = - AA (). Teorema

5 Misalkan A,B M n (C) adalah dua matriks berukuran n n, akan dibuktikan bahwa AA + BB + serupa BB + AA + Bukti : ari teorema 3..2 diketahui A () A serupa AA () maka AA () AA () =. nverse Moore-Penrose memenuhi persamaan sebagai berikut :. AA + A = A 2. A + AA + = A + 3. (AA + ) = A + 4. (A + A) = A + A Karena memenuhi AA + A = A dan A * = A maka AA + AA + =, akibatnya AA + BB + = AA + BB + = AA + BB + AA + AA + = AA + ( BB + AA + ) AA + Jadi AA + BB + serupa BB + AA Grup inverse efinisi 3.2. Misalkan A M n (C), grup inverse A adalah inverse razin atas A dengan inda =. inotasikan dengan A. Teorema

6 Misalkan A M n (C), maka A ada jika ranka = ranka 2. Bukti : Misalkan æa L a ö n A = M M ç çè a L a ø n nn karena A M n (C) maka A 2 M n (C). ari teorema , maka A dan A 2 memiliki dimensi ruang baris dan ruang kolom yang sama. ni berarti ranka = ranka 2. Jadi dapat disimpulkan A ada. 3.3 Syarat perlu dan cukup rank matriks sehingga AB dan BA serupa efinisi 3.3. Suatu matriks persegi A dikatakan serupa dengan matriks B jika terdapat suatu matriks P yang mempunyai inverse sehingga A = PBP -. Pada persamaan A = PBP - dapat dituliskan kembali sebagai B = P - AP atau B = P - A(P - ) - dengan memisalkan Q = P - maka akan didapatkan B = QAQ - 34

7 Yang mengatakan bahwa B serupa dengan A. Maka, B serupa dengan A jika dan hanya jika A serupa dengan B. Untuk selanjutnya akan disebut A dan B serupa. efinisi Sebuah matriks persegi A dikatakan matriks orthogonal jika A - = A t sehingga berlaku AA t = A t A = dengan A t matriks transpose. ari definisi diperoleh : Teorema Jika A, B adalah dua matriks orthogonal berukuran n n maka AB serupa BA. Bukti : Ambil A,B M n (C) dan keduanya matriks orthogonal, akibatnya AA t = dan BB t = dengan menggunakan definisi diperoleh: AB = AB = ABAA t karena AA t =, maka AB = ABAA - Jadi AB serupa BA. Terorema Jika A GL n (C) dan B GL n (C) maka AB dan BA serupa. Bukti : 35

8 Ambil A GL n (C), terdapat A - GL n (C) yang memenuhi AA - = = A - A dan B GL n (C) Perhatikan : BA = BA = A - ABA Jadi BA serupa dengan AB. an dengan cara yang sama, yaitu : Ambil B GL n (C), terdapat B - GL n (C) yang memenuhi BB - = = B - B dan A GL n (C) Perhatikan : AB = AB = B - BAB Jadi AB serupa dengan BA. Berikut akan diselidiki apakah dua buah matriks yang serupa akan memiliki poinomial karakteristik yang sama : Teorema Jika AB dan BA serupa maka AB dan BA mempunyai polinomial karakteristik yang sama. Bukti : Ambil A,B M n (C). AB dan BA serupa maka terdapat P GL n (C) sehingga : AB = PBAP - 36

9 Misalkan : C AB (t) = polinomial karakteristik AB dengan t sebagai variabel C BA (t) = polinomial karakteristik BA dengan t sebagai variabel Akan dibuktikan bahwa C AB (t) = C BA (t) C AB (t) = det(t AB) = det(t PBAP - ) = det(ptp - PBAP - ) = det(p(t BA)P - ) = (det P)det(t BA)(det P - ) = (det P)(det P - )det(t BA) = det(pp - )det(t BA) = det(t BA) = C BA (t) Jadi AB dan BA merupakan polinomial karakteristik yang sama. ari teorema di atas AB dan BA serupa maka memiliki polinomial karakteristik yang sama. Teorema dibawah ini akan menunjukkan untuk AB dan BA yang tidak serupa. 37

10 38 Teorema Jika A,B M n (C) maka AB dan BA mempunyai polinomial karakteristik yang sama. Bukti : A,B M n (C), ambil matriks M 2n (C) sebagai berikut : AB B, B BA dan A Akan dibuktikan bahwa AB dan BA memiliki polinomial karakteristik yang sama. AB B A = AB ABA B BA A B BA = AB ABA B BA Sehingga untuk A M n(c) nonsingular dengan nilai eigen semuanya +, maka determinannya = 0. Maka A AB B A = B BA Akibatnya AB B dan B BA serupa.

11 Misalkan C = AB B dan C 2 = B BA Menurut teorema 3.3.4, C dan C 2 mempunyai polinomial karakteristik yang sama yaitu: C C (t) = C C2 (t) det(t-c ) = det(t-c 2 ) det(t-ab) = det(t-ba) C AB (t) = C BA (t) Jadi AB dan BA memiliki polinomial karakteristik yang sama. Akan tetapi teorema tidak berlaku sebaliknya, contoh : Ambil A = dan B = Sehingga AB = dan BA = engan menggunakan definisi maka diperoleh C AB (t) = det(t AB) 39

12 = det t t 0 = det 0 t = t = t 0 0 t 2 2 C BA (t) = det(t BA) = det t t 0 = det 0 t 0 = t = t 0 0 t 2 2 Berdasarkan teorema maka AB dan BA tidak serupa. ari definisi dan teorema tentang keserupaan di atas, berikut akan ditunjukkan kaitan antara keserupaan dengan rank matriks : Teorema Jika A dan B serupa, akan dibuktikan bahwa ranka = rankb. Bukti : Misalkan bahwa B = PAP -. Ambil X = { P, P,, P } K adalah basis di F n. e e2 en misalkan S adalah suatu basis di F n, Teorema menunjukkan bahwa P 40

13 adalah matriks transisi dari basis S ke basis X di F n. Penerapan teorema menyebabkan [ ] A = PA P = T ' A X, X Teorema memberikan bukti bahwa ( A X, X ) rank(a) = rank [ ] T = rank(b). Jadi ranka = rankb. Lemma Misalkan A dan B adalah dua buah matriks nilpotent, maka A serupa B jika dan hanya jika inda = indb dan ranka i = rankb i untuk semua i =, 2,, k- dengan k = inda. Bukti : A adalah matriks nilpotent dengan indeks k maka A k =. Jika A serupa B, akan dibuktikan bahwa inda = indb dan ranka i = rank B i untuk semua i =,2,, k-. Karena B nilpoten, misalkan indeksnya m, maka B m =. A serupa B maka terdapat P GL n (C) sehingga A = PBP -. engan menggunakan teorema , misalkan A = SJ S - dan B = QJ 2 Q - dengan S,Q GL n (C) maka A = PBP - = PQJ 2 Q - P - = PQJ 2 (PQ) - engan menggunakan teorema diperoleh : A k = PQ(J 2 ) k (PQ) - = PQ(J 2 ) k Q - P - 4

14 = PB k P - = Akibatnya A k = B k =. Karena B adalah matriks nilpotent dengan indeks m, jadi haruslah k = m. Akan dibuktikan bahwa B k-. A k- = PQ(J 2 ) i (PQ) - = PQ(J 2 ) k- Q - P - = PB k- P - Karena A k- maka PB k- P -, jadi B k-. Untuk i =, 2,, k-, inda = indb A i = PQ(J 2 ) i (PQ) - = PQ(J 2 ) i Q - P - = PB i P - A i serupa B i maka ranka i = rankb i. Akan dibuktikan bahwa jika inda = indb dan ranka i = rankb i untuk semua i =, 2,, k- maka A serupa B. A k = B k = dan misalkan A = SJ S - dan B = QJ 2 Q - dengan S,Q GL n (C), maka A k = SJ k A - dan B k = QJ k 2 Q - A k = SS - = SQ(J 2 ) k Q - S - A = SQJ 2 Q - S - = SBS - Jadi A serupa B. 42

15 Lemma Misalkan A adalah matriks berukuran m n dan B adalah matriks berukuran n m, akan dibuktikan bahwa terdapat P GL n (C) dan Q GL n (C) sehingga :. A = P r Q, B = Q- T S Y P - 2. AB = P T P -, BA = Q - Q S 3. AB serupa diag(, ), BA serupa diag(, 2 ) engan GL r (C) dan adalah matriks nilpoten berukuran r 2 r 2 dengan r + r 2 = r dan dan 2 adalah matriks nilpotent. Bukti : engan cara penghitungan langsung, maka : r. Ambil A = P Q dimana P GL m (C) dan Q GL n (C). kita - B B2 tuliskan B sebagai Q B3 B4 P - dimana B M r (C), dengan menggunakan bentuk Jordan pada B, kita asumsikan bahwa : B = P 2 P 2 -. imana P 2 GL r (C), GL r (C) dan adalah matriks nilpotent r 2 r 2 sedemikian sehingga r + r 2 = r. Akibatnya kita dapatkan 43

16 X - P2 P2 B = Q X 2 n r m r R R2 Y dan kemudian ambil P2 r P2 A = P n r m r Q P - P 3 = r 2 r X m r, Q 2 = r r2 R n r maka kita mempunyai dan - P2 B = Q n r X R2 Y Q 2 2 P P 3 2 m r P - P2 r P 2 A = P P 3 Q 2 n r m r Q Akhirnya dengan memisalkan - P2 Q = Q Q - - P2 = Q 2 n r n r P2 Q 2, P = P 3 Q, P - P2 = P m r m r P - P 3 - dan T = X 2, S = R 2, maka kondisi () dipenuhi. 2. ari point () diatas diperoleh : 44

17 r A = P Q dan - B B2 B = Q B3 B4 maka diperoleh : P - æ ö æb B ö æ öæb B ö æb B ö AB = P ç Q Q ç P = P ç ç P = P ç P r r ç è ø çè B3 B 4ø èç øç èb3 B ç 4ø è ø jadi æ ö AB = P T P ç çè ø - engan cara yang sama, diperoleh : æb B ö æ ö æb B öæ ö æb ö BA = Q ç P P ç Q = Q ç ç Q = Q ç Q r - 2 r - èç B3 B 4ø çè ø èç B3 B 4øçè ø çè B3 ø jadi æ ö = ç çè S ø - BA Q Q Maka kondisi (2) dipenuhi. 3. ari point (2) diatas diperoleh : æ ö AB = P T P ç çè ø - 45

18 dan æ ö = ç çè S ø - BA Q Q Untuk dan 2 matriks nilpotent, misalkan = ( ), = = T, = S 2 maka diperoleh æ ö AB = P P ç ç è ø - æ ö - = ç ç è ø BA Q Q 2 Jadi AB serupa diag(, ) dan BA serupa diag(, 2 ). ari lemma dan lemma diperoleh : Teorema Misalkan bahwa A,B M n (C) maka AB serupa BA jika dan hanya jika ind(ab) = ind(ba) dan rank(ab) i = rank(ba) i untuk i =, 2,, k-, dimana k = ind(ab). Bukti : ( ) AB dan BA serupa maka terdapat P GL n (C) sehingga AB = PBAP -. 46

19 47 k = ind(ab) akibatnya (AB) k = P(BA) k P - dan (AB) k+ = P(BA) k+ P -. Sedangkan (AB) k = (AB) k+, maka P(BA) k P - = P(BA) k+ P - Sehingga : (BA) k = (BA) k+ Maka ind(ab) = ind(ba) = k, untuk i =, 2,, k- (AB) i = P(BA) k+ P -, maka rank(ab) i = rank(ba) i. ( ) ind(ab) = ind(ba) = k, rank(ab) i = rank (BA) i dengan i =, 2,, k-. Pada lemma kita ketahui bahwa AB = P P - dan BA = Q - 2 Q Akibatnya (AB) i serupa i maka rank(ab) i = rank i (BA) i serupa 2 i maka rank(ba) i = rank 2 i Untuk i =, 2,, k-. Karena rank(ab) i = rank(ba) i untuk i =, 2,, k- maka rank i = rank 2 i jadi rank i = rank 2 i untuk i =, 2,, k-. nd(ab) = ind(ba) = k maka rank(ab) k = rank(ab) k+ dan

20 rank(ba) k = rank(ba) k+ akibatnya Rank k = rank k+ dan rank 2 k = rank 2 k+ Berdasarkan lemma maka serupa 2. apat kita tulis = P2P = P 2 P Maka diag(, 2 ) serupa diag(, ) dengan AB serupa diag(, ) dan BA serupa diag(, 2 ). Jadi AB serupa BA. ari pembahasan sebelumnya maka diperoleh akibat 3.3. yang menunjukkan syarat cukup atau perlu mengenai kondisi rank matriks sehingga matriks AB dan BA dapat dikatakan serupa. Akibat AB serupa BA jika dan hanya jika rank(ab) i = rank(ba) i, i =,2, (AB) serupa (BA) Jika ind(ab) = ind(ba) = maka AB serupa BA Jika rank(ab) = rank(ba) dan ind(ab) = maka AB serupa BA Jika rank(ab) = rank(ba) = rank(aba) maka AB serupa BA Jika rank(a) = rank(ab) = rank(ba) maka AB serupa BA Jika rank(a) = rank(ba) dan rank(b) = rank(ab) maka AB serupa BA Jika rank(a) = rank(ab) dan rank(b) = rank(ba) maka AB serupa BA 48

21 Bukti : Lihat teorema Pada teorema diketahui bahwa AB = P P - dan BA= Q - Q 2 (AB) merupakan inverse razin pada matriks AB maka harus memenuhi tiga persamaan sebagai berikut :. (AB) k (AB)(AB) = (AB) k 2. (AB) (AB)(AB) = (AB) 3. (AB)(AB) = (AB) (AB) Begitu pula dengan (BA) harus memenuhi ketiga persamaan diatas juga. Maka (AB) dan (BA) yang memenuhi ketiga persamaan diatas masing-masing adalah P P - dan Q - Q. jadi (AB) serupa (BA) nd(ab) = ind(ba) = = k. Rank(AB) = rank 0 0. Karena ind(ab) =, maka rank(ab) = rank(ab) 2 = rank Akibatnya rank = rank 2, ind = maka =. 0 AB = P 0 0 P- dan BA = Q - 0 Q. jadi AB ~ BA nd(ab) =, maka 49

22 50 Rank(AB) = rank = rank(ab) 2 = rank 2 2 Akibatnya rank = rank 2 = 0, maka = 0 dan AB = P P - Karena rank(ab) = rank(ba) maka Rank = rank 2 = 0 dan BA = Q - Q. Jadi AB serupa BA Rank(AB) = rank(ba) = rank(aba) Pada lemma kita ketahui bahwa : AB = P Q, BA = Q - 2 Q dan ABA = P Q = P diag(,, )Q. akibatnya rank S = rank T = rank dan terdapat T 0 dan S 0 sehingga T = T 0 dan S = S 0 yaitu T 0 T T 0 = 0 S S 0 S =

23 Maka T serupa S. Berdasarkan bukti dari lemma 3.3.9, akibatnya AB serupa BA Rank(A) = rank(ab), akibatnya kita mempunyai R(A) = R(AB). Sehingga R(BA) = R(ABA). Artinya R(AB) = R(BA) = R(ABA). ari akibat , maka AB serupa BA Berdasarkan teorema 3.2.2, maka ind(ab) = dan ind(ba) =. ari akibat maka AB serupa BA A t dan B t memenuhi akibat , maka A t B t serupa B t A t. akibatnya AB serupa BA. ari akibat 3.3. untuk penerapannya misalkan sebagai contoh : Ambil A = dan B = Maka diperoleh P AB = = Q

24 dan BA = P = R Berdasarkan teorema 3.3.0, diperoleh AB serupa BA. Akan tetapi matriks AB dan BA tidak memenuhi akibat sampai. Hal ini menunjukkan bahwa akibat sampai dengan merupakan syarat cukup, bukan syarat perlu. ari sini dapat diketahui bahwa kondisi rank yang harus dipenuhi untuk perkalian matriks AB dan BA merupakan syarat cukup bukan syarat perlu. Untuk selanjutnya, akan ditunjukkan contoh diperoleh dari pembahasan mengenai masalah rank matriks yang serupa. Teorema Misalkan A, B M n (C) dengan A = M, B = M jika ranka = rankb = r dan M serupa M dengan M, M M r (C). Maka A serupa B. Bukti : 52

25 Karena M serupa M maka M t serupa M. Terdapat suatu matriks P yang invertible sehingga M = PM t P -. engan demikian : B = M = P M t P P Telah diketahui bahwa B serupa B t, sehingga mengakibatkan B serupa M ( P ) t M dan rank ( P ) t = r. engan mengambil R = r M dan S = ( P ) t Sehingga rankrs = ranksr = rankr = r. engan menggunakan akibat diperoleh RS serupa SR atau dapat juga ditulis sebagai A serupa M t ( P ). Hal ini berarti A serupa B. Teorema Andaikan A adalah matriks m n dan B adalah matriks n m. Maka ada A (,2) dan B (,2) sehingga (AB) = B (,2) A (,2) dan (BA) = A (,2) B (,2). Bukti : 53

26 54 ari lemma 3.3.9(2), diketahui bahwa (AB) = P P - dan (BA) = Q - Q. engan menggunakan lemma 3.3.9(), ambil B (,2) = P ( ),2 T S Y Q dan A (,2) = Q - r P-. Sehingga didapatkan (AB) = B (,2) A (,2) dan (BA) = A (,2) B (,2).