TRANSFORMASI MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 TRANSFORMAS MATRKS Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMPA UNEJ

2 Definisi : BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v, v, v k dikatakan bebas linier jika persamaan v v k kv mengakibatkan skalar-skalar k

3 Definisi : TAK BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v v, dikatakan skalar-skalar, v m tak bebas linier jika terdapat,,, m yang tidak semuanya nol sedemikian sehingga dipenuhi v v m mv

4 Rank Baris suatu matriks dimaksud banyak maksimum vektor-vektor baris yang bebas linear. Rank Kolom suatu matriks dimaksud banyak maksimum vektor-vektor kolom yang bebas linear. Di dalam setiap matriks maka rankbaris=rank-kolom dan disebut rank dari matriks itu.

5 Definisi : RANK MATRKS. Suatu matriks A mempunyai rank r[r(a)], jika dapat ditemukan r vektor baris (kolom) yang bebas linier, sedangkan setiap r+ vektor baris (kolom) tak bebas linier.. Suatu matriks A mempunyai rank r, jika dapat ditemukan minor berderajat r yang tidak nol, sedangkan setiap minor berderajat r+ sama dengan nol.

6 Matriks Kanonik atau matriks eselon baris terreduksi dgn rank r adalah matriks dgn sifat :. Elemen pada setiap r baris pertama tidak semuanya nol, sedangkan elemen pada baris yang lain, jika ada semuanya nol. Dalam baris ke-i(i=,,, r), elemen tak nol yang pertama adalah.(sebut kolom yang memuatnya dengan kolom ke-j i ). Satu-satunya elemen tak nol pd kolom ke-j i adalah.

7 Penentuan rank matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yaitu merubah suatu matriks menjadi matriks kanonik/matriks eselon baris terreduksi mn m m n n a a a a a a a a a

8 Dalam mengubah suatu matriks A ke matriks kanonik dapat digunakan : a. Jika (elemen baris ke-i kolom j ke j i ) elemen A ( a j ) memperoleh a a. Jika tetapi j pj A p. Untuk mendapatkan elemen nol pada kolom ke j i A ij (k)

9 Cari rank matriks berikut ini 7 5 A Jawab 7 5 ) A ( 7 5 CONTOH

10 A () A () A ( 5 ) ) 5 A ( rank A Bentuk kanonik

11 D E F N S Matriks Ekuivalen Suatu matriks B disebut ekuivalen dengan matriks A [BA], jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan menggunakan transformasi elementer pada matriks A tersebut.

12 Diberikan A Dilakukan transformasi elementer baris pada matriks A tersebut, yaitu A () diperoleh A B 9 () Matriks B ekuivalen baris dgn matriks A CONTOH

13 D E F N S Bentuk Normal Matriks Dengan menggunakan transformasi elementer, setiap matriks tak nol A [r(a)=r] bisa dibawa kebentuk normal N. [transformasi elementer baris dan kolom dapat digunakan secara bersamaan] r atau r atau atau r r

14 Diberikan A Dilakukan transformasi elementer pada matriks A tersebut, yaitu B (-) dan B (-) CONTOH

15 ) ( ), ( B B ) ( B ) ( K

16 ) ( ), ( B B

17 D E F N S Matriks Elementer Sebuah matriks nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks identitas (satuan) [ n ] dengan melakukan sebuah transformasi elementer tunggal.

18 JENS Matriks Elementer ij Matriks yang diperoleh dari matriks identitas, dengan menukarkan baris/kolom ke i dengan baris/kolom ke j. i (k) Matriks yang diperoleh dari matriks identitas, dengan menggandakan baris/kolom ke i dengan skalar k. ij (k) Matriks yang diperoleh dari matriks identitas dengan (baris ke i) + k (baris ke j) atau (kolom ke j) + k (kolom ke i)

19 a. () c. ) ( b. CONTOH

20 D E F N S Matriks Hasil Transformasi. Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan melakukan transformasi elementer baris H maka B=HA. H matriks elementer.. Jika matriks E diperoleh dari matriks A dengan melakukan transformasi elementer kolom K maka E=AK. K matriks elementer.

21 A B 9 CONTOH-baris maka A H B 9 ) (

22 A E CONTOH-kolom maka K A E

23 SFAT-SFAT 5 Harga determinan suatu matriks sama dengan nol jika dan hanya jika baris-barisnya tak bebas linier Transformasi elementer tidak merubah rank suatu matriks Matriks-matriks yang ekuivalen mempunyai rank yang sama Setiap matriks tak nol ekuivalen baris dengan matriks kanonik/matriks eselon baris tereduksi Jika A Matriks elementer maka r(a) Rank matriks nol sama dengan nol [r(o)=]

24 D E F singular & non singular Suatu matriks bujursangkar A nxn disebut singular jika r(a)<n N S Suatu matriks bujursangkar A nxn disebut non-singular jika r(a)=n yaitu det(a).

25 SFAT Jika A matriks elementer maka A non-singular Bukti A nxn matriks elementer maka A, berarti padahal det()= jadi det(a) atau A non-singular

26 SFAT Matriks AB jika dan hanya jika ada matriks non-singular P dan Q sedemikian sehingga B=PAQ Khusus A nxn non-singular maka A, A dan n mempunyai ordo dan rank yang sama.

27 Bukti () AB dengan B H s H H A K K K r Karena setiap matriks elementer nonsingular, maka matriks H s H H P dan K K K r Q Sehingga B=PAQ

28 Bukti () B=PAQ, P dan Q non-singular, maka det(p) dan det(q). ni berarti P mxm dan Q nxn. Akibatnya A PA PAQ=B, melalui transformasi elementer. Jadi AB