BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakan Masalah Modul merupakan struktur aljabar yan diperoleh dari perumuman struktur ruan vektor denan memperumum ruan skalarnya menjadi rin denan elemen satuan. Modul atas rin R ditulis sebaai R-modul. Suatu unsi antara dua R-modul dikatakan sebaai R-homomorisma modul jika unsi tersebut mempertahankan operasi penjumlahan dan perkalian skalarnya. Beberapa R-modul dan R-homomorisma modul dapat membentuk suatu barisan dan diaram komutati. Barisan R-modul dan R-homomorisma modul yan serin diunakan dalam teori modul adalah barisan eksak. Barisan R-modul dan R-homomorisma... i 1 Ai 1 i i+1 i+2 A i Ai+1... dikatakan eksak di A i jika Im( i ) = Ker( i+1 ). Barisan tersebut merupakan barisan eksak jika barisan tersebut eksak di setiap A i atau Im( i ) = Ker( i+1 ) untuk setiap i. Barisan eksak mempunyai beberapa siat yan terkait denan diaram komutati R-modul dan R-homomorisma seperti Lemma Lima, isomorisma antara dua barisan, dan Lemma Snake. Lemma Snake merupakan salah satu lemma a- plikati dan serin diunakan terkait keeksakan barisan pada diaram komutati. Selain itu, terdapat siat-siat barisan eksak yan terkait denan modul yan dibanun secara berhina dan modul yan memenuhi kondisi rantai naik (rantai turun). Keeksakan barisan 0 A 1 A A2 merupakan syarat perlu dan syarat cukup keeksakan barisan 0 Hom R (B, A 1 ) Hom R (B, A) Hom R (B, A 2 ) atas Z-modul untuk sebaran R-modul B. Barisan eksak 0 A C 0 dikatakan sebaai barisan eksak terpisah jika Im() penjumlah lansun dari B. 1

2 2 Modul khusus seperti modul proyekti dan modul injekti jua mempunyai keterkaitan denan barisan eksak, terutama barisan eksak terpisah. Lemma Schanuel merupakan salah satu lemma yan menaitkan keeksakan barisan denan modul proyekti dan modul injekti. Dalam struktur R-modul A, terdapat submodul yan merupakan himpunan baian dari A dan merupakan R-modul denan operasi perkalian skalar yan sama pada A. Submodul 0 dan A merupakan submodul trivial dalam R-modul A. Jika barisan R-modul dan R-homomorisma A B C merupakan barisan eksak, maka Im() = Ker() = {x B (x) = 0} = 1 (0). Penantian submodul 0 denan sebaran submodul U di C pada Im() = Ker() = 1 (0) memunculkan deinisi tentan barisan quasi-eksak. Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999) menkaji konsep barisan quasieksak tersebut. Barisan R-modul A C dikatakan quasi-eksak di B jika terdapat submodul U di C sedemikian hina Im() = 1 (U). Selanjutnya barisan tersebut dikatakan U-eksak (di B). Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999) jua menkaji beberapa siat yan diperoleh dari perumuman lemma atau teorema pada barisan eksak, seperti Lemma Lima Pendek, dua barisan yan isomoris, dan teorema barisan eksak R-modul yan memenuhi kondisi rantai naik atau kondisi rantai turun. Lebih lanjut, Anvariyeh dan Davvaz (2002) menkaji konsep dual barisan U-eksak pada barisan A C yaitu denan penantian A denan sebaran submodul V di A pada (A) = Im() = Ker(). Barisan R-modul A C disebut barisan V -koeksak (di B) jika terdapat submodul V di A sedemikian hina (V ) = Ker(). Selain itu, Anvariyeh dan Davvaz (2002) menkaji konsep barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah, serta beberapa siatnya yan terkait denan modul proyekti, modul injekti, submodul khusus, dan homomorisma khusus. Dalam hal ini, submodul khusus meliputi submodul esensial dan submodul kecil, sedankan homomorisma khusus meliputi monomorisma esensial dan epimorisma kecil. Kondisi khusus pada submodul dan homomorisma dapat menyebabkan barisan quasi-eksak dan dualnya mempunyai suatu siat tertentu.

3 3 Ada siat-siat lain barisan quasi-eksak dan barisan U-terpisah dan V -koterpisah yan perlu dikaji atau diselidiki terkait perumuman barisan eksak menjadi barisan quasi-eksak. Siat-siat barisan quasi-eksak tersebut seperti siat barisan R- modul yan dibanun secara berhina dan keeksakan barisan rup R-homomorisma modul atas Z, sedankan siat-siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah seperti siat yan terkait modul proyekti dan modul injekti. Siat barisan quasi-eksak dan barisan quasi-eksak terpisah yan terkait submodul khusus dan homomorisma khusus jua menarik diselidiki lebih lanjut. Eksistensi Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi-eksak menarik untuk diselidiki karena Lemma Snake merupakan lemma yan aplikati terkait keeksakan barisan dan diaram komutati, sedankan Lemma Schanuel merupakan lemma dasar dalam mempelajari dimensi proyekti dan dimensi injekti. Barisan eksak merupakan konsep dasar yan sanat membantu dalam mempelajari teori modul. Perumuman barisan eksak menjadi barisan quasi-eksak dan dualnya yaitu barisan U-eksak dan V -koeksak memunkinkan adanya dampak pada konsep-konsep yan berkaitan denan barisan eksak. Perumuman tersebut jua memunkinkan pembuktian denan diaram komutati yan baris-barisnya bukan barisan eksak melainkan barisan quasi-eksak. Sebelum mempelajari dampak lanjut dari perumuman tersebut, perlu dibahas lebih dulu siat-siat dasar barisan quasieksak dan barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah, serta eksistensi lemma-lemma dasar yan terkait denan barisan eksak pada barisan quasi-eksak dan dualnya. Oleh karena itu, penulis menambil topik perumuman barisan eksak sebaai topik penelitian tesis ini Rumusan Masalah Pada keseluruhan tesis ini, R merupakan rin denan elemen satuan dan R- modul A adalah modul kiri atas rin R kecuali jika ada keteranan lain. Masalah yan diselidiki dalam tesis ini antara lain: 1. baaimana siat-siat barisan quasi-eksak yan terkait denan siat barisan R-

4 4 modul yan dibanun secara berhina, keeksakan barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan quasi eksak pada diaram komutati terkait submodul khusus dan homomorisma khusus? 2. baaimana siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah yan terkait denan siat barisan modul proyekti dan modul injekti, barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan yan terkait submodul khusus dan homomorisma khusus? 3. apakah Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi-eksak masih berlaku? 1.3. Tujuan Penelitian Tujuan penyusunan tesis ini antara lain: 1. menyelidiki siat-siat barisan quasi-eksak yan terkait denan siat barisan R- modul yan dibanun secara berhina, keeksakan barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan quasi eksak pada diaram komutati terkait submodul khusus dan homomorisma khusus, 2. menyelidiki siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah yan terkait denan siat barisan modul proyekti dan modul injekti, barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan yan terkait submodul khusus dan homomorisma khusus, 3. menyelidiki eksistensi Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasieksak Tinjauan Pustaka Dalam penelitian ini diperlukan beberapa dasar teori menenai barisan eksak, rup R-homomorisma modul, Lemma Snake, Lemma Schanuel, submodul

5 5 khusus, dan homomorisma khusus. Dasar teori menenai barisan eksak dan siatsiatnya serta rup R-homomorisma modul diambil dari buku karanan Adkins dan Weintraub (1992). Dasar teori Lemma Snake dirujuk dari buku karanan Wisbauer (1991) dan Lan (2002). Selanjutnya buku karanan Lam (1999) diunakan sebaai dasar teori untuk menkaji tentan Lemma Schanuel. Dasar teori menenai submodul khusus, dan homomorisma khusus diambil dari buku karanan Anderson dan Fuller (1992) dan Wisbauer (1991). Artikel yan membahas tentan barisan quasi-eksak dan beberapa siat tentan barisan quasi-eksak ditulis oleh Davvaz dan Parnian-Garamaleky (1999). Siatsiat lanjutan barisan quasi-eksak yaitu dual barisan quasi-eksak, barisan quasieksak terpisah, serta siat barisan eksak terkait submodul khusus dan homomorisma khusus ditulis oleh Anvariyeh dan Davvaz (2002). Pada tahun yan sama, artikel tentan eneralisasi Lemma Lambek, Lemma Snake, dan hubunan barisan U-eksak denan U-kompleks ditulis oleh Davvaz dan Shabani Solt (2002). Artikel yan ditulis Anvariyeh dan Davvaz (2005) menkaji siat-siat lain pada barisan quasi-eksak. Pada tesis ini dikaji kembali siat barisan quasi-eksak yan telah dikaji oleh Anvariyeh dan Davvaz (2005), siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah yan telah dikaji oleh Anvariyeh dan Davvaz (2002), dan Lemma Snake pada barisan quasi-eksak yan telah dikaji oleh Davvaz dan Shabani Solt (2002). Selain itu, dibahas hasil-hasil penelitian penulis yaitu siat barisan quasi-eksak yan meninduksi barisan quasi-eksak baru, siat-siat dual barisan quasi-eksak, siat barisan V -ko-terpisah terkait rup R-homomorisma, siat barisan U-terpisah dan V -koterpisah terkait modul sederhana, dan Lemma Snake pada dual barisan quasi-eksak Metode Penelitian Konsep mendasar yan dipelajari terlebih dahulu dalam penelitian ini adalah konsep barisan eksak dan siat-siatnya, rup R-homomorima modul, Lemma Snake, Lemma Schanuel, submodul khusus, dan homomorisma khusus. Selanjutnya, kon-

6 6 sep yan perlu dipelajari adalah barisan quasi-eksak, barisan U-terpisah dan V - ko-terpisah, serta beberapa siat-siatnya. Konsep-konsep tersebut menjadi dasar dalam perumuman siat-siat barisan eksak menjadi siat-siat barisan quasi-eksak, perumuman Lemma Snake dan Lemma Schanuel untuk barisan quasi-eksak. Metode atau lankah-lankah yan dipelajari dalam penelitian ini adalah sebaai berikut: 1. mempelajari siat-siat barisan eksak, konsep rup R-homomorisma modul, submodul khusus dan homomorisma khusus, kemudian siat-siat tersebut diperumum untuk barisan quasi-eksak, 2. mempelajari siat-siat barisan eksak split, kemudian menyelidiki siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah, 3. mempelajari Lemma Snake yan terkait barisan eksak, selanjutnya menyelidiki eksistensi Lemma Snake saat barisan eksak diperumum menjadi barisan quasieksak dan syarat yan diperlukan aar terdapat keeksakan barisan yan serupa pada Lemma Snake yan terkait barisan eksak, 4. mempelajari Lemma Schanuel yan terkait barisan eksak, kemudian menyelidiki bentuk Lemma Schanuel saat barisan eksak diperumum menjadi barisan quasieksak Sistematika Penulisan Pada penulisan tesis ini, penulis menunakan sistematika sebaai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas menenai latar belakan, rumusan masalah, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, serta sistematika penulisan. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas menenai teori-teori yan diunakan sebaai dasar penelitian. Bab ini memuat penjelasan tentan barisan eksak, homomorisma modul, Lemma Snake, Lemma Schanuel, serta submodul khusus dan homomorisma khusus.

7 7 BAB III SIFAT-SIFAT BARISAN QUASI-EKSAK Pada bab ini berisi tentan hasil kajian maupun hasil penelitian yan telah dilakukan yaitu barisan quasi-eksak, barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah, siat-siat barisan quasi-eksak, siat-siat barisan U-terpisah dan V -koterpisah, Lemma Snake dan Lemma Schanuel pada barisan quasi eksak. Siat-siat barisan quasi-eksak tersebut terkait denan siat barisan R-modul yan dibanun secara berhina, keeksakan barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan quasi eksak pada diaram komutati terkait submodul khusus dan homomorisma khusus. Sedankan siat barisan U-terpisah dan V -ko-terpisah tersebut terkait denan siat barisan yan terkait modul proyekti dan modul injekti, barisan rup R-homomorisma modul atas Z, dan siat barisan yan terkait submodul khusus dan homomorisma khusus. BAB IV SIMPULAN Pada bab ini berisi tentan simpulan dari hasil penelitian dan saran untuk penembanan penelitian selanjutnya.