Dari Algebraic Topology ke Aljabar

Transkripsi

1

2 Motivasi Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf dan platonic solid

3 Motivasi Studi topologi diawali oleh studi terhadap graf dan platonic solid

4 Motivasi Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron Cube Octahedron Icosahedron Dedocahedron

5 Motivasi Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron Cube Octahedron Icosahedron Dedocahedron Pola tersebut adalah V E + F = 2

6 Motivasi Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron Cube Octahedron Icosahedron Dedocahedron Pola tersebut adalah V E + F = 2 Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum dan juga graf planar

7 Motivasi Ada sebuah pola penting yang muncul pada platonic solids Solids Vertices Edges Faces Tetrahedron Cube Octahedron Icosahedron Dedocahedron Pola tersebut adalah V E + F = 2 Pola ini juga berlaku untuk polihedron secara umum dan juga graf planar Hal ini terjadi karena, secara topologi, semua polihedron dan graf planar adalah ekivalen

8 Tentang Ekivalensi Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saat sebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secara kontinu tanpa harus memotong atau menempel

9 Tentang Ekivalensi Homotopi, secara kasar, adalah ekivalensi topologi saat sebuah bentuk dapat diubah menjadi bentuk lain secara kontinu tanpa harus memotong atau menempel Pada saat ini klasifikasi lengkap hanya ada untuk dimensi 2 Theorem Jika M merupakan suatu permukaan, maka M pasti salah satu dari berikut: Bola (+batas) Bola ditambah beberapa pegangan (+batas) Bola ditambah beberapa crosscaps (+batas)

10 Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi?

11 Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi? Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuk sama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi

12 Bagaimana dengan dimensi lebih tinggi? Masalah: Tidak mudah untuk membuktikan 2 bentuk sama atau berbeda, terutama pada dimensi tinggi Contoh: Apakah R 3 berbeda dengan S 3? Apakah R 3 berbeda dengan R 4?

13 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant

14 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant

15 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic

16 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus Betti Number

17 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus Betti Number Fundamental Group Homotopy Group

18 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus Betti Number Fundamental Group Homotopy Group Homology

19 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus Betti Number Fundamental Group Homotopy Group Homology Cohomology

20 Ide Dasar Algebraic Topology Salah satu ide dasar di Matematika adalah mencari/mendefiniskan invariant Di Algebraic Topology, ada banyak jenis invariant Euler Characteristic Genus Betti Number Fundamental Group Homotopy Group Homology Cohomology K-Theory

21 Ide Dasar Algebraic Topology Misalkan terdapat bentuk Topologi X, Y dan fungsi kontinu f : X Y, maka terdapat:

22 Ide Dasar Algebraic Topology Misalkan terdapat bentuk Topologi X, Y dan fungsi kontinu f : X Y, maka terdapat: Grup π n (X ) dan π n (Y ) serta homomorfisma grup π n (f ) : π n (X ) π n (Y )

23 Ide Dasar Algebraic Topology Misalkan terdapat bentuk Topologi X, Y dan fungsi kontinu f : X Y, maka terdapat: Grup π n (X ) dan π n (Y ) serta homomorfisma grup π n (f ) : π n (X ) π n (Y ) Grup abel H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (X ) H n (Y )

24 Ide Dasar Algebraic Topology Misalkan terdapat bentuk Topologi X, Y dan fungsi kontinu f : X Y, maka terdapat: Grup π n (X ) dan π n (Y ) serta homomorfisma grup π n (f ) : π n (X ) π n (Y ) Grup abel H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (X ) H n (Y ) Ring H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (Y ) H n (X )

25 Ide Dasar Algebraic Topology Misalkan terdapat bentuk Topologi X, Y dan fungsi kontinu f : X Y, maka terdapat: Grup π n (X ) dan π n (Y ) serta homomorfisma grup π n (f ) : π n (X ) π n (Y ) Grup abel H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (X ) H n (Y ) Ring H n (X ) dan H n (Y ) serta homomorfisma grup H n (f ) : H n (Y ) H n (X ) Familiar dengan konsep di atas?

26 De Rham Cohomology Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds

27 De Rham Cohomology Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms

28 De Rham Cohomology Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms Contoh pada R 3 : 0-form, fungsi yang memiliki turunan 1-form, f (x, y, z)dx + g(x, y, z)dy 2-form, f (x, y, z)dxdy + g(x, y, z)dydz 3-form, f (x, y, z)dxdydz

29 De Rham Cohomology Pada geometri diferensial, diperlukan suatu cara mendefinisikan integral pada differentiable manifolds Formalisasi aljabar dari notasi Leibniz di kalkulus (dx) disebut diffential forms Contoh pada R 3 : 0-form, fungsi yang memiliki turunan 1-form, f (x, y, z)dx + g(x, y, z)dy 2-form, f (x, y, z)dxdy + g(x, y, z)dydz 3-form, f (x, y, z)dxdydz Turunan: d(fdx) = f x dx dx + f y dy dx + f z dz dx = f y dxdy f z dxdz

30 De Rham Cohomology 0-form(X ) 1-form(X ) 2-form(X ) 3-form(X )

31 De Rham Cohomology 0-form(X ) 1-form(X ) 2-form(X ) 3-form(X ) Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d Ker d)

32 De Rham Cohomology 0-form(X ) 1-form(X ) 2-form(X ) 3-form(X ) Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d Ker d) Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untuk mengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpang dari barisan eksak, kita definisikan H n = Kerd/Imd

33 De Rham Cohomology 0-form(X ) 1-form(X ) 2-form(X ) 3-form(X ) Dari Kalkulus Multivariable, kita tahu bahwa d 2 = 0, akibatnya rantai di atas adalah co-chain complex (Im d Ker d) Barisan di atas bukan merupakan barisan eksak, untuk mengetahui seberapa jauh barisan di atas menyimpang dari barisan eksak, kita definisikan H n = Kerd/Imd Darimana struktur ring dan kontravarian De Rham cohomology berasal?

34 Simplicial Homology Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex

35 Simplicial Homology Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v 0, v 1,..., v n ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear)

36 Simplicial Homology Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v 0, v 1,..., v n ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear) 0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuah sisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalah sebuah tetrahedron, dst

37 Simplicial Homology Permukaan dapat di-triangulasi, dan bentuk topologi bisa dipecah menjadi simplex n-simplex [v 0, v 1,..., v n ] didefinisikan sebagai himpunan konveks terkecil yang memuat n buah titik (n vektor bebas linear) 0-simplex adalah sebuah titik, 1-simplex adalah sebuah sisi, 2-simplex adalah sebuah segitiga, 3-simplex adalah sebuah tetrahedron, dst batas dari 1-simplex didefinisikan sebagai 0-simplex, batas dari 2-simplex adalah 2 buah 1-simplex, batas dari 3-simplex adalah 3 buah 2-simplex, dst

38 Simplicial Homology

39 Simplicial Homology Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: d[v 0, v 1,..., v n ] = ( 1) i [v 0,..., ˆv i,..., v n ]

40 Simplicial Homology Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: d[v 0, v 1,..., v n ] = ( 1) i [v 0,..., ˆv i,..., v n ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex

41 Simplicial Homology Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: d[v 0, v 1,..., v n ] = ( 1) i [v 0,..., ˆv i,..., v n ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex 3 (X ) 2 (X ) 1 (X ) 0 (X )

42 Simplicial Homology Batas dari suatu simplex didefinisikan sebagai: d[v 0, v 1,..., v n ] = ( 1) i [v 0,..., ˆv i,..., v n ] Dapat diperiksa bahwa d 2 = 0, sehingga rantai di bawah merupakan chain complex 3 (X ) 2 (X ) 1 (X ) 0 (X ) Grup Homologi didefinisikan sebagai H n (X ) = Kerd/Imd

43 Simplicial Homology Contoh, grup homologi dari torus adalah: H n (T ) = 0 untuk n > 2, H 2 (T ) = Z, H 1 (T ) = Z Z, H 0 (T ) = Z

44 Simplicial Homology Contoh, grup homologi dari torus adalah: H n (T ) = 0 untuk n > 2, H 2 (T ) = Z, H 1 (T ) = Z Z, H 0 (T ) = Z

45 Simplicial Homology Contoh, grup homologi dari torus adalah: H n (T ) = 0 untuk n > 2, H 2 (T ) = Z, H 1 (T ) = Z Z, H 0 (T ) = Z Simplicial Topology memang relatif mudah dihitung, tapi apakah peta dari simplex juga merupakan simplex?

46 Aplikasi di Algebraic Topology Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology

47 Aplikasi di Algebraic Topology Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology Singular Homology secara definisi sangat cocok untuk pembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homology dan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma

48 Aplikasi di Algebraic Topology Teorema-teorema di Simplicial Homology tidak mudah dibuktikan, oleh karena itu didefinisikan Singular Homology Singular Homology secara definisi sangat cocok untuk pembuktian, dan ekivalensi antara Simplicial Homology dan Singular Homology pada dasarnya adalah 5-lemma Peralatan utama dalam perhitungan grup homologi adalah barisan Mayer-Vietoris yang pada dasarnya adalah Snake-lemma Theorem Jika A adalah subruang (tutup) topologi dari X maka terdapat barisan eksak H n (A) H n (X ) H n (X /A) H n 1 (A) H n 1 (X )

49 Derived Categories Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual. Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

50 Derived Categories Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual. Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homology mengurangi informasi Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

51 Derived Categories Kelemahan pertama (co)homology: Cohomology adalah Homology dari dual sebuah chain complex bukan dual dari Homology sebuah chain complex, karena pengambilan homology tidaklah double dual. Kelemahan kedua (co)homology: Pengambilan homology mengurangi informasi Ide dari derived category adalah tidak mengambil (co)homology tapi mengamati (co)chain complex Masalah: (co)chain complex tidak invarian terhadap homotopy, (co)chain complex perlu dimodifikasi

52 Derived Categories Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex?

53 Derived Categories Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X Z Y yang menginduksi ( ) n (X ) ( ) n (Z) ( ) n (Y )

54 Derived Categories Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X Z Y yang menginduksi ( ) n (X ) ( ) n (Z) ( ) n (Y ) Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semua pemetaan yang invarian terhadap homotopy

55 Derived Categories Bagaimana bentuk homotopy di (co)chain complex? Misalkan X dan Y dua buah bentuk topologi yang telah dipecah menjadi simplex. X dan Y homotopik jika terdapat Z dan pemetaan simplex X Z Y yang menginduksi ( ) n (X ) ( ) n (Z) ( ) n (Y ) Modifikasi yang dilakukan adalah me-lokalisasi semua pemetaan yang invarian terhadap homotopy Yaitu, jika terdapat ( ) n (Z) sehingga terdapat chain map ( ) n (X ) ( ) n (Z) ( ) n (Y ) maka dianggap terdapat isomorfisma g : ( ) n (X ) ( ) n (Y )