III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF. Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.(2002). = ( ) {1,2,3,, } dengan syarat

Transkripsi

1 III. BILANGAN KROMATIK LOKASI GRAF Bilangan kromatik lokasi graf pertama kali dikaji oleh Chartrand dkk.00). Konsep ini merupakan pengembangan dari konsep dimensi partisi dan pewarnaan graf. Pewarnaan titik pada graf adalah ) {1 } dengan syarat untuk setiap titik bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Minimum banyaknya warna yang digunakan untuk pewarnaan titik pada graf G disebut bilangan kromatik yang dinotasikan dengan ). Berikut ini diberikan definisi bilangan kromatik lokasi graf yang diambil dari Chartrand dkk.00). Misalkan c suatu pewarnaan titik pada graf G dengan ) ) untuk u dan v yang bertetangga di G. Misalkan himpunan titik titik yang diberi warna i yang selanjutnya disebut kelas warna maka Π{ } adalah himpunan yang terdiri dari kelas kelas warna dari VG). Kode warna )) dengan ) dari v adalah k-pasang terurut ) min { ) ) )... } untuk 1. Jika setiap G mempunyai kode warna yang berbeda maka c disebut pewarnaan lokasi G. Banyaknya warna minimum yang digunakan untuk pewarnaan lokasi disebut bilangan kromatik lokasi dari G dan dinotasikan dengan ). Karena setiap pewarnaan lokasi juga merupakan suatu pewarnaan maka ) ). 15

2 Berikut ini Chartrand dkk.00) telah memberikan teorema dasar dari bilangan kromatik lokasi suatu graf. Teorema.1 Chartrand dkk 00) Misalkan c adalah pewarnaan lokasi pada graf terhubung G. Jika u dan v adalah dua titik yang berbeda di G sedemikian sehingga duw)dvw) untuk setiap ) { } maka ) ). Secara khusus jika u dan v titik titik yang tidak bertetangga di G sedemikian ) sehingga ) maka ) ). Bukti : misalkan c adalah suatu pewarnaan lokasi pada graf terhubung G dan misalkan Π { warna } adalah partisi dari titik titik G ke dalam kelas. Untuk suatu titik ) andaikan ) ) sedemikian sehingga titik u dan v berada dalam kelas warna yang sama misalkan Akibatnya ) ) { } maka Akibatnya ). ) ) 0. Karena ) dari Π. ) ) untuk setiap untuk setiap 1. ) sehingga c bukan pewarnaan lokasi. Jadi ) Akibat dari teorema tersebut dapat ditentukan batas bawah trivial bilangan kromatik lokasi graf. Akibat.1 Chartrand dkk 00) Misalkan G adalah graf terhubung dengan satu titik yang bertetangga dengan k daun maka )

3 Bukti : Misalkan v adalah satu titik yang bertetangga dengan k daun di G. Berdasarkan teorema.1 setiap pewarnaan lokasi di G mempunyai warna yang berbeda untuk setiap maka v Akibatnya 1. Karena v bertetangga dengan semua harus mempunyai warna yang berbeda dengan semua daun ) Selanjutnya akan diberikan contoh menentukan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf G seperti Gambar 1 berikut ini : Gambar 1. Pewarnaan lokasi minimum pada graf G Diberikan graf G seperti terlihat pada Gambar 1. akan ditentukan terlebih dahulu batas bawah bilangan kromatik lokasi dari graf G. Karena terdapat titik ) 4. yang memiliki daun maka berdasarkan Akibat.1.1.1) Selanjutnya akan ditentukan batas atas bilangan kromatik lokasi graf G. Titik titik pada { 014); ) dipartisi sebagai berikut : }; { { }. Kode warnanya adalah ) 110); ) 1011); }; { ) 014); ) 011); ) 01); ) 10); }; ) ) 10); ) 10). 17

4 ) berbeda maka pewarnaan tersebut Karena kode warna semua titik di ) 4. merupakan pewarnaan lokasi dengan.1.) Berdasarkan persamaan.1.1) dan.1.) diperoleh ) 4. Teorema. Chartrand dkk 00) Misalkan k adalah derajat maksimum di ) 1+. graf G maka Berikut ini akan diberikan bilangan kromatik lokasi beberapa kelas graf sederhana. Teorema. Chartrand dkk 00) Bilangan kromatik lokasi graf lintasan ) adalah. Bukti : Perhatikan bahwa untuk ) 1 dan. Jadi terbukti ). maka ) ) 1 +. Akibatnya ) ) 1 + dengan k derajat titik. Berdasarkan Teorema. maksimum. Karena pada ). Jelaslah bahwa 1 1 v1 v v v4 v v6 un-1 1 un Gambar 1. Pewarnaan lokasi minimum pada graf lintasan Teorema.4 Chartrand dkk 00) Untuk bilangan bulat a dan b dengan 1 dan

5 Bukti : Berdasarkan Akibat.1 diperoleh batas bawah yaitu Selanjutnya akan ditentukan batas atasnya yaitu Misalkan c adalah pewarnaan titik menggunakan b+1) warna sebagaimana terlihat pada Gambar 14. Perhatikan bahwa kode warna dari setiap titik akibatnya c adalah pewarnaan lokasi. Jadi + 1. Gambar 14. Pewarnaan lokasi minimum pada berbeda Chartrand dkk. 00) telah mendapatkan bentuk graf pohon berorde 5 yang memiliki bilangan kromatik lokasi dari sampai n kecuali n-1 sebagaimana torema berikut ini. Teorema.5 Chartrand dkk 00) Terdapat Pohon berorde mempunyai bilangan kromatik k jika dan hanya jika 5 yang 4 ). Pewarnaan Teorema.5 dapat diberikan sebagai berikut : Gambar 15. Pohon T berorde n dengan ) 19

6 Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi tentang titik dominan dan clear path yang diambil dari Asmiati dkk. 01). Misalkan c adalah k-pewarnaan lokasi pada graf GVE) dan misalkan Π { } adalah partisi dari VG) yang diinduksi oleh c. Titik v V G dikatakan suatu titik dominan jika jika v ) 1. Suatu lintasan yang menghubungkan dua titik dominan di graf G disebut clear path jika semua titik internalnya bukan merupakan titik dominan. Gambar 16. Graf G dengan titik dominan Titik dominan pada Gambar 16. adalah v v4 dan v7. Clear path pada Gambar 16. adalah lintasan yang menghubungkan v4 dan v7 dimana tidak terdapat titik dominan dalam titik internalnya. Karena graf G pada Gambar 16. mempunyai bilangan kromatik lokasi tiga maka panjang clear path dari graf G ganjil. Lemma.1 Asmiati dkk 01) Diberikan graf G dengan ) maka terdapat paling banyak k titik dominan di G dan masing-masing titik dominan memiliki warna yang berbeda. Bukti : Misalkan v G merupakan titik dominan dan G adalah graf terhubung maka ) 0 untuk v dan ) 1untuk v. Karena ) 0

7 maka kelas partisi Π memuat k kelas warna katakan dan setiap x G memiliki kode warna yang berbeda. Oleh karena itu G paling banyak memuat sebanyak k titik dominan dan masing masing titik dominan pada G memiliki kode warna yang berbeda. Lemma. Asmiati dkk 01) Misalkan graf G dengan panjang dari setiap clear path di G adalah ganjil. ) maka Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan P adalah clear path yang menghubungkan titik dominan x dan y di G. Asumsikan cx) 1 dan cy). Karena P adalah clear path maka warna dari titik titik didalamnya harus 1 dan berturut-turut. Misalkan x dan y akan membentuk barisan alternating. Karena banyaknya titik dalam clear path P harus genap maka panjang P ganjil. Lemma. Asmiati dkk 01) Misalkan G adalah graf terhubung dengan ) Jika memuat titik dominan maka terdapat titik dominan dalam suatu lintasan. Bukti : Misalkan G adalah graf terhubung dan x y dan z adalah tiga titik dominan dari graf G. P adalah lintasan yang menghubungkan x dan z. Asumsikan y tidak terdapat dalam lintasan P. Karena G adalah graf terhubung maka terdapat titik dalam u sehingga u memiliki jarak terpendek dibandingkan dengan titik dalam lainnya) ke y. Lintasan L1 menghubungkan x ke u kemudian ke y. Sehingga lintasan L1 adalah clear path. Oleh karena itu panjangnya lintasan tersebut adalah 1

8 ganjil. Sekarang pertimbangkan lintasan L yang menghubungkan y ke u kemudian ke z. Maka L merupakan clear path. Oleh karena itu panjangnya adalah ganjil. Kedua fakta tersebut menyatakan panjang dari lintasan yang menghubungkan x ke u ditambahpanjang lintasan yang menghubungkan u ke z panjangnya adalah genap kontradiksi. Selanjutnya Asmiati dkk. 01) telah mendapatkan bilangan kromatik lokasi graf kembang api dan untuk 5 sebagimana teorema berikut ini. Teorema.6 Asmiati dkk 01) Misalkan i. ii. ) 4; Untuk k 5 Bukti: Misalkan { ) 1 1} graf kembang api maka: 1; ; lainnya Pertama akan ditentukan batas bawah dari.1 χ 1 1 ; 1 1 ; 1 }. untuk n. Berdasarkan Akibat ) untuk n. Selanjutnya akan ditunjukan bahwa χ Untuk suatu kontradiksi andaikan terdapat pewarnaan- lokasi untuk jika ketiga warna itu adalah 1 maka { { ) warna dari l ) dan ) ) ) 4. ;n )} )} {1} sangat jelas cm ) cm ) jika tidak kode dan l untuk suatu i j {1} adalah sama suatu kontradiksi. Pandang c ) untuk i 1. Tanpa mempertimbangkan warna dari kode

9 warna titik akan sama dengan kode warna dari Akibatnya χ ) 4. untuk n. Untuk menunjukan bahwa ) 4 untuk n pandang pewarnaan-4 pada sebagai berikut : ) 1 jika i ganjil dan ) jika i genap. suatu kontradiksi..1.) Akan ditentukan batas atas dari χ atau ) untuk setiap i; Untuk semua titik l definisikan: 4 1 c l jika 1 1 jika 1 jika Pewarnaan c akan membangun suatu partisi Π pada V bahwa kode warna dari semua titik di ) ) dan untuk i genap diperoleh titik titik berbeda. Untuk i ganjil diperoleh ) ). Untuk m ) ) untuk ) 01 + ) dan ) 10 + ). Karena kode warna diperoleh ) 10) dan ) 4. Akan ditunjukan bahwa untuk. Untuk ) 10). Untuk berbeda maka c adalah pewarnaan lokasi..1.4) Berdasarkan persamaan.1.) dan.14) diperoleh χ ; jika ). Akan ditunjukan ) 1011) dan dari semua titik Jadi χ 5 χ ) 4; ) k dan χ 1. Pandang dua kasus berikut ini : ) 1

10 5 dan Kasus 1. Untuk 1 Pertama akan ditentukan batas bawah dari ) 1. 5dan ) Akan ditunjukan bahwa χ ) k 1 untuk k 5 dan n k 1. Definisikan suatu pewarnaan- 1) pada untuk bertetangga dengan ) daun maka berdasarkan Akibat Karena setiap titik.1 χ ) untuk [1 ] dan semua daun: sebagai berikut. Beri warna 1 dengan {1 k 1}\{i} untuk sembarang i. Selanjutnya definisikan ) untuk [1 ] secara berturut turut dengan warna n. Catatan: jika ) dan maka membangun suatu partisi { ). Akibatnya pewarnaan c akan himpunan dari semua titik yang berwarna i. } pada Akan ditunjukan bahwa kode warna untuk semua titik di adalah untuk k 5 dan ) dan ) ) maka pandang kasus n k 1. Misalkan Jika untuk suatu i j h l dan karena untuk suatu i j h dan maka karena u bukan titik kasus berikut ini : Jika ) dengan ). dominan dan v harus menjadi titik dominan. Jadi maka ) ) ) ). 4

11 Jika untuk suatu i j h maka terdapat tepat satu himpunan di Π yang mempunyai jarak 1 di u dan terdapat sedikitnya dua himpunan di Π ) yang mempunyai jarak 1 di v. Jadi Jika dan ). untuk suatu i j dan maka karena u harus menjadi ) titik dominan dan v bukan titik dominan. Jadi Jika maka 1 dan ). ) jadi ). Berdasarkan semua kasus di atas dapat disimpulkan bahwa kode warna dari semua titik di untuk k 5 dan n k 1 adalah berbeda jadi χ k 1 Berdasarkan persamaan.1.5) dan.1.6) diperoleh χ k 5 dan n k 1. Sebagai ilustrasi diberikan pewarnaan lokasi dari Gambar k 1 ).1.6) untuk yang dapat dilihat pada 4 Gambar 17. Pewarnaan lokasi minimum dari Kasus Untuk k 5 dan n k Akan ditentukan batas bawah untuk k 5 dan diperoleh ). Berdasarkan Akibat.1 1. Tetapi akan ditunjukan bahwa k 1 warna tidaklah cukup untuk mewarnai. Untuk suatu kontradiksi andaikan terdapat pewarnaan 5

12 k 1) lokasi c pada dua i j untuk k 5 dan sedemikian sehingga { ) ℎ 1 } { 1 }. Akibatnya kode warna Akan ditentukan batas atas dari k dan ℎ akan sama suatu kontradiksi. untuk k 5 n k. Untuk menunjukan k 5 dan n k pandang pewarnaan lokasi c pada berikut:. Karena n k maka terdapat sebagai ) 1 jika i ganjil dan ) jika i genap. Jika ) untuk setiap i. {1 } definisikan \{1 } jika 1 \{ } lainya. 1 1 Sangat mudah untuk membuktikan bahwa semua kode warna dari semua titik berbeda. Akibatnya c adalah pewarnaan lokasi pada untuk k jadi ) 4 1 Gambar 18. Pewarnaan lokasi minimum dari Penelitian tesis ini merupakan penelitian lanjutan yang telah dilakukan oleh Asmiati dkk.01). Penelitian ini bertujuan untuk melihat perluasan yang dapat dilakukan pada graf kembang api sedemikian sehingga mempertahankan 6

13 bilangan kromatik lokasinya. Perluasan graf kembang api yang peneliti lakukan adalah dengan memberikan subdivisi pada sisi untuk setiap [1 ]. Kasus 1. Graf kembang api yang disubdivisi satu titik pada [1 ] dinotasikan dengan untuk setiap. Langkah langkah untuk menentukan bilangan kromatik lokasi graf kembang api 1) Penentuan batas bawah dari adalah sebagai berikut : ). Berdasarkan Akibat.1 dapat ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi. ) Penentuan batas atas dari ). Pada graf kembang api dapat dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya sama dengan graf kembang api untuk setiap [1 ]. Kasus. Graf kembang api sebanyak dan [1 ]; untuk setiap setiap pada diperoleh dengan mensubdivisi graf titik genap pada masing masing sisi [1 ]. Akibatnya { tetapi disubdivisi satu titik dan untuk setiap menjadi sebuah lintasan untuk setiap [1 ] dan s genap. Misalkan lintasan } dan lintasan [1 ]; untuk setiap { } untuk [1 ] dan s genap. Langkah langkah untuk menentukan bilangan kromatik lokasi graf kembang api sebagai berikut : 1) Penentuan batas bawah dari adalah ). Berdasarkan Akibat.1 dapat ditentukan batas awal dari bilangan kromatik lokasi. ) Penentuan batas atas dari ). Pada graf kembang api dapat dilakukan counting untuk menentukan batas atasnya. Pewarnaan lokasinya 7

14 sama dengan graf kembang api tetapi disubdivisi sebanyak genap pada masing masing sisi Untuk ) dan ) ) untuk r ganjil dan ) untuk r ganjil dan [1 ]dan s genap. untuk setiap titik [1 ]. ) ) untuk r genap untuk ) ) untuk r genap setiap 8