J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 2015: ISSN (Cetak) ISSN (Online)

Transkripsi

1 J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 215: ISSN (Cetak) ISSN (Online) PERUMUMAN LEMMA SNAKE DAN LEMMA LIMA Sripatmi 1, Yunita Septriana Anwar 2 1 Proram Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Mataram 2 Proram Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Mataram spatmi@mail.com, na2_math@yahoo.com Abstrak. Barisan U-eksak merupakan perumuman dari barisan eksak yan diperkenalkan oleh Davvaz dan Parnian-Garamaleky. Dalam tulisan ini akan dikaji perumuman dari Lemma Snake dan Lemma Lima yan memanaatkan siat-siat dari barisan U-eksak. Kata Kunci : Barisan U-eksak, Lemma Snake, Lemma Lima Abstract. U-exact sequences was introduced by Davvaz dan Parnian-Garamaleky as a eneralization o exact sequences. In this paper, we ive some characterizations and properties o U-exact sequences. We use these result to ind a eneralization o Snake Lemma and Five Lemma. Key words Kunci : U-exact sequences, Snake Lemma, Five Lemma PENDAHULUAN Diasumsikan R adalah rin asosiati denan elemen identitas dan semua R-modul adalah R-modul unital. Barisan A B C disebut barisan eksak pendek jika Im = ker(). Barisan Z p Zpq Zq merupakan salah satu contoh barisan eksak pendek. Secara umum barisan R-modul dan R-homomorisma M i i 1 M i+1 i M i+1 disebut eksak di M i jika Im ( i ) = ker( i+1 ) atau Im ( i ) = 1 i+1 ({}). Apabila sebaran submodul U i 1 dari M i 1 disubstitusikan pada submodul {}, Davvaz dan Parnian- Garamaleky pada tahun 1999 memperkenalkan konsep dari barisan U-eksak yan memperumum deinsi barisan eksak. Konsep barisan U-eksak banyak diunakan secara luas dalam Teori Rin dan Modul, Teori Grup, Teori Homoloi, Aljabar Topoloi, dan Teori Kompleks. Barisan R-modul dan R-homomorisma M i i 1 M i+1 i M i+1 disebut U i+1 -eksak di M i jika Im ( i ) = 1 i+1 (U i+1 ). Dari deinisi ini diperoleh bahwa barisan eksak pendek A B C merupakan barisan {}-eksak di A, U-eksak di B, dan {}-eksak di C, atau sederhananya disebut U-eksak. Akibat lain yan diperoleh dari deinisi barisan U-eksak adalah barisan A B C adalah U-eksak jika dan hanya jika injekti, surjekti, dan Im() = 1 (U). Misalnya barisan 2Z Z Z 4 merupakan barisan Z 4 -eksak. Jika M adalah R-modul dan U adalah submodul dari M, maka barisan U M i M adalah barisan U-eksak. Selanjutnya, jika U dan V adalah submodul-submodul dari M sedemikian hina V U M, maka barisan U M π M/V adalah barisan U/V-eksak dimana π adalah homomorisma natural. Barisan U-eksak A B C disebut eksak jika dan hanya jika U = {} sehina barisan U-eksak merupakan perumuman dari barisan eksak. Dalam tulisan ini diawali denan deinisi dan karakterisasi dari barisan U-eksak. Selanjutnya dikaji perumuman Lemma Snake dan Lemma Lima yan memanaatkan karakterisasi dari barisan Ueksak. Karakterisasi dari barisan U-eksak diambil dari [2], pembuktian Lemma Snake dan Lemma Lima dapat dilihat di [1] dan [5], sedankan perumuman Lemma Snake dan Lemma Lima merujuk pada [3] dan [4]. PEMBAHASAN Deinisi 1. Barisan dari dari R-modul dan Rhomomorisma M i i 1 M i+1 i M i+1 disebut barisan U i+1 -eksak di M i jika Im ( i ) = 1 (U i+1 ), dimana U i+1 adalah submodul dari i+1 M i+1. Deinisi 2. Barisan U-eksak A B C isomoris denan barisan -eksak A B C jika terdapat diaram komutati dari Rhomomorisma: A B C A B C 76

2 J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 215: ISSN (Cetak) ISSN (Online) sedemikian hina,, dan adalah isomorisma. Teorema 3. Isomorisma dari barisan U-eksak merupakan relasi ekuivalen. Bukti. Harus ditunjukkan isomorisma dari barisan U-eksak dan -eksak merupakan relasi releksi, simetris, dan transiti. Denan menambil,, dan berupa pemetaan identitas, jelas,, dan merupakan ismorisma. Sehina diperoleh ismorisma dari barisan U-eksak memenuhi siat releksi. Selanjutnya, misalkan barisan U-eksak A B C isomoris denan barisan - eksak A B C, maka terdapat diaram komutati sedemikian hina,, dan adalah isomorisma. Karena,, dan adalah isomorisma, maka terdapat 1, 1, dan 1 yan jua adalah isomorisma. Sehina barisan - eksak A B C isomoris denan barisan U-eksak A B C atau ismorisma dari barisan U-eksak memenuhi siat simetris. Tinal ditunjukkan ismorisma dari barisan U-eksak memenuhi siat transiti. Misalkan misalkan barisan U-eksak A B C isomoris denan barisan -eksak A B A B C C dan barisan -eksak A B C isomoris denan barisan -eksak A B C sehina terdapat diaram komutati A B C A B C A B C A B C sedemikian hina,,,,, dan adalah isomorisma. Denan memilih,, dan yan jua merupakan isomorisma, diperoleh barisan U-eksak A B C isomoris denan barisan -eksak A B C. Sehina ismorisma dari barisan U-eksak memenuhi siat transiti. Teorema 4. Jika barisan U-eksak dan -eksak isomoris, maka U. Bukti. Diberikan barisan U-eksak dan -eksak isomoris, maka terdapat diaram komutati A B C A B C sedemikian hina,, dan adalah isomorisma. Untuk menunjukkan U, cukup ditunjukkan (U) =. Ambil sebaran x (U), sehina terdapat u U sehina x = (u). Karena u U dan baris pertama merupakan barisan U-eksak, maka 1 (u) 1 (U) = Im sehina 1 (u) (A). Akibatnya, u (A), yaitu terdapat a A sedemikian hina u = (a ). Perhatikan bahwa, x = (u) = ((a )) = ()(a ) = ()(a ) = ()(a ) = ( )(a ) = ( )((a )) Akibatnya, x (A ) atau (U). Selanjutnya, ambil y. Karena epimorisma, maka terdapat b B sehina (b) = y atau b = 1 (y). Meninat baris kedua merupakan barisan -eksak, yaitu Im = 1 (), maka terdapat a A sehina b = (a). Karena dan adalah isomorisma, maka y = (b) = (a) = 1 ( (a)) =. Sehina y = ( 1 (b)) = ()( 1 (b)) = ( 1 (b)) = (b). Lemma 5 (Lemma Lima). Diberikan diaram komutati dari R-modul homomorisma berikut dimana setiap baris merupakan barisan eksak: A 5 A 4 A 3 A 2 A B 5 5 B 4 B 3 B 2 B

3 J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 215: ISSN (Cetak) ISSN (Online) (i) Jika 2, 4 adalah monomorisma dan 5 epimorisma, maka 3 adalah monomorisma. (ii) Jika 2, 4 adalah epimorisma dan 1 adalah monomorisma, maka 3 adalah epimorisma. (iii) Jika 5 adalah epimorisma, 1 monomorisma, 2, 4 adalah isomorisma, maka 3 jua isomorisma. Lemma 6 (Perumuman Lemma Lima). Diberikan diaram komutati dari R-modul homomorisma berikut denan baris pertama adalah U-eksak di A 2, V-eksak di A 3 dan {}-eksak di A 4, dan baris kedua adalah {}-eksak di B 2, -eksak di B 3 dan V -eksak di B 4 : A 5 A 4 A 3 A 2 A B B 4 B 3 B 2 B 1 4 (iv) Jika 2, 4 adalah monomorisma dan 5 epimorisma, maka 3 adalah monomorisma. (v) Jika 2, 4 adalah epimorisma dan 1 adalah monomorisma, maka 3 adalah epimorisma. (vi) Jika 1, 2, 4, 5 adalah isomorisma, maka 3 jua isomorisma. Bukti. (i) Akan ditunjukkan 3 adalah monomorisma. Ambil x Ker 3. Berarti 3 (x) =. Karena = 3 3 (x) = 2 3 (x), maka 3 (x) Ker 2 =. Akibatnya, x Ker (U) = Im 4. Sehina, terdapat y A 4 sedemikian hina 4 (y) = x. Perhatikan bahwa : = 3 (x) = 3 4 (y) = 4 4 (y). Akibatnya, 4 (y) Ker () = Im 5. Berarti terdapat z B 5 sehina 5 (z) = 4 (y). Meninat 5 epimorisma, maka terdapat w A 5 sehina 5 (w) = z. Selanjutnya, 4 (y) = 5 (z) = 5 5 (w) = 4 5 (w) atau 4 (y 5 (w)) =. Karena 4 monomorisma, maka y 5 (w) = atau y = 5 (w). Denan memanaatkan {}-eksak pada A 4 diperoleh x = 4 (y) = 4 5 (w) =. Denan demikian 3 adalah monomorisma. 3 2 (ii) Akan ditunjukkan 3 adalah epimorisma. Ambil sebaran x B 3, maka dimiliki 3 (x) B 2. Karena 2 epimorisma, maka terdapat y A 2 sehina 2 (y) = 3 (x). Meninat baris kedua {}-eksak di B 2, diperoleh = 2 3 (x) = 2 2 (y) = 1 2 (y). Sehina, 2 (y) Ker 1 =. Akibatnya, y Ker (U) = Im 3, yaitu terdapat z A 3 sedemikian hina 3 (z) = y. Selanjutnya, 2 (y) = 2 3 (z) = 3 3 (z) = 3 (x) karena 2 (y) = 3 (x). Sehina, 3 ( 3 (z) x) = atau 3 (z) x Ker () = Im 4, yaitu terdapat a B 4 sedemikian hina 3 (z) x = 4 (a). Dilain pihak, 4 adalah epimorisma, yaitu terdapat b A 4 sehina 4 (b) = a. Selanjutnya, 4 (a) = 4 4 (b) = 3 4 (b) = 3 (z) x karena 3 (z) x = 4 (a). Akibatnya, 3 ( 4 (b) z) = x, yaitu 3 adalah epimorisma. Denan memanaatkan (i) dan (ii) diperoleh lansun 3 jua isomorisma. Lemma 8 (Perumuman Lemma Snake). Misalkan A B C A B C adalah diaram komutati sedemikian hina (1) Baris pertama adalah -eksak dan baris kedua adalah U-eksak. (2) W Im (3) U Im (4) (V) U, (W) = V (5) 1 (U) Maka terdapat homomorisma 1 (U) Coker sedemikian hina barisan : 1 (W) 1 (V) 1 (U) Coker Coker Coker eksak. Bukti. Ambil x ( 1 (V)), maka terdapat y V sedemikian hina ( 1 (y)) = x. Karena y V maka (y) C, dan (V) U menakibatkan (y) U. Sehina 1 ((y)) 1 (U). Akibatnya ( 1 (y)) = 1 ((y)) 1 (U). Sehina ( 1 (V)) 1 (U). Denan cara yan sama dapat ditunjukkan ( 1 (W)) 1 (V). Akibatnya terbentuk barisan: 1 (W) 1 (W) 1 (V) 1 (V) 1 (U) 77

4 J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 215: ISSN (Cetak) ISSN (Online) Dibentuk homomorisma kanonik π 1 (U) 1 (U). Misalkan = 1 (W) dan = π 1 (V) sehina diperoleh barisan: (I) 1 (W) 1 (V) 1 (U) Dilain pihak, dari dan dapat dibentuk homomorisma A B denan (a + Im Im Im ) = (a) + Im, dan B C Im Im denan (b + Im ) = (b) + Im. Sehina diperoleh barisan: (II) Coker Coker Coker Selanjutnya akan ditunjukkan terdapatnya homomorisma 1 (U) Coker yan menhubunkan barisan (I) dan (II). Misalkan z + 1 (U). Pilih b B sehina (b ) = z. Karena (b ) = (b ) = (z) U, maka (b ) 1 (U). Meninat barisan (II) eksak, maka (b ) Im. Akibatnya terdapat denan tunal a A sedemikian hina (b ) = (a) dan a = 1 (b ). Dideinisikan (z + ) = a + Im. Misalkan b B denan (b ) = z, maka terdapat a A sedemikian hina (b ) = (a ). Dari (b ) = z dan (b ) = z, diperoleh (b b ) =. Akibatnya b b Ker 1 (U ) = Im, sehina terdapat a A denan b b = (a ). Karena (a ) = (a ), diperoleh (b b ) = (a ) yan berakibat (a a ) = (a ). Meninat monomorisma, maka a a = (a ) Im. Akibatnya a + Im = a + Im, yaitu terdeinisi denan baik. Tinal ditunjukkan keeksakan 1 (W) 1 (V) 1 (U) Coker Coker Coker Lankah 1 : Akan ditunjukkan Im = Ker. Ambil b Ker. Berarti (b ) = + U sehina diperoleh (b ) U. Akibatnya b 1 (U ). Karena baris (I) eksak, terdapat x A sehina b = (x). Karena = 1 (W), tinal ditunjukkan x 1 (W). Perhatikan bahwa: (x) = (x) = (b ). Karena b 1 (V), maka (b ) V. Akibatnya (x) V. Dilain pihak (W) = V dan monomorisma, maka (x) W atau x 1 (W). Akibatnya Ker Im. Selanjutnya, ambil a Im berarti terdapat x 1 (W) sehina (x) = a atau 1 (W) = a, (x) = a. Akibatnya a Im = 1 (U ), yaitu (a) U. Sehina Im Ker, denan kata lain Im = Ker. Lankah 2 : Im = Ker. Ambil x Im terdapat b 1 (V) sehina (b ) + U = x. Selanjutnya (x) = ( (b ) + ) = 1 ( 1 ( (b ))) + Im = 1 (b ) + Im. Karena b 1 (V) maka (b ) V. Meninat (W) = V dan monomorisma maka 1 (b ) W Im. Akibatnya (x) Im sehina x Ker. Jadi Im Ker. Ambil y = c + Ker denan c 1 (U) berarti (c + ) = Im atau 1 ( 1 (c )) + Im Im. Sehina terdapat x A sedemikian hina ( 1 (c )) = (x) = (x). Akibatnya ( 1 (c ) (x)) = yaitu 1 (c ) (x) Ker 1 (V). ( 1 (c ) (x)) = π ( 1 (c ) Sehina (x)) = ( 1 (c ) (x)) + U = c + U = y. Akibatnya Ker Im. Denan demikian Im = Ker. Lankah 3 : Im = Ker. Ambil x Im yaitu terdapat c + 1 (U) sehina (c + ) = x. Perhatikan bahwa: 1 ( 1 (c )) + Im = x, [ 1 ( 1 (c )) + Im ] = [x], ( 1 (c )) + Im = (x). Sehina x Ker atau Im Ker. Selanjutnya misalkan y = a + Im Ker berarti (a + Im ) = Im atau (a) + Im = Im, sehina (a) Im. Akibatnya terdapat b B sedemikian hina (b ) = (a). Meninat = diperoleh (b ) U. Akibatnya, (b ) 1 (U) sehina ( (b ) + U ) = 1 (b ) + Im = a + Im = y. Diperoleh Ker Im sehina Ker = Im. Lankah 4 : Im = Ker. Misalkan (a + Im ) Im, maka (a + Im ) = (a) + Im. Karena (a) U Im maka (a + Im ) Im. Akibatnya (a + Im ) Ker, yaitu Im Ker. Selanjutnya ambil b + Im Ker, berarti (b + Im ) = (b) + Im Im. Sehina terdapat c C sedemikian hina (b) = (c ). Karena epimorisma, maka (b) = (b ) = (b ). Ini berakibat (b (b )) = atau b (b ) Ker 1 (U) = Im. Sehina terdapat a A sedemikian hina b + Im = (a) + Im = (a + Im ), yaitu Ker Im. Denan demikian Im = Ker. Akibat 9. Misalkan A B C A B C 78

5 J. Pijar MIPA, Vol. X No.2, September 215: ISSN (Cetak) ISSN (Online) adalah diaram komutati sedemikian hina (1) Baris pertama adalah -eksak dan baris kedua adalah U-eksak. (2) 1 (U) dan U Im. Maka barisan : eksak. Ker Ker 1 (U) Coker Coker Coker DAFTAR PUSTAKA [1] Anderson, F.W. and Fuller, K.R., Rins and Cateories o Modules, Spriner-Verla, New York, Inc [2] Davvaz, B. and Parnian-Garamaleky, Y.A., A Note On Exact Sequences, Bull. Malaysian Math. Soc. 22 (1999), No. 2, pp [3] Davvaz, B. and Shabani-Solt, H., A Generalization O Homoloical Alebra, J. Korean Math. Soc. 39 (22), No. 6, pp [4] Madansheka, A., Quasi-Exact Sequence and Finitely Presented Modules, Iranian Journal o Mathematical Sciences and Inormatics, Vol. 3 (28), No. 2, pp [5] Wisbauer, R., Foundations o Module and Rin Theory, Gordon and Breach : Philade,