BAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada teori himpunan, telah diperkenalkan mengenai konsep himpunan terurut parsial yang dinamakan latis. Jika diberikan suatu ring dengan elemen identitas R dan suatu R modul M, maka himpunan semua submodul dari M merupakan suatu latis dengan relasi urutan parsial dan dilengkapi dengan operasi join dan meet didefinisikan sebagai berikut : untuk setiap L dan N yang merupakan submodul dari M, L N L N, L N = L + N dan L N = L N. Lebih lanjut, latis submodul ini dinotasikan dengan L( R M). R juga dapat dipandang sebagai modul atas dirinya sendiri. Oleh karena itu, dapat diperoleh pula latis ideal yang dinotasikan dengan L(R) yang memuat seluruh ideal dari ring R tersebut. Selanjutnya, untuk sebarang ring komutatif R dengan identitas dan R modul M, didefinisikan untuk setiap L yang merupakan submodul dari M, (L : R M) = {x R xm L} dan ann R (L) = {x R xl = 0} yang merupakan ideal dari R. Kemudian didefinisikan pula untuk setiap B yang merupakan ideal dari R, n BM = { b i m i b i B, m i M, i = 1, 2,, n, n N} i=1 1

2 2 dan ann M (B) = {m M Bm = 0} yang merupakan submodul dari M. Secara umum, dalam sebuah modul tidak selalu dapat didefinisikan operasi perkalian antar anggotanya. Inilah yang menginspirasi munculnya konsep mengenai modul multiplikasi seperti yang telah dijelaskan pada Paper Smith dan El-Blast (1988). Dalam modul multiplikasi ini setiap submodulnya dapat dinyatakan sebagai perkalian antara suatu ideal dengan modul itu sendiri, yaitu apabila modul M merupakan modul multiplikasi, maka untuk setiap submodul N dari M terdapat ideal I dari R sedemikian sehingga N = IM. Selain itu, pada modul multiplikasi, terdapat suatu sifat yang menyatakan bahwa untuk setiap submodul N dari modul multiplikasi M, N dapat dinyatakan sebagai N = ann R (M/N)M = (N : R M)M. Sifat-sifat inilah yang kemudian mendasari pembentukan beberapa pemetaan antara latis submodul dan latis ideal. Dalam Paper Smith (2013), didefinisikan pemetaan antara latis L(R) dan L( R M) yaitu pemetaan λ : L(R) L( R M) dan pemetaan µ : L( R M) L(R) dengan λ(b) = BM dan µ(l) = (L : R M) untuk setiap B yang merupakan ideal dari R dan setap L yang merupakan submodul dari M. Selanjutnya pada Paper Smith (2014), diperkenalkan pemetaan lain antara latis L(R) dan L( R M) yang dilatarbelakangi oleh sifat-sifat dari annihilator dari suatu submodul dan annihilator dari suatu ideal. Pemetaan inilah yang kemudian dinamakan pemetaan α dan β. Selain konsep tentang modul multiplikasi, di dalam teori modul juga dikenal kelas-kelas R modul M yang memiliki sifat bahwa setiap submodul N dari M terdapat ideal I di R sehingga N = (0 : M I). Dalam Paper Smith (2014), hal inilah yang menjadi latar belakang pendefinisian pemetaan antara latis L(R) dan L( R M) yaitu pemetaan α : L(R) L( R M) dan pemetaan β : L( R M) L(R) dengan

3 3 α(b) = ann M (B) dan β(n) = ann R (N) untuk setiap ideal B di R dan submodul N di M. Pada skripsi ini, dibahas mengenai syarat perlu dan cukup agar pemetaan λ dan µ merupakan homomorfisma latis dan pemetaan α dan β merupakan antihomomorfisma latis. Selain itu, dibahas pula mengenai hubungan antara pemetaanpemetaan tersebut Batasan Masalah Pembahasan mengenai homomorfima dan anti-homomorfisma latis pada skripsi ini akan dibatasi hanya pada ring-ring yang komutatif dengan elemen identitas dan modul-modul atas ring komutatif dengan identitas Maksud dan Tujuan Penulisan skripsi ini bertujuan untuk : 1. memberikan syarat perlu dan cukup agar pemetaan λ dan µ merupakan homomorfisma latis. 2. memberikan syarat perlu dan cukup agar pemetaan α dan β merupakan antihomomorfisma latis. 3. menyelidiki hubungan antara pemetaan-pemetaan λ, µ, α, dan β Tinjauan Pustaka Pada skripsi ini, ring dan modul yang dimaksud secara umum adalah ring komutatif dengan identitas dan modul-modul atas ring komutatif dengan identitas. Konsep mengenai teori ring dan modul yang digunakan pada skripsi ini mengacu pada beberapa buku, antara lain : Adkins dan Weintraub (1992), Wisbauer (1991), dan Malik et al. (1997). Pada buku tersebut dibahas secara lengkap mengenai konsep dasar mengenai teori ring dan modul. Oleh karena itu, diharapkan pembaca memiliki pengetahuan yang cukup mengenai konsep-konsep dasar yang ada

4 4 dalam teori ring dan modul. Selain itu, di buku tersebut juga dibahas mengenai beberapa jenis ring dan modul yang akan diperhatikan pada pembahasan mengenai homomorfisma dan anti-homomorfisma latis. Dari suatu ring, dapat dibentuk suatu ring hasil bagi. Konsep mengenai ring hasil bagi tersebut secara lengkap telah dijelaskan di dalam buku karangan McCarthy (1971). Selain itu, di dalam buku tersebut telah dibahas secara lengkap mengenai daerah Prüfer yang akan mendasari pembahasan mengenai homomorfisma dan anti-homomorfisma latis. Selain daerah Prüfer, konsep mengenai modul multiplikasi juga memiliki peranan penting dalam menentukan apakah suatu pemetaan merupakan homomorfisma atau anti-homomorfisma latis atau bukan. Konsep mengenai modul multiplikasi tersebut secara lengkap telah dibahas secara lengkap di dalam Paper Smith dan El-Blast (1988). Penulisan skripsi ini merupakan suatu bentuk kaji ulang yang mendalam terhadap Paper Smith (2014) dengan melengkapi bukti dan memberikan ilustrasi dan contoh Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan terlebih dahulu mempelajari konsep mengenai ring dan modul, terutama yang berkaitan dengan ideal, submodul dan annihilator. Selain itu, dipelajari pula mengenai beberapa ring dan modul khusus antara lain ring hasil bagi, daerah Prüfer, dan modul multiplikasi. Di lain pihak, dipelajari pula mengenai latis, homomorfisma dan anti-homomorfisma pada latis. Konsep-konsep tersebut yang menjadi dasar dalam menentukan syarat perlu dan cukup agar suatu pemetaan antar latis menjadi homomorfisma atau anti-homomorfisma pada latis Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Bab ini memuat latar belakang permasalahan, batasan permasalahan, maksud dan tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan.

5 5 BAB II BEBERAPA RING DAN MODUL KHUSUS Pada bab ini dibahas mengenai beberapa ring dan modul khusus yang mendasari pembahasan mengenai pemetaan-pemetaan antara latis-latis modul pada bab selanjutnya. Ring khusus yang dibahas antara lain mengenai ring hasil bagi, daerah Prüfer, ring rantai, ring lokal, ring sederhana, ring semisederhana dan ring perluasan trivial. Modul khusus yang dibahas antara lain mengenai modul multiplikasi, modul bebas, modul proyektif, modul rantai, modul sederhana, modul semisederhana, modul hollow, modul prima, modul divisibel dan modul esensial. BAB III SIFAT-SIFAT PEMETAAN λ dan µ Pada bab ini dibahas mengenai sifat-sifat serta hubungan antara pemetaan λ dan µ. Selanjutnya, akan dibahas pula mengenai syarat cukup dan syarat perlu agar pemetaan λ dan µ merupakan homomorfisma latis. BAB IV SIFAT-SIFAT PEMETAAN α dan β Pada bab ini dibahas mengenai sifat-sifat serta hubungan antara pemetaan α dan β. Selanjutnya, akan dibahas pula mengenai syarat cukup dan syarat perlu agar pemetaan α dan β merupakan homomorfisma latis. BAB V PENUTUP Pada bab ini dibahas mengenai kesimpulan dan saran yang menyajikan isi dari keseluruhan pembahasan dari skripsi secara ringkas.