BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah

Transkripsi

1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Graf berarah (quiver) yang selanjutnya hanya dikatakan graf saja, dapat dipandang secara aljabar sebagai 4-tupel, E = (E 0, E 1, s, r) yang terdiri dari himpunan titik-titik E 0, himpunan sisi-sisi E 1 dan dua buah fungsi s, r dari E 1 ke E 0. Fungsi s disebut sumber (source) sisi dan fungsi r disebut ujung (range) sisi. Jika E 0 himpunan berhingga maka graf E disebut graf berhingga. Graf E disebut graf baris berhingga (row-finite graph) jika invers fungsi s berhingga untuk setiap titik. Sebuah lintasan (path) dengan panjang n dalam suatu graf adalah barisan n buah sisi-sisi sedemikian sehingga ujung sisi ke-i sama dengan sumber sisi ke- (i + 1) dengan i = 1, 2,..., n 1. Suatu lintasan disebut sikel (cycle) jika ujung dan sumber dari lintasan tersebut sama, tetapi tidak ada sisi dalam lintasan tersebut yang mempunyai sumber yang sama. Adapun sikel dengan panjang satu disebut loop. Himpunan semua lintasan dengan panjang n dinotasikan dengan E n, sedangkan P ath(e) menotasikan himpunan semua lintasan dalam E. Abrams, dkk. (2014) Telaah tentang aljabar lintasan atas lapangan K pada graf E yang dinotasikan dengan KE dilakukan oleh Assem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010). Aljabar lintasan KE didefinisikan sebagai suatu K-aljabar bebas dengan basis P ath(e) yang memenuhi dua syarat: 1. Setiap titik dalam graf bersifat idempoten dan perkalian sebarang dua buah titik berbeda hasilnya nol. 2. Sebarang sisi dikalikan ujungnya sama dengan sumbernya dikalikan sisi tersebut dan sama dengan sisi itu sendiri. Beberapa sifat penting aljabar lintasan yang telah dibahas Assem, dkk. (2006), antara lain: aljabar lintasan KE = KE m merupakan aljabar bertingkat yang m 0 1

2 2 assosiatif, KE merupakan aljabar unital jika E 0 berhingga, serta KE berdimensi hingga jika graf E berhingga dan asiklis. Hasil penelitian mutakhir oleh Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) tentang aljabar lintasan KE adalah ditemukannya syarat perlu dan cukup pada suatu graf E sedemikian sehingga aljabar lintasan KE merupakan aljabar semiprima. Sebarang graf E dapat diperluas dengan cara menambahkan himpunan sisisisi dengan arah kebalikan dari sisi-sisi dalam E 1. Sisi-sisi dalam E 1 disebut sisisisi nyata (real edges) dan sisi-sisi dengan arah kebalikannya disebut sisi-sisi hantu (ghost edges). Himpunan semua sisi hantu dinotasikan (E 1 ). Selanjutnya, graf perluasan (extended graph) didefinisikan oleh Leavitt (1962) sebagai pasangan 4- tupel, Ê = (E 0, E 1 (E 1 ), s, r ), dengan dua fungsi s, r dari E 1 (E 1 ) ke E 0 didefinisikan sebagai s E 1 = s, s (E 1 ) = r, r E 1 = r, r (E 1 ) = s. Aljabar lintasan KÊ yang terbentuk dari graf perluasan Leavitt disebut aljabar lintasan Leavitt (Leavitt Path Algebra), jika memenuhi dua syarat Cuntz-Krieger. Aljabar lintasan Leavitt pada graf E atas lapangan K dinotasikan dengan L K (E) yang juga merupakan K-aljabar bebas.(abrams dan Aranda Pino,2008) Selain aljabar lintasan, penelitian aljabar lintasan Leavitt atas lapangan terus berkembang yang menghasilkan teori-teori baru. Beberapa topik penelitian telah dilakukan dan diperoleh hasil antara lain ditemukannya syarat perlu dan cukup pada graf E sedemikian sehingga aljabar lintasan Leavitt L K (E) berdimensi berhingga (Aranda Pino, dkk., 2007); L K (E) bersifat sederhana (Abrams dan Aranda Pino, 2005, 2008); L K (E) adalah Locally Finite atau Noether (Abrams, dkk., 2008); dan L K (E) merupakan aljabar prima (Aranda Pino, dkk., 2006, 2009; Larki,2012). Hasil lain dari penelitian Aranda Pino, dkk. (2008, 2010), bahwa sebarang aljabar lintasan Leavitt L K (E) bersifat nondegenerate atau merupakan aljabar semiprima. Aljabar lintasan Leavitt L K (E) bersifat sederhana bukan karena lapangan yang pasti merupakan ring sederhana, namun bergantung pada struktur graf yang memenuhi syarat tertentu. Syarat perlu dan cukup dari aljabar tersebut berdimensi berhingga bergantung pada grafnya yang asiklis. Demikian pula sifat semiseder-

3 3 hana dan prima dari L K (E), bahkan keprimaan ideal bertingkat dalam L K (E) bergantung pula pada struktur grafnya. Selain itu, syarat perlu dan cukup aljabar lintasan KE semiprima bergantung pada struktur grafnya pula. Hal inilah yang menimbulkan dugaan bahwa hasil-hasil penelitian di atas dapat dikembangkan pada ruang lingkup yang lebih umum. Perumuman ruang lingkup yang dapat dilakukan antara lain pengembangan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. Ide pengembangan aljabar lintasan Leavitt L R (E) atas ring komutatif dengan elemen satuan, telah dimulai oleh Tomforde (2011). Aljabar lintasan Leavitt L R (E) merupakan R-aljabar bebas dengan basisnya suatu subhimpunan dari himpunan semua lintasan dari graf perluasan Ê, yang dinyatakan sebagai : L R (E) = Span R {αβ : α, β P ath(e), r(α) = r(β)} (1.1) Selanjutnya, Tomforde mengkaji sifat-sifat aljabar lintasan Leavitt yang tetap berlaku pada L R (E), dan beberapa sifat yang sedikit berbeda antara L K (E) dan L R (E), seperti Teorema Ketunggalan Bertingkat dan Teorema Ketunggalan Cuntz-Krieger. Temuan lain yang menarik untuk dikaji lebih jauh dari Tomforde (2011) adalah ditemukannya definisi ideal dasar (basic ideal) pada L R (E). Ideal I dari L R (E) dikatakan ideal dasar, jika memenuhi sifat : c R\{0}, v E 0, cv I v I (1.2) Sifat (1.2) selalu berlaku pada setiap ideal dalam L K (E), karena setiap koefisien tak nol dalam K selalu memiliki invers. Artinya, sebarang ideal dalam L K (E) merupakan ideal dasar. Berdasar definisi ideal dasar tersebut, Tomforde (2011) mendefinisikan aljabar sederhana mendasar (basically simple algebras) pada L R (E). Aljabar lintasan Leavitt L R (E) bersifat sederhana mendasar jika ideal dasar dari L R (E) hanyalah {0} dan L R (E). Selanjutnya, Tomforde (2011) menemukan syarat perlu dan cukup aljabar lintasan Leavitt L R (E) sederhana mendasar yang bergantung pada bentuk grafnya. Hal ini sejalan dengan temuan Abrams dan Aranda Pino (2005, 2008).

4 4 Aljabar (ring) semisederhana adalah aljabar (ring) yang merupakan hasil tambah langsung dari ideal-ideal minimalnya, yaitu ideal yang tidak memuat ideal sejati selain dirinya sendiri. Secara analog, ideal dasar dalam L R (E) yang tidak memuat ideal dasar sejati selain dirinya sendiri dikatakan ideal dasar minimal. Secara analog pula, L R (E) bersifat semisederhana mendasar jika L R (E) merupakan hasil tambah langsung dari ideal-ideal dasar minimal dalam L R (E). Salah satu kelas khusus lain dari aljabar berdasarkan sifat idealnya adalah aljabar (semi) prima (Wisbauer (1991) dan Lam (1991)). Senada dengan kelas khusus tersebut, dapat didefinisikan ideal dasar (semi) prima dari L R (E) yang menentukan sifat aljabar L R (E) yang (semi) prima mendasar. Uraian di atas menginspirasikan penelitian atau kajian guna menyelidiki syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam L R (E) bersifat prima. Hasil ini berimplikasi syarat perlu dan cukup pada graf sedemikian sehingga aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan L R (E) merupakan aljabar prima mendasar. Selain itu, berdasar temuan Abrams dan Aranda Pino (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) bahwa sebarang L K (E) merupakan aljabar semiprima, akan diselidiki apakah sebarang L R (E) juga semiprima mendasar. Hal ini menginspirasikan perlunya diselidiki sifat semiprima dari ideal-ideal dasar dalam L R (E). Aljabar lintasan KE merupakan subaljabar bertingkat dari aljabar lintasan Leavitt L K (E) (Aranda Pino, dkk.,2010). Namun, berbeda dengan aljabar lintasan Leavitt L K (E), aljabar lintasan KE tidak selalu merupakan aljabar semiprima. Temuan Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) tentang syarat perlu dan cukup pada suatu graf E sehingga KE merupakan aljabar semiprima, memberikan indikasi bahwa syarat tersebut merupakan syarat perlu keprimaan KE. Konstruksi aljabar lintasan Leavitt L R (E) oleh Tomforde (2011) dan Larki (2012), menginspirasikan perumuman aljabar lintasan atas ring komutatif dengan elemen satuan, RE. Aljabar lintasan RE juga merupakan R-aljabar bebas, mengacu pada konstruksi aljabar lintasan KE dari Assem, dkk. (2006), Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010). Jika diperhatikan konstruksi ideal sisi (arrow ideal)

5 5 dalam KE serta ideal-ideal yang termuat dalam ideal sisi (Assem, dkk., 2006), maka konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE, tidak dapat secara langsung dianalogkan dengan ideal dasar dalam L R (E). Konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE merupakan masalah sangat penting untuk mengkaji sifat-sifat aljabar lintasan RE, khususnya keprimaan mendasarnya. Secara umum, aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt merupakan aljabar bebas. Jika diberikan aljabar bebas A atas lapangan K dan ideal I A maka selalu berlaku sifat bahwa basis X A, k K\{0}, x X, kx I x I (1.3) Sifat (1.3) belum tentu berlaku pada ideal I dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan. Kita dapat mendefinisikan ideal dasar dalam R-aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan, yakni ideal yang memenuhi (1.3) dengan menggantikan lapangan K dengan ring komutatif R dengan elemen satuan. Definisi ini merupakan generalisasi ideal dasar dalam L R (E) oleh Tomforde (2011). Merujuk Wisbauer (1991) dan Lam (1991), ideal dasar minimal dan ideal dasar (semi) prima dalam R-aljabar bebas dapat didefinisikan. Secara analog pula, R-aljabar bebas dapat dikarakterisasi berdasarkan sifat ideal dasarnya, seperti : R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar jika ideal nolnya merupakan ideal dasar (semi) prima. Kajian tentang sifat ideal dasar (semi) prima dalam R-aljabar bebas sangat mendukung pembahasan tentang sifat prima dan semiprima mendasar aljabar lintasan RE dan aljabar lintasan Leavitt L R (E). 1.2 Rumusan Masalah Uraian dalam latar belakang masalah di atas menyiratkan banyaknya masalah terbuka dalam aljabar lintasan maupun aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. Namun, gagasan utama yang dikaji dalam disertasi ini adalah keprimaan mendasar aljabar lintasan RE dan aljabar lintasan Leavitt L R (E) atas ring komutatif dengan elemen satuan pada graf berhingga. Pembatasan graf berhingga dimaksudkan untuk mendapatkan aljabar lintasan dan aljabar lintasan

6 6 Leavitt unital, karena definisi sifat (semi) prima mendasar mensyaratkan R-aljabar bebas unital. Secara terperinci, masalah-masalah dalam telaah keprimaan mendasar aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt ini dapat dirumuskan sebagai berikut : 1. Bagaimana konstruksi ideal dasar dalam aljabar bebas atas ring komutatif dengan elemen satuan sebagai generalisasi ideal dasar dalam aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal dasar ini yang akan mengkarakterisasi sifat-sifat prima dan semiprima mendasar aljabar bebas tersebut. Sifat-sifat tersebut akan mendukung pembuktian sifat-sifat keprimaan mendasar aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt ini. 2. Bagaimana konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE yang dibangun oleh subhimpunan herediter dan tersaturasi sebagai generalisasi ideal dasar dalam aljabar lintasan Leavitt L R (E) dan sekaligus generalisasi dari ideal sisi dalam aljabar lintasan RE. Konstruksi ini sangat penting dalam penentuan syarat perlu dan cukupnya ideal dasar tersebut merupakan ideal dasar (semi) prima, sehingga dapat ditentukan syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga aljabar lintasan RE (semi) prima mendasar. 3. Apakah syarat perlu dan cukup suatu graf sedemikian sehingga aljabar lintasan Leavitt L R (E) merupakan aljabar prima mendasar, sama dengan pada sifat prima aljabar lintasan Leavitt atas lapangan. Demikian pula, apakah sebarang L R (E) bersifat semiprima mendasar, dan bagaimana dengan kesemiprimaan ideal-ideal dasar dalam L R (E). 1.3 Tujuan Penelitian Terdapat tiga (3) bagian permasalahan yang diselesaikan dalam penelitian ini. Berdasarkan rumusan masalah di atas, ditetapkan bahwa tujuan dari penelitian disertasi ini adalah sebagai berikut : 1. Menelaah R-aljabar bebas yang merupakan generalisasi dari aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan, se-

7 7 hingga menghasilkan konstruksi ideal dasar dalam R-aljabar bebas beserta sifat-sifatnya. 2. Menemukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam R-aljabar bebas merupakan ideal dasar (semi) prima yang akan menghasilkan syarat perlu dan cukup R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar. 3. Menghasilkan konstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE yang dibentuk oleh subhimpunan herediter tersaturasi beserta sifat-sifatnya. 4. Menemukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam RE adalah prima, yang berakibat ditemukannya syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga aljabar lintasan RE merupakan aljabar prima mendasar. 5. Menentukan syarat perlu dan cukup suatu graf sehingga aljabar lintasan RE merupakan aljabar semiprima mendasar, dengan menentukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam RE adalah semiprima. 6. Menentukan syarat perlu dan cukup aljabar lintasan Leavitt L R (E) prima mendasar. 7. Menyelidiki keberlakuan bahwa sebarang ideal dasar dalam L R (E) adalah semiprima sehingga sebarang aljabar lintasan Leavitt L R (E) pasti semiprima mendasar. 1.4 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan bagi pengembangan ilmu pengetahuan, khususnya yang berkaitan dengan struktur aljabar dan lebih khusus lagi berkaitan dengan aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. Secara rinci, manfaat yang diharapkan dalam penelitian ini adalah : 1. Membuka peluang untuk mengembangkan definisi ideal dasar dari L R (E) pada aljabar bebas pada umumnya, sehingga dapat memperkaya pengetahuan

8 8 tentang sifat (semi) sederhana mendasar dan (semi) prima mendasar pada aljabar bebas. 2. Ideal dasar dalam R-aljabar bebas dapat diaplikasikan untuk mengkonstruksi ideal dasar dalam aljabar lintasan RE, sehingga dapat ditentukan syarat perlu dan cukupnya suatu graf sehingga aljabar lintasan RE (semi) prima mendasar. 3. Membawa hasil-hasil penelitian sebelumnya tentang syarat perlu dan cukup sifat sederhana mendasar aljabar lintasan leavitt L R (E) atas ring komutatif dengan elemen satuan, ke permasalahan yang lebih umum yaitu syarat perlu dan cukup L R (E) prima mendasar ataupun semiprima mendasar. 4. Mampu menjadi motivasi dan ide bagi para peneliti lain untuk dapat mengembangkan permasalahan yang belum terpecahkan dalam penelitian ini. 1.5 Tinjauan Pustaka Aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt merupakan aljabar bebas. Peneliti merujuk Grillet (2007) untuk mengkaji R-aljabar bebas unital dengan R adalah ring dengan elemen satuan. Karena aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan sebagai ruang lingkup penelitian ini, maka pembicaraan R-aljabar bebas unital dikhususkan dengan R ring komutatif dengan elemen satuan. Ideal dasar dalam aljabar lintasan Leavitt L R (E) yang didefinisikan oleh Tomforde (2011) sangat berperan dalam pengembangan penelitian ini. Definisi ini dapat diperumum menjadi definisi ideal dasar dalam R-aljabar bebas, menggunakan sifat basisnya. Selanjutnya, R-aljabar bebas dapat dikarakterisasi berdasarkan idealideal dasar, analog dengan aljabar (ring) yang dapat dikarakterisasi berdasarkan ideal-idealnya sebagaimana dalam Wisbauer (1991) dan Lam (1991). Pengembangan aljabar lintasan Leavitt telah banyak dilakukan dalam dekade terakhir ini. Para peneliti telah mengkonstruksi aljabar lintasan Leavitt baik atas la-

9 9 pangan maupun atas ring komutatif dengan elemen satuan. Beberapa teorema atau lema penting telah dihasilkan dari penelitian-penelitian tersebut. Pengembangan aljabar lintasan RE atas ring komutatif dengan elemen satuan dilakukan dengan mengacu kajian aljabar lintasan atas lapangan KE dari Assem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010). Berdasarkan pengertian ideal sisi dalam KE oleh Assem, dkk. (2006), dapatlah didefinisikan ideal sisi dalam RE dengan E graf berhingga terhubung, sebagai ideal yang terdiri dari kombinasi linear dari lintasan-lintasan dengan panjang 1. Ideal sisi ini merupakan ideal dasar dalam RE yang tidak memuat titik, dan dapat diperumum menjadi ideal dasar dalam RE pada graf yang tidak terhubung. Selain itu, ideal dasar tersebut memuat subhimpunan herediter tersaturasi yang cara membentuknya, senada dengan ideal dasar dalam L R (E) yang dikonstruksi oleh Tomforde (2011) dan ideal dalam L K (E) oleh Aranda Pino, dkk. (2009). Namun, sifat-sifat ideal dasar dalam RE tidak sama persis dengan ideal dasar dalam L R (E). Temuan penting dalam aljabar lintasan KE oleh Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010) adalah syarat perlu dan cukup suatu graf sedemikian sehingga KE merupakan aljabar semiprima. Temuan ini tidak diikuti dengan kajian keprimaan ideal dalam KE. Namun, temuan tersebut menginspirasikan bahwa syarat tersebut tetap bertahan pada aljabar lintasan RE yang semiprima mendasar. Selain itu, temuan tersebut juga mengisyaratkan bahwa syarat perlu dan cukup tersebut merupakan syarat perlunya aljabar lintasan KE merupakan aljabar prima. Hal ini sebagai motivasi untuk meneliti bagaimana syarat perlu dan cukup aljabar lintasan RE merupakan aljabar prima mendasar. Kajian diawali dengan mencari syarat perlu dan cukup ideal dasar dalam RE yang dibentuk oleh subhimpunan herediter tersaturasi, merupakan ideal dasar prima. Kajian ini didukung pula oleh temuan Aranda Pino, dkk., (2006, 2009) tentang syarat perlu dan cukup ideal yang dibentuk subhimpunan herediter tersaturasi dalam L K (E) merupakan ideal prima. Aljabar lintasan Leavitt L R (E) oleh Larki (2012) dipandang sebagai ring (aljabar atas dirinya sendiri), yang kajiannya menghasilkan syarat perlu dan cukup

10 10 L R (E) merupakan ring prima, yaitu R merupakan daerah integral dan E 0 memenuhi kondisi ekor maksimal. Karena lapangan pasti merupakan daerah integral, maka sifat ini berakibat bahwa syarat perlu dan cukup L K (E) merupakan aljabar (ring) prima adalah E 0 memenuhi kondisi ekor maksimal. Temuan yang sama dihasilkan oleh Aranda Pino, dkk., (2006, 2009), sebagai akibat dari suatu proposisi yang menyatakan bahwa ideal yang dibentuk oleh subhimpunan herediter tersaturasi H, yakni I H merupakan ideal prima jika dan hanya jika M = E 0 \H memenuhi kondisi ekor maksimal. Uraian ini memberikan inspirasi bahwa syarat perlu dan cukup tersebut tetap berlaku pada keprimaan ideal dasar I H dalam L R (E). Temuan lain dalam aljabar lintasan Leavitt L K (E) dari Aranda Pino, dkk., (2008, 2009) adalah bahwa sebarang L K (E) memenuhi sifat nondegenerate yang ekuivalen dengan aljabar semiprima. Temuan ini menjadikan dasar untuk menduga bahwa sebarang L R (E) merupakan aljabar semiprima mendasar. Namun, dalam pembuktiannya tidak dengan ditunjukkan bahwa L R (E) memenuhi sifat nondegenerate. Hal ini dikarenakan aljabar semiprima mendasar belum tentu merupakan aljabar semiprima, yang ditunjukkan dengan suatu contoh penyangkal. Kajian aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan pada graf berhingga memerlukan penguasaan materi dasar teori graf, teori ring, aljabar dan aljabar lintasan. Graf sebagai objek kombinatorial beserta istilah-istilah dalam graf dipelajari dari buku Rosen (2003) dan referensi dari Godsil dan Royle (2001). Graf atau quiver dengan pendekatan aljabar banyak dirujuk dari Assem, dkk. (2006), Ara, dkk. (2007), Molina (2008) dan Aranda Pino, dkk. (2010). Pembahasan tentang ring komutatif, lapangan, ideal, ideal (semi) prima, dan ring (semi) prima beserta sifat-sifatnya, juga teori modul dan aljabar mengacu pada referensi Dummit dan Foote (2004), Rotman (2003), Grillet (2007), Lam (1991) dan Wisbauer (1991,1996). Penggabungan graf yang dipandang secara aljabar sebagai semigrup multiplikasi dengan lapangan atau ring, secara teori dapat dirujuk dalam buku Passman (1997) dan Wisbauer (1991). Guna memahami paper Tom-

11 11 forde (2011) diperlukan teori latis (Lattice theory) yang dipelajari dalam Chajda, dkk. (2007). Berbeda dengan penelitian-penelitian sebelumnya, dalam penelitian ini akan dilakukan hal-hal berikut : 1. Akan ditelaah R-aljabar bebas dengan sifat-sifatnya sehingga menghasilkan konstruksi ideal dasar dalam R-aljabar bebas. Selanjutnya, akan diteliti sifatsifat (semi) prima mendasar dari R-aljabar bebas. Pengkajian ini tidak terlepas dari keterkaitan terminologi ideal dasar (semi) prima beserta sifat-sifatnya. Hasil ini akan digunakan untuk membuktikan sifat (semi) prima aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan. 2. Akan dikonstruksi aljabar lintasan RE atas ring komutatif dengan elemen satuan sehingga dihasilkan konstruksi ideal dasar di dalamnya beserta sifatsifatnya. 3. Akan dicari syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam RE merupakan ideal dasar (semi) prima, sehingga ditemukan syarat perlu dan cukupnya RE merupakan aljabar (semi) prima mendasar. 4. Akan dicari syarat perlu dan cukup L R (E) bersifat prima mendasar dengan menentukan syarat perlu dan cukup suatu ideal dasar dalam L R (E) bersifat prima, secara analog dalam aljabar lintasan Leavitt L K (E) atas lapangan. 5. Akan diselidiki apakah sebarang ideal dasar dalam L R (E) merupakan ideal dasar semiprima, sehingga sebarang aljabar lintasan Leavitt L R (E) selalu merupakan aljabar semiprima mendasar. 1.6 Metode Penelitian Penelitian ini merupakan reseach and development yang didasarkan pada studi pustaka dan kajian teoritis. Sebagian metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduksi-induksi. Deduksi adalah cara berpikir yang di-

12 12 tangkap atau diambil dari pernyataan yang bersifat umum lalu ditarik kesimpulan yang bersifat khusus. Sebaliknya, metode induktif adalah metode yang digunakan dalam berpikir dengan bertolak dari hal-hal khusus ke umum. Secara umum langkah-langkah yang dilakukan selama penelitian sampai dengan diperolehnya hasil penelitian adalah sebagai berikut : 1. Kajian teori-teori dasar yang berkaitan dengan aljabar lintasan (KE) dan aljabar lintasan Leavitt (L K (E)) atas lapangan, serta ide konstruksi aljabar lintasan Leavitt atas ring komutatif dengan elemen satuan (L R (E)) pada graf berhingga sebagai generalisasi L K (E), terutama ide didefinisikannya ideal dasar dan sifat sederhana mendasar aljabar L R (E). 2. Pengembangan penelitian diawali dengan metode deduksi-induksi sehingga diperoleh definisi ideal dasar minimal, ideal dasar prima dan ideal dasar semiprima dalam L R (E) pada graf berhingga sampai dengan sifat-sifat semisederhana mendasar dan keprimaan mendasar pada aljabar tersebut. 3. Kajian aljabar bebas atas ring komutatif R dengan elemen satuan (R-aljabar bebas) diperlukan karena aljabar lintasan dan aljabar lintasan Leavitt merupakan aljabar bebas, dan diperolehlah generalisasi ideal dasar dalam R-aljabar Bebas. Selanjutnya, dihasilkan pula sifat-sifat penting dari R-aljabar bebas yang (semi) sederhana mendasar dan (semi) prima mendasar. 4. Konstruksi ideal dasar I H dalam RE yang memuat subhimpunan herediter H, yang evolusinya berawal dari definisi ideal sisi dalam KE. Selain merupakan generalisasi ideal dasar dalam L R (E), ideal dasar I H dalam RE berperan dalam penemuan syarat perlu dan cukup suatu graf berhingga sehingga RE bersifat (semi) prima mendasar berdasarkan temuan syarat perlu dan cukup ideal dasar tersebut (semi) prima. 5. Pengembangan penelitian dilakukan untuk mencari syarat perlu dan cukup ideal dasar I H dalam L R (E) merupakan ideal dasar prima, sehingga diperoleh syarat perlu dan cukup aljabar lintasan Leavitt L R (E) bersifat prima

13 13 mendasar. Selain itu, dapat ditunjukkan bahwa sebarang ideal dasar dalam L R (E) merupakan ideal dasar semiprima, yang berakibat sebarang aljabar lintasan Leavitt L R (E) bersifat semiprima mendasar. Langkah-langkah penelitian di atas dapat disederhanakan dengan diagram dalam Gambar 1.1 berikut : Gambar 1.1 Flowchart Langkah-langkah Penelitian Disertasi Anak panah menunjukkan hubungan antara teori, konsep yang melandasi, dan hasil yang diperoleh. Lebih khusus, anak panah warna biru menandai suatu proses perumuman (generalisasi) dan warna hijau menunjukkan adanya perluasan. Perumuman maupun perluasan yang dilakukan peneliti, ditandai oleh anak panah dengan garis putus-putus. Adapun hasil penelitian yang diperoleh, ditandai dengan garis putusputus warna coklat.

14 Sistematika Penulisan Laporan penelitian disertasi ini terdiri dari lima (5) bab, dengan masingmasing bab terdiri dari beberapa subbab dan subsubbab. Penulisan kutipan yang digunakan adalah bodynote dengan tanda kurung terdiri dari nama penulis (author) dan tahun penerbitan referensi, sesuai dengan template yang ditentukan. Jika penulis lebih dari dua orang, akan dituliskan penulis pertama ditambahkan dkk. Secara umum, definisi, lema, proposisi, teorema, dan contoh yang merujuk suatu referensi, kutipan disisipkan setelah penomerannya. Penomeran definisi, lema, proposisi, teorema dan contoh diurutkan berdasarkan bab dan subbabnya. Adapun penomeran gambar maupun persamaan hanya berdasarkan bab tanpa memperhatikan subbab ke berapa. Bab I adalah Pendahuluan, terdiri dari tujuh (7) subbab. Latar belakang masalah menjelaskan ide atau motivasi terpilihnya topik disertasi sehingga muncul rumusan masalah, tujuan penelitian, dan manfaat penelitian. Tinjauan pustaka menggambarkan perjalanan penelitian-penelitian serupa yang menjadi inspirator dan dasar pengembangan penelitian ini, serta menunjukkan posisi dan perbedaan penelitian disertasi ini dengan penelitian sebelumnya. Langkah-langkah penelitian dijabarkan pada metode penelitian, sedangkan subbab terakhir tentang sistematika penulisan. Penulisan laporan penelitian disertasi ini tidak mengkhususkan landasan atau dasar teori dalam bab tersendiri, namun tersebar dalam bab II, III, dan IV yang juga berisi hasil penelitiannya. Namun demikian, bab II tetap merupakan pijakan untuk membuktikan beberapa temuan dalam bab berikutnya. Pemilihan sistematika tersebut beralasan agar fokus dari setiap bab lebih tegas, bab II lebih umum dari bab III, bab III lebih umum dari bab IV, namun bab IV lebih luas dari bab III. Bab II berisi dua (2) subbab, dengan subbab 2.1 merupakan dasar teori tentang graf yang terdiri dua (2) subsubbab dan subbab 2.2 terdiri dari tiga (3) subsubbab. Tidak ada hal yang baru dalam subbab 2.1 dan subsubbab Beberapa temuan penting dalam bab II dipaparkan dalam subsubbab dan Temuan penting dalam bab ini antara lain definisi dan sifat dari ideal dasar dan ideal bebas

15 15 dalam R-aljabar bebas, syarat perlu dan cukup ideal dasar dalam R-aljabar bebas merupakan ideal dasar minimal maupun (semi) prima, juga syarat perlu dan cukup R-aljabar bebas merupakan aljabar (semi) prima mendasar. Salah satu topik besar disertasi ini adalah Sifat Prima dan Semiprima Mendasar Aljabar Lintasan, disajikan dalam bab III yang terdiri dari empat (4) subbab. Mayoritas kajian dalam bab ini merupakan hal baru, kecuali subbab 3.1 tentang Aljabar lintasan RE dan sifat-sifatnya yang merupakan perumuman aljabar lintasan KE. Temuan berharga dalam bab ini adalah konstruksi ideal dasar bertingkat I H dalam RE yang memuat subhimpunan herediter H, disajikan dalam subbab 3.2. Evolusi ideal dasar tersebut diawali dari definisi ideal sisi dalam RE yang harus didefinisikan pada graf berhingga dan terhubung. Evolusi tersebut memperlihatkan berbagai bentuk ideal dasar dalam RE. Temuan penting lainnya dibahas dalam subbab 3.3 dan 3.4, yaitu teorema tentang syarat perlu dan cukup ideal dasar I H merupakan ideal dasar (semi) prima, jika subhimpunan herediter H juga tersaturasi. Teorema tersebut berakibat ditemukannya syarat perlu dan cukup aljabar lintasan RE bersifat (semi) prima mendasar. Bab IV terdiri dari enam (6) subsubbab yang terbagi dalam tiga (3) subbab, memaparkan tentang Sifat Prima dan Semiprima Mendasar Aljabar Lintasan Leavitt. Tidak ada hal yang baru dalam subsubbab 4.1.1, dan 4.2.1, kecuali beberapa sifat L R (E) yang merupakan perumuman sifat L K (E). Secara berurutan, ketiga subsubbab ini berisi tentang konstruksi aljabar lintasan Leavitt L R (E) dan sifat-sifatnya serta konstruksi ideal dasar dalam L R (E). Adapun ketiga subsubbab terakhir dalam bab IV merupakan temuan hasil penelitian, kecuali tentang sifat sederhana mendasar L R (E) dalam subsubbab tentang beberapa sifat L R (E) berdasarkan ideal dasarnya. Secara umum temuan dalam bab ini merupakan perumuman temuan-temuan sebelumnya, namun dibuktikan secara berbeda karena peran ideal dasarnya. Perbedaan signifikan tampak pada subsubbab akhir dan 4.3.2, terutama temuan bahwa sebarang ideal dasar bertingkat dalam L R (E) merupakan ideal dasar semiprima yang berakibat sebarang L R (E) merupakan aljabar semiprima mendasar.

16 16 Bab V hanya terdiri dari dua (2) subbab, yaitu Kesimpulan dan Masalah Terbuka. Kesimpulan merupakan jawaban dari rumusan masalah yang merupakan tujuan dari penelitian disertasi ini. Adapun Masalah Terbuka memaparkan kajian yang berpeluang untuk dikembangkan dan ditindaklanjuti pada penelitian berikutnya.