Sifat Pasangan Adjoin Relatif Terhadap Bentuk Bilinear 1

Transkripsi

1 Siat Pasanan Adjoin Relati Terhadap entuk ilinear 1 K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Neeri Yoyakarta yatiuny@yahoo.com Abstract Let X and Y be vector spaces over a ield K, then be constructed a bilinear orm : X Y K. This paper discuss the properties o adjoin pairs with respect to the bilinear orm. The result show that :, is an Adjoin pairs i and only i, L Y deined as ( t) t, t Y ;, is Adjoin pairs i and only i, L X deined as ( t) t, t X ; I : X Y K is a non deenerate bilinear orm and the dimension o X and Y are inite, then or every L X there is L Y such that, is Adjoin pairs, N R and R N. As the corollary, or every L Y there is L X such that, is Adjoin pairs, N R and R N. Keywords: ilinear orm, non deenerate, adjoin pairs 1. Pendahuluan Dari Aljabar Linear diperoleh beberapa penertian dan siat-siat sebaai berikut (Lan :1970): Misalkan X dan Y ruan vektor berdimensi hina atas lapanan K. Himpunan X Y ( x, x X, y Y membentuk ruan vektor atas lapanan K terhadap operasi jumlah dan perandaan biasa. Pemetaan : X Y K disebut bentuk bilinear apabila linear terhadap setiap variabelnya. Pemetaan ini menentukan dua pemetaan linear, yaitu: 1 Disampaikan pada Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Hotel Inna Garuda Yoyakarta, 1 Austus

2 * dan * : X Y * : Y X * yan masin-masin dideinisikan oleh * ( x ) * ( x, ) dan ( y ) (,. Dalam tulisan ini unsi dianap sebaai operator kanan. Selanjutnya yan dimaksud denan L X adalah himpunan transormasi linear dari ruan vektor X ke dirinya sendiri. Transormasi L X dikatakan Adjoin denan L Y relati terhadap bentuk bilinear jika ( x ), y x,( untuk semua x X dan y Y. Dalam hal demikian dikatakan jua L Y Adjoin denan L X relati terhadap. Selanjutnya pasanan, disebut pasanan Adjoin. Dalam penulisan ini akan diselidiki beberapa siat pasanan adjoin relati terhadap bentuk bilinear. 2. Ruan Dual Misalkan X ruan vektor atas lapanan K ; himpunan X : X K transormasi linear merupakan ruan vektor atas lapanan K terhadap operasi jumlah dua unsional biasa dan perandaan skalar. Selanjutnya ruan vektor X ini disebut ruan dual dari ruan vektor X. Salah satu siat ruan dual X adalah mempunyai dimensi yan sama denan ruan vektor X. 3. Siat entuk ilinear entuk bilinear : X Y K menentukan dua pemetaan linear yaitu : X Y dan : Y X yan dideinisikan oleh: ( x ) x, dan ( y ), y. Kernel dari : X Y adalah N = x X, denan adalah unsi nol dari Y ke K. Hal yan sama N y Y ( dan adalah unsi nol dari X ke K. entuk bilinear dikatakan non-deenerate jika N N 0. 2

3 Annihilator dari U ( relati terhadap ), denan U suatu ruan baian dari X, adalah U y Y u, y 0, u U. Denan mudah dapat ditunjukkan bahwa ^ U adalah ruan baian ruan vektor Y, yaitu: untuk setiap a, b U, maka u, a b u, a u, b untuk setiap u U. Sehina a b U. Untuk setiap K dan untuk setiap a U, maka u, a u, a 0 0. Sehina a U. Hal yan sama dideinisikan annihilator ruan baian V, denan V ruan baian dari ruan Y, yaitu : V x X x, v 0, v V. Secara analo, dapat ditunjukkan bahwa ^ V adalah ruan baian ruan vektor X. Jika ruan vektor X dan Y berdimensi hina dan bentuk bilinear : X Y K merupakan bentuk bilinear yan non deenerate, maka dimensi X sama denan dimensi Y ( Karyati: 2002 ). Dalam baian berikut akan dibicarakan syarat perlu dan cukup Pasanan Adjoin yan penulis kembankan dari tulisan Rajendran dan Nambooripad (2000). 4. Siat Pasanan Adjoin relati terhadap entuk ilinear Lemma dan akibat berikut memberikan syarat perlu dan cukup aar, merupakan pasanan Adjoin: Lemma 1. Jika a., adalah pasanan adjoin, L X L Y maka kondisi berikut ekuivalen: b., denan L Y yan dideinisikan ( t) t, t Y ukti: ( ) Dari yan diketahui dipenuhi : ( ). 3

4 , pasanan adjoin ( x ), y x,( ( deinisi padanan adjoin ) ( y ) (( ) x ( y Y, menentukan dua pemetaan linear ) y ) ( ( x ( Y x ( x X ) ( x ) ( deinisi ) ( x ) ( deinisi ) ( deinisi komposisi unsi ). ( ) Dipenuhi, denan L Y yan dideinisikan ( t) t, t Y, sehina: ( x X ) ( x ) ( deinisi komposisi unsi ) ( x ) ( deinisi ) x (deinisi ) y ) ( ( x ( Y ( y ) (( ) x ( deinisi komposisi unsi ) ( x ), y x,(, pasanan adjoin 4

5 Akibat 2. Lemma di atas berakibat pernyataan berikut jua ekuivalen: a., adalah pasanan adjoin b., denan L X dideinisikan oleh: ( t) t, t X ukti: ( ), pasanan adjoin ( x ), y x,( ( deinisi padanan adjoin ) ( x ) y ( ( x ) y ( y ( ( ( ( ( ( ( Denan membalik arah buktyi tersebut dapat dibuktikan jika, denan L X dideinisikan oleh: ( t) t, t X, maka, pasanan adjoin. Teorema dan akibat berikut merupakan konsekuensi dari Lemma 1, Akibat 2 dan salah satu siat ruan dual. Teorema 3. Misalkan X dan Y ruan-ruan vektor berdimensi hina. Jika : X Y K non deenerate, maka untuk setiap L X terdapat L Y sedemikian sehina adjoin denan dan N R serta R N. ukti: 5

6 entuk bilinear : X Y K non deenerate, sehina berlaku dim X dimy. Sementara itu berlaku jua dim X dim X, sehina dim Y dim X. Diketahui N 0, sehina injekti. erlaku jua dim Y dim N( ) dim R( ), sehina dim R dim X. Akibatnya surjekti. Jadi isomorphisma. Ambil sebaran L X. Selanjutnya dibentuk 1, L X yan dideinisikan oleh: ( t) t untuk semua t X, suatu ruan dual dari ruan X. Jelas bahwa L Y dan 1. Menurut Akibat 2 diperoleh Adjoin denan. Ambil x N, sehina ( x ) 0 dan ( x ), y (0, 0, untuk semua y Y. Diketahui Adjoin denan, sehina: ( x ), y x,( 0, sehina x R. Jadi N R (1) Ambil x R sehina x,( 0 untuk semua y Y. Diketahui Adjoin denan, sehina ( x ), y x,( 0, untuk semua y Y. Diketahui non deenerate, sehina ( x ) 0 atau x N. Jadi R N (2) Dari persamaan (1) dan (2) terbukti bahwa R N. Ambil y N, sehina ( y ) 0 dan x,( x,0 0, diketahui Adjoin denan,sehina ( x ), y x,( 0, untuk semua x X, sehina y R. Jadi N R (3) Ambil y R maka ( x ), y 0, untuk semua x X. Diketahui Adjoin denan, sehina ( x ), y x,( 0 untuk semua x X. Diketahui non deenerate, sehina ( y ) 0 atau y N. 6

7 Jadi R N (4) Dari persamaan (3) dan (4) terbukti bahwa N R. Akibat 4. Misalkan X dan Y ruan-ruan vektor berdimensi hina. Jika : X Y K non deenerate, maka untuk setiap : X Y K terdapat L X sedemikian sehina Adjoin denan dan N R serta R N. ukti: ukti analo denan lemma sebelumnya. Pemetaan jua isomorphisma, sehina dapat dibentuk 1. ukti selanjutnya analo. 5. Kesimpulan Dari uraian di atas diperoleh beberapa siat pasanan adjoin sebaai berikut: Jika, L X L Y maka kondisi berikut ekuivalen berlaku:, pasanan adjoin jika dan hanya jika, denan L Y yan dideinisikan ( t) t, t Y, sebaai akibatnya berlaku jua:, pasanan adjoin jika dan hanya jika, denan L X dideinisikan oleh: ( t) t, t X. Siat lain diperoleh : Jika : X Y K non deenerate, maka untuk setiap L X terdapat L Y sedemikian sehina adjoin denan dan N R serta R N. Sebaai akibatnya dipenuhi siat: Jika : X Y K non deenerate, maka untuk setiap L X terdapat L Y sedemikian sehina adjoin denan dan N R serta R N. 7

8 Kepustakaan Karyati, Semirup yan dikonstuksikan dari entuk ilinear. Tesis. Proram Pasca Sarjana, Universitas Gadjah Mada, Yoyakarta Lan, S Linear Alebra. Addison Wesley Publishin Company, Inc, New York. Rajendran, D., Nambooripad, K.S.S., ilinear Forms and a Semirup o Linear Transormations. Shoutheast Asian ulletin o Mathematics 24: